北航数值分析7

≈ (±1)
α1x1
1.
•
2
T T yk Ay −1 k −1
⇒
α1xT 1 α1x1
2
A
α1x1 α1x1
2
= λ1
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6
2. yk −1 ,
•
∞
,
uk − 1
r
eT r uk eT r yk −1 (0) (0) T , · · · , h u = ( h 0 1 n ) k−1) yk−1 = uk−1/|h( | r
⇒
eT r Ax1 eT r x1
= λ1
(k ) (k T u = Ay = ( h , · · · , h ) k k − 1 1 n k) (k−1) (k−1) (k ) /sign ( h ) = sign ( h ) h βk = h( r r r r
email:jqx zhq@buaa.edu.cn
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1
——-Algebraic Eigenvalue and Eigenvector problem power method, QR algorithm ,Jacobi method ,subspace iteration(Arnodi method,Lanczos algrithm ,Jacobi-Davidson method) Power method and its variants u0 ∈ R n uk = Auk−1, k = 1, 2, · · · , u0 { uk }
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2
1. 2.
A
n λ1, λ2, · · · , λn
x1 , x 2 , · · · , x n ; |λ1|>|λ2| ≥ · · · ≥ |λn|;
α1, α2, · · · , αn, u0 = α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn uk = Auk−1 = A2uk−2 = · · · = Aku0 = α1Akx1 + α2Akx2 + · · · + αnAkxn
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1.
A |λ1| > |λm+1| ≥ · · · ≥ |λn| λ2 λ1 A − pI
λ1 = λ2 = · · · = λm
2. 3.
Inverse power method 1. A x1 , x 2 , · · · , x n , 2.|λ1| ≥ |λ2| ≥ |λ3| ≥ · · · ≥ |λn−1|>|λn| n
Auk−1 uk − 1 uk uk
=
A 2 uk − 2 Auk−2 A k u0 A k u0
= ··· =
A k u0 A k − 1 u0
yk =
=
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5
=(
λ1 |λ1|
)k
λ2 k λn k α1x1 + α2( λ ) x + · · · + α ( 2 n λ1 ) xn 1 λn k 2 k α1x1 + α2( λ ) x + · · · + α ( ) xn 2 n λ1 λ1 k α1x1
ห้องสมุดไป่ตู้
or
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9
A ∈ Rn×n
λi(i = 1, 2, · · · , n)
−50 < λ1 < λ2 < −10 ≤ λ3 ≤ · · · ≤ λn λ1, λ2, λn
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10
k k = α1λk x + α λ x + · · · + α λ 1 2 2 n 1 2 n xn λn k λ2 k k = λ1 [α1x1 + α2( ) x2 + · · · + αn( ) xn] λ1 λ1
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3
α1 = 0
uk ≈ λk 1 α1x1,
uk
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8
A −1 uk − 1 yk−1 = uk − 1 uk = A−1yk−1 uk − 1 yk−1 = uk − 1 Auk = yk−1
or
(A − pI )−1 uk − 1 yk−1 = uk − 1 uk = (A − pI )−1yk−1 uk − 1 yk−1 = uk − 1 (A − pI )uk = yk−1
A
λ1
1. 2.x1, x2, · · · , xn 3. 4. 5. 6. uk α1 = 0
λ1 x1 ;
A ∈ Cn×n u k = A k u0 ,
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u0
4
uk − 1 yk−1 = uk − 1 uk = Ayk−1
uk =