高中数学_超几何分布教学课件设计

2.1.3 超几何分布
【课堂引入】
某人从含 2 个不合格骰子的 4 个骰子中任取 2 个同时 抛掷，经过大量试验，发现“向上点数之和 X”的各频率值 与概率值相差很大，这意味着什么，试分析此现象发生的 可能性大小？
解 : 这意味着 2 个骰子中至少有一个是不合格骰 子，其中有 1 个不合格骰子的概率是 P1＝CC21C24 12＝23，有 2 个 不合格骰子的概率是 P2＝CC2224＝16，所以此现象发生的可能性 为23＋16＝56.
m 时的概率为(
P(X＝m)＝CmMCCNnnN－－mM
)
(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量 X 的这种形式的
概率分布为超几何分布，也称 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布.
超几何分布的简单应用
10 件产品中有 2 件次品，任取 2 件进行检验，求下 列事件的概率：
(1)至少有 1 件次品； (2)至多有 1 件次品．
思考?
设有总数为 N 件的甲乙两类物品，其中甲类有 M 件， 从所有物品中任取 n 件(n≤N)，这 n 件中所含甲类物品件 数是 m 时的概率为?
概念的形成
设有总数为 N 件的两类物品，其中一类有 M 件，从所有物品中任取 n
件(n≤N)，这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量，它取值为
P(X＝7)＝CC34C47 13＝1325，P(X＝8)＝CC4447＝315.故所求分布列为
X5 6 7 8
P
4 35
18 35
12 35
1 35
(2)根据随机变量的分布列可以得到大于 6 分的概率为 P(X>6)＝
P(X＝7)＋P(X＝8)＝1325＋315＝1335.
求超几何分布的分布列，关键是明确随机变量确实服从 超几何分布及随机变量的取值，分清 M、m、n 的值，然后 代入公式即可求出相应取值的概率，最后列表即可．
【思路探究】 写出X的 可能值 → 求出每个X 对应概率
→ 写出分 布列
解: (1)从袋中任取 4 个球的情况为：1 红 3 黑，2 红 2 黑，3 红 1 黑，
4 红，共四种情况，得分分别为 5 分，6 分，7 分，8 分，故 X 的可能
取值为 5,6,7,8.
P(X＝5)＝CC14C74 33＝345，P(X＝6)＝CC24C47 23＝3158，
且 X 服从参数为 N＝10，M＝4，n＝3 的超几何分布，于是选出
的 3 名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X≥1)＝P(X＝1) ＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝CC14C13026＋CC24C13016＋CC34C13006＝56 或 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－CC04C13036＝56.
【思路探究】本题是超几何分布问题，可利用公式求解．
解:(1)“至少有 1 件次品”的对立事件是“2 件都是正品”． “2 件都是正品”的概率为CC21280＝2485， 所以“至少有 1 件次品”的概率为 1－2485＝1475. (2)“至多有 1 件次品”的对立事件为“2 件都是次品”． “2 件都是次品”的概率为CC21220＝415， 所以“至多有 1 件次品”的概率为 1－415＝4445.
B．至少有一个白球
C．至少有一个红球 D．至多有一个白球
3．设 10 件产品中，有 3 件次品，现从中抽取 5 件，用 X 表示抽
得次品的件数，则 X 服从参数分别为________(即定义中的 N、M、n)
的超几何分布．
4．从一批含有 13 件正品，2 件次品的产品中，不放回地任取 3
件，求取得次品数 X 的分布列．
X0 1 2 3 4
P
Hale Waihona Puke 1 425 2110 21
5 21
1 42
解决超几何分布问题的关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公 式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式 求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道 M，N，n，就可以利用公 式求出 X 取不同 m 时的概率 P(X＝m)，从而求出 X 的分布 列．
当堂检测 1．盒中有 4 个白球，5 个红球，从中任取 3 个球，则取出 1 个白
球和 2 个红球的概率是( )
A.3472
B.1472
C.1201
D.2117
2．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共 30 个，其中白球 4
个．从中任取两个，则概率为C126CC4123＋0 C24的事件是(
)
A．没有白球
某 10 人兴趣小组，其中有 5 名团员，从中任选 4 人参加某
项活动，用 X 表示 4 人中的团员人数，求 X 的分布列．
【解】 由题意 X 服从参数为 10,5,4 的超几何分布，l＝min{5,4}
＝4，∴X 的可能取值为 0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝CC05·14C0 45＝412；P(X＝1)＝CC15·14C0 35＝251； P(X＝2)＝CC25·14C0 25＝1201；P(X＝3)＝CC35·14C0 15＝251； P(X＝4)＝CC45·14C0 05＝412.所以 X 的分布列为
1. 超几何分布中的抽样为不放回的抽样 2．超几何分布是一种很重要的概率模型，应用它可避免不 必要的重复计算．应用公式的关键是正确确定 M、N、n、 3．“至少”“至多”等问题可以转化为求对立事件来解决．
从 6 名男同学和 4 名女同学中随机选出 3 名同学参加一项竞 技测试．试求出选 3 名同学中，至少有一名女同学的概率． 【解】 设选出的女同学人数为 X，则 X 的可能取值为 0,1,2,3，
在超几何分布中，只要知道M、N、n，就可以根据公式求 出离散型随机变量X取不同m值时的概率P(X＝m) ，从而列
出X的分布列
超几何分布的分布列
袋中有 4 个红球、3 个黑球，这些球除颜色外完全 相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得 2 分，取到一个黑 球得 1 分，从袋中任取 4 个球．
(1)求得分 X 的分布列； (2)求得分大于 6 分的概率．
1.C 2.B 3. 10,3,5 4.【解析】 设随机变量 X 表示取出次品的个数，
由 X 服从参数 N＝15，M＝2，n＝3 的超几何分布．