第21讲_动态规划(投资分配问题)

最优策略为（40，20），此时最大利润为120万元。 同理可求得其它 f2(x) 的值。
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投资分配问题
f 2 (50) max g2 ( y) ,50 f1 (50 y )
y 0,10,
g 2 (0) f1 (50) g (10) f (40) 1 2 g 2 (20) f1 (30) 105 g 2 (30) f1 (20) g 2 (40) f1 (10) g 2 (50) f1 (0)
f1 (30 y) 70
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
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投资分配问题
f 2 (20) max
y 0,10,20
g2 ( y)
f1 (20 y ) 50
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f 2 (10) max g 2 ( y ) f1 (10 y ) 20
最优策略为（20，0，30，10），最大利润为160万元。
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10 20 20 25
20 50 40 60
30 65 50 85
40 80 55 100
50 85 60 110
60 85 65 115
g1(x) g2(x) g3(x)
g4(x)
0
25
40
50
60
65
70
依据题意，是要求 f4(60) 。
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投资分配问题
按顺序解法计算。 第一阶段：求 f1(x)。显然有 f1(x) ＝ g1(x)，得到下表
投资 利润
0
10
20
30
40
50
60
f1(x) ＝ g1(x)
0
0
20
10
50
20
65
30
80
40
85
50
85
60
最优策略
第二阶段：求 f2(x)。此时需考虑第一、第二个工厂如何进行投资分配，以取得 最大的总利润。
f2 ( 60 )
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g2 ( y) y 0 , 10 ,, 60
最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。
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投资分配问题
f 2 (40) max g2 ( y) ,40 f1 (40 y ) 90
y 0,10,
最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g 2 ( y) y 0,10,20,30 max
据此，有下式：
m ax z g i ( xi )
i 1
n
n xi a i 1 x 0 i 1.2..n i
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m ax z
n
g (x )
i i i 1
n
令：fk(x) 表示以数量为x 的资金分配给前k 个工厂，所得到的最大利润值。
最优策略为（20，10，30），最大利润为155万元。 同理可求得其它 f3(x) 的值。得到下表
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投资分配问题
投资 利润
0 0
10 25
20 60
30 85
40 110
50 135
60 155
f3(x) 最优 策略
(0,0,0 (0,0,10 (0,0,20 (0,0,30 (20,0,20 (20,0,30 (20,10,30 ) ) ) ) ) ) )
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投资分配问题
所以，根据动态规划的最优化原理，有下式：
f k ( x ) maxg k ( y ) f k 1 ( x y )
0 y x
其中k 2.3. .n
如果a 是以万元为资金分配单位，则式中的y 只取非负整数0，1，2，…，x。 上式可变为：
max
f1 ( 60 y )
投资分配问题
f2 ( 60 )
g2 ( y) y 0 , 10 ,, 60
max
f1 ( 60 y )
g 2 (0) f1 (60) 0 85 g (10) f (50) 20 85 1 2 g 2 (20) f1 (40) 40 80 max g 2 (30) f1 (30) max50 65 120 g (40) f (20) 55 50 1 2 g 2 (50) f1 (10) 60 20 65 0 g 2 (60) f1 (0)
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第21讲 动态规划
投资分配问题
ACM算法设计与分析——王建芳
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投资分配问题
现有数量为a（万元）的资金，计划分配给n 个工厂,用于 扩大再生产。 假设：xi 为分配给第i 个工厂的资金数量（万元）；gi(xi) 为第i 个工厂得到资金后提供的利润值（万元）。 问题：如何确定各工厂的资金数，使得总的利润为最大。
用动态规划求解，就是求 fn(a) 的问题。 当 k=1 时，
xi a i 1 x 0 i 1 .2 . . n i
投资分配问题
f1(x) = g1(x)
（因为只给一个工厂）
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当1＜k≤n 时，其递推关系如下： 设：y 为分给第k 个工厂的资金（其中 0≤y ≤ x ），此时还剩 x － y （万元）的资金需要分配给前 k－1 个工厂,如果采取最优策略，则得到的最大 利润为fk－1(x－y) ,因此总的利润为： gk(y) ＋ fk－1(x－y)
y 0,10,
最优策略为（10，0）或（ 0 ， 10 ） ，此时最大利润为20万元。
f2(0) ＝0。最优策略为（0，0），最大利润为0万元。 得到下表
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投资分配问题
投资
0 0 (0,0)
10 20
(10,0) (0,10)
20 50
(20,0)
30 70
(20,10)
f k ( x ) max
y 0 ,1, 2 ,, x
g
k
( y ) f k 1 ( x y )
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投资分配问题
设国家拨给60万元投资，供四个工厂扩建使用，每个工厂扩建后的利润与投资 额的大小有关，投资后的利润函数如下表所示。 投资 利润
0 0 0 0
第四阶段：求 f4(60)。即问题的最优策略。
f 4 (60 )
g4 ( y) y 0 ,10 ,, 60
max
f 3 (60 y )
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投资分配问题
g 4 (0) f 3 (60) 0 155 g (10) f (50) 25 135 3 4 g 4 (20) f 3 (40) 40 110 max g 4 (30) f 3 (30) max50 85 160 g (40) f (20) 60 60 3 4 g 4 (50) f 3 (10) 65 25 70 0 g 4 (60) f 3 (0)
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投资分配问题
g3 ( 0) f2 ( 60) 0 120 25 105 g ( 10 ) f ( 50 ) 2 3 g3 ( 20) f2 ( 40) 60 90 m ax g3 ( 30) f2 ( 30) m ax85 70 155 g ( 40) f ( 20) 100 50 2 3 g3 ( 50) f2 (10) 110 20 115 0 g3 ( 60) f2 ( 0)
40 90
(20,20)
50 105
60 120
利润
f2(x) 最优策略
(30,20) (40,20)
第三阶段：求 f3(x)。此时需考虑第一、第二及第三个工厂如何进行投资分 配，以取得最大的总利润。
f3 ( 60 )
g3 ( y ) y 0 , 10 ,, 60
max
f2 ( 60 y )