2020届高三第二次模拟考试卷文科数学(一)学生版

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2020届高三第二次联考1文数试卷

2 ，点 (
2
2,1) 在椭圆 D
上．
（Ⅰ）求椭圆 D 的方程；
（Ⅱ）过椭圆内一点 P(0,t) 的直线 l 的斜率为 k ，且与椭圆 C 交于 M , N 两点，设
直线 OM ， ON （ O 为坐标原点）的斜率分别为 k1,k2 ，若对任意 k ，存在实数，使得 k1 k2 k ，求实数的取值范围．
附参考公式及数据： K 2
n(ad bc)2
，其中 n a b c d .
(a b)(c d )(a c)(b d )
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
20．（12
分）已知椭圆 D :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为 e
D． (2, 0)
2．已知复数 z 1 i ，其中 i 为虚数单位，则 z ( ) 2i
A． 5 3
B． 10 3
C． 5 5
D． 10 5
3．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指
标测验（指标值满分为 5 分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素
与 l 交于点 P ，若 AF 3 FB ，则 PF （）
A. 7.5
B. 7
C. 8.5
D. 8
12．已知函数 f (x) ex kx （ e 为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数 k 的 x
取值范围是（）
A． (0,2)
B． (0, e2 ) 4
C． (0,e)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D． (0,)

2019-2020年高三第二学期模拟测试(一)数学文科试题

(16题图) (11题图2019-2020年高三第二学期模拟测试（一）数学文科试题考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若线性方程组的增广矩阵为，则其对应的线性方程组是．2．的展开式中的系数是（结果用数字作答）.3．若行列式，则．4．若直线过点，且与圆相切，则直线的方程是 .5．计算： .6．若双曲线的一条渐近线方程为，则=_________．7．一支田径队有男运动员人，女运动员人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为___________.8．若向量)c o s ,2(,)s in ,1(x n x m ==,则函数的最小正周期为 .9．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高________米. 10. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（米/秒）和燃料的质量（千克）、火箭（除燃料外）的质量（千克）的关系式是.当燃料质量与火箭（除燃料外）的质量之比为时，火箭的最大速度可达（千米/秒）.11.圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是．12. 直线的一个法向量（），则直线倾斜角的取值范围是． 13. 设幂函数，若数列满足：，且，则数列的通项．14.对任意一个非零复数，定义集合，设是方程的一个根，若在中任取两个不同的数，则其和为零的概率为= (结果用分数表示)．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为 ( )．16．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）. . . .17．“”是“” ( )．充分非必要条件. 必要非充分条件.充要条件. 既非充分也非必要条件.18．已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：A C1① ； ② (0)y x =≤≤； ③ ．其中，型曲线的个数是( )．. . . .三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．已知关于的不等式解集为.（1）求实数的值；（2）若复数ααsin cos ,221i z i m z +=+=，且为纯虚数，求的值.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图所示, 直四棱柱的侧棱长为, 底面是边长, 的矩形,为的中点,(1)求证: 平面,(2)求异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数表示).21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设, 为奇函数.（1）求实数的值；（2）设, 若不等式在区间上恒成立, 求实数的取值范围.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，探究：直线是否过定点，并说明理由.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“生成数列”.（1）若数列的“生成数列”是，求；（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.上海市杨浦区xx届高三第二学期模拟测试（一）一．填空题（本大题满分56分）xx.3.16 1. ； 2. 5 ； 3. 文1 ； 4.文； 5.文2；6.文2；7. 12 ；8.文；9. ；10. ；11 . 4；12.文,；13. 文；14文；二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题15. B ；16. D；17. B ；18.C；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19. 解：(1)4＋2m－2＝0，解得m=－1(2) =(－cosα－2sinα)＋(－sinα＋2cosα)i为纯虚数所以，－cosα－2sinα＝0，tanα=－,所以，=－20. (1)证明: 由, ,……2分平面, ……4分即DE垂直于平面EBC中两条相交直线,因此DE平面EBC, ……7分(2) [文]解: 由, 则即为所求异面直线的夹角(或其补角), ……9分由平面, 得, ……11分即为直角三角形,, 因此……14分（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）21. 解：由f(x)是奇函数，可得a=1，所以，f（x）＝（1）F（x）＝＋＝由＝0，可得＝2，所以，x=1，即F（x）的零点为x＝1。

黑龙江省2020届高三第二次模拟考试数学文科试题

2020届第二次模拟考试试题文科数学考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一．选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}22|{,<<-==x x B Z A ，则=B A I （）A. }0,1,2{--B. }2,1,0,1,2{--C.}1,0,1{-D.}2,1,0{ 2.复数i z 23-=的虚部为（） A. 2 B.2- C. i 2- D.i 23.为了落实“精准扶贫”工作，县政府计划从4名男干部，2名女干部共6名干部中选2人去贫困村开展工作，则至少有一名女干部被选中的概率（）A .53B .158C .52D .324.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若2,32==a b ，2sin 3cos =+B B ，则角A =（）A.3πB.6π或65πC. 65πD.6π5.已知函数x x x f sin 2)(+-=，若)3(3f a =，)2(--=f b ，)7(log 2f c =，则c b a ,,的大小关系为（）A .c b a << B. a c b << C.b a c << D .b c a << 6.若b a ,是不同的直线，βα,是不同的平面，则下列说法中正确的是（） A.若b a b a ⊥,//,//βα，则βα⊥ B.若b a b a //,//,//βα，则βα// C.若b a b a //,,βα⊥⊥，则βα//D.若b a b a ⊥⊥,,//βα，则βα// 7.下列结论中正确的是（）（1）3-=m 是直线01)1(:1=+++y m mx l 和直线022:2=++my x l 垂直的充分不必要条件（2）在线性回归方程中，相关系数r 越大，变量间的相关性越强（3）命题“xxx 32],0,(≤-∞∈∃”是真命题（4）若命题),0(:+∞∈∀x p ，x x ln 1>-，则]0,(:0-∞∈∃⌝x p ，00ln 1x x ≤- A.（1）（4） B.（1）（2） C. （2）（3） D .（1）（3）8.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有 2 个货物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以此类推，记第n 层货物的个数为na ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n n )2(的前2020项和为（） A.60692020 B.60694040 C.20232020 D.202340409.已知双曲线122=-y x 的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则||||PF PA +的最小值为（）A. 32B.3C. 2D.510.已知函数⎩⎨⎧≤->-=0,120,)(2x x a x x f x,若不等式01)(≥+x f 在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.),1[+∞-B.]1,(-∞C.]1,1[-D.)1,(-∞11.已知21F F 、分别是曲线:C )0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，点P 是曲线C 上的点，且ο6021=∠PF F ，若坐标原点O 到线段1PF 的距离等于b43，则该椭圆的离心率为（）A. 613B.22C.713D.4712已知偶函数)(x f 满足)3()3(x f x f -=+，且当]3,0[∈x 时，12)(2++-=x x x f ，若关于x 的方程03)()(2=--x tf x f 在]150,150[-上有300个解，则实数t 的取值范围是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-21,2B.⎪⎭⎫⎝⎛-21,21C.()+∞-,2 D.⎪⎭⎫⎝⎛∞-21,二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

东北三省四市2020届高三第二次模拟考试文科数学试题(含答案)

2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）本试卷共4页。

考试结束后。

将答题卡交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的娃名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出。

确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}42≤∈=x Z x A ，{}24<<-=x x B ．则A∩B=A ．{}22<≤-=x xB B ．{}24≤<-=x x B C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}1,0,1,2--2．已知复数z 满足i z i -=+1)1(2，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足a =（2，1）．b =（1，y ）．且a ⊥b ．则|a +2b | = A ．5 B ．25 C ．5 D ．44．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计．如右图．甲乙两人的平均得分分别是乙甲、x x ．则下列说法正确的是A ．乙甲x x >，乙比甲稳定．应选乙参加校篮球队B ．乙甲x x >．甲比乙稳定，应选甲参加校篮球队C ．乙甲x x <．甲比乙稳定，应选甲参加校篮球队D ．乙甲x x <．乙比甲稳定，应选乙参加校篮球队5．等比数列{}n a 中．5a 与7a 是函数34)(2+-=x x x f 的两个零点．则93a a ⋅等于A ．3-B ．4-C ．3D ．46．大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”．某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生．现知道:（1）教语文的没有分配到一中，（2）教语文的不是小孟，（3）教英语的没有分配到三中，（4）小刘分配到一中．（5）小盂没有分配到二中，据此判断．数学学科支教的是谁?分到哪所学校？A ．小刘三中B ．小李一中C ．小盂三中D ．小刘二中 7．设b a ,是两条直线βα，是两个平面．则b a ⊥的一个充分条件是A ．α⊥a ，β∥b ，βα⊥； C ．α⊥a ，β⊥b ，βα∥B ．α⊂a ，β⊥b ，βα∥ D ．α⊂a ，β∥b ，βα⊥8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数．在（0．+∞）上是增函数．且0)4(=-f ．则使得0)(>x xf 成立的x 的取值范围是A ．（4-，4）B ．（4-，0）Y （0，4）C ．（0，4）Y （4，∞+）D ．（∞-，4-）Y （4，∞+） 9．已知直线2-=y 与函数)3sin(2)(πω-=x x f ，（其中w>0）的相邻两交点间的距离为π．则函数)(x f 的单调递增区间为 A ．Z k k k ∈+-],65,6[ππππ B ．Z k k k ∈+-],65,12[ππππ C ．Z k k k ∈+-],611,65[ππππ D ．Z k k k ∈+-],1211,65[ππππ 10．若函数⎩⎨⎧≤-->=0,20,log )(2x a x x x f x有且只有一个零点．则a 的取值范围是A ．（∞-，1-）Y （0，∞+）B ．（∞-，1-）Y [0，∞+）C ．[1-，0）D ． [0，∞+）11．已知与椭圆121822=+y x 焦点相同的双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，．离心率为34=e ．若双曲线的左支上有一点M 到右焦点2F 的距离为12．N 为2MF 的中点，O 为坐标原点．则|NO|等于A ．4B ． 3C ．2D ．32 12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是21②当23-=a 时，直线a ax y 2+=与白色部分有公共点； ③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x ，y ）．则x+y 的最大值为2； ④设点P （b ,2-），点Q 在此太极图上，使得∠OPQ=45°．b 的范围是[-2．2]．其中所有正确结论的序号是A ．①①B ．①③C ．②④D ．①②第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题考生根据要求作答。

2020年高三数学文科模拟试卷1【含答案】

2020年高三数学文科模拟试卷1数学试卷（文科）一、选择题1.已知全集Z U =，{}3,2,1,0=A ，{}x x x B 3|2==，则()=B C A U I （）A.{}3,1 B.{}2,1 C.{}3,0 D.{}3 2.已知复数iia -+22是纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 等于（） A.-4B.4C.1D.-13.在区间[]7,6-内任取一实数m ，则()m mx x x f ++-=2的图象与x 轴有公共点的概率为（） A.132 B.134 C.137 D.139 4.双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（）A.02=±y xB.02=±y xC.03=±y x03=±y x5.将函数()()06sin 2>⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx x f 的图象向右平移ωπ6个单位长度，得到函数()x g y =的图象。

若()x g y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上为增函数，则ω的最大值为（） A.3B.2C.23D.512 6.《算法统宗》是我国古代数学明珠，由明代数学家程大位所著。

该著作中的“李白沽酒”问题的思路可以用如图所示的程序框图表示。

执行该程序块框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 值为（） A.821 B.1645 C.3293 D.641897.已知{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足5221==b b ，，且()11++=-n n n n a b b a ，则数列{}n b 的前n 项和为（） A.13+n B.13-n C.232n n + D.232nn -8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A.π220+B.()π1224-+C.()π2224-+D.()π1220-+9.已知奇函数()x f 的定义域为R ，且对任意R x ∈都有()()x f x f =-2，若当[]1,0∈x 时，()()1log 2+=x x f ，则()=+21f （）A.21-B.21 C.1- D.110.已知三棱锥ABC P -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为2的正三角形，PC PB PA ,,两两垂直，则球O 的体积为（）A.23πB.π3C.π3D.π3411.某传媒大学的甲乙丙丁四位学生分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且选修课程互不相同。

辽宁省大连市2020届高三第二次模拟考试数学文科试题(含解析)

2020年辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学（文科）本试卷满分150分，共6页，答卷时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题~第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<，则A B =U （） A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,42.已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2i =a b +（） A. 3+4iB. 5+4iC. 34i -D. 54i -3.双曲线2214x y -=的渐近线方程是（）A. 12y x =±B. 2y x =±C. 14y x =±D. 4y x =±4.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，3i e 表示的复数在复平面中位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.设函数21log (2),1(),1xx x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则(2)(ln 6)f f -+=（） A .3B. 6C. 9D. 126.已知各项均为正数的数列{}n a 为等比数列，1516a a ⋅=，3412a a +=，则7a =（） A 16B. 32C. 64D. 2567.已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()cos x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+8.已知关于某设各的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下的统计资料， x 23456y2.23.8 5.5 6.5 7.0由上表可得线性回归方程$0.08y bx=+$，若规定当维修费用y ＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（） A. 7B. 8C. 9D. 109.已知点P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为1-，则点P 坐标为（） A. ()1,2B. ()1,2-C. (2,22D. (2,22-10.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④11.已知三棱锥P ABC -，面PAB ⊥面ABC ，4PA PB ==，43AB =90ACB ∠=o ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积（）A. 20πB. 32πC. 64πD. 80π12.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若对,243x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，不等式()12f x >恒成立，则ϕ的取值范围是（）A. ,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.设向量()2,4a =r与向量(),6b x =r 共线，则实数x 等于__________．14.抽取样本容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组 [)10,20[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70频数234542则样本数据落在区间[)10,30的频率为______.15.数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++-=，则{}n a 的前8项和为______.16.已知函数()ln2exf x x =-，则()(2)f x f x +-值为______；若19110k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为______. 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b cabc C --+=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1a =，3b =，求ABC V 的面积.18.如图，已知平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，PA AB ⊥，//CD AB ，且24PA CD AB ===.将此平面四边形ABCP 沿CD 折起，且平面PDC ⊥平面DCB ，连接PA 、PB 、BD .（Ⅰ）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求点D 与平面PBC 的距离.19.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)[)[)90,100,100,110,,140,150L 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[)120130,内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[)120130,内的概率． 20.已知函数()()ln 11f x x x a x a =--++. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若1x >，不等式()1f x >恒成立，求整数a最大值.21.已知离心率为22e =的椭圆Q ：()222210x y a b a b +=>>的上下顶点分别为()0,1A ，()0,1B -，直线l ：()0x ty m m =+≠与椭圆Q 相交于C ，D 两点，与y 相交于点M .（Ⅰ）求椭圆Q 的标准方程；（Ⅱ）设直线AC ，BD 相交于点N ，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的值.请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.以平面直角坐标系xoy的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. （Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求曲线C 上的动点到直线l 距离的最大值. 23.已知函数()2f x x a x b =-++，,a b ∈R . （Ⅰ）若1a =，12b =-，求()2f x ≤的解集；（Ⅱ）若0ab >，且()f x 的最小值为2，求21a b+的最小值.2020年辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学（文科）本试卷满分150分，共6页，答卷时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题~第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<，则A B =U （） A. ()1,3 B. ()1,4 C. ()2,3 D. ()2,4【答案】B 【解析】【分析】求出集合A ，利用并集的定义可求得集合A B U .【详解】{}()24301,3A x x x =-+<=Q ，{}24B x x =<<，因此，()1,4A B ⋃=.故选：B.【点睛】本题考查并集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2.已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2i =a b +（）A. 3+4iB. 5+4iC. 34i -D. 54i -【答案】A 【解析】【分析】由a ﹣i 与2+bi 互为共轭复数，可求出a ，b 的值，代入（a +bi ）2进一步化简求值，则答案可求．【详解】∵a ﹣i 与2+bi 互为共轭复数， ∴a=2，b=1．则（a +bi ）2=（2+i ）2=3+4i ．故选A ．【点睛】利用复数相等求参数：,(,,,R)a bi c di a c b d a b c d +=+⇔==∈．3.双曲线2214x y -=的渐近线方程是（）A. 12y x =±B. 2y x =±C. 14y x =±D. 4y x =±【答案】A 【解析】分析：直接利用双曲线的渐近线方程公式求解.详解：由题得双曲线的a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为1.2b y x x a =±=±故答案为A 点睛：(1)本题主要考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为ay x b=±. 4.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，3i e 表示的复数在复平面中位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用欧拉公式cos sin ix e x i x =+，化简3i e 的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．【详解】因为欧拉公式cos sin (ixe x i x i =+为虚数单位），所以3cos3sin3i e i =+，因为3(2π∈，)π，cos30<，sin30>，所以3i e 表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查欧拉公式的应用，三角函数的符号的判断，考查是基本知识，属于基础题． 5.设函数21log (2),1(),1xx x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则(2)(ln 6)f f -+=（） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，结合指数幂与对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，函数21log (2),1(),1xx x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则ln 62(2)(ln 6)1log [2(2)]1269f f e -+=+--+=++=.故选：C.【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，以及指数式与对数式的运算的综合应用，着重考查运算与求解能力.6.已知各项均为正数的数列{}n a 为等比数列，1516a a ⋅=，3412a a +=，则7a =（） A. 16 B. 32C. 64D. 256【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的性质可得34a =，结合3412a a +=，可得48a =，公比2q =，从而可得结果.【详解】由1516a a ⋅=，得2316a =，又各项均为正数，所以34a =，由3412a a +=，得48a =，所以公比43824a q a ===，所以734734264a a q -=⋅=⨯=，故选：C【点睛】本题考查了等比数列的性质、通项公式，属于基础题.7.已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()cos x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】【分析】根据0x =时的函数值，即可选择判断.【详解】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e -=+20sin =>，故排除A ；当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ；当0x =时，()cos x x y e e -=-010cos ==>，故排除C ；当0x =时，()cos x x y e e -=+20cos =<，满足题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题.8.已知关于某设各的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下的统计资料， x23456由上表可得线性回归方程$0.08y bx=+$，若规定当维修费用y ＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】试题分析：由已知表格得：1(23456)45x =++++=，1(2.2 3.8 5.5 6.57.0)55y =++++=，由于线性回归直线恒过样本中心点(),x y ，所以有：540.08b =+，解得： 1.23b =，所以线性回归方程 1.2308ˆ.0yx =+，由12y >得：1.230.0812x +>解得：9.69x >，由于*x N ∈，所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9. 故选C.考点：线性回归．9.已知点P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为1-，则点P 坐标为（） A. ()1,2 B. ()1,2-C. (2,D. (2,-【答案】A 【解析】【分析】设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，求得直线AB 的斜率为1241AB k y y ==-+，可得124y y +=-，再由直线PA 和PB 的斜率互为相反数可求得0y 的值，进而可求得0x 的值，由此可求得点P 的坐标.【详解】设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的斜率为12221212414AB y y k y y y y -===--+，可得124y y +=-，同理可得直线PA 的斜率为014PA k y y =+，直线PB 的斜率为024PB k y y =+，PAPB k k =-Q ，所以，()()01020y y y y +++=，则12022y y y +=-=，2014y x ∴==，因此，点P 的坐标为()1,2. 故选：A.【点睛】本题考查利用抛物线中直线的斜率关系求点的坐标，考查点差法的应用，属于中等题.10.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C 【解析】【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.11.已知三棱锥P ABC -，面PAB ⊥面ABC ，4PA PB ==，43AB =90ACB ∠=o ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积（）A. 20πB. 32πC. 64πD. 80π【答案】C 【解析】【分析】作出图形，取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，推导出PD ⊥平面ABC ，可知球心O 在直线PD 上，然后在Rt OAD V 中由勾股定理可求得外接球的半径R ，则外接球的表面积可求. 【详解】如下图所示，取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，4PA PB ==Q ，D 为AB 的中点，PD AB ∴⊥，Q 平面PAB ⊥平面ABC ，交线为AB ，PD ⊂平面ABC ，PD ∴⊥平面ABC ，90ACB ∠=o Q ,D ∴为Rt ABC V 外接圆圆心，则球心O 在直线PD 上，设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则2OD R =-，43AB =Q ，则23AD =222PD PA AD =-=，在Rt OAD V 中，由勾股定理得222OA OD AD =+，即()22212R R =-+，解得4R =，因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2464R ππ=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解答的关键在于找出球心的位置，并通过列等式计算球的半径，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若对,243x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，不等式()12f x >恒成立，则ϕ的取值范围是（）A. ,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用已知条件求出函数()y f x =的最小正周期，可求得2ω=，由,243x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得22123x ππϕϕϕ+<+<+，再由22ππϕ-<<求出12πϕ+和23πϕ+的取值范围，由题意可得出关于实数ϕ的不等式组，进而可求得实数ϕ的取值范围.【详解】由于函数()y f x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，则函数()y f x =的最小正周期为T π=，22Tπω∴==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，当,243x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，22123x ππϕϕϕ+<+<+，22ππϕ-<<Q ，57121212πππϕ∴-<+<，27636πππϕ<+<，由于不等式()12f x >对,243x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，所以1262536ππϕππϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得126ππϕ≤≤. 因此，ϕ的取值范围是,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【点睛】本题考查利用三角不等式恒成立求参数，同时也考查了利用正弦型函数的周期求参数，解答的关键在于求得12πϕ+和23πϕ+的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.设向量()2,4a =r与向量(),6b x =r 共线，则实数x 等于__________．【答案】3 【解析】【分析】利用向量共线的坐标公式,列式求解.【详解】因为向量()2,4a =r与向量(),6b x =r 共线,所以26403x x ⨯-=⇒=, 故答案为:3.【点睛】本题考查向量共线的坐标公式,属于基础题. 14.抽取样本容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[)10,30的频率为______. 【答案】0.25 【解析】【分析】由表求出落在区间的频数，即可求出频率.【详解】解：由题意知，落在[)10,30的频数为235+=，所以频率为50.2520=. 故答案为:0.25.【点睛】本题考查了频率的计算.15.数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++-=，则{}n a 的前8项和为______.【答案】20 【解析】【分析】利用递推数列分别列出1,2,,8n =L 的等式，利用等式的加减即可求得前8项的和. 【详解】Q 数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++-=，211a a ∴-=，322a a +=，433a a -=，544a a +=，655a a -=，766a a +=，877a a -=，可得131a a +=，245a a +=，571a a +=，6813a a +=，∴1234567820a a a a a a a a +++++++=.故答案为：20【点睛】本题考查数列的递推公式、数列求和，属于基础题.16.已知函数()ln2exf x x =-，则()(2)f x f x +-值为______；若19110k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为______. 【答案】 (1). 2 (2). 19 【解析】【分析】利用对数的运算性质求和即可；由()(2)2f x f x +-=对19110k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑两两组合求和即可得解. 【详解】()()()222()(2)lnln ln ln 22222e x e x ex ex f x f x e x x xx ⎡⎤--+-=+=⋅==⎢⎥----⎣⎦； ()191119218911110101010101010k k f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑L 29ln 19e =⨯+=.故答案为：2；19【点睛】本题考查对数的运算性质、函数值求和，属于基础题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1a =，b =ABC V 的面积.【答案】（Ⅰ）3B π=（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）由条件结合余弦定理可得(2)cos cos a c B b C -=，然后可得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，然后得出1cos 2B =即可；（Ⅱ）利用正弦定理求出角A ，然后可得出角C ，然后利用in 12s S ab C =算出即可. 【详解】（Ⅰ）由余弦定理得：2222cos a b c ac B -+=，又因为()222(2)2cos a c a b cabc C --+=，所以(2)cos cos a c B b C -=，所以(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin()sin A B B C A =+=，因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为()0,B π∈，所以3B π=.（Ⅱ）由正弦定理得：sin sin a b A B=，所以sin 1sin 2a B Ab ==，因为a b <，所以6A π=，所以2C π=所以113sin 13sin 9022S ab C ==⨯⨯︒=.【点睛】本题主要考查的是利用正余弦定理解三角形，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 18.如图，已知平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，PA AB ⊥，//CD AB ，且24PA CD AB ===.将此平面四边形ABCP 沿CD 折起，且平面PDC ⊥平面DCB ，连接PA 、PB 、BD .（Ⅰ）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求点D 与平面PBC 的距离. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）26【解析】【分析】(1)利用已知条件，证明PD ⊥平面ABCD ，然后得出PD BC ⊥，连接BD ，过B 作BE CD ⊥，易证出BD BC ⊥，进而可以证明平面PBD ⊥平面PBC(2)利用等积法求解即可.【详解】解：（Ⅰ）如图，因为PD DC ⊥，AD DC ⊥，直二面角P DC B --的平面角为90PDA ∠=︒，则PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥. 又在平面四边形ABCD 中，连接BD ，则222BD AB AD =+=过B 作BE CD ⊥，由题意得，E 为CD 中点，D 为PA 中点，所以，2PD AD ==，2CE DE ==，又DE AB =，所以，2BE AD ==，2222BC CE BE =+=，所以，222BC BD DC +=，由以上数据易得BD BC ⊥，而PD BD D ⋂=，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，故BC ⊥平面PBD ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBD ⊥平面PBC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD AB ⊥，2AD AB ==，∴22BD =PD BD ⊥，所以23PB =，BD BC ⊥，22BC =112222232P BDC V -=⨯⨯，11232232D BPC V h -=⨯⨯，因为P BDC D BPC V V --=，所以26h =，即点D 与平面PBC 的距离为263. 【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直，以及等积法的运用，属于中档题.19.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)[)[)90,100,100,110,,140,150L 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[)120130,内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[)120130,内的概率．【答案】(1) 0.3，直方图见解析；(2)121；(3) . 【解析】【分析】（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[)120130,内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；（3）先计算[110120，）、[120130，）分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120130，）为事件A ，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件A 包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可.【详解】(1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，0.3==0.0310频率组距，补全后的直方图如下：(2)平均分为：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15＝9人，[120,130)分数段的人数为：60×0.3＝18人． ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ；在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a ，b ，c ，d ；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ，则基本事件有：(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )，(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )共15种．事件A 包含的基本事件有：(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )共9种，∴()93155P A ==. 20.已知函数()()ln 11f x x x a x a =--++. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若1x >，不等式()1f x >恒成立，求整数a 的最大值. 【答案】（Ⅰ）单调递减区间为()20,a e -，单调递增区间为()2,a e-+∞；（Ⅱ）3.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数()y f x =的定义域和导数，分析导数的符号变化，由此可求得函数()y f x =的单调递增区间和单调递减区间；（Ⅱ）当1x >时，由()1f x >可得出ln 1x x x a x +<-，设()ln 1x x xh x x +=-，利用导数求出函数()y h x =在区间()1,+∞上的最小值，由此可求得整数a 的最大值.【详解】（Ⅰ）因为函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()ln 2f x x a '=+-，令()0f x '<，解得20a x e -<<；令()0f x '>，解得2a x e ->. 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()20,a e-，单调递增区间为()2,a e-+∞；（Ⅱ）当1x >时，由()1f x >可得()ln 10x x x a x +-->，即ln 1x x xa x +<-，设()ln 1x x x h x x +=-，()()2ln 21x x h x x --'=-.设()ln 2g x x x =--，当1x >时，()1110x g x x x-'=-=>，则函数()y g x =在()1,+∞单调递增. 又()31ln30g =-<，()42ln 40g =->，则函数()y g x =在()3,4存在唯一零点0x 满足()000ln 20g x x x =--=，则当()01,x x ∈时，()0g x <，即()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，即()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增，所以，()()()000min 01ln 1x x h x h x x +==-. 又因为00ln 20x x --=，则()()0000011x x h x x x -==-，因为()03,4x ∈，则()0(3,4)a h x <∈，则整数a 的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.21.已知离心率为2e =的椭圆Q ：()222210x y a b a b +=>>的上下顶点分别为()0,1A ，()0,1B -，直线l ：()0x ty m m =+≠与椭圆Q 相交于C ，D 两点，与y 相交于点M .（Ⅰ）求椭圆Q 的标准方程；（Ⅱ）设直线AC ，BD 相交于点N ，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的值. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=（Ⅱ）1 【解析】【分析】(Ⅰ)由离心率2c a =，1b =，222a b c =+，从而可求出,a c ，进而可求出椭圆方程. (Ⅱ) 设()11,C x y ，()22,D x y ，联立直线和椭圆方程可求出12222tm y y t -+=+，212222m y y t -=+.写出直线AC ：1111y y x x --=，直线BD ：2211y y x x ++=，联立两方程，求出N t y m =-，由M m y t =-，即可求出OM ON ⋅u u u u r u u u r 的值.【详解】解：(Ⅰ)由题意可得：c a =，1b =，222a b c =+，联立解得a =1b c ==. 所以椭圆C 的方程为：2212x y +=. (Ⅱ)设()11,C x y ，()22,D x y ，联立方程组2212x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222220t y tmy m +++-=，则12222tm y y t -+=+，212222m y y t -=+； ()()()222222442242240t m t m m t ∆=-+-=--->，设(),N N N x y ，()0,M M y ，直线AC ：1111y y x x --=①，直线BD ：2211y y x x ++=②； ①÷②得12121111N N y y x y x y --=⋅++，因为BD AD k k ⋅=22222222222211112002x y y y x x x x --+-⋅===---，所以2222121x y y x -=-+.所以()()121212*********N N y y y y x t m y x y x x t m----+=⋅=-=++-，所以N t y m =-，又因为M m y t =-，1M N m t OM ON y y t m ⎛⎫⎛⎫⋅==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解，考查了直线和椭圆的位置关系，考查了直线的点斜式方程.本题的难点在于计算量比较大.请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求曲线C 上的动点到直线l 距离的最大值.【答案】（Ⅰ）60x y +-=，22143x y +=；（Ⅱ）2.（Ⅰ）化简直线l的极坐标方程为sin cos 22ρθρθ+=，代入互化公式，即可求得直线l 的直角坐标方程，由曲线C 的参数方程，消去参数，即可求得得曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设点M的坐标为()2cos θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（Ⅰ）由直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 22ρθρθ+=，将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入上式，可得直线l 的直角坐标方程为60x y +-=，由曲线C的参数方程2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），可得cos 2sin x θθ⎧=⎪⎪⎨=（θ为参数），平方相加，可得曲线C 的普通方程为22143x y +=. （Ⅱ）设点M 的坐标为()2cos θθ，则点M 到直线l ：60x y +-=的距离为d ==tan ϕ=. 当()sin 1θϕ+=-时，d 取最大值，且d . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力.23.已知函数()2f x x a x b =-++，,a b ∈R .（Ⅰ）若1a =，12b =-，求()2f x ≤的解集；（Ⅱ）若0ab >，且()f x 的最小值为2，求21a b +的最小值. 【答案】（Ⅰ）[]0,2（Ⅱ）4（1）由不等式可得111x -≤-≤，由此可求出x 的范围；（2）利用绝对值三角不等式，求出()f x 的最小值为2a b +，进而得到22a b +=，根据0ab >，并借助基本不等式，即可得解.【详解】（Ⅰ）由题意()1121f x x x x =-+-=-，()2f x ≤，即212x -≤，即111x -≤-≤，解得02x ≤≤，所以()2f x ≤解集为[]0,2.（Ⅱ）因为()()()222f x x a x b x a x b a b =-++≥--+=+，当且仅当()()20x a x b -+≤时，取到最小值2a b +，即22a b +=，因为0ab >，故22a b +=，2121a b a b+=+，所以()211211212222a b a b a b a b ⎛⎫+=⨯⨯+=++ ⎪⎝⎭141444222b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当4b a a b =，且22a b +=，即1a =，12b =或1a =-，12b =-时，等号成立. 所以21a b+的最小值为4. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式及基本不等式的应用，考查转化与化归的思想，合理运用绝对值三角不等式是本题的解题关键，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件，注意创造“定”这个条件时，经常要对所给式子进行拆分、配凑等处理，使之可用基本不等式来解决；当已知条件中含有1时，要注意1的代换.另外，解题中要时刻注意等号能否取到.。

2020年陕西高三二模文科数学试卷-学生用卷

2020年陕西高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西高三二模文科第1题5分⩽−1}，则A∩B=（）．已知集合A={−3,−2,−1,0,1,2,3}，B={x∈Z|1x−2A. {1}B. {−1,1}C. {1,2}D. {−3,−2,−1,0,1}2、【来源】 2020年陕西高三二模文科第2题5分+1（其中i为虚数单位），则z=（）．已知复数z=1+2i2−i+iA. 95B. 1−iC. 1+iD. −i3、【来源】 2020年陕西高三二模文科第3题5分近几年，在国家大力支持和引导下，中国遥感卫星在社会生产和生活各领域的应用范围不断扩大，中国人民用遥感卫星系统研制工作取得了显著成绩，逐步形成了气象．海洋、陆地资源和科学试验等遥感卫星系统．如图是2007−2018年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模（万亿）及增速（%）的统计图，则下列结论中错误的是（）．A. 2017年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模达到2550亿元，较2016年增长20.40%B. 若2019年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模保持2018年的增速，总体产值规模将达3672亿元C. 2007−2018年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模逐年增加，但不与时间成正相关D. 2007−2018年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模的增速中有些与时间成负相关4、【来源】 2020年陕西高三二模文科第4题5分曲线f(x)=f′(1)e x−x2+2在点(0,f(0))处的切线的斜率等于（）．A. 2eB. 2e−1C. 2ee−1D. 4−2ee−15、【来源】 2020年陕西高三二模文科第5题5分“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“−”和“−−”，其中“−”在二进制中记作“1”，“−−”在二进制中记作“0”．例如二进制数1011(2)化为十进制的计算如下：1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20=11(10)，若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（）．A. 0B. 12C. 13D. 146、【来源】 2020年陕西高三二模文科第6题5分设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则命题p ：m ⊥n 的一个充分条件是（）． A. q ：α//β，m ⊂α，n ⊥β B. q ：α//β，m ⊥α，n ⊥β C. q ：α⊥β，m ⊥α，n//β D. q ：α⊥β，m ⊂α，n//β7、【来源】 2020年陕西高三二模文科第7题5分若sin⁡(α+π5)=−13，α∈(0,π)，则cos⁡(π20−α)=（）．A. 4−√26 B. −4+√26 C. −4−√26 D.4−√26或−4−√268、【来源】 2020年陕西高三二模文科第8题5分设函数f (x )=Asin⁡(ωx −π3)(A >0,ω>0)，对∀θ∈R ，|f (x −θ)|的最大值为2．将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )，函数g (x )的图象的一条对称轴是x =π6，则ω的最小值为（）． A. 16B. 23C. 53D. 569、【来源】 2020年陕西高三二模文科第9题5分2020~2021学年四川成都双流区成都市中和中学高一上学期段考第11题5分已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对∀x 1，x 2∈(0,+∞)（x 1≠x 2）都有[x 22f (x 1)−x 12f (x 2)](x 1−x 2)<0．记a =f (1)，b =f (2)4，c =f (−3)9，则（）．A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<b<a10、【来源】 2020年陕西高三二模文科第10题5分已知双曲线E:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线E的右支上，若∠F1MF2∈[π4,π3]，则MF1→⋅MF2→的取值范围是（）．A. [√2b2,2b2]B. [2b2,2(√2+1)b2]C. [(√2−1)b2,b2]D. [b2,(√2+1)b2]11、【来源】 2020年陕西高三二模文科第11题5分定义：N{f(x)⊗g(x)}表示f(x)<g(x)的解集中整数解的个数．若f(x)=|log2x|，g(x)=a(x−1)2+2，N{f(x)⊗g(x)}=1，则实数a的取值范围是（）．A. (−3,−1]B. (−∞,−1]C. (−∞,−2]D. [−1,0)12、【来源】 2020年陕西高三二模文科第12题5分已知抛物线Γ:y2=2px（p>0），从点M(4,a)（a>0）发出，平行于x轴的光线与Γ交于点A，经Γ反射后过Γ的焦点N，交抛物线于点B，若反射光线的倾斜角为2π3，|AN|=2，则△ABM的重心坐标为（）．A. (2,−√3)B. (32,0)C. (3,−√33)D. (2,−√33)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西高三二模文科第13题5分已知实数x，y满足约束条年{x−y−2⩽02x+y−1⩾0x−3y+6⩾0，则z=y−3x的最小值是．14、【来源】 2020年陕西高三二模文科第14题5分已知a→=(4,−3)，b→=(2,t−2)，若a→⋅(a→−b→)=2，则|b→|=．15、【来源】 2020年陕西高三二模文科第15题5分在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且a=√3，√3sin⁡C=(sin⁡B+√3cos⁡B)=sin⁡A，BC边上的高为ℎ，则ℎ的最大值为．16、【来源】 2020年陕西高三二模文科第16题5分如图所示的平面多边形中，四边形ABCD是边长为√2的正方形，外侧的4个三角形均为正三角形，若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点S1，S2，S3，S4，重合记为点S，得到四棱锥S−ABCD，则此四棱锥的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年陕西高三二模文科第17题12分已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=S n−1+1(n⩾2)，a1=3．(1) 判断数列{a n}是否是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式．(2) 设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18、【来源】 2020年陕西高三二模文科第18题12分为增强学生法治观念，营造”学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了”宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛．现从全校学生中随机抽取50人，统计他们的竞赛成绩，并得到如表所示的频数分布表．(1) 求频数分布表中的m的值，并估计这50名学生竞赛成绩的中位数(精确到0.1)．(2) 将成绩在[70,100]内定义为“合格”，成绩在[0,70)内定义为“不合格”，请将列联表补充完整．试问：是否有95%的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关？说明你的理由．(3) 在（2）的前提下，在该50人中，按“合格与否”进行分层抽样，随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率．附，K2=n(ad−bc)2，n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19、【来源】 2020年陕西高三二模文科第19题12分如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是等边三角形，点O是AD上的一点，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AB=1，CD=2，BC=3．(1) 若点O是AD的中点，求证：平面POB⊥平面POC．(2) 若V P−OCDV P−OAB=2，求V B−POC．20、【来源】 2020年陕西高三二模文科第20题12分已知函数f(x)=e x−ln xa −m22．(1) 若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．(2) 当a=1时，求证：对任意m∈[−2,2]，函数f(x)的图象均在x轴上方．21、【来源】 2020年陕西高三二模文科第21题12分已知点O为坐标原点，椭圆Γ:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√2,√22)，其上顶点为B，右顶点和右焦点分别为A，F，且∠AFB=5π6．(1) 求椭圆Γ的标准方程．(2) 直线l交椭圆Γ于P，Q两点(异于点B)，k BP+k BQ=−1，试判定直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年陕西高三二模文科第22题10分2020年陕西高三二模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=82+ty=4t2+t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin⁡θ．(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．(2) 若射线θ=π4(ρ>0)与直线l和曲线C分别交于A，B两点，求|AB|的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年陕西高三二模文科第23题10分2020年陕西高三二模理科第23题10分设函数f(x)=|x−1|+|x−t|(t>0)的最小值为1．(1) 求t的值．(2) 若a3+b3=t(a,b∈R∗)，求证：a+b⩽2．1 、【答案】 A;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 C;9 、【答案】 D;10 、【答案】 B;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】−14;14 、【答案】√29;15 、【答案】32; 16 、【答案】4π;17 、【答案】 (1) 不是，a n={3,n=12n,n⩾2．;(2) T n=log2+(n−1)(2+n)2．;18 、【答案】 (1) m=3，73.3．;(2) 有95%的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关，证明见解析．;(3) 0.3．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √3．;20 、【答案】 (1) (0,12e2]．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x24+y2=1．;(2) 过定点，(2,−1)．;22 、【答案】 (1) 直线l的普通方程为x+y−4=0(x≠0)，曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2y=0．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) t=2．;(2) 证明见解析．;。

2020年高考新课标(全国卷2)数学(文科)模拟试题(一)

2020年高考新课标（全国卷2）数学（文科）模拟试题（一）考试时间：120分钟满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=012x x x A ，{}22≤≤-=y y B ，则A B =IA ．[][]2,11,2--UB ．∅C ．{}1,1-D ．{}1 2、欧拉公式e i θ＝cos θ+i sin θ把自然对数的底数e ，虚数单位 i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足（e i π+i ）•z ＝i ，则|z |＝（） A ．1B 2C 3D 2 3、某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（） A ．110B ．16C ．15D ．564、明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为 A ．53 B ．54 C ．158 D ．2635、若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中一定成立的是A .sin 2sin 2αβ> B.sin 2sin 2αβ< C.cos 2cos 2αβ> D. cos 2cos 2αβ< 6、若变量x ，y 满足约束条件3,30,10.x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则y 的取值范围是A.RB.[]0,4C.[)2,+∞D.(],2-∞ 7、设函数)232sin()322cos()(ππ---=x x x f ，将函数)(x f 的图像向左平移ϕ (ϕ>0)个单位长度，得到函数)(x g 的图像，若)(x g 为偶函数，则ϕ的最小值是 A.6π B. 3π C. 32π D.65π8、若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >> 9、在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB 3，sin C 6BC BD ＝（）A 2B 3C ．3D ．210、P 是双曲线22134x y -=的右支上一点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为（） A 3B ．2C 7D ．311、已知函数2||()22019x f x x =+-，则使得(2)(2)f x f x >+成立的x 的取值范围为A ．2(,)(2,)3-∞-+∞UB ．2(,2) 3- C ．(,2)-∞ D ．(2,)+∞ 12、已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南长沙市2020届高三年级第二次模拟考试数学(文科)试卷(解析版)

2020年湖南长沙市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．32．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a=213，b=log213，c=log1312，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√35．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1+3a5＝12，则S7＝（）A．18 B．21 C．24 D．276．已知向量a→=（5，5），a→+2b→=（﹣3，11），则向量a→在向量b→方向上的投影为（）A．1 B．√22C．−√22D．﹣17．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（）A．−π3B．π3C．−5π6D．5π68．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn=22n+1(n= 0，1，2，⋯)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641*6700417，不是质数．现设a n＝log4（F n﹣1）（n＝1，2，…），S n表示数列{a n}的前n项和．若32S n＝63a n，则n＝（）A．5 B．6 C．7 D．89．已知双曲线C：x 2a −y24a=1(a＞0)的右焦点为F，点N在C的渐近线上（异于原点），若M点满足OF→=FM→，且ON→⋅MN→=0，则|MN|＝（）A．2a B．√5a C．4a D．2√5a 10．已知曲线y＝ae x﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x轴相切，若tanθ＝2，则a＝（）A．12B．1 C．32D．211．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，过AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（）①l∥AC；②BM⊥AC；③l和AD1所成的角为60°；④线段BM长度的最小值为√6．A．1 B．2 C．3 D．412．已知f(x)={2|x+2|−2，−4≤x≤−1，log2(x+1)，−1＜x≤4，若函数g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点，则实数m的取值范围是（）A ．(0，32)B ．(0，32]C ．（0，2）D ．（0，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足{0≤x −y ≤1，0≤x +y ≤1，则z ＝2x +y 的最大值为．14．已知α是锐角，且sin （α−π6）=13．则sin （α+π3）＝．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB ＝2．AD =√3，PA ⊥平面ABCD ，若直线PD 与平面ABCD 所成的角为60°，则PA ＝，该“阳马”外接球体积为．16．已知直线x ﹣my ﹣2＝0与抛物线C ：y 2=12x 交于A ，B 两点．P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的平行线交C 于点Q ，若以AB 为直径的圆经过Q ，则m ＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45．（1）（i ）求直方图中的a ，b 值；（ii ）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求cosCb的取值范围．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝2AC＝4，AB＝3，∠CAB＝90°．M是CC1的中点．（1）证明：平面A1B1M⊥平面ABM；（2）求四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积．20．已知长轴长为2√2的椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．21．已知函数f(x)=−3cosx−1ax2，f′(x)为f（x）的导函数．2（1）若f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若x∈[0，π2]，求证：当a≤3时．f(x)+1x3+3≥0．2（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应题号后面的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosα，（α为参数），以坐y=2sinα标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标(ρ＞0，−π2＜θ＜π2)；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x﹣1|﹣2|x+1|．（1）解不等式f（x）≤0；（2）记函数f（x）的最大值为m，且a+b+c＝m，求证：（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，A∩B＝{0，2），∴a＝2．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：由z（1﹣i）＝i，得z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+i2．∴复数z对应的点的坐标为（−12，12），在第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知a=213，b=log213，c=log1312，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 【分析】结合指数与对数函数的单调性分别确定a，b，c的范围，进而可比较大小．解：a=213＞1，b=log213＜0，c=log1312=log32∈（0，1），故b＜c＜a，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数单调性比较大小，属于基础试题．4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√3【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．解：设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：12×4×4×√32=34；解得S＝3√3：故选：C．【点评】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+3a 5＝12，则S 7＝（） A ．18B ．21C ．24D ．27【分析】由a 1+3a 5＝12，可得：4a 1+12d ＝12，化为a 1+3d ＝3＝a 4，利用性质可得：S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4．解：由a 1+3a 5＝12，可得：4a 1+12d ＝12，∴a 1+3d ＝3＝a 4， ∴S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4＝21．故选：B ．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式及其性质等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．已知向量a →=（5，5），a →+2b →=（﹣3，11），则向量a →在向量b →方向上的投影为（） A ．1B ．√22C ．−√22D ．﹣1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算，由a →和a →+2b →的坐标计算出向量b →，然后由平面向量数量积的定义可知，向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|，再结合数量积的坐标运算即可得解．解：∵a →=（5，5），a →+2b →=（﹣3，11），∴b →=(−4，3)，∴向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√(−4)2+32=−1，故选：D ．【点评】本题考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（）A．−π3B．π3C．−5π6D．5π6【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性即可求解．解：f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ＝sin（2x+φ），由题意可得，sin（φ−2π3）＝0，所以φ−2π3=kπ即φ=2π3+kπ，k∈Z，结合选项可知，当k＝﹣1时，φ=−13π．故选：A．【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简中的应用及正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．8．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn=22n+1(n= 0，1，2，⋯)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641*6700417，不是质数．现设a n＝log4（F n﹣1）（n＝1，2，…），S n表示数列{a n}的前n项和．若32S n＝63a n，则n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】利用数列的递推关系式，求出通项公式，然后通过等比数列求解数列的和，然后求解n即可．解：因为F n=22n+1(n=0，1，2，⋯)，所以a n＝log4（F n﹣1）=log4(22n+1−1)= log422n=2n﹣1，所以{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n=1(1−2n)1−2=2n﹣1．所以32（2n﹣1）＝63×2n﹣1，解得n＝6，故选：B．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，数列求和，考查计算能力．9．已知双曲线C：x 2a2−y24a2=1(a＞0)的右焦点为F，点N在C的渐近线上（异于原点），若M点满足OF→=FM→，且ON→⋅MN→=0，则|MN|＝（）A．2a B．√5a C．4a D．2√5a【分析】画出图形，利用F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，然后转化求解即可．解：双曲线C：x 2a2−y24a2=1(a＞0)的一条渐近线y＝2x的斜率为：2，且b＝2a，F（√5a，0）．由题意可得：F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，则|FH|=√5a1+4=2a，所以|MN|＝4a，故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，数形结合以及计算能力，是中档题．10．已知曲线y＝ae x﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x轴相切，若tanθ＝2，则a＝（）A．12B．1 C．32D．2【分析】由题意可知，未转动前曲线与直线y＝2x相切，由此设切点为（x0，y0），求切点处导数，并令其为2，求出x0，即可求出a的值．解：由已知得：曲线y＝ae x﹣1与直线y＝2x相切．设切点为（x0，y0），因为y′＝ae x﹣1，所以ae x0−1=2①，又切点满足：ae x0−1=2x0②，①②两式联立解得：x0＝1，a＝2．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和化简运算能力．属于中档题．11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，过AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（）①l∥AC；②BM⊥AC；③l和AD1所成的角为60°；④线段BM长度的最小值为√6．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，结合题意可得面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，可知①正确；只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，可知②错误；由题意，知∠A1C1B即为l和AD1所成角，由A1B＝BC1≠A1C1，得∠A1C1B≠60°，故③错误；当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，求得BM判断④错误．解：由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，即平面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，则l∥AC，故①正确；由M∈l，即M∈A1C1，只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，故②错误；由AD1∥BC1，可知∠A1C1B即为l和AD1所成角，∵A1B＝BC1≠A1C1，∴∠A1C1B≠60°，故③错误；由A1B＝BC1=√22+42=2√5，可知当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，且BM=√BB12+B1M2=√42+(√2)2=3√2，∴④错误．故只有①正确．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12．已知f(x)={2|x+2|−2，−4≤x≤−1，log2(x+1)，−1＜x≤4，若函数g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点，则实数m的取值范围是（）A．(0，32)B．(0，32]C．（0，2）D．（0，2]【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的函数的零点与方程的根的关系，结合二次方程的实根分布问题即可求解解：如图所示，作出f（x）的图象，令f（x）＝t显然t＝0不是方程t2﹣mt﹣1＝0的解，若t＝﹣1是方程t2﹣mt﹣1＝0的解，则m＝0，此时t＝±1，结合图象可知不满足题意，所以g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点等价于t2﹣mt﹣1＝0一个解在（﹣1，0），一个解在（0，2]，令h（t）＝t2﹣mt﹣1，则{h(−1)=m＞0h(0)=−1＜0h(2)=4−2m−1≥0，解可得，0＜m≤32．故选：B．【点评】本题主要考查了由函数的零点求解参数范围问题，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足{0≤x −y ≤1，0≤x +y ≤1，则z ＝2x +y 的最大值为 2 ．【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．解：作出约束条件的可行域，如图：直线z ＝2x +y 经过可行域的A 时，z 取得最大值，由{x +y =1x −y =1解得A （1，0），所以z 的最大值为：2×1+0＝2．故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域是解题的关键，考查计算能力．14．已知α是锐角，且sin （α−π6）=13．则sin （α+π3）＝ √23 ．【分析】由已知结合同角基本关系及诱导公式进行化简即可求解．解：因为α是锐角，且sin （α−π6）=13．所以−π6＜α−π6＜13π，cos （α−π6）=2√23，则sin （α+π3）＝sin[（α−π6）+12π]＝cos （α−π6）=2√23，故答案为：2√2．3【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB＝2．AD=√3，PA⊥平面ABCD，若直线PD与平面ABCD所成的角为60°，π．则PA＝ 3 ，该“阳马”外接球体积为323【分析】以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，由此能求出该“阳马”外接球体积．解：由题意得∠PDA＝60°，则PA=√3AD=3，以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，即2R=√22+(√3)2+32=4，即R＝2，∴该“阳马”外接球体积为V=4πR3=43π×8=32π3．3故答案为：3，32π．3【点评】本题考查线段长、“阳马”的外接球的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．已知直线x﹣my﹣2＝0与抛物线C：y2=12x交于A，B两点．P是线段AB的中点，过P作x轴的平行线交C于点Q，若以AB为直径的圆经过Q，则m＝±2 ．【分析】设AB的坐标，直线与抛物线的方程联立求出两根之和，进而求出AB的中点P 的坐标，由题意求出Q的坐标，进而求出弦长|AB|，|PQ|，再由题意可得m的值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由{x−my−2=0 y2=12x，整理可得2y2﹣my﹣2＝0，△＝m2+8＞0，y1+y2=m2，y1y2＝﹣1，所以AB的中点P（m 24+2，m4），则Q（m28，m4），即|PQ|=m28+2，又|AB|=√1+m2|y1﹣y2|=√1+m2√m24+4，所以√1+m2√m24+4=2（m28+2）即√1+m2=√m24+4，解得m＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查抛物线的性质及以线段为直径的圆的性质，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45．（1）（i）求直方图中的a，b值；（ii）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．【分析】（1）（i）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a，b．（ii）由频率分布直方图能求出评分的众数和评分的平均值，从而得到该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人中至少一人评分在[60，70）的概率．解：（1）（i）由已知得（0.005+a+0.03）×10＝0.45，解得a＝0.01，又（0.015+b）×10＝0.55，∴b＝0.04．（ii）由频率分布直方图得评分的众数为85，评分的平均值为55×0.05+65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.15＝80，∴该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，则从5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（b，c），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E），共10种，其中，评分在[90，100]内的可能结果为（a，b），（a，c），（b，c），共3种，∴这2人中至少一人评分在[60，70）的概率为P＝1−3=710．10【点评】本题考查频率、众数、平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求cosCb的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出A的值．（2）利用正弦定理的应用和锐角三角形的角的范围的应用求出结果．解：（1）由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．∴sinB⋅sinAcosA =(2sinC−sinB)⋅sinBcosB，由于sin B≠0，所以sin A cos B＝2sin C cos A﹣sin B cos A，则：sin（A+B）＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，由于sin C≠0，所以cos A=12，由于0＜A＜π，所以A=π3．（2）根据正弦定理asinA =b sinB，所以b＝2√3sinB．则：cosCb =cos(2π3−B)2√3sinB=−12cosB+√32sinB2√3sinB=4√3tanB+14．由于△ABC为锐角三角形，所以{0＜B＜π20＜C＜π2，即{0＜B＜π20＜2π3−B＜π2，所以π6＜B＜π2，所以tanB＞√33，即043tanB 14，所以0＜cosCb＜14，所以cosCb 的取值范围为（0，14）．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝2AC＝4，AB＝3，∠CAB＝90°．M是CC1的中点．（1）证明：平面A1B1M⊥平面ABM；（2）求四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积．【分析】（1）由已知求解三角形证明即A1M⊥AM，再证明AB⊥平面ACC1A1，得AB ⊥A1M，由直线与平面垂直的判定可得A1M⊥平面ABM，进一步得到平面A1B1M⊥平面ABM；（2）分别求出四棱锥M﹣ABB1A1的四个侧面三角形的面积，作和得答案．【解答】（1）证明：在矩形ACC1A1中，AM=A1M=√22+22=2√2，AA1＝4．则A1M2+AM2=AA12，即A1M⊥AM，又AB⊥AC，AB⊥AA1，AC∩AA1＝A，则AB⊥平面ACC1A1，∵A1M⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1M，又AB∩AM＝A，∴A1M⊥平面ABM，∵A1M⊂平面A1B1M，∴平面A1B1M⊥平面ABM；（2）解：由（1）知，AB⊥AM，∴S△ABM=S△A1B1M=12×3×2√2=3√2．在△ABC中，BC=√22+32=√13，∴S△B1BM=12×√13×4=2√13，又S△A1AM=12×4×2=4．∴四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积为2×3√2+4+2√13=6√2+4+2√13．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体侧面积的求法，是中档题．20．已知长轴长为2√2的椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．【分析】（1）由题意可得a 的值及b ＝c ，再由a ，b ，c 之间的关系求出b ，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得右焦点F 2的坐标，由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得四边形PQMN 为平行四边形，所以四边形的面积等于一个三角形面积的4倍，求出三角形OPQ 的面积，由均值不等式可得面积的最大值．解：（1）由题意可得2a ＝2√2，且b ＝c ，又c 2＝a 2﹣b 2，所以可得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（2）由（1）可得右焦点F 2（1，0），再由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程为x ＝my +1，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程可得{x =my +1x 2+2y 2=2整理可得（2+m 2）y 2+2my ﹣1＝0，所以y 1+y 2=−2m 2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，由题意可得四边形MNPQ 为平行四边形，所以S ＝4S △OPQ ＝4×12×|OF 2|×|y 1﹣y 2|＝2×1×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√4m 2(2+m 2)2−4⋅−12+m 2=4√2√1+m 2(1+1+m 2)2=4√2√1(1+m 2)+11+m 2+2≤4√2√12+2=2√2，当且仅当1+m 2=11+m 2即m ＝0时取等号，所以四边形MNPQ 面积的最大值为2√2．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及四边形的面积公式及均值不等式的应用，属于中档题．21．已知函数f(x)=−3cosx−1ax2，f′(x)为f（x）的导函数．2（1）若f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若x∈[0，π2]，求证：当a≤3时．f(x)+1x3+3≥0．2【分析】（1）先求f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，再求导g'（x），原问题可转化为g'（x）≤0在[0，π2]上恒成立，即a≥3cos x恒成立，于是求出y＝3cos x在[0，π2]上的最大值即可；（2）令h(x)=f(x)+1x3+3，原问题转化为证明h（x）≥0，求出h'（x），由于a≤23，所以h′(x)≥3sinx−3x+3x2，再令p(x)=3sinx−3x+32x2，再求导p'（x），2又令m（x）＝p'（x），又求导m'（x），并得出m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，因此m（x）在[0，π2]上单调递增，依此，逐层往回递推直至能证明h（x）≥h（0）＝0即可．解：（1）由题可知，f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，则g'（x）＝3cos x﹣a，∵f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，∴当0≤x≤π时，3cos x﹣a≤0，即a≥3cos x恒成立，2而当0≤x≤π时，3cos x∈[0，3]，2∴a≥3．（2）证明：令h(x)=f(x)+1x3+3，则h′(x)=f′(x)+32x2=3sinx−ax+32x2，2∵a≤3，∴h′(x)≥3sinx−3x+3x2，2令p(x)=3sinx−3x+3x2，则p'（x）＝3cos x﹣3+3x，2令m（x）＝3cos x﹣3+3x，则m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，∴m（x）在[0，π2]上单调递增，即m（x）≥m（0）＝0，∴p'（x）≥0，∴p（x）在[0，π2]上单调递增，即p（x）≥p（0）＝0，则h'（x）≥0，∴h（x）在[0，π2]上单调递增，即h（x）≥h（0）＝0，也就是f(x)+1x3+3≥0．2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值、不等式恒成立问题，解题的关键是多次构造函数，并求导，判断新函数的性质，然后再逐层往回递推，考查学生的转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．一、选择题（α为参数），以坐22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosα，y=2sinα标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标(ρ＞0，−π2＜θ＜π2)；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．【分析】（1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C1的直角坐标方程，再由x ＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得极坐标方程；联立C1与C2的极坐标方程，即可得到交点坐标；（2）分别联立曲线C3和C1，C3和C2的极坐标方程，分别得到OM和ON的长度，再求值即可．解：（1）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数）消去参数可得（x ﹣2）2+y 2＝4，即x 2+y 2﹣4x ＝0，又{x =ρcosθy =ρsinθ，则ρ2﹣4ρcos θ＝0，即C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ．由{ρ=4cosθρcosθ=1，可得4cos 2θ＝1，又−π2＜θ＜π2，所以θ＝±π3，ρ＝2．即C 1与C 2交点的极坐标为（2，π3），（2，−π3）．（2）由{θ=βρ=4cosθ，可得|OM |＝4cos β，由{θ=βρcosθ=1，可得|ON |=1cosβ，所以|OM |•|ON |＝4．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程和普通方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|﹣2|x +1|．（1）解不等式f （x ）≤0；（2）记函数f （x ）的最大值为m ，且a +b +c ＝m ，求证：（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥12．【分析】（1）由题意可得|2x ﹣1|≤2|x +1|，两边平方，化简整理，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得m ＝3，即a +b +c ＝3，再由三个数的完全平方公式，结合基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】（1）解：f （x ）≤0即为|2x ﹣1|﹣2|x +1|≤0，即|2x ﹣1|≤2|x +1|，即为（2x﹣1）2≤4（x+1）2，化为12x≥﹣3，可得x≥−1，4}；则原不等式的解集为{x|x≥−14（2）证明：由f（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+2|≤|2x﹣1﹣2x﹣2|＝3，当x≤﹣1时，上式取得等号，则m＝3，即a+b+c＝3，又（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）＝3（a2+b2+c2）（当且仅当a＝b＝c＝1时取得等号），（a+b+c）2＝3，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝a2+b2+c2+2a+2b+2c+3所以a2+b2+c2≥13≥3+2×3+3＝12，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用：证明不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020高考文科数学第二次模拟测试试题

xx 届高考文科数学第二次模拟测试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

1.已知集合A ＝{(1)(4)0}x x x x R --≤∈，，集合B ＝{n (1)(3)0Z}n n +-≥∈，n ，则A B I ＝（）A.{}1 2 3，，B.{} 43，C.{}0 1 2 3，，，D.{}-1 0 1 2 3，，，，2.函数）（R x y x ∈+=- 321的反函数解析式为（）A.xy -=32log 2(3x <) B.23log 2-=x y (3x >)C.23log 2x y -=(3x <)D.32log 2-=x y (3x >)3.已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：βα//，则p 是q 的( )A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件4.若函数()m x x f ++=)cos(2ϕω图象的一条对称轴为8π=x ，且1)8(-=πf ，则实数m 的值等于( )A.±1B.±3C.－3或1D.－1或35.若函数c bx x x f ++=2)(的图象的顶点在第四象限，则其导函数）（x f '的图象可能是（）6.某公司租地建仓库，每月土地租用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比。

如果要在距离车站10km 处建仓库，这两项的费用1y 、2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A.5km 处B.4km 处C.3km 处D.2km 处7.已知抛物线x y 42=的准线与双曲线13222=-b y x 的一条准线重合，则这条抛物线x y 42=与双曲线13222=-b y x 的交点P 到抛物线焦点的距离为( )A.21B.21C.6D.48.有两排座位，前排6个座位，后排7个座位，现安排2人就座，规定这2人不左右相邻，那么不同的坐法种数是（）A.92B.102C.132D.1349.已知直线02 :=+-m y x l 按向量)3 2(-=，a 平移后得到的直线1l 与圆5)1()2(22=++-y x 相切，那么m 的值为( )A.9或－1B.5或－5C.－7或7D.-1或9A.()1 1，-B.()2 0，C.)23 21(，-D. )21 23(，- 11.当x 、y 满足条件1<+y x 时，变量xy u 3-=的取值范围是( ) A.)3 3(，- B.),3()3(+∞--∞Y ， C.)3131(，- D.)31 ()31(∞+--∞，，Y12.如果数列{}n a 满足21=a ，12=a ，且1111++---=-n n n n n n n n a a a a a a a a (n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1021B.921 C.101 D.51二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。

2020届高三第二次模拟考试卷文科数学(一) 学生版

2020届高三第二次模拟考试卷文科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(12i)1i z +=-，则z =（）A ．2B ．105C ．103 D ．3252．已知集合{}3A x x =∈<Z ，{}12B x x x =<->或，则()A B =R I ð（） A ．{0,1,2}B ．{1,0,1}-C ．{0,3}D ．{1,0,1,2}-3．已知8log 7a =，3log 2b =，0.1πc =，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<4．长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例512-（510.6182-≈称为黄金分割比例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知下图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD 的长为（）（结果保留两位小数）A ．10.09B ．11.85C ．9.85D ．11.095．函数4()()cos (ππf x x x x x=--≤≤且0)x ≠的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．6．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3，L ，840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（）A ．487号职工B ．307号职工C ．607号职工D ．520号职工7．tan 645︒=（）A ．23-+B ．23--C ．23-D ．23+8．若向量a ，b 满足||3=a ，||26=b ，且满足(2)+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（）A ．π3B ．2π3C ．π4D ．3π49．如图给出的是计算1111352019++++L 的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（）A ．123S S i =++ B ．121S S i =++ C ．11S S i =++ D ．121S S i =+- 10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆222(1)sin 130x y -+=︒相切，则该双曲线此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号的离心率等于（） A ．1sin 50︒B ．1cos50︒C ．2sin50︒D ．2cos50︒11．设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知2cos 0b a C -=，sin 3sin()A A C =+，则2bca =（） A ．74B ．149C ．23D ．6912．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F ，过2F 作直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B 两点．若22||4||BF AF =，1||||AF AB =，则C 的方程是（）A ．22136x y-= B ．22154x y -= C ．22163x y -= D ．22145x y -=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线2(3)xy x x e =-在点(0,0)处的切线方程为． 14．已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，113a =，2366a a =，则5S = ． 15．函数π()sin()8cos 22xf x x =--的最小值为．16．如下图，在五面体ABCDEF 中，AB DC ∥，π2BAD ∠=，3CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，5FC =，则直线AB 到平面EFCD 距离为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；（2）能否认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =-，60S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．19．（12分）在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，已知1333DC DD AD AB====，AD DC⊥，AB DC∥，E为DC上一点，且1DE=．（1）求证：1D E∥平面1A BD；（2）求点D到平面1BED的距离．20．（12分）已知函数31()sin cos6f x x x x x=--，()f x'为()f x的导数．（1）证明：()f x'在区间π(0,)2上不存在零点；（2）若31()cos16f x kx x x x>---对π(0,)2x∈恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知O为坐标原点，椭圆2212yx+=的下焦点为F，过点F且斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点．（1）以AB为直径的圆与2x=（2）在y轴上是否存在定点P，使得PA PB⋅u u u r u u u r为定值，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为241m x m y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是π2sin()16ρθ+=．（1）写出曲线C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知a ，b ，c 为正数，且满足8abc =，证明：（1）(4)(4)(4)216a b c +++≥；（2）222()()()48a b b c c a +++++≥．2020届高三第二次模拟考试卷文科数学（一）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】∵(12i)1i z +=-，∴1i (1i)(12i)13i12i (12i)(12i)5z -----===++-， ∴191025255z =+=，故选B ． 2．【答案】D【解析】∵{}12B x x x =<->或，∴{12}B x x =-≤≤R ð，又∵{3}{2,1,0,1,2}A x x =∈<=--Z ，∴{1,0,1,2}A B =-R I ð，故选D ． 3．【答案】C【解析】∵80log 71a <=<，30log 21b <=<，0.1π1c =>，223log 7log 42a =>=，333log 8log 92b =<=，∴b a <，∴b a c <<． 4．【答案】D 【解析】如下图所示，由题意可知1MK =，设KN x =，则1MF MN x ==+，112GF GM MF x x =+=++=+，则1232FC MN OC MN HC MN GF x x x =+=+=+=+++=+， ∴32253BF EF EG GF FC GF x x x ==+=+=+++=+， ∴533285BC BF FC x x x =+=+++=+，∵1GM =，KN x =，根据黄金矩形特点可知矩形GMNQ 为黄金矩形，则有15112x -=+，解得512x =，∴518585850.61811.092BC x =+=+⨯+⨯=≈． 5．【答案】A【解析】函数4()()cos (ππf x x x x x=--≤≤且0)x ≠为奇函数，排除B ，D 选项，当πx =时，44()(π)cos ππ0ππf x =-=->，排除C ． 6．【答案】D 【解析】由于组距为8401556=，因此选出的号码所成的数列是以15为公差的等差数列，根据四个选项可知，487442153-=⨯，442307159-=⨯，6074421511-=⨯，故选A ，B ，C 选项的职工都被抽到． 7．【答案】B【解析】tan 645tan(540105)tan105tan(6045)︒=︒+︒=︒=︒+︒tan60tan 4531231tan60tan 4513︒+︒+===---︒⋅︒-8．【答案】D【解析】∵(2)+⊥a b a ，∴(2)0+⋅=a b a ，即22||0+⋅=a a b ，22||⋅=-a b a ，设a 与b 夹角为θ，则有22||2cos ||||2326θ-===-⋅⨯a a b ，则夹角为3π4． 9．【答案】D【解析】根据选项D 运行程序得，第一次循环，011S =+=，2i =，第二次循环，113S =+，3i =，第三次循环，11135S =++，4i =， …，依次类推，第1010次循环，1111352019S =++++L ，1011i =，退出循环，此时输出的S 是1111352019++++L 的值．10．【答案】B【解析】依题意，可知双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，sin130sin 50=︒=︒，故222sin 50b c =︒，可得2222sin 50c a c -=︒，即2211sin 50e -=︒，化简得1cos50e =︒． 11．【答案】D 【解析】由题意得1cos 2b a C =，又∵sin 3sin A B =，即3a b =，∴2cos 3C =，由余弦定理得22243c a b ab =+-，又∵3a b =，∴c =，∴22299bc a b ==． 12．【答案】B【解析】设2||AF m =，则2||4BF m =，根据双曲线定义可得1||2AF a m =+，1||24BF a m =+， ∵122||||||||AF AB AF BF ==+，又∵24a m m m +=+，得12m a =． ∴2||2a AF =，15||2AF a =，2||2BF a =，1||4BF a =．∴2222212125363641644cos cos 0262262a aa a AF F BF F a a +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得25a =．∵3c =，∴222954b c a =-=-=，故双曲线C 的方程为22154x y -=．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】0x y +=【解析】∵22(61)(3)(351)x x xy x e x x e x x e '=-+-=+-，∴结合导数的几何意义可知曲线在点(0,0)处的切线的斜率为1k =-， ∴切线方程为y x =-，即0x y +=． 14．【答案】313【解析】设数列{}n a 的公比为q ，∵2366a a =，则245116a q a q =，得162q a ==，∴551(12)313123S ⨯-==-．15．【答案】7-【解析】∵22()cos 8cos2cos 8cos 12(cos 2)92222x x x xf x x =-=--=--，由三角函数有界性可知[]cos1,12x∈-，故当cos12x=时，min ()297f x =-=-． 16【解析】∵AB CD ∥，且DC ⊂平面EFCD ，AB ⊄面EFCD ，∴AB ∥面EFCD ，∴AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离，过点A 作AG FD ⊥于G ， ∵π2BAD ∠=，AB DC ∥，∴CD AD ⊥，又∵FA ⊥平面ABCD ，FA CD ⊥，又FA AD A =I ，∴CD ⊥面FAD ，而AG ⊂面FAD ，∴CD AG ⊥，CD FD D =I ， ∴AG ⊥面CFD ，∴AG 为直线AB 到平面EFCD 的距离，在FCD Rt △中，4FD ==，∵FA ⊥面ABCD ，∴FA AD ⊥，在AFD Rt △中，FA ==∴733744FA ADAGFD⋅⨯===，∴AB到平面EFCD距离为374．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）12；（2）能认为．【解析】（1）该中学一年学生的近视率为5011002P==．（2）22100(20153035)9.091 6.63555455050K⨯⨯-⨯=>⨯⨯⨯≈，所以能认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．18．【答案】（1）27na n=-；（2）8．【解析】（1）设数列{}na公差为d，∵616150S a d=+=，∴152a d=-，又23a=-，即13a d=--，所以2d=，15a=-，故数列{}na的通项公式为52(1)27na n n=-+-=-．（2）由（1）可知26nS n n=-，则n nS a>，可得2627n n n->-，解得1n<或7n>，所以不等式n nS a>成立的n的最小值为8．19．【答案】（1）证明见解析；（2）310．【解析】（1）由题意可知，∵AB DC∥，且33AB DC==，∴AB DE∥，AB DE=，故四边形ABED为平行四边形，∴11BE AD A D∥∥，11BE AD A D==，∴四边形11A D EB为平行四边形，∴11D E A B∥，∵1D E⊄平面1A BD，1A B⊂平面1A BD，∴1D E∥平面1A BD．（2）过D作1DM D E⊥交1D E于M，∵1111ABCD A B C D-为直四棱柱，∴1DD⊥底面ABCD，∴1DD BE⊥，由（1）得BE AD∥，∵AD DC⊥，∴BE DC⊥，而1DC DD D=I，∴BE⊥平面11DCC D，DM⊂平面11DCC D，∴BE DM⊥，又∵1DM D E⊥，1BE D E E=I，∴DM⊥平面1BED，∴点D到平面1BED的距离即为DM长，∵1DE=，13DD=，∴110D E=31010DM==，∴点D到平面1BED的距离为31010．20．【答案】（1）证明见解析；（2）4(,]π-∞．【解析】（1）由题意得211()sin(sin)22f x x x x x x x'=-=-，令1()sin2g x x x=-，则1()cos2g x x'=-，当π(0,)3x∈时，()0g x'>，()g x单增；当ππ(,)32x∈时，()0g x'<，()g x单减，∵(0)0g=，π3π()0326g=->，ππ()1024g=->，故()g x在π(0,)2上恒大于0，故()0f x'>在π(0,)2上恒成立，故()f x'在区间π(0,)2上不存在零点．（2）由31()cos 16f x kx x x x >---，得sin 1x kx >-， ∵π(0,)2x ∈，故sin 1x k x+<，令sin 1()x t x x +=，则2cos sin 1()x x x t x x --'=，令()cos sin 1m x x x x =--，则()sin 0m x x x '=-<恒成立，()m x 在π(0,)2上单调递减，∴()(0)10m x m <=-<，∴()0t x '<在π(0,)2上恒成立，即()t x 在π(0,)2上单减，∴π4()()2πt x t >=，∴4πk ≤， ∴k 的取值范围是4(,]π-∞．21．【答案】（1）4；（2）存在定点P ，5(0,)4P -．【解析】由题意可设直线l 的方程为1y kx =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得22(2)210k x kx +--=，则224480Δk k =++>恒成立，12222k x x k +=+，12212x x k -=+， 121224()22y y k x x k -+=+-=+，21212222(1)(1)2k y y kx kx k -=--=+．（1）221||2k AB k +==+，线段AB 的中点的横坐标为22kk +， ∵以AB为直径的圆与x =22kk =+，解得k =此时12||22AB +==+，∴圆的半径为4．（2）设0(0,)P y ，212102012120120()()()PA PB x x y y y y x x y y y y y y ⋅=+--=+-++u u u r u u u r222220000022224(2)2411222222y y k y y k y k k k k -+++--=+++=++++，由22000224112y y y -++=，得054y =-，716PA PB ⋅=-u u u r u u u r ， ∴y 轴上存在定点5(0,)4P -，使得PA PB ⋅u u u r u u u r 为定值．22．【答案】（1）221(43x y y +=≠10x +-=；（2）12．【解析】（1）∵<≤且22()12x +=， ∴C的普通方程为221(43x y y +=≠，1:2cos )12l ρθθ+=sin cos 1θρθ+=， ∴l10x +-=．（2）由（1）可设C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则可设C上任意一点坐标为(2cos )θθ，则C 上点到l距离为d ==当sin()1θϕ+=时，min 12d =， ∴曲线C 上的点到l距离的最小值为12． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）∵0a >，0b >，0c >，∴422a a +=++≥=，422b b +=++≥=422c c +=++≥=故(4)(4)(4)216a b c +++≥=，当且仅当2a b c ===时取等号，∴(4)(4)(4)216a b c +++≥．（2）22223()()()3[()()()]a b b c c a a b b c c a +++++≥=+++2223333)3(8)36431648abc ≥⨯=⨯=⨯=⨯=，当且仅当a b c ==时取等号，∴222()()()48a b b c c a +++++≥．。

2020届高三数学第二次模拟考试试题文(含解析)_1

2020届高三数学第二次模拟考试试题文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回..一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点的坐标为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解.【详解】复数i(2+i)=2i﹣1，故复数对应的点的坐标为(﹣1，2)，故选：C.【点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题.2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．3.下列函数中，在区间上为减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数；对于B选项，函数在区间上为增函数；对于C选项，函数在区间上为减函数；对于D选项，函数在区间上为增函数.故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.4.函数的定义域为（）A. 或B. 或C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得，解得或.因此，函数的定义域为或.故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.5.英国统计学家辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，则下面说法正确的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】D【解析】【分析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为，，行政庭维持原判的案件率，，总体上维持原判的案件率为的值，即可得到答案．【详解】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为，行政庭维持原判的案件率，总体上维持原判的案件率为；法官乙民事庭维持原判的案件率为，行政庭维持原判的案件率为，总体上维持原判的案件率为．所以，，．选 D．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6.圆心为且和轴相切的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.7.为得到的图象，只需要将的图象（）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．考点：三角函数的图像变换．8.若正整数除以正整数的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的等于（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.【详解】模拟执行程序如下：开始，，不满足，故，满足，但不满足，故，不满足，故，满足，满足，输出.故选：D.【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题.9.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.【详解】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人：将选中2名女生平均分为两组：将选中2名男生平均分为两组：则选出的人分成两队混合双打的总数为：和分在一组的数目为所以所求的概率为故选：B【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.10.设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，求出球的半径，然后求解球的体积．【详解】解：因为切面圆半径为4，球心到切面圆心的距离为3，所以球的半径为：．所以球的体积为：．故选：D．【点睛】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力，属于基础题．11.已知点、．若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出点的坐标，以为底结合的面积计算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，求出方程的解，即可得出结论.【详解】设点的坐标为，直线的方程为，即，设点到直线的距离为，则，解得，另一方面，由点到直线的距离公式得，整理得或，，解得或或.综上，满足条件的点共有三个．故选：C.【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．12.设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，充分性：，则对任意的恒成立，则，，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意；若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意.所以，“，”“为递增数列”；必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列.所以，“，”“为递增数列”.因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则________．【答案】【解析】【分析】根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数的值.【详解】双曲线的渐近线方程为，由于该双曲线的一条渐近线方程为，，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.14.已知向量，，且，则________．【答案】【解析】【分析】根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.【详解】，且，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.15.在中，，，，则________，的面积为________．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用余弦定理可求得的值，进而可得出的值，最后利用三角形的面积公式可得出的面积.【详解】由余弦定理得，则，因此，的面积为.故答案为：；.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.16.函数的定义域为，其图象如图所示．函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，．给出下列三个结论：①；②函数在内有且仅有个零点；③不等式的解集为．其中，正确结论的序号是________．【答案】①③【解析】【分析】利用奇函数和，得出函数的周期为，由图可直接判断①；利用赋值法求得，结合，进而可判断函数在内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③的正误.综合可得出结论.【详解】因为函数是奇函数，所以，又，所以，即，所以，函数的周期为.对于①，由于函数是上的奇函数，所以，，故①正确；对于②，，令，可得，得，所以，函数在区间上零点为和.因为函数的周期为，所以函数在内有个零点，分别是、、、、，故②错误；对于③，令，则需求的解集，由图象可知，，所以，故③正确.故答案为：①③.【点睛】本题考查函数图象与性质，涉及奇偶性、周期性和零点等知识点，考查学生分析问题的能力和数形结合能力，属于中等题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答..（一）必考题：共60分.17.某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这个零件尺寸的中位数（结果精确到）；（2）已知尺寸在上的零件为一等品，否则为二等品. 将这个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率.【答案】（1）63.47（2）0.2【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中中位数两边频率相等，即可求出中位数的大小；（2）计算尺寸在，外的频率，用频率估计概率，即可得出结论．【详解】（1）由频率分布直方图的性质得：，，所以中位数在，内，设为，则，解得，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在，上的频率为，且，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2．【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、概率的应用问题，是基础题．18.记为数列前项和，N.（1）求；（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和.【答案】（1）；（2）证明见详解，【解析】【分析】（1）根据，可得，然后作差，可得结果.（2）根据（1）的结论，用取代，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前项和公式，可得结果.【详解】（1）由①，则②②-①可得：所以（2）由（1）可知：③则④④-③可得：则，且令，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列所以【点睛】本题主要考查递推公式以及之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.19.如图，三棱锥中，，，，，.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，，证明，，推出平面，即可证明；（2）在直角三角形中，由，为的中点，得，求解，结合，可得，又，得到平面，然后利用等体积法求点到平面的距离．【详解】（1）证明：取的中点为，连接，．在中，，为的中点，，在中，，为的中点，，，，平面，平面，平面，；（2）在直角三角形中，由，为的中点，得，在等腰三角形中，由，得，又，，即，又，，平面，求解三角形可得，又，得．设点到平面的距离为，由，得，解得，故点到平面的距离为．【点睛】本题考查等体积法的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极小值；（3）求函数的零点个数．【答案】（1）；（2）极小值；（3）函数的零点个数为．【解析】【分析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值；（3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数.【详解】（1）因为，所以．所以，．所以曲线在点处的切线为；（2）因为，令，得或．列表如下：极小值所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以，当时，函数有极小值；（3）当时，，且．由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为．【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为．证明：点在轴上．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由已知条件得出、的值，进而可得出的值，由此可求得椭圆的方程；（2）设点，可得，且，，求出直线的斜率，进而可求得直线与的方程，将直线直线与的方程联立，求出点的坐标，即可证得结论.【详解】（1）由题设，得，所以，即．故椭圆的方程为；（2）设，则，，．所以直线的斜率为，因为直线、的斜率的积为，所以直线的斜率为．直线的方程为，直线的方程为．联立，解得点的纵坐标为．因为点在椭圆上，所以，则，所以点在轴上．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22.已知曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数).（1）求与的普通方程；（2）若与相交于，两点，且，求的值.【答案】（1），（2）0【解析】【分析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入的普通方程，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时的几何意义求解．【详解】（1）由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得；由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得，即．（2）把为参数）代入，得．，．．解得：，即，满足△．．【点睛】本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23.已知，，且（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．【详解】（1），当且仅当“”时取等号，故的最小值为；（2），当且仅当时取等号，此时．故．【点睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．2020届高三数学第二次模拟考试试题文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回..一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点的坐标为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解.【详解】复数i(2+i)=2i﹣1，故复数对应的点的坐标为(﹣1，2)，故选：C.【点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题.2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．3.下列函数中，在区间上为减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数；对于B选项，函数在区间上为增函数；对于C选项，函数在区间上为减函数；对于D选项，函数在区间上为增函数.故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.4.函数的定义域为（）A. 或B. 或C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得，解得或.因此，函数的定义域为或.故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.5.英国统计学家辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，则下面说法正确的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】D【解析】【分析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为，，行政庭维持原判的案件率，，总体上维持原判的案件率为的值，即可得到答案．【详解】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为，行政庭维持原判的案件率，总体上维持原判的案件率为；法官乙民事庭维持原判的案件率为，行政庭维持原判的案件率为，总体上维持原判的案件率为．所以，，．选 D．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6.圆心为且和轴相切的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.7.为得到的图象，只需要将的图象（）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．考点：三角函数的图像变换．8.若正整数除以正整数的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的等于（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.【详解】模拟执行程序如下：开始，，不满足，故，满足，但不满足，故，不满足，故，满足，满足，输出.故选：D.【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题.9.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.【详解】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人：将选中2名女生平均分为两组：将选中2名男生平均分为两组：则选出的人分成两队混合双打的总数为：和分在一组的数目为所以所求的概率为故选：B【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.10.设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，求出球的半径，然后求解球的体积．【详解】解：因为切面圆半径为4，球心到切面圆心的距离为3，所以球的半径为：．所以球的体积为：．故选：D．【点睛】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力，属于基础题．11.已知点、．若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出点的坐标，以为底结合的面积计算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，求出方程的解，即可得出结论.【详解】设点的坐标为，直线的方程为，即，设点到直线的距离为，则，解得，另一方面，由点到直线的距离公式得，整理得或，，解得或或.综上，满足条件的点共有三个．故选：C.【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．12.设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，充分性：，则对任意的恒成立，则，，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意；若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意.所以，“，”“为递增数列”；必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列.所以，“，”“为递增数列”.因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则________．【答案】【解析】【分析】根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数的值.【详解】双曲线的渐近线方程为，由于该双曲线的一条渐近线方程为，，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.14.已知向量，，且，则________．【答案】【解析】【分析】根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.【详解】，且，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.15.在中，，，，则________，的面积为________．【答案】 (1). (2).。

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2019-2020年高三第二次模拟考试文科数学含解析(I)高三数学（文科） 2013.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数 i (1i)⋅-= （A ）1i + （B ）1i -+（C ）1i -（D ）1i --【答案】 A2i (1i)1i i i ⋅-=-=+，选A.2．已知向量(=a ，)=λb ．若a 与b 共线，则实数=λ （A ）1- （B ）1 （C ）3- （D ）3【答案】 A因为a 与b 共线，所以0=，解得1λ=-，选A.3．给定函数：①2y x =；②2x y =；③cos y x =；④3y x =-，其中奇函数是（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④【答案】 D①2y x =为偶函数.；②2x y =非奇非偶.③cos y x =为偶函数.④3y x =-为奇函数，选D.4．若双曲线221y x k+=的离心率是2，则实数k = （A ）3 （B ）3- （C ）13（D ）13-【答案】 B双曲线的方程为221y x k-=-，即221,a b k ==-，所以2221c a b k =+=-.又2e =，所以22214c e k a==-=，解得3k =-，选B.5．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值，则判断框内可以填入（A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤ 【答案】 C第一次循环，满足条件，2,3S k ==;第二次循环，满足条件，23,5S k =⨯=;第三次循环，满足条件，235,9S k =⨯⨯=;第四次循环，满足条件，2359,17S k =⨯⨯⨯=; 第五次循环，满足条件，235917,33S k =⨯⨯⨯⨯=，此时不满足条件输出.所以条件应满足1733k <<，即当22k ≤，满足，所以选C.6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是（A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα【答案】C对于A ，”m ⊥n ，n ∥α”，如正方体中AB ⊥BC ，BC ∥平面A ′B ′C ′D ′，但AB 与平面A ′B ′C ′D ′不垂直，故推不出m ⊥α，故A 不正确；对于B ，“m ∥β，β⊥α”，如正方体中A ′C ′∥面ABCD ，面ABCD ⊥面BCC ′B ′，但A ′C ′与平面BCC ′B ′不垂直．推不出m ⊥α，故不正确；对于C ，根据m ⊥β，n ⊥β，得m ∥n ，又n ⊥α，根据线面垂直的判定，可得m ⊥α，可知该命题正确；对于D ，“m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α”，如正方体中AD ′⊥AB ，AB ⊥面BCC ′B ′，面ABCD ⊥面BCC ′B ′，但AD ′与面BCC ′B ′不垂直，故推不出m ⊥α，故不正确．故选C ．7．已知函数||()e ||x f x x =+．若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(1,)+∞（C ）(1,0)-（D ）(,1)-∞-【答案】 B由()f x k =得||()e ||x f x x k =+=，即||e ||x k x =-.令||e ,||x y y k x ==-，分别作出函数||e ,||x y y k x ==-的图象，如图，由图象可知要使两个函数的交点有2个，则有1k >，即实数k 的取值范围是(1,)+∞，选B.8．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a A ∈时，必有6a A -∈．则具有性质P 的集合A 的个数是（A ）8 （B ）7（C ）6（D ）5【答案】 B有条件可知有1，必有5；有2必有4；3可单独在一起.满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个.选B.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线1:310l x y -+=，2:210l x my +-=．若1l ∥2l ，则实数m =______．【答案】 6-因为直线1l ∥2l ，所以21131m -=≠-，解得6m =-. 10．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙，则x 甲______x 乙．（填入：“>”，“=”，或“<”）【答案】>由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以x 甲>x 乙.11．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．【答案】3，由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2742AB AB =+-，所以2230AB AB --=，解得3AB =或1AB =-，舍去.所以△ABC 的面积是11sin 32232S AB BC π=⋅⋅=⨯⨯=. 12．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是______．【答案】59直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于1≤，即229a b +≥.当1a =时，28b ≥，此时3b =，有1组.当2a =时，25b ≥，此时3b =，有1组.当3a =时，20b ≥，此时1,2,3b =，有3组.所以共有5组.所有满足a ，b 的组合有339⨯=组.所以满足条件的概率为59. 13．已知命题:p 函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增；命题:q 不等式20x x c -+≤的解集是∅．若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是______．【答案】 1c >或(1,)+∞要使函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增，则10c ->，解得1c >.所以:p 1c >.因为不等式20x x c -+≤的解集是∅，所以判别式140c ∆=-<，解得14c >，即:q 14c >.因为p 且q 为真命题，所以,p q 同为真，即14c >且1c >，解得1c >.所以实数c 的取值范围是1c >.14．在直角坐标系xOy 中，已知两定点(1,0)A ，(1,1)B ．动点(,)P x y 满足01,0 2.OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩则点P 构成的区域的面积是______；点(,)Q x y x y +-构成的区域的面积是______．【答案】 2，4由01,0 2.OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩得0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，做出对应的平面区域（阴影部分）为平行四边形.所以平行四边形的面积为212⨯=.设(,)Q s t ，则s x y t x y =+⎧⎨=-⎩，解得22s t x s t y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，得0202s t s ≤+≤⎧⎨≤≤⎩.做出对应的平面区域（阴影部分）如图为平行四边形OMFE.则平行四边形的面积为224⨯=.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，28a =，3448a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设4log n n b a =．证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC 的体积；（Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ；（Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ．18．（本小题满分13分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中0a >．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最小值． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(5，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,na a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，进行如下操作：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．6-； 10．>； 11．3 12．59； 13．(1,)+∞； 14．2，4．注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意 0q >． ………………1分因为 28a =，3448a a +=，两式相除得 260q q +-=， ………………3分解得 2q =，舍去 3q =-． ………………4分所以 214a a q==． ………………6分所以数列{}n a 的通项公式为 1112n n n a a q-+=⋅=． ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 41log 2n n n b a +==． ………………9分因为 1211222n n n n b b +++-=-=，所以数列{}n b 是首项为1，公差为12d =的等差数列． ………………11分所以 21(1)324n n n n nS nb d -+=+=． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．2分因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin 3==α． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α． ………………5分（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α．所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得 cos 20=α． ………………11分因为 62ππ<<α，所以 23π<<πα，所以 22π=α，即 4π=α． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由左视图可得 F 为AB 的中点，所以 △BFC 的面积为 12121=⋅⋅=S ．………………1分因为⊥PA 平面ABCD ， ………………2分所以四面体PBFC 的体积为 PA S V BFC BFC P ⋅=∆-31………………3分 322131=⋅⋅=． ………………4分（Ⅱ）证明：取PC 中点Q ，连结EQ ，FQ ． ………………5分由正（主）视图可得 E 为PD 的中点，所以EQ ∥CD ，CD EQ 21=． ………6分又因为AF ∥CD ，CD AF 21=，所以AF ∥EQ ，EQ AF =．所以四边形AFQE 为平行四边形，所以AE ∥FQ ． ………………8分因为 ⊄AE 平面PFC ，⊂FQ 平面PFC ，所以直线AE ∥平面PFC ． ………………9分（Ⅲ）证明：因为 ⊥PA 平面ABCD ，所以 CD PA ⊥．因为面ABCD 为正方形，所以 CD AD ⊥．所以 ⊥CD 平面PAD ． ………………11分因为 ⊂AE 平面PAD ，所以 AE CD ⊥．因为 AD PA =，E 为PD 中点，所以 PD AE ⊥．所以 ⊥AE 平面PCD ． ………………12分因为 AE ∥FQ ，所以⊥FQ 平面PCD ． ………………13分因为 ⊂FQ 平面PFC ，所以平面PFC ⊥平面PCD . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ，且 2()242f x x x a '=-+-． (2)分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即 6350x y +-=． ………………4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式80a =>∆， ………………5分令 ()0f x '=，得 11x =，或21x =． ………………6分 ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,12-∞-，(1)2++∞；单调减区间为(1+． ………………9分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-． ………………10分 ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()3f x a =-． ………………12分 ③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-． ………………13分综上，当02a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -；当28a <<时，()f x在区间[2,3]上的最小值是53a --；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(,55P ，所以点M的坐标为2(,55． ………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分解得 47m =． ……………6分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………7分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………8分因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………9分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………11分所以00111622(2)82m x x =+≤++-+， ………………13分当且仅当02x =- 所以 m的取值范围是1(0,2． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3-． ………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠．显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠．………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,na a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠，所以 l l '≠，从而 k kb b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同． ………………8分（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分依题意进行操作，排列12,,,n a a a 变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． ………………10分所以 1212()()nn b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a-=--+-++- 22k b =-≥．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．………………13分。

吉林省2020届高三第二次模拟考试卷文科数学(解析版)

吉林省2020届高三第二次模拟考试卷文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足（1+2i ）z ＝1﹣i ，则|z |＝（） A ．√10B ．√105C ．35D ．252．已知集合A ＝{x ∈Z ||x |＜3}，B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，则A ∩（∁R B ）＝（） A ．{0，1，2}B ．{﹣1，0，1}C ．{0，3}D ．{﹣1，0，1，2}3．已知a ＝log 87，b ＝log 32，c ＝π0.1，则（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b4．长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例√5−12（√5−12≈0.618称为黄金分割比例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD 的长为（）（结果保留两位小数）A ．10.09B ．11.85C ．9.85D ．11.095．函数f （x ）＝（4x −x ）cos x （﹣π≤x ≤π）且x ≠0）的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．6．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3，…，840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（） A ．487号职工 B ．307号职工 C ．607号职工 D ．520号职工7．tan645°＝（） A ．﹣2+√3B ．﹣2−√3C ．2−√3D ．2+√38．若向量a →，b →满足|a →|=√3，|b →|＝2√6，且满足（2a →+b →）⊥a →，则a →与b →的夹角为（） A ．π3B ．2π3C ．π4D ．3π49．如图给出的是计算1+13+15+⋯+12019的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（）A ．S ＝S +12i+3B ．S ＝S +12i+1C ．S ＝S +1i+1D ．S ＝S +12i−110．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣1）2+y 2＝sin 2130°相切，则该双曲线的离心率等于（） A ．1sin50°B ．1cos50°C ．2sin50°D ．2cos50°11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知2b ﹣a cos C ＝0，sin A ＝3sin （A +C ），则bca 2=（）A ．√74B ．√149C ．23D ．√6912．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦点为F 1（﹣3，0），F 2（3，0），过F 2作直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B 两点．若|BF 2|＝4|AF 2|，|AF 1|＝|AB |，则C 的方程是（） A ．x 23−y 26=1 B ．x 25−y 24=1 C ．x 26−y 23=1D ．x 24−y 25=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y ＝（3x 2﹣x ）e x 在点（0，0）处的切线方程为．14．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，a1=13，6a32＝a6，则S5＝．15．函数f（x）＝sin（π2−x）﹣8cos x2的最小值为．16．如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD=π2，CD＝AD＝3，四边形ABFE为平行四边形，F A⊥平面ABCD，FC＝5，则直线AB到平面EFCD距离为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：近视不近视足够的户外暴露时间2035不足够的户外暴露时间3015（1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；（2）能否认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P（K2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82818．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝﹣3，S6＝0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求使不等式S n＞a n成立的n的最小值．19．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝3AD＝3AB＝3，AD⊥DC，AB∥DC，E为DC上一点，且DE＝1．（1）求证：D1E∥平面A1BD；（2）求点D到平面BED1的距离．20．已知函数f （x ）＝sin x ﹣x cos x −16x 3，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π2）上不存在零点；（2）若f （x ）＞kx ﹣x cos x −16x 3﹣1对x ∈（0，π2）恒成立，求实数k 的取值范围．21．已知O 为坐标原点，椭圆y 22+x 2＝1的下焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆相交于A ，B 两点．（1）以AB 为直径的圆与x =√2相切，求该圆的半径；（2）在y 轴上是否存在定点P ，使得PA →•PB →为定值，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =4m1+m 2y =√3(1−m 2)1+m 2（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+π6）＝1．（1）写出曲线C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝8，证明：（1）（4+a ）（4+b ）（4+c ）≥216；（2）（a +b ）2+（b +c ）2+（c +a ）2≥48．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．由（1+2i ）z ＝1﹣i ，得z =1−i1+2i ， ∴|z |＝|1−i1+2i |=|1−i||1+2i|=√2√5=√105．故选：B ．2．已知集合A ＝{x ∈Z ||x |＜3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，∁R B ＝[﹣1，2]，则A ∩（∁R B ）＝[﹣1，0，1，2]，故选：D ．3．∵x ＞2时，f （x ）＝x x ，∴lny ＝xlnx ，y ′＝x x （1+lnx ），可得x ＞1e 时，函数f （x ）单调递增．令g （x ）＝log x （x ﹣1），（x ＞2）． ∴g ′（x ）=(ln(x−1)lnx)′=lnx x−1−ln(x−1)x(lnx)2=lnx x −ln(x−1)x−1x(x−1)(lnx)2＞0．∴g （x ）＝log x （x ﹣1），（x ＞2）．单调递增． ∴c ＞1＞a ＞b ， ∴b ＜a ＜c ．故选：C ．4．根据题意，如图：若图中最小正方形的边长为1，即HP ＝1，则矩形HPLJ 中，LP ＝HJ =√5−12=√5+12，则在矩形HJIF 中，HF =√5−12=（√5+12）2，同理：FC ＝（√5+12）3，DC ＝（√5+12）4，则BC ＝（√5+12）5≈11.09；故选：D ．5．根据题意，函数f （x ）＝（4x −x ）cos x （﹣π≤x ≤π）且x ≠0），则f （﹣x ）＝（−4x+x ）cos （﹣x ）＝﹣（4x−x ）cos x ＝﹣f （x ），即f （x ）为奇函数，排除B 、D ；又由0＜x ＜π2，4x−x ＞0，cos x ＞0，则f （x ）＞0，排除C ；故选：A ．6．根据系统抽样的特点，得组距应为840÷56＝15， 442÷15＝29余7，∵487÷15＝32余7，307÷15＝20余7，607÷15＝40余7，520÷15＝34余10，∴520号职工没有被抽到，故选：D ．7．tan645°＝tan （2×360°﹣75°）＝﹣tan75°＝﹣tan （45°+30°）=−1+tan30°1−tan30°=√31−√3=−2−√3．故选：B ．8．∵向量a →，b →满足|a →|=√3，|b →|＝2√6，且满足（2a →+b →）⊥a →，设a →与b →的夹角为θ，θ∈[0，π]，则（2a →+b →）•a →=2a →2+a →⋅b →=2•3+√3•2√6•cosθ＝0，∴cosθ=−√22， ∴θ=3π4，故选：D ．9．∵该程序的功能是计算S ＝1+13+15+⋯+12019的值，即计算数列{1，13，15，⋯12019}的和，由于其通项公式为a n =12i−1，由程序框图可知执行框中应该填的语句是：S ＝S +12i−1．故选：D ．10．取双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线bx ﹣ay ＝0．圆（x ﹣1）2+y 2＝sin 2130°的圆心（1，0），半径r ＝sin130°＝sin50°． ∵渐近线与圆（x ﹣1）2+y 2＝sin 2130°， ∴√a 2+b 2=sin50°，所以b 2a 2=sin 250°cos 250°．所以e =ca =√1+b 2a 2=√1+sin 250cos 250°=1cos50°，故选：B ．11．∵2b ﹣a cos C ＝0，由余弦定理可得2b =a ×a 2+b 2−c 22ab，整理可得，3b 2+c 2＝a 2，① ∴sin A ＝3sin （A +C ）＝3sin B ，由正弦定理可得，a ＝3b ②，①②联立可得，c =√6b ，则bca 2=√6b×b 9b 2=√69．故选：D ．12．如图：∵|BF 2|＝4|AF 2|，|AF 1|＝|AB |，且|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ，|BF 1|﹣|BF 2|＝2a ， ∴设|AF 2|＝n ，则|BF 2|＝4n ， ∴|AF 1|＝5n ，可得n =12a ，∴|BF 1|＝4a ，|AF 1|=52a ，∴|BF 2|＝2a ，|AF 2|=a2，在△AF 1F 2中cos ∠AF 2F 1=AF 22+F 1F 22−AF 122AF 2⋅F 1F 2，在△BF 1F 2中cos ∠BF 2F 1=BF 22+F 1F 22−BF 122BF 2⋅F 1F 2，而cos ∠BF 2F 1+cos ∠AF 2F 1＝0，所以(a 2)2+(2c)2−(5a 2)2a2+(2a)2+4c 2−(4a)22a =0，c 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝c 2﹣a 2＝4，∴双曲线C 的方程为：x 25−y 24=1．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．由题意，可得y ′＝（3x 2+5x ﹣1）e x ，则y ′|x ＝0＝﹣1，∴曲线y ＝（3x 2﹣x ）e x 在点（0，0）处的切线方程为y ＝﹣x ，即x +y ＝0．故答案为：x +y ＝0． 14．因为a 1=13，6a 32＝a 6，所以，6×(13q2)2=13q5，解可得，q＝2，则S5=13(1−25)1−2=313．故答案为：31315．f（x）＝sin（π2−x）﹣8cos x2=cos x﹣8cos12x，＝2cos212x−8cos12x−1，令t＝cos12x，则t∈[﹣1，1]，则g（t）＝2t2﹣8t﹣1，根据二次函数的性质可知，当t＝1时，函数取得最小值﹣7．故答案为：﹣716．如图，连接AC，∵AB∥CD，∴直线AB到平面EFCD距离即为A到平面DFC的距离，设为h，∵CD∥AB，∠BAD=π2，∴AD⊥CD，又CD＝AD＝3，∴AC＝3√2，∵F A⊥平面ABCD，∴F A⊥AC，F A⊥AD，又FC＝5，∴F A=√FC2−AC2=√7，FD=√FA2+AD2=4．由F A⊥CD，CD⊥AD，得CD⊥平面F AD，则CD⊥FD．由V F﹣ACD＝V A﹣DFC，得13×12×3×3×√7=13×12×3×4×ℎ，解得h=3√74．∴直线AB到平面EFCD距离为3√74．故答案为：3√74．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）从表格中可知，100名学生中，近视的学生有20+30＝50名，所以可估计该中学一年级学生的近视率为50100=12；（2）K2=100×(20×15−35×30)255×45×50×50≈9.09＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．18．（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝﹣3，S6＝0．∴a1+d＝﹣3，6a1+15d＝0．解得：a1＝﹣5，d＝2．∴a n＝﹣5+2（n﹣1）＝2n﹣7．（2）不等式S n＞a n，即﹣5n+n(n−1)2×2＞2n﹣7，化为：（n﹣1）（n﹣7）＞0，解得n＞7．∴使不等式S n＞a n成立的n的最小值为8．19．（1）证明：由题意可知，∵AB∥DC，且3AB＝DC＝3，∴AB∥DE，AB＝DE，故四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD∥A1D1，BE＝AD＝A1D1，∴四边形A1D1EB为平行四边形，∴D1E∥A1B，∵D1E不在平面A1BD内，A1B在平面A1BD内，∴D1E∥平面A1BD．（2）过D作DM⊥D1E交D1E于M，∵ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，∴DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥BE，由（1）得BE∥AD，∵AD⊥DC，∴BE⊥DC，而DC∩DD1＝D，∴BE⊥平面DCC1D1，DM在平面DCC1D1，∴BE ⊥DM ，又∵DM ⊥D 1E ，BE ∩D 1E ＝E ， ∴DM ⊥平面BED 1，∴点D 到平面BED 1的距离即为DM 长， ∵DE ＝1，DD 1＝3， ∴D 1E =√10， ∴DM =√10=3√1010，∴点D 到平面BED 1的距离为3√1010． 20．（1）由题意得f′(x)=xsinx −12x 2=x （sin x −12x ），令g （x ）＝sin x −12x ，则g′(x)=cosx −12，当x ∈（0，13π）上时，g ′（x ）＞0，g （x ）单增；当x ∈（13π，12π）上时，g ′（x ）＜0，g （x ）单减， ∵g （0）＝0，g （13π）=√32−π6＞0，g （12π）＝1−π4＞0，故g （x ）＞0在（0，12π）上恒成立，故f ′（x ）＞0在（0，12π）上恒成立，故f ′（x ）在区间（0，12π）上不存在零点．（2）由f （x ）＞kx ﹣x cos x −16x 3﹣1，得sin x ＞kx ﹣1，∵x ∈（0，12π），故k ＜sinx+1x，令t （x ）=1+sinx x，则t′(x)=xcosx−sinx−1x 2，令m （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣1，则m ′（x ）＝﹣x sin x ＜0恒成立，所以m （x ）在（0，12π）上单调递减，∴m （x ）＜m （0）＝﹣1＜0， ∴t ′（x ）＜0在（0，12π）上恒成立，即t （x ）在（0，12π）上单减，∴t （x ）＞t （12π）=4π，∴k ≤4π，∴k 的取值范围是（﹣∞，4π]．21．由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y 22+x 2=1y =kx −1消去y ，得（k 2+2）x 2﹣2kx ﹣1＝0，则△＝4k 2+4k 2+8＞0恒成立，x 1+x 2=2k k 2+2，x 1x 2=−1k 2+2， y 1+y 2＝k （x 1+x 2）﹣2=−4k 2+2，y 1y 2＝（kx 1﹣1）（kx 2﹣1）=2−2k 2k 2+2．（1）|AB |=√1+k 2√(2k k 2+2)2+4k 2+2=2√21+k 2k 2+2，线段AB 的中点的横坐标为kk 2+2，∵以AB 为直径的圆与x =√2相切，∴√2(1+k 2)k 2+2=√2−kk 2+2，解得k =√2，此时|AB |＝2√2×1+22+2=3√22， ∴圆的半径为3√24．（2）设P （0，y 0），PA →⋅PB →=x 1x 2+（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝x 1x 2+y 1y 2﹣y 0（y 1+y 2）+y02， =−1k 2+2+2−2k 2k 2+2+4y 0k 2+2+y 02=(y 02−2)k 2+2y 02+4y 0+1k 2+2，由y 02−21=2y 02+4y 0+12，得y 0=−54，PA →⋅PB →=−716，∴y 轴上存在定点P （0，−54），使得PA →⋅PB →为定值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（1），曲线C 的参数方程为{x =4m 1+m 2y =√3(1−m 2)1+m 2（m 为参数），转换为直角坐标方程为x 24+y 23=1(y ≠−√3)．直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+π6）＝1．转换为直角坐标方程为√3y +x −1=0．（2）由（1）可设C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ（θ为参数），则可设C 上任意一点坐标为（2cosθ，√3sinθ），则C 上点到l 距离为d =√3+1=|√13sin(θ+α)−1|2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√13−12．所以C 上的点到l 距离的最小值为√13−12．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴4+a =2+2+a ≥3√2×2×a 3=3√4a 3，同理4+b =2+2+b ≥3√2×2×b 3=3√4b 3，4+c =2+2+c ≥3√2×2×c 3=3√4c 3． ∴(4+a)(4+b)(4+c)≥27√64abc 3=216，当且仅当a ＝b ＝c ＝2时取等号， ∴（4+a ）（4+b ）（4+c ）≥216．（2）∵a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝8，∴(a +b)2+(b +c)2+(c +a)2≥3√(a +b)2(b +c)2(c +a)23=3[(a +b)(b +c)(c +a)]23， ≥3×(2√ab ×2√bc ×2√ac)23=3×(8abc)23=3×6423=3×16=48 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴（a +b ）2+（b +c ）2+（c +a ）2≥48．。