连续函数四则运算
1-07函数的连续性
f
( x0
x)
f
( x0 )]
0,那末就称函数
f ( x)在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x) f ( x0 ),
x
0 就是
x
x, 0
y
0 就是
f
(x)
f ( x ). 0
定义 1′设函数 f ( x) 在U ( x0 ) 内有定义,如果
断点. 三、1、x 1 为第一类间断点；
2、 x k 为可去间断点, 2
x k(k 0)为第二类间断点.
f1(
x)
x tan
x
,
x
k,
k
2
1, x 0
(k 0,1,2,) ,
二、函数连续性的运算定理
1. 连续函数的四则运算
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
x x0
f ( x)
f 2( x0 )
故| f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 都连续.
但反之不成立.
例
f
(
x)
1, 1,
x0 x0
在 x0 0不连续
但 | f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 0 连续
练习题
一、填空题：
1、指出 y x 2 1 在 x 1 是第_______类间 x2 3x 2
恒有 f (u) f (a) 成立.
又 lim ( x) a, x x0
对于 0, 0,使当0 x x0 时,
连续函数的四则运算
定理6 最大值和最小值定理 定理 一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 定理7 定理 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 一定在该区间上有界. 证 设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 于是存在 m 、 上连续,
推论1在闭区间上连续的函数 推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值 之间的任何值. M 与最小值 m 之间的任何值.
例 5 证明方程 x 3 4 x 2 + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至 少有一个实根 . 证 令 f ( x) = x 3 4 x 2 + 1 , 则 f ( x ) 在 [0, 1] 上连续 . 又 f (0) = 1 > 0 , f (1) = 2 < 0 , 由零点定理 , ξ ∈ (0, 1) , 使 f (ξ ) = 0 , 即 根ξ . 完
1 ln(1 + x ) 解 lim = lim ln(1 + x ) x x →0 x →0 x
1 x = ln lim(1 + x ) x →0
= ln e = 1 .
完
例
求 lim cos( x + 1
x →∞ x →∞
x) .
解 lim cos( x + 1
x)
( x + 1 x )( x + 1 + x ) = cos lim x →∞ x +1+ x
3 sin x
1 2x = lim (1 + 2 x ) x →0
= e6 .
完
三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的; 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 在 ( ∞ ,+∞ ) 内单调 且连续; 且连续 对数函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 在 (0,+∞ ) 内单 调且连续; 调且连续
连续函数的运算与初等函数的连续性
x)
u0
.
定理4 若 u (x) 在点 x0 连续，且 (x0 ) u0 , 而
函数 y = f (u) 在点 u u0 处连续，则复合函数 y f (x)
在点 x0 连续 .
例1
求 lim
x2 9 .
x3 x 3
解
lim
x2 9
x2 9 lim
x0
∵ (1 2x) (1 2x) e 解
3 sin x
1 2x
sinx
x
6
1
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x
1
∴ lim(1 2x) e e 3 sin x
lim
x0
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x
6
x0
说明 函数 u(x)v(x) (u(x) 0 , u(x)不恒等于1) 既不是
lim
1
u(x)
1
1 u( x)1v( x)
u ( x)1
elimu( x)1v( x)
说明 在求解此类极限时，先计算 limu(x) 1v(x),
再对极限值取指数 e 即可.
1
例6 求 lim(x 2ex ) x1 . x0
解 因为 所以
lim(x 2ex ) 2 ,
定理3
若
lim
xx0
(x)
(
x0
)
,
u
(x)
,
而函数 y f (u)
在点 u u0 处连续，则有
连续函数四则运算
1 x
1 x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
定理4 设函数 y = f [g(x)] 由函数 u = g(x) 与函数
y = f (u) 复合而成， U ( x0 ) D f g . 若函数 u = g(x) 在 x =
x0 连续，且 g(x0) = u0 ， 而函数 y = f (u) 在 u = u0 连续, 则复合函数 y = f [g(x)] 在 x = x0 连续. 证明略.
例如, y sin x 在
上单调增加且连续， 其反函数
y arcsin x 在[-1, 1]上也单调增加且连续.
y
y sin x
π 2
-1
O
1
π 2
x
y arcsin x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
又如, y = ex 在(- , + )上单调递增且连续，其反函
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的四则运算
定理1 在某点连续的有限个函数经有限次和 、差 、
积 、商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的 函数 . ( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 都在(- , + ) 连续，
在其定义域内连续.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
1. 反函数的连续性 定理2 如果函数 y = f (x) 在区间 Ix 上单调增加(或单
调减少)且连续，那么它的反函数 x = f -1(y) 也在对应的
区间 Iy = { y | y = f (x) , x Ix } 上单调增加(或单调减少)
且连续. 证明略.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
(完整版)高等数学笔记
(完整版)高等数学笔记第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1。
函数的定义: y=f(x ）， x ∈D定义域： D(f ）, 值域: Z(f ）。
2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3。
隐函数： F(x,y ）= 04。
反函数： y=f （x) → x=φ(y ）=f —1(y ）y=f -1(x)定理:如果函数: y=f （x), D （f ）=X ， Z （f ）=Y 是严格单调增加（或减少）的； 则它必定存在反函数：y=f —1（x)， D （f —1）=Y, Z （f —1)=X 且也是严格单调增加（或减少）的。
㈡ 函数的几何特性1。
函数的单调性： y=f （x ），x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x ）在D 内单调增加（ )；若f （x 1)≥f(x 2），则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1）＜f （x 2)，则称f （x)在D 内严格单调增加( ）；若f(x 1)＞f （x 2)，则称f(x)在D 内严格单调减少（ ).2。
函数的奇偶性：D(f ）关于原点对称 偶函数：f(—x ）=f （x) 奇函数：f （-x ）=-f （x ） 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x ）, x ∈(-∞，+∞) 周期：T-—最小的正数4。
函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1。
常数函数： y=c ， (c 为常数）2.幂函数： y=x n， （n 为实数）3.指数函数: y=a x， （a ＞0、a ≠1） 4.对数函数： y=log a x ,（a ＞0、a ≠1） 5。
三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6。
反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x ， y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1。
可导与连续的关系及四则运算法则
可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
可导性要求函数在该点的左右 极限相等，即函数在该点具有 极限。
可导性是函数局部性质，只要 求函数在某一点可导，并不要 求在整个定义域上可导。
可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
导数的计算方法
导数可以通过极限定义进行计算，即函数在某一点的导数等于该点的切线斜率。此外，还可以利用链 式法则、乘积法则、商的导数法则等计算复杂函数的导数。
导数的几何意义
导数表示函数图像上某一点的切线斜率。当导数大于零时，函数在该区间内单调递增；当导数小于零 时，函数在该区间内单调递减。
思考导数的物理意义和实际应用
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v - uv'}{v^2}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$
对数法则
$(ln u)' = frac{u'}{u}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$
1-5 连续性与间断点 连续函数运算
不连续
不存在; 存在 ,
x→x0
这样的点
称为间断点 . 间断点
间断点分类: 间断点分类:
第一类间断点: 第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 均存在 , 称 称
x0为可去间断点
.
x0 为跳跃间断点 .
若其中有一个为 ∞, 称
x0 为无穷间断点
. .
若其中有一个为振荡 , 称
∆y = 2
∆x sin 2 ∆x cos( x + 2 )
= ∆x
即 这说明 同样可证: 同样可证: 函数 在 在
∆x →0
0
内连续 . 内连续 .
二、 函数的间断点 下列情形之一函数 f (x) 在点 (1) (2) (3) 但 在 在 在 无定义 ; 有定义,但 有定义,且
lim f (x) ≠ f (x0)
三、初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一 切 初 等 函 数 在
定 义 区 间 内 连 续
例如, 例如,
y = 1− x
2
的连续区间为
(端点为单侧连续) 端点为单侧连续)
y = lnsin x 的连续区间为
而
y = cos x −1 的定义域为
函数的连续性与间断点 连续函数的运算与初等函数的连续性
第八节 函数的连续性与间断点
第一章
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义 处及其邻域内
f ( x0 ) ,
定义:设函数 y = f (x) 在 有定义, 且 lim
x → x0 f (x) =
则称函数 f (x ) 在 x 0 处连续。 .
连续函数的运算与初等函数的连续性
结论 反三角函数在其定义域内皆连续.
指数函数 y e x (, )内单调增加且连续， 对数函数 y ln x在(0, )内单调增加且连续 .
y
y ex
1
o1
y ln x
x
2.复合函数的连续性
定理3
若
lim
x x0
g(
x)
u0
,
而函数 f (u)在点u0连续,
lim
x x0
f [g( x)] lim uu0
y sin 1 在(, 0) (0, )内连续. x
y
y sin 1
x
o
x
三、初等函数的连续性
已有结果： (1) 三角函数在它们的定义域内是连续的. (2) 反三角函数在它们的定义域内是连续的. (3) 指数函数 y a x (a 0, a 1)在(, )内连续.
(4) 对数函数 y loga x (a 0, a 1)在(0, )内连续. (5)幂函数 y x在定义区间内连续.
基本初等函数在定义区间内连续.
y x e ln x
y eu , u ln x.
在(0, )内连续, 讨论不同值,
(均在其定义域内连续 )
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一切初等函数 在定义区间内 连续
例如
y 1 x2 的连续区间为[1,1].(端点为单侧连续) y lnsin x的连续区间为(2n π, (2n 1) π ) , n Z.
lim sin x 1， x0 x
x0
cos x1
解:
原式
lim
[1
(cos
x
1
1)]cos x1
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 及 第十节 闭区间上连续函数的性质 ㈠．本课的基本要求了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理），掌握连续函数的运算。
㈡．本课的重点、难点连续函数的运算为重点，闭区间上连续函数的性质为难点㈢．教学内容一．连续函数的运算1.连续函数的和、差、积、商的连续性函数的连续性是通过极限来定义的，因此由极限运算法则和连续的定义可得到下列连续函数的运算法则：定理1（四则运算）设)()(),()(),()()(),(0x g x f x g x f x g x f x x g x f ⋅±处连续，则均在（在商的情形下要求0)(0≠x g ）都在0x 处连续。
说明：连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数。
∵x x x x cot tan ),(cos sin 、内连续，均在和∴+∞-∞在其定义域内也是连续的。
2.反函数与复合函数的连续性定理 2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(1y f x -=也在对应的区间}),(|{x y I x x f y y I ∈==上单调增加（或单调减少）。
（证略） 例 由于x y sin =在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上单调增加且连续，所以它的反函数x y arcsin =在闭区间]1,1[-上也是单调增加且连续的。
类似可得：x y arccos =在闭区间]1,1[-上单调减少且连续；x y arctan =在区间),(+∞-∞内单调增加且连续；x arc y cot =在区间),(+∞-∞内单调减少且连续。
总之反三角函数在它们的定义域内都是连续的。
定理3（复合函数极限定理） 设函数)(x u ϕ=当0x x →时极限存在且等于a ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那么复合函数)]([x f y ϕ=当0x x →时极限存在，且等于)(a f ，即)()]([lim 0a f x f x x =→ϕ。
连续函数的运算性质
§2.2 连续函数的运算与初等函数的连续性【导语】对于一般函数，从定义出发讨论其连续性不仅困难，也没必要。
因为许多函数都是由简单函数经过四则运算和复合运算得到的。
得到了简单函数的连续性结果后，只要再了解连续函数经过运算之后的连续性结论，我们就可以得到一般函数的连续性结果。
本讲将介绍连续函数的和、差、积、商函数，复合函数，以及反函数的连续性结果，并给出初等函数在其定义区间上的连续性。
【正文】一、连续函数的四则运算定理2 如果函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，那么它们的和、差、积、商函数()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ，0()(()0)()f xg x g x ≠均在0x 处连续．二、复合函数的连续性定理3 如果函数()f u 在0u 处连续，函数()g x 在0x 处连续，且00()u g x =，那么复合函数(())f g x 在0x 处连续．从运算的角度看，有000lim (())(lim ())((lim ))x x x x x x f g x f g x f g x →→→== 成立．即对连续函数来说，极限求值运算与函数求值运算可以交换次序．三、反函数的连续性定理 4 设1()f y -是函数()f x 的反函数，且00()y f x =．如果函数()f x 在0x 处连续，那么函数1()f y -在0y 处连续．例 1 证明：对数函数ln y x =在(0,)+∞内连续．解 对任意的0(0,)x ∈+∞，记00ln y x =，因为指数函数e y x =在0y 处连续，所以其反函数ln y x =在0x 处连续。
由0x 的任意性可知：对数函数ln y x =在(0,)+∞内连续．例 2 证明：幂函数y x α=在(0,)+∞内连续．证 当(0,)x ∈+∞时，根据指数函数与对数函数的性质，得ln ln e e x x y x ααα===．对任意的0(0,)x ∈+∞，因为函数ln x α在0x 处连续，且指数函数e u 在00ln u x α=处连续，所以ln e x y x αα==在0x 处连续．由0x 的任意性可知：幂函数y x α=在(0,)+∞内连续．例 3 证明：如果函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，且0()0f x >，则函数()()g x y f x =在0x 处连续．证 根据指数函数与对数函数的性质，得()()ln ()()ln ()()e e g x g x f x g x f x y f x ===． 因为0()0f x >，所以对数函数ln u 在0()f x 处连续。
叙述与证明二元连续函数的四则运算法则
叙述与证明二元连续函数的四则运算法则二元连续函数的四则运算法则是指对于任意两个连续函数$f(x)$和$g(x)$，它们的加、减、乘、除四则运算仍然是连续函数。
具体地，加法运算规定为$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$，减法运算规定为$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$，乘法运算规定为$(ftimes g)(x)=f(x)times g(x)$，而除法运算则要求除数$g(x)$在定义域内不为$0$，并且规定为$left(frac{f}{g}right)(x)=frac{f(x)}{g(x)}$。
为了证明这些运算仍然是连续函数，我们需要利用连续函数的定义和基本性质，下面分别进行叙述和证明。
1. 连续函数的定义如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值等于$f(x_0)$，即$limlimits_{xto x_0}f(x)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。
2. 连续函数的基本性质（1）连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数。
（2）有限个连续函数的复合仍然是连续函数。
（3）连续函数在闭区间上取到最大值和最小值。
3. 叙述与证明四则运算法则（1）加法运算的叙述对于任意两个连续函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和$f(x)+g(x)$仍然是连续函数。
证明：由连续函数的定义可知，对于任意$varepsilon>0$，存在$delta_1>0$和$delta_2>0$，使得当$|x-x_0|<delta_1$时，有$|f(x)-f(x_0)|<frac{varepsilon}{2}$，当$|x-x_0|<delta_2$时，有$|g(x)-g(x_0)|<frac{varepsilon}{2}$。
取$delta=min{delta_1,delta_2}$，则当$|x-x_0|<delta$时，有begin{aligned}|(f+g)(x)-(f+g)(x_0)|&=|f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)|&=|(f(x)-f(x_0))+(g(x)-g(x_0))|&leq|f(x)-f(x_0)|+|g(x)-g(x_0)|&<frac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2} &=varepsilonend{aligned}因此，函数$f+g$在点$x_0$处连续，证毕。
高等数学 第八节 函数的连续性
设函数 f (x) 在 (x0– , x0 ] 内有定义. 若 xl ixm 0 f(x)f(x0)
则称 f (x) 在 x0 点处左连续.
其中, 为任意常数.
定理
xl ixm 0 f(x)f(x0)
xl ix 0m f(x)x l ix0 m f(x)f(x0)
x0为函数的.间断点
又 limf(x)lim sin1 不存在,
x0
x0 x
故 x = 0 为函数的第二类间断点.
看看该函数的图形.
y y sin 1
1
x
O
x
1
称x0为f(x)sin 1的振荡型. 间断 x
第 二 类 间 断 点
左右极限至少 有一个不存在
无穷型间断点
左右极限至少有一个为无穷
2、函数连续性的定义 (极限形式)
是整个邻域
定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若
xl ix0m f(x)f(x0)
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义) (2)xl ixm 0 f(x)a存； 在 (x x0时 , f(x)有极 ) (3 )af(x0).(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
1x
ysinxC( [ , ] )
yarcxs iC n([1,1])
单调 增加 2 2 单增 调加
3、复合函数的连续性
定理 (复合函数连续性定理)
高等数学连续函数的运算
分析
根据题目要求，选择合适的连续函数 性质（如介值性、一致连续性等）， 然后构建辅助函数进行证明或求解。
03 导数在连续函数运算中应 用
导数概念及计算方法回顾
01
02
03
导数的定义
导数描述了函数在某一点 的变化率，即函数值随自 变量变化的快慢程度。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导数 公式、导数的四则运算法 则、复合函数的求导法则 等。
能的极值点$x=1/e$ （不在区间内，舍去）， 接着通过判断$f'(x)$在 区间$[1,e]$上的符号变 化情况得出$f(x)$在区 间$[1,e]$上单调递增， 最后比较区间端点处的 函数值得出最大值和最
04 积分在连续函数运算中应 用
积分概念及计算方法回顾
积分的定义
积分是微积分学与数学分 析里的一个核心概念，通 常分为定积分和不定积分 两种。
$f'(x)=0$求出可能的极 值点$x=1$，最后通过 判断$f'(x)$在$x=1$附 近的符号变化情况得出 $f(x)$在$x=1$处取得
极小值。
例题2
求函数$f(x)=xln x$在 区间$[1,e]$上的最大
值和最小值。
解答
首先求出函数$f(x)$的 导数$f'(x)=ln x + 1$， 然后令$f'(x)=0$求出可
积分的计算方法
包括换元积分法、分部积 分法、有理函数积分法等。
积分的几何意义
定积分可以表示平面图形 的面积、空间立体的体积 等。
积分在求解连续函数面积、体积问题中应用
平面图形的面积
通过定积分可以求解由连续曲线与直线所围成的 平面图形的面积。
空间立体的体积
连续函数的一般性质
思考题
设 f ( x ) = sgn x , g ( x ) = 1 + x , 试研
2
究复合函数 f [ g ( x )]与 g[ f ( x )]的连续性 的连续性.
1, x > 0 2 f ( x ) = 0, x=0 ∵ g( x ) = 1 + x 1, x<0 2 ∴ f [ g ( x )] = sgn(1 + x ) = 1
求 lim sin e x 1.
x →1
( x0 ∈ 定义区间 )
例3 解
原式 = sin e 1 1 = sin e 1.
1+ x2 1 . 例4 求 lim x→0 x
( 1 + x 2 1)( 1 + x 2 + 1) 解 原式 = lim x →0 x ( 1 + x 2 + 1) x 0 = = 0. = lim 2 x →0 1+ x +1 2
练习题答案
一,1,2;
1 2, 2, ; 2
3, 3,0;
4, 4,0 ;
1 1 6, 5, ( 2 + 1) ; 6,1; 2 e 7,( ∞ ,3), ( 3,2), ( 2,+∞ ) ; 2 8, ,0,不存在. ,0,不存在. 不存在 2 1 2, 3; 二,1,cos a ; 2,1; 3; 2 . e 三, a = 1, b = e .
f [ g ( x )]在( ∞ ,+∞ ) 上处处连续
思考题解答
2, g[ f ( x )] = 1 + (sgn x ) = 1,
2
x≠0 x=0
g[ f ( x )]在(∞ ,0) ∪ ( 0,+∞ ) 上处处连续 ∞
连续函数的四则运算法则
连续函数的四则运算法则1.加法运算：对于两个连续函数f(某)和g(某)的加法运算，结果为h(某)=f(某)+g(某)。
根据连续函数的定义，若f(某)和g(某)在某一点某0连续，那么h(某)=f(某)+g(某)在某0也连续。
2.减法运算：对于两个连续函数f(某)和g(某)的减法运算，结果为h(某)=f(某)-g(某)。
根据连续函数的定义，若f(某)和g(某)在某一点某0连续，那么h(某)=f(某)-g(某)在某0也连续。
3.乘法运算：对于两个连续函数f(某)和g(某)的乘法运算，结果为h(某)=f(某)·g(某)。
在乘法运算中，连续函数的连续性不一定成立，因此需要额外的条件。
若f(某)和g(某)在某一点某0连续，且至少其中一个函数在某0不为零，则h(某)=f(某)·g(某)在某0连续。
4.除法运算：对于两个连续函数f(某)和g(某)的除法运算，结果为h(某)=f(某)/g(某)。
在除法运算中，需要满足除数g(某)不等于零，并且在整个定义域上g(某)都连续。
根据连续函数的定义，若f(某)和g(某)在某一点某0连续，且g(某0)不等于零，则h(某)=f(某)/g(某)在某0也连续。
需要注意的是，在使用连续函数的四则运算法则时，还需要考虑定义域的交集。
即，结果函数h(某)的定义域应为f(某)和g(某)的定义域的交集。
此外，还需要注意特殊情况。
例如，在乘法运算中，当f(某)和g(某)同时为零时，结果是一个不连续的函数。
在除法运算中，如果在某些点上g(某)为零，则应将这些点从结果函数的定义域中排除。
综上所述，连续函数的四则运算法则是在满足一定条件下对连续函数进行加、减、乘、除运算的规则。
根据定义域和函数值的连续性，可以确定结果函数的连续性。
连续与间断的概念及连续函数的运算
当∆u > 0时, 变量 u 从 u1 变到 u2 = u1 + ∆u 是增大的, 时
当∆u < 0 时, 变量 u 是减小的.
设函数 y = f ( x )在点 x0 的某一个邻域内有 定义 , 当自变量 x 在这邻域内从 x0变到 x0 + ∆x 时, 函数 y 相应地从 f ( x0 ) 变到 f ( x0 + ∆x ), 则函 数 y 对应的增量为 ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ).
仅在x=0处连续,其余各点处处间断. 处连续,其余各点处处间断. 仅在 处连续
1, 当x是有理数时, ( 3) f ( x ) = − 1, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断, 在定义域 内每一点处都间断, 但其绝对 内每一点处都间断 值处处连续. 值处处连续. 判断下列间断点类型: 判断下列间断点类型:
例11 确定函数 f ( x) = 解
1 1− e
x 1−x
的间断点的类型.
间断点为 x = 0 , x = 1.
因为lim f ( x) = ∞ , 所以x = 0为无穷间断点; 为无穷间断点 x→0 →
x 因为lim = + ∞ , 所以lim f ( x) = 0, − x→ 1 − x 1 x→ − 1 x 因为lim = − ∞ , 所以lim f ( x) = 1, + x→ 1 − x 1 x→ + 1
x →0
要使 f (0 − 0) = f (0 + 0) = f (0) ⇒ a = 1,
故当且仅当 a = 1时, 函数 f ( x )在 x = 0处连续 . 时
二、函数间断点的概念
, 设函数 f ( x)在点x0的某去心邻域内有定义 : 如果 f ( x) 有以下三种情况之一
基本初等函数在定义域内连续
基本初等函数在定义域内连续一、引言连续性是数学中一个非常重要的概念，在分析数学中扮演着重要的角色。
本文将讨论基本初等函数在定义域内的连续性，探讨其定义、性质以及连续性的相关定理。
二、基本初等函数的定义基本初等函数是指由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数。
这些函数在数学中具有广泛的应用，了解它们的连续性对于理解数学问题至关重要。
三、连续性的定义在介绍基本初等函数的连续性之前，我们先来回顾一下连续性的定义。
对于一个函数f(x)，如果对于定义域内的任意x0，当x趋近于x0时，f(x)也趋近于f(x0)，那么我们称函数f(x)在x0处连续。
如果函数在定义域的每个点都连续，则称函数在定义域内连续。
四、基本初等函数的连续性性质基本初等函数在其定义域内具有连续性的性质如下：1. 常数函数的连续性常数函数f(x)=c在定义域内是处处连续的，其中c为常数。
2. 幂函数的连续性对于幂函数f(x)=x n，当n为正整数时，在定义域内是连续的。
当n为负整数时，在定义域内除了x=0处不连续，其他点都是连续的。
3. 指数函数的连续性指数函数f(x)=a x，其中a为正实数且a≠1，在定义域内是连续的。
4. 对数函数的连续性对数函数f(x)=log a x，其中a为正实数且a≠1，在定义域内是连续的。
5. 三角函数的连续性三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在其定义域内都是连续的。
6. 反三角函数的连续性反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
这些函数在其定义域内都是连续的。
五、基本初等函数连续性的证明基本初等函数连续性的证明可以通过极限的定义来进行。
对于每个基本初等函数，我们可以通过分析其定义和性质，利用极限的性质来证明其连续性。
六、连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，这些性质对于解决数学问题非常有用。
1. 连续函数的四则运算如果f(x)和g(x)都是定义域内的连续函数，那么它们的和、差、积和商（除数不为零的情况下）也都是定义域内的连续函数。
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因为
u (x )v(x ) ev(x )ln u (x ),
故幂指函数可化为复合函数.
易见: 若 liu m (x)a 0, liv m (x)b,则 liu ( m x ) v (x ) lie v m (x ) lu n (x )elim v(x)[ln u (x)]eblna ab.
即 lim u(x)v(x)ab
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称 f (x0)是函数 f (x)在区间 I上的最大(小)值.
例如, y1sixn ,x[0,2],ymax 2, ymin0.
ysg x,在n( , )上, ymax1, ymi n1. 在(0,)上, yma x ym in 1.
定理6 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值.
x
co0s 1 .
完
3
例 2 求 lim (12x)sinx . x0
解 因为
3
(12x)sinx
(12x)21xs1in x6,
所以
lx i0(m 12x)s3 ixnlx i0 m (12x)2 1 x sx ixn 6
e6 .
完
三、初等函数的连续性
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的;
指数函数 y ax(a0 ,a1 )在( , )内单调
且连续;
对数函数 yloagx(a0 ,a1 )在(0,)内单
调且连续;
y x aloagx y au, uloag x在(0,)
内连续.
讨论 的不同值(均在其定义域内连续).
初等函数的连续性
讨论 的不同值(均在其定义域内连续).
定理4 基本初级函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初级函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 但在其 定义域内不一定连续.
连续, 则有 lx ix0m f[(x) ]f(a)f[lim (x)].
x x0
xx0
证 f (u)在点 u a 处连续, 0,0,
当|ua|时,恒有
|f(u ) f(a )|,
又
lim (x)a,对上述 xx0
,
0,当
0 |xx0|时, 恒有 |(x ) a | |u a |,
结合上述两步得, 0,0,当
的零点.
定理8零点定理设函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续, 且 f (a)与 f (b)异号(即 f(a )f(b ) 0 )那,么在开区 间(a,b)内至少有函数 f (x)的一个零点, 即至少有
一点 (ab),使 f()0.
f (x) g(x)
(g(x0)0)
在点 x 0 处也连续. 例如, sinx, co x在s( , )内连续,故
tanxcsionxxs,
coxt csionxxs,
secxco1xs,
cscxsi1nx
在其定义域内连续.
二、复合函数的连续性
定理2 若 lim (x)a,函数 f (u)在点 a处
注意公式成立的条件
1
例6 求 lim (x2ex)x1.
解
lix( x m 0 2 e x )x 1 1 [li(x m 2 e x )x l ] i 0 x 1 m 1
x 0
x 0
21
1 2
.
完
四、闭区间上连续函数的性质
定义 对于在区间 I上有定义的函数 f(x),如果 有 x0I,使得对于任一 xI都有
解
lxim 0 ln1(xx)
1
limln1(x)x x0
lnlxim 0(1x)1x
lne 1 .
完
例 求 lic m ox s1 ( x ). x
解 lic m ox s 1 (x ) x
c o lx i s (m x 1 x x ) 1 (x x 1 x )
colxs i mx1 1
(x0)u0,而函数 yf(u)在点 uu0处连续,
则复合函数 f[(x)]在点 x 0 处也连续.
注意 定理4是定理3的特殊情况.
例如,
u
1 x
在
(,0 ) (0 ,)内 连续,
ysiu n在 ( , )内连续,
y sin1x 在(,0 ) (0 ,) 内连续.
例1
求 limln1(x). x0 x
x l ix0m f(x)f(x0)(x0 定义区间).
完
例 3 求 lxim2 2xex1.
解
因为
f(x) ex 是初等函数 2x1,来自且x02
是其定义区间内的点 , 所以 f(x)2xex1在点
x0 2处连续 , 于是
lim ex e2 x2 2x 1 221
e2 5
.
完
幂指函数
形如 f(x)u(x)v(x)(u(x)0)的函数称为幂指函数.
定理7 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界.
证 设函数 f (x)在[a,b]上连续, 于是存在 m、 M ,使得 x [a,b]有, m f(x )M ,取
K mm a||,x M |{ }||f(x)|K. 故函数 f (x)在[a,b]上有界.
完
定义 如果 x 0 使 f(x0)0,则 x 0 称为函数 f (x)
0 |xx0|时, 恒有 |f ( u ) f ( a ) | |f [ ( x ) f ( ] a ) | ,
lim f[(x) ]f(a)f[lim (x)].
x x0
xx0
意义 1. 极限符号可以与连续函数符号互换;
2.定理2给出了变量代换(u(x)的) 理论依据.
定理3 设函数 u(x)在点 x 0 处连续, 且
例如, ycox s1,D : x 0 , 2 , 4 ,
在这些孤立点的领域内没有定义.
y x2(x1)3,D :x0及 x1.
在这些孤立点的领域内没有定义.
y x2(x1)3,D :x0及 x1. 在0点的领域内没有定义, 函数在区间[1,)上
连续. 2. 初等函数求极限的方法(代入法)
1.11 连续函数的运算与性质 1. 连续函数的四则运算 2. 反函数与复合函数的连续性 3. 初等函数的连续性
基本初等函数在各自的定义域上都连续 . 初等函数在其各自的定义域上都连续 . 这里定义 区间指包含在其定义域内的区间 . 4. 闭区间上连续函数的性质
一、连续函数的算术运算
定理1 若函数 f(x)g ,(x)在点 x 0 处连续, 则 f(x)g(x),f(x)g(x),