连续函数四则运算

1.11 连续函数的运算与性质 1. 连续函数的四则运算 2. 反函数与复合函数的连续性 3. 初等函数的连续性
基本初等函数在各自的定义域上都连续 . 初等函数在其各自的定义域上都连续 . 这里定义 区间指包含在其定义域内的区间 . 4. 闭区间上连续函数的性质
一、连续函数的算术运算
定理1 若函数 f(x)g ,(x)在点 x 0 处连续, 则 f(x)g(x),f(x)g(x),
0 |xx0|时, 恒有 |f ( u ) f ( a ) | |f [ ( x ) f ( ] a ) | ,
lim f[(x) ]f(a)f[lim (x)].
x x0
xx0
意义 1. 极限符号可以与连续函数符号互换;
2.定理2给出了变量代换(u(x)的) 理论依据.
定理3 设函数 u(x)在点 x 0 处连续, 且
解
lxim 0 ln1(xx)
1
limln1(x)x x0
lnlxim 0(1x)1x
lne 1 .
完
例 求 lic m ox s1 ( x ). x
解 lic m ox s 1 (x ) x
c o lx i s (m x 1 x x ) 1 (x x 1 x )
colxs i mx1 1
定理7 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界.
证 设函数 f (x)在[a,b]上连续, 于是存在 m、 M ,使得 x [a,b]有, m f(x )M ,取
K mm a||,x M |{ }||f(x)|K. 故函数 f (x)在[a,b]上有界.
完
定义 如果 x 0 使 f(x0)0,则 x 0 称为函数 f (x)
x
co0s 1 .
完
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例 2 求 lim (12x)sinx . x0
解 因为
3
(12x)sinx
(12x)21xs1in x6,
所以
lx i0(m 12x)s3 ixnlx i0 m (12x)2 1 x sx ixn 6
e6 .
完
三、初等函数的连续性
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的;
例如, ycox s1,D : x 0 , 2 , 4 ,
在这些孤立点的领域内没有定义.
y x2(x1)3,D :x0及 x1.
在这些孤立点的领域内没有定义.
y x2(x1)3,D :x0及 x1. 在0点的领域内没有定义, 函数在区间[1,)上
连续. 2. 初等函数求极限的方法(代入法)
x l ix0m f(x)f(x0)(x0 定义区间).
完
例 3 求 lxim2 2xex1.
解
因为
f(x) ex 是初等函数 2x1
,
且
x0
2
是其定义区间内的点 , 所以 f(x)2xex1在点
x0 2处连续 , 于是
lim ex e2 x2 2x 1 221
e2 5
.
完
幂指函数
形如 f(x)u(x)v(x)(u(x)0)的函数称为幂指函数.
指数函数 y ax(a0 ,a1 )在( , )内单调
且连续;
对数函数 yloagx(a0 ,a1 )在(0,)内单
调且连续;
y x aloagx y au, uloag x在(0,)
内连续.
讨论 的不同值(均在其定义域内连续).
初等函数的连续性
讨论 的不同值(均在其定义域内连续).
定理4 基本初级函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初级函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 但在其 定义域内不一定连续.
(x0)u0,而函数 yf(u)在点 uu0处连续,
则复合函数 f[(x)]在点 x 0 处也连续.
注意 定理4是定理3的特殊情况.
例如,
u
1 x
在
(,0 ) (0 ,)内 连续,
ysiu n在 ( , )内连续,
y sin1x 在(,0 ) (0 ,) 内连续.
例1
求 limln1(x). x0 x
注意公式成立的条件
1
例6 求 lim (x2ex)x1.
解
lix( x m 0 2 e x )x 1 1 [li(x m 2 e x )x l ] i 0 x 1 m 1
x 0
x 0
21
1 2
.
完
四、闭区间上连续函数的性质
定义 对于在区间 I上有定义的函数 f(x),如果 有 x0I,使得对于任一 xI都有
的零点.
定理8零点定理设函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续, 且 f (a)与 f (b)异号(即 f(a )f(b ) 0 )那,么在开区 间(a,b)内至少有函数 f (x)的一个零点, 即至少有
一点 (ab),使 f()0.
连续, 则有 lx ix0m f[(x) ]f(a)f[lim (x)].
x x0
xx0
证 f (u)在点 u a 处连续, 0,0,
当|ua|时,恒有
|f(u ) f(a )|,
又
lim (x)a,对上述 xx0
,
0,当
0 |xx0|时, 恒有 |(x ) a | |u a |,
结合上述两步得, 0,0,当
因为
u (x )v(x ) ev(x )ln u (x ),
故幂指函数可化为复合函数.
易见: 若 liu m (x)a 0, liv m (x)b,则 liu ( m x ) v (x ) lie v m (x ) lu n (x )elim v(x)[ln u (x)]eblna ab.
即 lim u(x)v(x)ab
f (x) g(x)
(g(x0)0)
在点 x 0 处也连续. 例如, sinx, co x在s( , )内连续,故
tanxcsionxxs,
coxt csionxxs,
secxco1xs,
cscxsi1nx
在其定义域内连续.
二、复合函数的连续性
定理2 若 lim (x)a,函数 f (u)在点 a处
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称 f (x0)是函数 f (x)在区间 I上的最大(小)值.
例如, y1sixn ,x[0,2],ymax 2, ymin0.
ysg x,在n( , )上, ymax1, ymi n1. 在(0,)上, yma x ym in 1.
定理6 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值.