对数与对数函数教师讲义

名思教育辅导讲义

所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－，＋∞)．

5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ＝0，则不等

式f (18

log

x )>0的解集为________________．

答案 ∪(2，＋∞)

解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 由f ＝0，得f ＝0. ∴f (18

log

x )>0?18

log x <－或18

log x >

x >2或0

例1 (1)若x ＝log 43，则(2x －2－

x )2等于

( )

A.B.C.D.

(2)已知函数f (x )＝则f (f (1))＋f (log 3)的值是 ( )

A ．5

B ．3

C ．－1D.

思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x ＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))； f (log 3)可利用对数恒等式进行计算． 答案 (1)D (2)A

解析 (1)由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝， 2－

x ＝，所以(2x －2－

x )2＝()2＝.

(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 3<0，所以f (log 3)＝3

1log 2

31-+

＝3log 2

3

＋1＝2＋1＝3.

所以f (f (1))＋f (log 3)＝2＋3＝5.

思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．

已知函数f (x )＝则f (2＋log 23)的值为________．

答案

解析 因为2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝()3

23log +

＝×()

3

2log ＝×＝.

题型二 对数函数的图象和性质

例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是

( )

(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (12

log 3)，c ＝f (0.2

－0.6

)，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．c

B ．c

C ．b

D ．a

思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象； (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的．

答案 (1)C (2)B

解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.

(2)

log3＝－log23＝－log49，

1

2

b＝f(

log3)＝f(－log49)＝f(log49)，

1

2

log47＝2>log49，

又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，

且在(－∞，0]上是增函数，

故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，

∴f(0.2－0.6)

log3)

1

2

思维升华(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；

(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．

(1)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为() A．c

C．b

(2)已知函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b＝________.

答案(1)A(2)2 2

解析(1)b＝－0.8＝20.8<21.2＝a，

c＝2log52＝log522

故c

(2)f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．

则f(－1)＝log a(－1＋b)＝0且f(0)＝log a(0＋b)＝1，

∴，即.

题型三对数函数的应用

例3已知函数f(x)＝log a(3－ax)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值

为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

思维启迪f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．

解(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，

则t(x)＝3－ax为减函数，

x∈[0,2]时，t(x)最小值为3－2a，

当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，

即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．

∴3－2a>0.∴a<.

又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.

(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数，

∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝log a t为增函数，

∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝log a(3－a)，∴，即，

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质

(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；

(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都