第五章第3节定积分的换元法和分部积分法98745

a
20 f(t)d;t
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )d0x .
13
0 如 55(x4xs2ixn22x3)2dx
例10 221c1oxs(1sinxx4 1)dx
2 2
1 dx
0 1cosx
2
2 0
1 2cos2
dx x
2
2 2
1
0 cos2
d( x) x2
2 tan
x 2
2 0
2(tanta0n)2
4
2
14
例11
计算
1 2x2xcoxs dx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs dx 1 1x2
偶函数
奇函数
401
1
x2 1x2
dx401
x2(1 1x2) 1(1x2) dx
x t0, x0t1,
2
2 co5sxsinxdx
0
0t5dt
t6 1
1.
1
66
0
3、不换元就不换限。
如2
0
c
o5sxs
inx
dx
2
0
co5sxdcoxs 1cos6 6
x2 0
1 6
7
例 4 4 2 dx 4 d(2x1)
0 2x 1
0 2x1
1
11 4
(2x 1) 2
1 1
第三节 定积分的换元法 和分部积分法
一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结
1
一、换元公式
定理 假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2 ） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（ 3） 当 t在 区 间 [,]上 变 化 时 ，x(t)的 值 在 [a,b]上 变 化 ， 且 ()a、 ()b，
2 0
0
f(sinx)dx 2
fsin2tdt
2 f(cots)dt 2 f(coxs)dx;
0
0
16
(2 ) 0x(fsx i)d n x20f(sx i)d nx
由此计 01 x 算 csio2n xx sdx
证明: 设 x t d xd,t
x0 t, xt0,
0
0 xf(sinx)dx(t)f[s i nt)(d ] t
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 af(x ) d中 令 x x t,
12
0
a
f(x)dxa0f(t)dt0a
f
(t)dt,
① f(x ) 为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx
则 有 a bf(x )d x f[(t)](t)d.t
2
证 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
b
af(x)d xF (b)F (a),
令 (t)F[(t)],
则 () F (() )F (a ), () F (() )F (b )
(t)dFdxf(x)(t)f[ (t) ](t),
1
40(1
1x2)dx 4401
1x2dx
单位圆的面积
4.
15
例 1 2 若 f ( x ) 在 [ 0 ,1 ] 上 连 续 ， 证 明
（ 1 ） 2 f (sin x ) dx 2 f (cos x ) dx ;
0
0
证
（1）设 x t 2
d xd,t
x0 t ,
2
x 2
t0,
0
2(31)4
2
例 5
2 dx
2
dx
2 x x2 1
2
x2
1 ( 1 )2
x
2
2
d(1 ) x
1 ( 1 )2 x
arcsin1 x
2
26
4
12
8
例６ 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3 解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3n xsi5n xdx
２、换元要换限。
4
例1. 计算 a a2x2dx(a0). 0
解: 令 xasint,则 dxacotdst,
且当x0时 t 0, xa时 t 2
∴ 原式 = a 2 2 cos2 t dt 0
a2
2 (1co2st)dt
20
a2 1 (t sin2t)
2
a2
22
0
4
5
例2. 计算
3
e4
e
d(lnx)
e4
lnx (1lnx) 2 e
d lnx 1( lnx)2
3
2arcslin nx)(e4 e
6
.
10
例８
计算
a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解 令 xasitn , d xaco tds , t
xa t , x0t0,
2
原式 2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
0
2
sinx23dsinx
2
sin
5
x2
2
2
2 sin
5
x 2
4.
5
05
5
2
9
3
e4
dx
例７
计算
e
x
. lnx(1lnx)
3
解
原式 e4 e
d(lnx) lnx(1lnx)
3
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ) ] 的 一 个 原 函 数 .
3
f[(t)](t)d t () (),
F [() ]F [( )]
F (b)F (a),
即 bf(x)d xF(b)F(a) f[(t)](t)d.t
a
注意: 1、当 时,换元公式仍;成立
4 x2 dx .
0 2x1
解: 令 t
2x1, 则
t21 x , dxtdt
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
且当 x0时 t 1, x4时 t 3
∴ 原式 =
3
t
2 1 2
2
t
dt
1t
1 3(t2 3)dt 21
1(1t3 3t ) 3 22
23
13
6
例３ 计算 2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,sd tsix nd, x
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn cots0 2
4
.
11
例9 当f(x)在[a,a]上连续，且有
①f(x)为偶函数，则
a
a
f
a
(x)dx20
f(x)dx；
②f(x)为奇函数，则aa f(x)dx0.
证
0(t)f(sti)n d,t
17
0 f(sitn)dt0 tf(sint)dt
0 f(sixn)dx0 xf(sixn)dx,
x(fsx ) id n x f(sx ) id n .x
0
20
01xscions2xxdx2 01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os