复习笔记1 集合与常用逻辑用语

[针对练 7] 设集合 M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N ⊆M”的________条件．
解析：当 a＝1 时，N＝{1}⊆M； 反之当 N⊆M 时，a2＝1 或 a2＝2，即 a＝1，－1， 2，－ 2. 故 a＝1 是 M⊆N 的充分不必要条件．
答案：充分不必要
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解析：选 B 设命题 p：x<0，命题 q：ln(x＋1)<0，
x＋1>0， 由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知 x＋1<1，
所以－1<x<0，即命题 q 为－1<x<0.可知命题 q⇒p， 而p q.所以 p 是 q 的必要不充分条件．
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解析：由题意知 A＝{2,3}，又 A∩B＝B，所以 B⊆A. 当 m＝0 时，B＝∅，显然成立；当 m≠0
1 时，B＝m⊆{2,3}，
1 1 1 1 1 1 所以m＝2 或m＝3，即 m＝2或3.故 m 组成的集合是0，2，3.
1 1 答案：0，2，3
a－2<0， 或 2 Δ ＝ 4 a － 2 ＋16a－2<0，
即－2<a≤2.
∵p∨q 是真命题，∴a 的取值范围是－2<a≤2.
答案：(－∞，－2]
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A∩B＝________.
答案：∅
3．遇到 A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅ 或 B＝∅；同样在应用条件 A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B 时，不 要忽略 A＝∅的情况．
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[针对练 3] 设集合 A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合 B＝{x|mx－ 1＝0}，若 A∩B＝B，则实数 m 组成的集合是________．
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解析：选 D
π 因为对∀x∈0，2，f(x)>f(0)＝0
恒成立，所
以 p 是真命题，又全称命题的否定是特称命题，所以选 D.
7．已知集合
2 y2 U＝R，A＝xx ＋ 4 ＝1，B＝{y|y＝x＋1，x∈
则实数 x
2 的取值范围是(－∞，－1)∪3，＋∞.
2 答案：(－∞，－1)∪3，＋∞
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[查缺补漏不可少] 1．若全集 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,4}，N＝{2,3}，则 集合(∁UM)∩N 等于( A．{2,3} C．{1,4}
解析：选 A
) B．{2,3,5,6} D．{1,4,5,6}
由题意可得：∁UM＝{2,3,5,6}，
∴(∁UM)∩N＝{2,3}．
a
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2．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( A．充分不必要条件 C．充分必要条件 )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[针对练 1]
设集合 A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5，1
－a}，若 A∩B＝{9}，则实数 a＝________.
解析：由 A∩B＝{9}，知 9∈A.①当 2a－1＝9 时，a＝5，检 验不符合要求，舍去；②当 a2＝9 时，a＝3 或 a＝－3，检测 a ＝3 不符合要求．故 a＝－3.
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[基础知识要记牢] 1．集合 (1)集合的运算性质： ①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA ⊇∁UB. (2)子集、真子集个数计算公式： 对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非 空子集、非空真子集的个数依次为 2n,2n－1,2n－1，2n－2.
a
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5．命题“函数 f(x)，g(x)定义在 R 上，h(x)＝f(x)· g(x)， 如果 f(x)，g(x)均为奇函数，则 h(x)为偶函数”的逆命题、否 命题、逆否命题中正确命题的个数是( A．0 B．1 C ．2 ) D．3
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4．对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非 空子集、非空真子集的个数依次为 2n,2n－1,2n－1，2n－2.
[针对练 4] 为________．
满足{1,2,3} M⊆{1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数
解析：满足条件的集合 M 有{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,3,6}， {1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,6}，{1,2,3,5,6}，{1,2,3,4,5,6}，共 7 个．
答案：7
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5． 注重数形结合在集合问题中的应用， 列举法常借助 Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意能否取 到端点值．
[针对练 5]
已知全集 I＝R， 集合 A＝{x|y＝ 1－x}， 集合 B
＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B 等于________．
3．集合 A＝{x|x2＋x－6≤0}，B＝{y|y＝ x，0≤x≤4}， 则 A∩(∁RB)＝________. A．[－3,2] C．[－3,0]
解析：选 D
B．[－2,0)∪(0,3] D．[－3,0)
由题知 A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，
B＝{y|y＝ x， 0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}， 所以∁RB＝{x|x>2 或 x<0}， 所以 A∩(∁RB)＝{x|－3≤x<0}．
解析：选 B
由 f(x)，g(x)均为奇函数可得 h(x)＝f(x)· g(x)为
2 x 偶函数， 反之则不成立， 如 h(x)＝x2 是偶函数， 但函数 f(x)＝ 2 ， x ＋1
g(x)＝x2＋1 都不是奇函数，故其逆命题不正确，其否命题也不 正确，只有其逆否命题正确．
a
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A}，则(∁UA)∩(∁UB)＝________.
解析：A＝{x|－1≤x≤1}＝[－1,1]，B＝{y|y＝x＋1，x∈A} ＝[0,2]，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
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8．已知命题 p：函数 y＝loga(1－2x)在定义域上单调递 增；命题 q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对任意实数 x 恒成立， 若 p∨q 是真命题， 则实数 a 的取值范围为________．
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8．要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是 全称命题．如对“a，b 都是偶数”的否定应该是“a，b 不都是 偶数”，而不应该是“a，b 都是奇数”．求参数范围时，常与 补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．
[针对练 8]
若存在 a∈[1,3]， 使得不等式 ax2＋(a－2)x－2>0
答案：－3
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2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义，抓住集 合的代表元素．如：{x|y＝lg x}表示函数的定义域；{y|y＝lg x} 表示函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}表示函数图象上的点集．
[针对练 2] 集合 A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则
解析： 由题意知 A ＝ {x|y ＝ 1－x } ＝ {x|x≤1} ，∴ ∁ IA ＝ {x|x>1}，∴(∁IA)∪B＝{x|x>1}∪{x|0≤x≤2}＝{x|x≥0}． 答案：[0，＋∞)
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6．“否命题”是对原命题“若 p，则 q”既否定其条件， 又否定其结论；而“命题 p 的否定”即：非 p，只是否定命题 p 的结论．
成立，则实数 x 的取值范围是________．
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解析：不等式即(x2＋x)a－2x－2>0，设 f(a)＝(x2＋x)a－2x －2.研究“任意 a∈[1,3]，恒有 f(a)≤0”．
f1≤0， 则 f3≤0，
解得
2 x∈－1，3.
解析：∵命题 p：函数 y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增， ∴0<a<1.又命题 q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对任意实数 x 恒成立，∴a＝2
a－2<0， 或 2 Δ ＝ 4 a － 2 ＋16a－2<0，
即－2<a≤2.
∵p∨q 是真命题，∴a 的取值范围是－2<a≤2.
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2．四种命题及其相互关系 (1)
(2)互为逆否命题的两命题同真同假．
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[易错易混要辨明] 1．集合的元素具有确定性、互异性和无序性，在解决有关 集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
[针对练 6] 命题“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的否命题 为________；命题的否定为________．
答案：否命题：若 xy≠1，则 x，y 不互为倒数 命题的否定：若 xy＝1，则 x，y 不互为倒数
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7．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A，且 A 不能推出 B；而“A 是 B 的充分不必要条件” 则是指 A 能推出 B，且 B 不能推出 A.
答案：(－2,2]
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10．已知命题 p：∀x∈R，x2－a≥0，命题 q：∃x0∈R， x2 0＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的 取值范围为________．
解析：∵命题 p：函数 y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增， ∴0<a<1.又命题 q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对任意实数 x 恒成立，∴a＝2