高等数学课件第三章习题课

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高等数学第三章中值定理与导数的应用习题课

(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型：其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数阶导数如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。的驻点。
3．函数的单调区间的判别．
函数在[a,b]上连续在(a,b)内可导上连续,在内可导. 函数在上连续内可导

高中数学必修三第三章习题课课件PPT

4个.故所求的概率P(A)＝140＝0.4.
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1 2345
1.某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、
0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( A )
A.0.5
B.0.3
C.0.6
D.0.9
解析依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)
并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
解从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为{x1，x2}， {x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}， {x3，y2}，{y1，y2}，即基本事件的总数为10. 设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( B )
1
1
1
2
A.6
B.3
C.2
D.3
解析由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有 12＋7＋3＝22(个)，故所求概
率约为2626＝31.
解析答案
1 2345
3.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边
反思与感悟解析答案
跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品. (1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求：①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；

同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课

一点的个 , 果在点一邻 , 于邻内如存着 x0的个域对这域的任点 ,除点 0外 f (x) < f (x0 )均立就何 x 了 x , 成 , 称 f (x0)是数 (x)的个大 ; 函 f 一极值果在点一邻 , 于邻内如存着 x0的个域对这域的何 x 了 x , 任点 ,除点 0外 f (x) > f (x0 )均立就成 , 称 f (x0)是数 (x)的个小 . 函 f 一极值
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如果 x 取极值有f '(x) < 0， f (x)在 0处得大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如果 x 取极值有f '(x) > 0， f (x)在 0处得小 . 则 x (3)如当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符如果 , (x x 无值号同则f (x)在 0处极 . 相 ,则定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处有阶数 x 具二导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那末 f ''(x0 ) < 0时函 f (x)在 0 处得大 ; x 取极值 (1)当 , 数当 '' x 取极值 (2)当f (x0) > 0时函 f (x)在 0 处得小 . , 数当

高等数学第三版第三章课件(每页16张幻灯片)

A
∃ x 0 ∈ (0,1), 使 f ( x 0 ) = 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 ∈ (0,1), x1 ≠ x 0 , 使 f ( x1 ) = 0.
ξ ，使等式
线平行于弦 AB .
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
f ( b ) − f ( a ) = f ' ( ξ )( b − a ) 成立.
= lim
x →0
原式 = lim e
x →0
1 ln x 1− x 1 ln x
=e
1 lim x x → 1 −1
=e .
−1
例11 求 lim+ (cot x )
(∞ )
0
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解取对数得 (cot x )
1 ln x
1 1 − ⋅ 2 1 = lim+ cot x sin x ∵ lim+ ⋅ ln(cot x ) 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
+
解
原式 = lim+ e x ln x = e x → 0+ x →0
lim x ln x
=e
x →0+
1 x
=e
x →0+ −
lim
1 x 1
x2
= e 0 = 1.
20
例10 解
求 lim x
x →1 x →1
1 1− x
.
(1 )
=e
.
=e
ln x x → 11− x lim

(人教版)高中数学必修5课件：第3章习题课

数学必修5
第三章不等式
自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升
2．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：利用“三个二次”之间的关系．
∵x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，
∴Δ＝a2－4×2a＜0，∴0＜a＜8. 答案： (0,8)
2x－1 6x－4 (2)原不等式可改写为＋1<0，即 <0， 4x－3 4x－3 2 3 ∴(6x－4)(4x－3)<0，∴3<x<4.
2 3 ∴原不等式的解集为 x 3<x<4 .
数学必修5
第三章不等式
自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升
数学必修5
第三章不等式
自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升
不等式恒成立问题
关于x的一元二次不等式2x2－8x＋6－m>0对任意
的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 思路一： a＝2>0，Δ<0 ―→ 求m的取值范围
思路二：原不等式转化为m<2x2－8x＋6 ―→ 求gx＝2x2－8x＋6的最小值 ―→ 由m<gxmin，求m的范围
解析：
方法一：由题意得 Δ ＝ 4 － 4( － 6 － a) ＝ 28 ＋
4a≤0，即a≤－7. 方法二：a≤(x＋1)2－7对x∈R恒成立，∴a≤－7.
答案：－7
数学必修5
第三章不等式
自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升
4．某渔业公司年初用 98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用 12 万元，以后每年都增加 4 万元，每年捕鱼收益 50 万元．问第几年开始获利？

大一高数上_1完整_第三章ppt课件

例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ．证明当 x > 0 时， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx

《高等数学(上册)》课件第三章

高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日中值定理条件？假设满足，找出点．
解函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使

大学高等数学_03连续性间断点_连续函数运算_连续函数性质与习题课

第八节函数的连续性与间断点
一、函数连续性的定义二、函数的间断点
第一章
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一、函数连续性的定义
定义: 设函数在的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
o
1
x
y
1
o
f ( 0 ) 1 ,

f (0 ) 1

1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
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内容小结
在点连续的等价形式
在点
左连续间断的类型
右连续
第一类间断点第二类间断点
可去间断点左右极限都存在跳跃间断点无穷间断点左右极限至少有一个不存在振荡间断点
存在 ;
存在 ;
机动
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结束
若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在上连续 .
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
例如,
又如, 有理分式函数在其定义域内连续.
Q ( x0 , ) 0), , 都有 lim x)( x 0 R ) 只要 x0 ( lim P ( x)R ( P ) ( x0 continue
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备用题确定函数 f ( x)
解: 间断点 x 0 , x 1
1 1 e
x 1 x

高等数学-第3章课件

第二节洛必达法则
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数 f (x) 与 F(x) 都趋于零或都趋于无穷大,那么极限 lim f (x) 可能存在,也可能不存在.通常
xa F(x)
( x )
把这种极限称为 0 或型未定式. 0
一、0 型未定式 0
定理3.2.1 (洛必达法则)
(1) lim f (x) lim g(x) 0 ;
第三节函数单调性的判定法
定理3.3. 1 (函数单调性的判别法) 设函数 y=f (x)在开区间(a,b)的内可导，则 (1) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) >0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调增加; (2) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) <0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调减少.
第五节函数曲线 y=f(x)在区间(a,b)内各点均有切线. 如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凹弧或凹的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凹区间. 如果曲线弧总位于切线的下方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凸弧或凸的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凸区间.
函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.
定理3.4.1 (极值存在的必要条件) 若函数 f(x) 在点 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则必有 f'(x0) =0 . 定义3.4.2 使导数 f'(x)等于零的点 x0 ,称为函数 f(x)的驻点.
定理3.4.2 (极值存在的第一充分条件)
二、拉格朗日中值定理
定理3.1.2 (拉格朗日中值定理) 若函数 f(x) 满足: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; 则在(a,b)的内至少存在一点 ξ ,使得 f(b) - f(a)= f'(ξ )(b-a)

高职课件《高等数学》第三章导数的应用课件

a
ab
例3.1.4
当x
0,
π 2
时，证明不等式
x
tanx
x cos2 x
。
解将不等式化为1
tanx 1 x cos2x
，其中
tanx x
tanx tan0 x0
。显然，设
f
x tanx
，
由于x
0,
2
，则函数在
0, x 上连续。又因为
f
'
x
1 cos2
x
，则函数在 0, x 内可导。故函数在 0, x 内至少存在
x
lnx
x 12
。
lnx'
解原式 lim
lim
1
0
x x 12 ' x 2x(x 1)
0 注意：洛必达法则Ⅱ与Ⅰ使用方法相同，但只适用于0 和型的极限，
每做一步都要检验是否为此两种类型之一，否则是不能使用洛必达
法则的。另外，有时也会出现两个法则同时使用的情况。
f 'x
此外，当洛必达法则的第三个条件
证设f x ax3 bx2 cx ，则 f x在 0, x0 上连续，且 f ' x 3ax2 2bx c 在 0, x0 内存在， f 0 f x0 ，函数 f x满足罗尔定理的条件，故在 0, x0 内至少存在一点，使得
f ' 3a 2 2b c 0
用
如下变换进行转化:
由于
f
x
e gx
lnf xgx
egx lnf x
，
所以
lim f
x
gx
lim elnf xgx
lim g x lnf x

专升本-高等数学--第三章-PPT

Δx0
Δx Δx0
Δx0
Δx
由此可见，曲线 y f (x)在点M 0处的纵坐标 y 的增量
Δ y 与横坐标 x的增量Δx之比，当 x 0 时的极限即为
曲线在M 0点处的切线斜率.
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义，当自
变量 x在 x0处有增量Δx(Δx 0, x0 Δx仍在该邻域内)时，
Q (t0 )
细杆质量
的线 m m(x) Δm m(x0 Δx) m(x0)
密度
Δx
Δx
(x0
)
lim
Δx0
m(
x0
Δx) Δx
m(x0
)
边际
成本总成本模型 C C(x)
ΔC C(x Δx) C(x)
Δx
Δx
C(x) limΔC limC(xΔx)C(x)
Δx Δx0
Δx0
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导.
例如，函数 y
x
x, x 0,
x,
x
0
显然在
x 0 处连续，
但是在该点不可导.
因为y f (0 x) f (x) x ,
所以在x 0 点的右导数:
f (0)
lim
x0
y x
lim x0
x x
x lim x0 x
1.
而左导数是:
f (0)
2.若lim xa
f (x) f (a) xa
A（A 为常数），试判断下列命
题是否正确.
（1） f (x)在点 x=a 处可导；
（2） f (x)在点 x=a 处连续；
（3） f (x) f (a) A(x a) o(x a).

高等数学课件第三章D3复习课

利用在
处的 n －1 阶泰勒公式得
(x) (n) ( ) (x a)n
n! 因此 x a 时 f (x) g(x) .
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例1. 设
且在
递减 , 证明对一切
上有
存在 , 且单调
证: 设 (x) f (a x) f (a) f (x), 则 (x) f (a x) f (x)
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理,
可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用
柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用
中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
有时也可考虑对导数用中值定理 . (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
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二、导数应用
掌握: （1）判别函数的单调性;求极值和最值; （2）判别函数的凹凸性;求拐点; （3）求不定式极限; （4）求渐近线; （5）曲率;
证明不等式常用方法: (1)利用单调性; (2)利用最值; (3)利用凹凸性; (4)中值定理

1 n!
f
(n)
( x0
)(x

x0
)n

1 (n1)!
f
(n1) ( )(x

x0 )n1
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2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论

高等数学课件--D3习题课

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f 故当 x > 0 时,( x) [ ln(1 x) ln x ]在 x [ 从而 f ( x)
2012-10-12 同济高等数学课件
1
1
例9. 设
在
上可导, 且
证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .
x 证: 设 ( x) e f ( x)
F ( x ) a0 x a1 2 x
2
an n 1
x
n 1
且 F (0)
F (1) 0 , 由罗尔定理知存在一点 (0 ,1) , 使
即 a0 a1x an x 0 在 0，内至少有一个实根 . （ 1 ）
n
2012-10-12 同济高等数学课件
第三章习题课中值定理及导数的应用
一、微分中值定理及其应用
二、导数应用
2012-10-12
同济高等数学课件
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一、微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f ( ) 0
y
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f ( ) f (b) f ( a ) ba
在区间 (, x1 ), (0 , x2 ) 上是凸弧 ; 拐点为
( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) , (0, f (0)) .
x
f (x)
提示:
的正负作 f (x) 的示意图.
2012-10-12 同济高等数学课件
目录
x1O
x2
x
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结束
例8. 证明

《高等数学》课件高等数学第三章

（2）f
(x)
3
3
2 x
，当x 1
1时，f
(x)不存在.
（3）列表，点x 1将定义域分为三个小区间：(∞，1，) (1， ∞， ) 如表所示．
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
例10 求 lim( 1 1．)
x0 sin x x
解 ∞ ∞型未定式，所以
lim( 1 1 ) lim x sin x lim 1 cos x lim
sin x
0.
x0 sin x x
x0 x sin x
x0 sin x x cos x
2 x0 cos x cos x x sin x 洛必达法则
高等数学第三章. 第一节
第4 页
定理1 拉格朗日〔 Lagrange 〕中值定理
如果函数y f (x)满足下列条件：
（1）在闭区间a, b 上连续；
（2）在开区间(a, b)内可导，
则在开区间(a, b)内至少存在一点 (a b，) 使得函数y f (x)
在该点的导数满足等式
f ( ) f (b) f (a) 或
x
x2
2 洛必达法则
高等数学第三章. 第二节
第 18 页
例5 求 lim x cos x．
x∞ x sin x
解 0 型未定式，由于对分子、分母同时求导后的极
0
限 lim 1 sin x 不存在，所以不能用洛必达法则求解. x∞ 1 cos x
事实上，lim
x
cos
x
lim
1
1 x
cos
高等数学第三章. 第二节
第 24 页
例11 求 lim x．x x0

《高等数学》课件第三章

07
错!
08
上面两式相比即得结论.
证: 作辅助函数
注意:
弦的斜率
切线斜率
A
B
C
柯西定理的几何意义:
例8. 设
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
设
则
在 [0, 1] 上满足柯西中值
定理条件,
因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,
使
即
证明
例9. 试证至少存在一点
使
证:
法1 用柯西中值定理 .
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,
令
因此
即
分析:
使
1
法2 令则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件,
2
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件,
3
使
4
因此存在
5
例9. 试证至少存在一点
例11.
且
试证存在
在 I 上为常数 .
08
令
09
则
10
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
若函数
在区间(a , b)内每一点 x 处都有
则
和
最多相差一个常数,
即
(其中C为常数).
推论2:
设
01
证明对任意
02
有
03
证：
04
例5.
05
不妨设
06
证: 设
由推论可知
(常数)
令 x = 0 , 得
又
11
思考与练习
1. 填空题
1) 函数

高中数学第三章习题课课件新人教A版选修11

C．有最大值
D．有最小值
解析 f′(x)＝2＋sin x>0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)
上单调递增．
第三页，共28页。
试一试·双基题目(tímù)、基础更牢固
2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且 f(a)≥0，则在(a，b)内
有
(A )
A．f(x)>0
B．f(x)<0
C．f(x)＝0
上恒成立，即 12x2－a≥0 在－12，12上恒成立，
第二十页，共28页。
研一研·题型解法(jiě fǎ)、解题更高效
∴a≤12x2 在－12，12上恒成立， ∴a≤(12x2)min＝0. 当 a＝0 时，f′(x)＝12x2≥0 恒成立(只有 x＝0 时 f′(x)＝0). ∴a＝0 符合题意. 若 f(x)在－12，12上为单调减函数，则 f′(x)≤0 在－12，12上恒成立，即 12x2－a≤0 在－12，12上恒成立， ∴a≥12x2 在－12，12上恒成立，
第十四页，共28页。
研一研·题型解法(jiě fǎ)、解题更高效
跟踪训练 2 设 a 为实数，函数 f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求 f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当 a>ln 2－1 且 x>0 时，ex>x2－2ax＋1.
(1)解由 f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R 知 f′(x)＝ex－2，x∈R.
第一页，共28页。
【学习要求】 1.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.2.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．
第二页，共28页。
试一试·双基题目、基础(jīchǔ)更牢固