山东省泰安市新泰一中2020-2021学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题
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（1）求直线AB的倾斜角；
（2）求线段AB的长．
20．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC， ，AD＝CD＝ ，O是AC的中点，E是BD的中点．
（1）证明：DO⊥底面ABC；
（2）求二面角D-AE-C的余弦值．
21．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第 年需要付出的超市维护和工人工资等费用为 万元，已知 为等差数列，相关信息如图所示.
A． B． C． D．
7．已知点M是抛物线 上的一点，F为抛物线的焦点，点A在圆 上，则 的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
8．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆交渐近 于点 （ 在第一象限）， 交双曲线左支于 ，若 是线段 的中点，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
易知当 共线，即 时， 取得最小值，由已知 ，圆半径为 ，准线为 ，
所以 的最小值是 ，所以当 是线段 与圆的交点时， 取得最小值 ．
6．B
【分析】
先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A或其补角就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．
【详解】
取BC的中点D，连接D1F1，F1D,
∴D1B∥DF1,
∴∠DF1A或其补角就是BD1与AF1所成角,
设BC＝CA＝CC1＝2，则AD ，AF1 ，DF1 ,
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
（Ⅲ）该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？（年平均获利 ）
22．已知 是椭圆 的两个焦点， 为坐标原点，点 在椭圆上，且 ， 是以 为直径的圆，直线 与 相切，并且与椭圆交于不同的两点 .
（1）求椭圆的标准方程；
本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.
3．A
【解析】
解得 故选A
4．B
【分析】
由等比数列的性质可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10（各项不为0）成等比数列，即可得出．
【详解】
由等比数列的性质可得：S5，S10-S5，S15-S10（各项不为0）成等比数列，
不妨设S5=1，由 ，可得S10=5．∴（5-1）2=1×（S15-5），解得S15=21，则 = ．
A． B． C． D．
3．在R上定义运算 ，若 成立，则x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ，则 =（ ）
A． B． C．17D．5
5．设向量 ， ， ，其中 为坐标原点， ，若 三点共线，则 的最小值为（ ）.
A．4B．6C．8D．9
6．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
二、多选题
9．如果 ，那么下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
10．已知 为等差数列，其前 项和为 ，Leabharlann Baidu ，则以下结论正确的是（）.
A． B． 最小C． D．
11．下列说法正确的有（）
A．不等式 的解集是
B．“ ”是“ ”成立的充分条件
C．命题 ，，则
D．“ ”是“ ”的必要条件
12．已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（ ）
四、解答题
17．已知命题 关于x的不等式 的解集是 ；命题 双曲线 的离心率不小于 ．若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围．
18．已知数列 的前 项和 ，数列 为等比数列，且满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
19．过抛物线 的焦点F的直线交地物线于点A．B（其中点A在第一象限），交其准线l于点C，同时点F是AC的中点
山东省泰安市新泰一中2020-2021学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．准线方程为 的抛物线的标准方程为（）
A． B． C． D．
2．在平行六面体 中，M为 与 的交点，若 , ，则与 相等的向量是（）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C．曲线 经过 的一个焦点D．直线 与 有两个公共点
三、填空题
13．过点 的等轴双曲线的标准方程为__________．
14．数列 满足 ， ，则 ______.
15．若 中， ， ， ， ，则 的值=_____．
16．在一直角坐标系中，已知 ， ，现沿x轴将坐标平面折成 的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________．
故选B．
【点睛】
本题考查了等比数列的前n项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．C
【解析】
向量 ， ， ，其中 为坐标原点， ，
∴ ， ，
∵ 三点共线，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
当且仅当 ， 取等号，故 的最小值为8，故选C.
点睛：本题主要考查了向量平行的坐标运算以及基本不等式的应用，三点共线等价于两个向量共线，由其可得 ，然后运用基本不等式；基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
在△DF1A中，由余弦定理得cos∠DF1A ，
故选B．
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
7．C
【分析】
过 作准线的垂线，垂足为 ，由 ，因此先求 的最小值，由此可知当 共线时取得最小值．
【详解】
如图， 是抛物线的准线，过 作 ，垂足为 ，则 ， ，
（2）当 ，且满足 时，求弦长 的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】
试题分析：由题意得，抛物线 ，可得 ，
且开口向左，其准线方程为 .
故选B．
考点：抛物线的几何性质．
2．D
【分析】
根据空间向量的线性运算，用 作基底表示 即可得解.
【详解】
根据空间向量的线性运算可知
因为 , ，
则
即 ，
故选：D.
【点睛】
（2）求线段AB的长．
20．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC， ，AD＝CD＝ ，O是AC的中点，E是BD的中点．
（1）证明：DO⊥底面ABC；
（2）求二面角D-AE-C的余弦值．
21．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第 年需要付出的超市维护和工人工资等费用为 万元，已知 为等差数列，相关信息如图所示.
A． B． C． D．
7．已知点M是抛物线 上的一点，F为抛物线的焦点，点A在圆 上，则 的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
8．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆交渐近 于点 （ 在第一象限）， 交双曲线左支于 ，若 是线段 的中点，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
易知当 共线，即 时， 取得最小值，由已知 ，圆半径为 ，准线为 ，
所以 的最小值是 ，所以当 是线段 与圆的交点时， 取得最小值 ．
6．B
【分析】
先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A或其补角就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．
【详解】
取BC的中点D，连接D1F1，F1D,
∴D1B∥DF1,
∴∠DF1A或其补角就是BD1与AF1所成角,
设BC＝CA＝CC1＝2，则AD ，AF1 ，DF1 ,
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
（Ⅲ）该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？（年平均获利 ）
22．已知 是椭圆 的两个焦点， 为坐标原点，点 在椭圆上，且 ， 是以 为直径的圆，直线 与 相切，并且与椭圆交于不同的两点 .
（1）求椭圆的标准方程；
本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.
3．A
【解析】
解得 故选A
4．B
【分析】
由等比数列的性质可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10（各项不为0）成等比数列，即可得出．
【详解】
由等比数列的性质可得：S5，S10-S5，S15-S10（各项不为0）成等比数列，
不妨设S5=1，由 ，可得S10=5．∴（5-1）2=1×（S15-5），解得S15=21，则 = ．
A． B． C． D．
3．在R上定义运算 ，若 成立，则x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ，则 =（ ）
A． B． C．17D．5
5．设向量 ， ， ，其中 为坐标原点， ，若 三点共线，则 的最小值为（ ）.
A．4B．6C．8D．9
6．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
二、多选题
9．如果 ，那么下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
10．已知 为等差数列，其前 项和为 ，Leabharlann Baidu ，则以下结论正确的是（）.
A． B． 最小C． D．
11．下列说法正确的有（）
A．不等式 的解集是
B．“ ”是“ ”成立的充分条件
C．命题 ，，则
D．“ ”是“ ”的必要条件
12．已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（ ）
四、解答题
17．已知命题 关于x的不等式 的解集是 ；命题 双曲线 的离心率不小于 ．若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围．
18．已知数列 的前 项和 ，数列 为等比数列，且满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
19．过抛物线 的焦点F的直线交地物线于点A．B（其中点A在第一象限），交其准线l于点C，同时点F是AC的中点
山东省泰安市新泰一中2020-2021学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．准线方程为 的抛物线的标准方程为（）
A． B． C． D．
2．在平行六面体 中，M为 与 的交点，若 , ，则与 相等的向量是（）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C．曲线 经过 的一个焦点D．直线 与 有两个公共点
三、填空题
13．过点 的等轴双曲线的标准方程为__________．
14．数列 满足 ， ，则 ______.
15．若 中， ， ， ， ，则 的值=_____．
16．在一直角坐标系中，已知 ， ，现沿x轴将坐标平面折成 的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________．
故选B．
【点睛】
本题考查了等比数列的前n项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．C
【解析】
向量 ， ， ，其中 为坐标原点， ，
∴ ， ，
∵ 三点共线，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
当且仅当 ， 取等号，故 的最小值为8，故选C.
点睛：本题主要考查了向量平行的坐标运算以及基本不等式的应用，三点共线等价于两个向量共线，由其可得 ，然后运用基本不等式；基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
在△DF1A中，由余弦定理得cos∠DF1A ，
故选B．
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
7．C
【分析】
过 作准线的垂线，垂足为 ，由 ，因此先求 的最小值，由此可知当 共线时取得最小值．
【详解】
如图， 是抛物线的准线，过 作 ，垂足为 ，则 ， ，
（2）当 ，且满足 时，求弦长 的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】
试题分析：由题意得，抛物线 ，可得 ，
且开口向左，其准线方程为 .
故选B．
考点：抛物线的几何性质．
2．D
【分析】
根据空间向量的线性运算，用 作基底表示 即可得解.
【详解】
根据空间向量的线性运算可知
因为 , ，
则
即 ，
故选：D.
【点睛】