（6）求函数22
21212),(x x x x f +=的极小点，取T x )1,0()0(=，用最速下降法一步得到的下一迭代点(1)
x
= T )0,0(
（7）对于无约束优化问题min 212122216432x x x x x x ---+，(1,)T p a =为目标函数在点
(0,1)T 的下降方向，则a 的取值范围是 2
7
->a
（8）用内罚函数法（对数罚函数）求解0
x 01 .. min 212221≥≤-+x t s x x ，其增广目标函数为
212
221ln )1ln(x r x r x x ---+ 二、（10％）()f x 为凸集n
D R ⊂上的函数，令(){(,)|,,()}epi f x y x D y R y f x =∈∈≥，证明()f x 为凸函数的充要条件是()epi f 为凸集。
证明：⇒ 任意取两点)(),(),,(2211f epi y x y x ∈，其中,,21D x x ∈,,21R y y ∈,)(11x f y ≥
)(22x f y ≥。R D , 为凸集，R y y D x x ∈-+∈-+∴2121)1(,)1(αααα。)(x f 为凸函数，212121)1()()1()())1((y y x f x f x x f αααααα-+≤-+≤-+∴，,)1((21x x αα-+ ),())1(21f epi y y ∈-+αα)(f epi ∴为凸集。（5分）
⇐ 任取,,21D x x ∈令),(),(2211x f y x f y ==)(),(),,(2211f epi y x y x ∈∴。)(f epi 为凸集，=-+),)(1(),(2211y x y x αα ,)1((21x x αα-+)())1(21f epi y y ∈-+αα，)()1()()1())1((212121x f x f y y x x f αααααα-+=-+≤-+∴为凸函数。由凸函数定义知，)(x f ∴（5分）
三、（10％）设G 为n 阶正定对称矩阵，12,,
,n n u u u R ∈线性无关。k p 按如下方式生成：
11p u =，1111121+++==-=-∑(,,
,)T k
k i
k k i T i i i
u Gp p u p k n p Gp ，证明12,,,n p p p 关于G 共轭。
证明：（1）211
21
21122111
()0T
T T T T
T u Gp p Gp p G u p p Gu u Gp p Gp =-=-=，因此12,p p 关于G 共轭。
（4分）
（2）设,(1)i j p p i j k ≤<≤关于G 共轭，即0()T j i p Gp j i =≠（2分）下证(
1)j p j k ≤≤与1k p +共轭。1111+++==-∑T
k
T T T k i
j
k j
k j i T i i i
u Gp p Gp p Gu p Gp p Gp ，
由于0()T j i p Gp j i =≠，上式等于110++-=T k j
T
T j
k j j T
j
j u Gp p Gu p Gp p Gp 。
（4分） 由归纳法原理，命题成立。
四、（20％）（1）用单纯形方法求解下面的线性规划
,0 2426 1553 ..2- min 2121212
1≥≥≤+≤+-x x x x x x t s x x 。
（2）若在上面的线性规划中要求变量为整数，在相应的整数规划中，请对变量1x 写出对应割平面方程。
（3）根据最后得到的单纯形表，求出该线性规划的对偶问题的最优解。 解：（1）标准型线性规划为
,, 2426 1553 ..2- min 43214213212
1≥=++=++-x x x x x x x x x x t s x x （2分）
判别数非负，最优解为T
)4/3,4/15(，最优值为4/33-（8分） （2）根据单纯型表，有
4
151********=+-
x x x 4331125
1211433x x x x --=--
割平面方程为
012
5
12114343≤--x x 即951143≥+x x （6分）
(3) 根据最后得到的单纯形表，得到该线性规划的对偶问题的最优解
T
T
T B B C y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--127,121
1353)1,2()(1
1*注：（1）原理正确，计算错误，若不影响最优基，扣2分，若影响最优基，扣4分 （2）割平面方程基本原理4分，（即计算错误扣2分）
（3）对偶问题的最优解公式2分，结果2
