全等三角形的判定四(习题课)
《用“HL”证直角三角形全等》第4课时练习题
C)
90° ． 11．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠3＝_______
12．(2016·镇江)如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°. (1)求证：△ACB≌△BDA； (2)若∠ABC＝35°，则∠CAO的度数是多少？
5．如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝
AC，FD＝CD.求证：AD＝BD. 解：在Rt△ADC和Rt△BDF中，∠ADC＝∠BDF＝90°，∵CD＝FD，AC ＝BF，∴Rt△ADC≌Rt△BDF(HL)，∴AD＝BD
知识点2：直角三角形全等判定方法的选用
6．下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是( D A．两条直角边分别对应相等 B．斜边和一锐角分别对应相等 C．斜边和一条直角边分别对应相等 )
八年级上册人教版数学 第十二章 全等三角形
12．2 三角形全等的判定
第4课时 用“HL”证直角三角形全等
直角边 分别相等的两个直角三角形全等，可简写成 1．斜边和一条_________ HL ”． 斜边、直角边 ”或“_______ “_______________ 2．判定两个直角三角形全等的方法．(填简写形式) SSS ；(2)________ SAS ；(3)______ ASA ； (1)_______ (4)_________ AAS ；(5)_______ HL ． 练习1：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据 AB＝AC “HL”判定，还需要加条件_______________ ；若加条件∠B＝∠C，则可用 AAS 判定． __________
三角形全等的判定(四)AAS判定方法专题训练
相 交 于
２ ２
Ｉ ａ ｅｏ ｌ ｎ ｆ ｎ ’ ｓ ｏ ｔ ｎ ｕ ｈ， ｈ ａ ｔ ｎ ｔｉ ｇ ｄ ｏ ｔ ａ ｔ ｓ ？ ｖ ｎ ｙｏ ｅｌ ｅａ ｄ ｉ Ｓ ｈ ｒ ｅ ｏ ｇ ｗ ｙ ｗ ｓｅｉ ｏ ｎ ｓＩ ａ ｎ’ ｗ ｎ ｔ ｈ ｉ ｔ ｔ ｈ ｍｏ
６．． ＡＣ ‘ ‘△ △ ＣＤ（ ＡＳ） ‘ＡＢ ＝层 Ｓ ＋． ．
７ 同时 到 达 ， Ｄ △Ｂ Ｅ（ＡＳ ． ． △ＡＣ Ｃ Ｓ ）
三角 形 全 等 的判 定 （ｒＨＬ判 定方 法 专题 训 练 （ 在第 ２ ￣） 题 ４页 ）
夯实 基 础
，ＡＣ＝ＡＤ 或 ．
Ｃ＝
或
＝ 删
△ Ｆ （ Ａ ） Ｄ Ｓ Ｓ ，
则 有 ＡＢ：ＤＦ ＡＢ 肋 ， ， Ｄ＝ 然 后 在 △ Ｄ 和 △ Ｃ Ｄ 中 ． 为 公 共 边 ，Ｄ ＝ Ｃ Ａ ＡＤ Ｆ Ｄ，
／ＡＤＦ ＝ ＡＤＣ ．
’ ．
Ｒ△Ａ Ｃ ｔ Ｅ ｌ △ＤＦ ． ＡＣ ｌ ｔ Ｂ，’ ． Ｅ
第 ４题 图
５ 如图， ． 已知 Ａ 与 Ｂ Ｄ Ｃ相交 于 ０， 过 ０点 分 别 与 Ａ Ｃ 交 于 Ｅ， Ａ ＝ＤＯ， Ｏ ＝ Ｂ， Ｄ Ｆ， ０ Ｂ
Ｃ 请说 出 Ｏ Ｏ， Ｅ＝Ｏ Ｆ成立 的理 由．
Ｃ
第 ５题 图
Ｔ ｅ ｈｅ ｕｅ ｆ ｕ ａ ＇ｒ ｉｔｂ ｕ ｄｉ ｔｅ ｒｊｄｃｓ ｉ ｅ ｐ ｎ ｈ ｄ ｏｄ ｈ ｉ ｃ ｓ ｍ ｎｅ ｏｓｓｏ ｅｏ ｎ ｅｕ ｉ ｃ ｄ ｉ ｈｏ ｃ ｆａ ｏｈ ｌ ｆ ｒ ｎｈ ｐ ｅｐ ｋ ｕ ｉｃ ｌ
Ｄ Ｆ ．ｃ ∥ Ｂ Ｂ ．． Ｅ ＿
３． Ｃ Ｊ Ａ） ｌ１
八年级第5讲 全等三角形的判定四(全等的综合)
第5讲 全等三角形的判定四（全等的综合）【课前热身】1、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，则下列结论中，错误的是（ ） A ．PD ＝PEB ．OD ＝OEC ．∠DPO ＝∠EPOD ．PD ＝OD2、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为（ ） A ．40 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm3、如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠C ＝70°，求∠DAC 和∠BOA 的度数4、（本题10分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝AC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，AE ＝21BD ，且DF ⊥AB 于F ，求证：CD ＝DF【本讲说明】本讲重难点：全等三角形的综合，手拉手模型与半角模型这讲内容，是全等三角形这章的大综合，全等是中考常考知识点并且是几何的基础，奠定了后续所有几何的学习。
综合的难度提高，是对前面的简单复习，更是提高，其中，我们已经学习了三垂直模型，四大金刚模型，今天我们继续学习手拉手模型和半角模型。
这些模型是初二全等几何非常重要的模型，其证明过程巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。
【课程引入】提问式引入（顾及班上所有学生）老师：同学们，全等三角形这一章已经全部学完了，大家还记得这一章都学了哪些知识点呢？生：SSS，SAS，ASA， AAS，HL，四大金刚模型，三垂直模型……(学生七嘴八舌)师：很好，大家都说出了自己心里印象最深的一节，那我们一起回顾下本章内容。
这一章我们主要学习了全等三角形的概念，是什么？生：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
师：全等三角形有哪些性质？生：全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应中线、角平分线、高线分别相等。
1三角形全等的判定(第4课时)PPT课件(华师大版)
当堂检测
1．为班级中每名同学准备了长分别为a、b、c三根木条，所有同学都
用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所
有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法根据
_______．
SSS
根据：三个木条长度a，b，c，无论怎么摆放，长度不变，利用三
角形全等的判定理由：SSS
当堂检测
（简写为“边边边”或“S.S.S.”）
A
几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE，
B
C
D
BC=EF，
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
E
F
讲授新课
典例精析
【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD = CB，AB = CD.
求证: ∠B = ∠D.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
＝，
＝ ,
＝.
∴△ABC≌△DFC(SSS).
讲授新课
变式1 若将上题中右边的三角形向左平移(如图)，若AB＝DF，
AC＝DE，BE＝CF.问：△ABC和△DFE全等吗？
解:全等.
A
B
E
D
C
F
∵ BE＝CF ，
∴BE+EC=CF+EC.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
在△ABD和△CDB中,
＝(已知)，
= (已知),
＝(公共边).
∴△ABD≌△CDB（SSS）,
∴∠A=∠C.（全等三角形的对应角相等）.
②证明:∵ △ABD≌△CDB（已证） ,
∴∠ABD=∠CDB， ∠ADB=∠CBD .
（全等三角形的对应角相等）
八年级数学上册第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定第4课时利用HL判定两个直角三角形全等习题名
11.如图1，已知点P的坐标为(2，2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA＝PB.(1)求证：PA⊥PB；(2)求OA－OB的值；(3)如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，求OA＋OB的值.
(2)解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF.∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OB＋OF＝OB＋2，∴OA－2＝OB＋2，∴OA－OB＝4.(3)解：过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F.同(1)可得Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF.∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OF－OB＝2－OB，∴OA－2＝2－OB，∴OA＋OB＝4.
谢谢大家
每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦每天只看目标，别老想障碍宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子积极向上的心态，是成功者的最基本要素生活总会给你另一个机会，人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走21:19:48我们必须在失败中寻找胜利10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
易错点 混淆直角三角形全等的判定方法
5.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
拔尖角度一 分类讨论与“HL”判定方法的综合
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AQ上运动，问点P运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？
三角形全等的判定(四)
A
B D
C
E
F
三角形全等判定方法4
两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （简写成 “角角边” 或“AAS ” ）
A
用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 ∠A=∠D， ∠B=∠E BC=EF
E B
C D
F
∴ △ABC≌△DEF（ ASA ）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等， 简写成“角边角”或“ASA”。
B A
C
F
D E
7.已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，
∠B＝∠E，CB＝DE．求证：AC＝AD．
∠DAB =∠EAC．求证：AB =AC．
A D
E
B
C
4、如图：已知∠ABC=∠DCB，∠3=∠4， 求证: (1)△ABC≌△DCB(2)∠1=∠2A3 4D源自O1 2B
C
5、如图：已知AB∥DE，AC∥DF， BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。
A D
B
E
C
F
6、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么 应补充一个条件 ------------------- ，才 能使△ABC≌△DEF 。
（ASA）
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 全等，简写成“角角边”或“AAS”
归纳
（AAS）
1、如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD 相等么？为什么？
A
D
O
E
B
C
2、如图，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和
△ACD全等吗？为什么？
A D E
B
C
3、如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，
12.2.1三角形全等的判定(第四课时)
画一个Rt△ABC,使得∠C =90°,一直角 边CA=8cm,斜边AB =10cm。
B
10cm
A
8cm
C
1.画∠MCN =90°;
N
M
C
1.画∠MCN =90°;
2.在射线CM上截取CA =8cm;
N
M A
C
1.画∠MCN =90°; 2.在射线CM上截取CA =8cm; 3.以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B;
D C
AC =BD Rt△ABC ≌Rt△BAD (HL）
∴ BC﹦AD
A
B
2.如图所示，AC =AD，∠C、∠D是直角，将上述条件 标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？ 解：在Rt△ACB 和 Rt△ADB中,有
C
AB =AB AC =AD
∴ Rt△ACB ≌Rt△ADB (HL)
A
B
D
∴BC =BD(全等三角形对应边相等)
C
A′
8cm
C′
Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′
斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写成“斜边、直角边”或“HL”
斜边、直角边公理 (HL)推理格式 ∵∠C=∠C′=90°
∴在Rt△ABC 和Rt△ A′B ′C ′中 AB = A′B ′
BC = B ′C ′
(全等三角形对应角相等) ∵ ∠DEF +∠DFE =90° ∴∠ABC +∠DFE =90°
N B
M A
C
1.画∠MCN =90°;
2.在射线CM上截取CA =8cm;
3.以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B;
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等【习题课件】八年级上册人教版数学
A
B. SAS
)
C. ASA
D. SSS
第1题图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
第4课时
用“HL”判定直角三角形全等
基础通关
能力突破
素养达标
2. 如图，已知 AB ⊥ CD ，垂足为 B ， BC ＝ BE ，若直接用“HL”判定
△ ABC ≌△ DBE ，则需要添加的一个条件是
AC ＝ DE
8
9
10
11
第4课时
用“HL”判定直角三角形全等
基础通关
能力突破
素养达标
证明：(1)∵ AG ⊥ BD ， AF ⊥ CE ，
∴∠ AFE ＝∠ AGD ＝90°.
∴△ AGB 和△ AFC 都是直角三角形.
＝，
在Rt△ AGB 和Rt△ AFC 中，ቊ
＝，
∴Rt△ AGB ≌Rt△ AFC (HL).
(0，－1) ；
8
9
10
11
素养达标
第4课时
用“HL”判定直角三角形全等
基础通关
能力突破
(3)如图3，当点 B 在 y 轴正半轴上运动时，求 OA ＋ OB 的值.
(3)解：如图2，过点 P 作 PE ⊥ x 轴于
点 E ， PF ⊥ y 轴于点 F ，同(1)，
可得Rt△ APE ≌Rt△ BPF ，
∴∠ APE ＝∠ BPF .
∴∠ APB ＝∠ APE ＋∠ BPE ＝∠ BPF ＋∠ BPE ＝∠ EPF ＝90°.
∴ PA ⊥ PB .
1
2
3
4
三角形全等的判定 同步练习及答案4 (1)
三角形全等的判定同步练习一、选择题1、下列说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（）．A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 [ ]．A．2个 B．4个 C．6个 D．8个(第2题图) (第3题图) (第4题图) (第7题图)3、方格纸中，每个小格顶点叫做一个格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，在4×4的方格纸中，有两个格点三角形△ABC、△DEF，下列说法中成立的是（）A、∠BCA=∠EDFB、∠BCA=∠EFDC、∠BAC=∠EFDD、两个三角形中，没有相等的角4、如图，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，则∠BCD等于（）A．80° B．60° C．40° D．20°5、下列说法正确的是（）A、全等三角形是指周长和面积都一样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都一样 ;C、全等三角形是指形状相同的两个三角形;D、全等三角形的边都相等6、下列两个三角形中，一定全等的是（）A. 两个等边三角形B. 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形C. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形7、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为 ( )A．AE=CD B．AE>CD C．AE<CD D．无法确定8、如图, 小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A.PO B．PQ C．MO D．MQ(第8题图) (第9题图) (第10题图) (第11题图)9、如图,D、E、F是△ABC三边的中点,且DE∥AB,DF∥AC,EF ∥BC, 平移△AEF可以得到的三角形是( )A.△BDFB.△DEFC.△CDED.△BDF和△CDE10、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°二、填空题11、如图，铁路上A，B两站（视为线上两点）相距25千米，C，D为铁路同旁两个村庄（视为两点），DA⊥AB于A点，CB⊥AB于B点，DA＝15千米，CB＝10千米，现在要在铁路AB 上修一个土特品回购站E，使C，D两村庄到E站的距离相等，则E站应建在距A站______千米处．12、如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点B在直线PQ上，AD⊥PQ于D，CE⊥PQ于E，且AD=2cm，DB=4c m，则梯形ADEC的面积是 _____．(第12题图) (第13题图) (第14题图) (第15题图)13、将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图17的位置, 若∠AOD=110°,则∠BOC=____°14、如图，和都是边长为4的等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的长为 .15、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有对（填数字）16、如图，若△ABC ≌△ADE ，∠EAC=35, 则∠BAD =________度.(第16题图) (第17题图)17、如图,△ABC的三个顶点分别在格子的3个顶点上,请你试着再在图中的格子的顶点上找出一个点,使得△DBC与△ABC全等,这样的三角形有个．18、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE•的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？三、简答题19、一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将两张三角形纸片摆成如图18的形式，使点B，F，C， D在同一条直线上．（1）你能说明AB⊥DE吗？（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予说明．20、如图，已知M在AB上，BC=BD，MC=MD．请说明：AC=AD．21、如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=BE，（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并说明理由，你添加的条件是理由是：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形（只要求写出一对全等三角形，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母，不必说明理由。
第14课时 全等三角形的判定(4)——HL
2． 如图X12-14-4，已知AD，AF分别是两个钝角 △ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE． 求证：BC=BE． 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的 高，且AD=AF，AC=AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）． ∴CD=EF． ∵AD=AF，AB=AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
课堂小测
4. （20分）如图X12-14-10，OB⊥AB，OC⊥AC， 垂足为点B，C，OB=OC，证明：AO平分∠BAC. 证明：∵OB⊥AB，OC⊥AC， ∴∠OBA=∠OCA=90°. 在Rt△OAB和Rt△OAC中， OA=OA， OB=OC， ∴△OAB≌△OAC（HL）. ∴∠OAB=∠OAC， 即AO平分∠BAC.
2. 如图X12-14-1,已知Rt△ABC，∠C=90°，再画一个 Rt△A′B′C′，使B′C′=BC，A′B′=AB. 解：如答图12-14-1所示.作法如下. ①画∠MC′N=90°；
②在射线C′M上取B′C′=BC；
③以点B′为圆心，AB为半径画弧，
交射线C′N于点A′；
④连接A′B′.
启后
任务三：学习教材第42页，完成下列题目.
1. _________________ 斜边和一条直角边 分别相等的两个直角三角形 全等（可以简写成“斜边、直角边”或“____”） HL. 2. 如图X12-14-2，在△ABC中，AB=AC，
AD是高，则△ADB与△ADC__________ 全等
课堂小测
3. （10分）如图X12-14-6,在Rt△ABC中， CD是斜边AB上的高，∠A=35°，则 ∠BCD=______. 35°
4. （10分）如图X12-14-7，已知在△ABC 中，∠B=90°，D为BC上一点，连接AD，AE是 △ABC的角平分线. 若∠ADB=80°，∠C=30°，则 ∠DAE的度数为_______. 20°
三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等课件(共23张PPT)
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
随堂练习
1.如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证：(1) AE = DF. 分析： CE - EF = BF - EF. 即 CF = BE
Rt△ABE≌Rt△DCF ( HL )
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
课堂小结
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等( “斜边、直角边”或“HL”).
用“HL”判定 直角三角形全等
前提条件 在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对 应边相等）
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
针对训练 1.如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 与 路段 AB 的距离相等吗？为什么？
分析： CA = CB， CD = CE， ∠A =∠B = 90°.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
②当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中，
AB＝PQ， AC＝PA， ∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL). ∴ AP＝AC＝10 cm. 综上， 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
用符号语言表达： 在 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°
AB = A'B' ∵
全等三角形的判定精选练习题(分SSS、SAS、AAS、ASA、HL分专题)
全等三角形的判定（SSS）1、如图 1， AB=AD ， CB=CD ，∠ B=30 °，∠ BAD=46 °，则∠ ACD 的度数是 ()A.120 °B.125 °C.127°D.104 °2、如图 2，线段 AD 与 BC 交于点 O，且 AC=BD ， AD=BC ， ? 则下面的结论中不正确的是()A. △ ABC ≌△ BADB. ∠ CAB= ∠ DBAC.OB=OCD.∠ C= ∠D3、在△ ABC 和△ A 1B 1C1中，已知 AB=A 1B 1， BC=B 1C1，则补充条件 ____________，可得到△ ABC ≌△A 1B1C1．4、如图 3，AB=CD ，BF=DE ，E、F 是 AC 上两点，且AE=CF ．欲证∠ B= ∠ D，可先运用等式的性质证明AF=________ ，再用“ SSS”证明 ______≌ _______得到结论．5、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠ A= ∠ D．6、如图， AC 与 BD 交于点 O， AD=CB ，E、F 是 BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF. 请推导下列结论：⑴∠ D=∠B ；⑵ AE ∥CF．7、已知如图，A 、 E、F、 C 四点共线， BF=DE ， AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△ DEC ≌△ BFA ；⑵在⑴的基础上，求证： DE∥ BF.全等三角形的判定(SAS)1、如图1， AB ∥ CD ， AB=CD， BE=DF ，则图中有多少对全等三角形()A.3B.4C.5D.62、如图2， AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ ACE ，可补充条件()A. ∠ 1= ∠23、如图 3， AD=BCA.AB ∥ CDB.∠ B= ∠ C，要得到△ ABDB.AD ∥ BCC.∠ D= ∠ ED. ∠BAE= ∠CAD 和△CDB 全等，可以添加的条件是 ( C.∠A=∠ C D. ∠ABC= ∠ CDA)4、如图 4， AB 与 CD 交于点 O， OA=OC ， OD=OB ，∠ AOD=________ ， ? 根据 _________可得到△ AOD≌△ COB，从而可以得到AD=_________ ．5、如图 5，已知△ ABC 中， AB=AC ， AD 平分∠ BAC ，请补充完整过程说明△∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ ________=∠ _________(角平分线的定义).在△ ABD 和△ ACD 中，∵ ____________________________ ，∴△ ABD≌△ ACD（ABD）≌△ ACD的理由．6、如图 6，已知 AB=AD ， AC=AE ，∠ 1= ∠ 2，求证∠ ADE= ∠ B.7、如图，已知AB=AD ，若 AC 平分∠ BAD ，问 AC 是否平分∠ BCD ？为什么？BA CD8、如图，在△ABC 和△ DEF 中， B 、 E、 F、 C，在同一直线上，下面有 4 个条件，请你在其中选 3 个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE ；② AC=DF ；③∠ ABC= ∠ DEF ；④ BE=CF.9、如图⑴， AB ⊥ BD ， DE⊥ BD ，点 C 是 BD 上一点，且BC=DE ， CD=AB ．⑴试判断AC 与 CE 的位置关系，并说明理由．⑵如图⑵，若把△CDE 沿直线 BD 向左平移，使△CDE 的顶点 C 与 B 重合，此时第⑴问中的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)AC与BE全等三角形（三） AAS和 ASA【知识要点】1．角边角定理（ ASA）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.2 ．角角边定理（ AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.【典型例题】例 1．如图， AB∥ CD， AE=CF，求证： AB=CDD FC O例 2．如图，已知： AD=AE，ACD ABE ，求证：BD=CE.AE BAD E例 3．如图，已知：CD . BAC ABD ，求证：OC=OD.B CD COA B例 4．如图已知： AB=CD，AD=BC，O是 BD中点，过 O点的直线分别交DA和 BC的延长线于E，F. 求证： AE=CF.FDCOAB例 5．如图，已知123 ，AB=AD.求证：BC=DE.EA2E1OB D 3C例6．如图，已知四边形 ABCD中， AB=DC，AD=BC，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC上， AF=CE， EF 的对角线 BD 交于 O，请问 O点有何特征？A F DOB EC【经典练习】1. △ ABC和△A B C中，A A' , BC B C ，C C 则△ABC与△ A B C.2．如图，点 C，F 在 BE上，12, BC EF ,请补充一个条件，使△ABC≌DFE,补充的条件是.A DB 12EC F3．在△ ABC和△A B C中，下列条件能判断△ABC和△A B C全等的个数有（）① A AB B ， BC B C② AA ， B B ， AC A C③ A AB B ， AC B C④ AA ， B B ， AB A CA ． 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个4．如图，已知 MB=ND，MBA NDC ，下列条件不能判定是△ABM≌△CDN的是（）A．M NB. AB=CD M NC． AM=CND. AM∥ CN5．如图 2 所示，∠E=∠ F=90°，∠ B=∠ C， AE=AF，给出下列结论：①∠ 1=∠2② BE=CF③△ ACN≌△ ABM④ CD=DN A C B D 其中正确的结论是_________ _________ 。
三角形全等的判定(四)AAS判定方法专题训练
Байду номын сангаас
分圳 从 誓尊 一
４， Ｂ点 ｍ发 ， 且 在各 点停 留 的时 问 牛 ｝ ｛ 同． 两 ｊ ｊ
第 ５题 图
人 的速度 也 一 样 ，试 问淮 先 到达 指 定 投送 ｊ 。
点． 说 说你 的理 由．
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第 ７ 题
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（ 答 案 在 参 考 答 案 第 ３页 ）
Ｄ， ， ， Ｇ， 为报 纸 投 送 点 ， 送 报 员 甲从 ４
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点 出发 ，按 — Ｈ— Ｇ — Ｄ — Ｅ — Ｃ — Ｆ的川 甄 序至 Ｉ Ｊ 达 ｉ ｊ 点； 送报 员 乙从 Ｂ点 发 ， 沿Ｂ — Ｆ － Ｈ— Ｅ 一 Ｄ— Ｃ — Ｇ的顺 序 到达 Ｇ点 ．替 甲 、
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第 ４题 图
Ｃ
５ ． 如图， 已知 ＡＤ 与 Ｂ Ｃ相交 于 ０． Ｅ Ｆ过 ０ 点
７ ． 如 图 ，是 某 城 市花 同小 区 的部 分 街道 示： 卷
ＡＢ ： ＢＣ ： Ａｃ ＣＤ ＝ ＣＥ ＝ＤＥ Ａ Ｂ 《
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分 别 与 ＡＢ， Ｃ Ｄ 交 于 ， Ｆ， Ａ０ ＝Ｄ Ｏ， Ｂ Ｏ＝ Ｃ Ｏ， 请说出 Ｏ Ｅ＝Ｏ Ｆ成 立的理 由．
Ｔ ｈ ｅ ｃ ｈ ｉ ｅ ｆ ｃ ａ ｕ ｓ ｅ ｏ ｆ ｈ ｕ ｍ ａ ｎ ｅ ｌ Ｔ Ｏ Ｆ Ｓ ｉ ｓ ｔ ｏ ｂ ｅ ｆ ｏ ｕ ｎ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｅ ｊ ｕ ｄ ｉ ｃ ｅ ｓ ｐ ｉ ｃ ｋ ｅ ｄ ｕ ｐ ｉ ｎ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ ｈ ｏ ｏ ｄ
Ｂ 于点 三 角形
相交 于
２ ２
12.2 第4课时 直角三角形全等的判定(“HL”)练习题 人教版八年级数学上册
第4课时直角三角形全等的判定(“HL”)知识点 1 用“HL”判定直角三角形全等1.如图1,可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是 ()图1A.AC=DF,BC=EFB.∠A=∠D,AB=DEC.AC=DF,AB=DED.∠B=∠E,BC=EF2.如图2所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PE,PF相等,则直接得到Rt△PEA≌Rt△PFA的依据是 ()图2A.AASB.ASAC.HLD.SSS3.如图3,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则需要添加的一个条件是.图34.如图4,BD,CE均是△ABC的高,且BE=CD.求证:△BEC≌△CDB.图4 知识点 2 直角三角形全等的灵活运用5.如图5,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,那么下列各组条件中,不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是 ()图5A.AB=A'B'=5,BC=B'C'=3B.AB=B'C'=5,∠A=∠B'=40°C.AC=A'C'=5,BC=B'C'=3D.AC=A'C'=5,∠A=∠A'=40°6.如图6,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足分别为D,E.若BD=4 cm,CE=3 cm,则DE= cm.图67.如图7,点E,F在BC上,AE⊥BC,DF⊥BC,AC=DB,BE=CF.求证:AC∥DB.图7 8.如图8所示,为了固定电线杆AD,将两根长均为10 m的钢丝一端同系在电线杆上的点A处,另一端固定在地面上的两个锚上,那么两个锚(B,C)离电线杆底部(D)的距离相等吗?为什么?图8【能力提升】9.如图9所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则图中全等三角形共有 ()图9A.2对B.3对C.4对D.5对10.如图10,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E.若AE=12 cm,则DE的长为 cm.图1011.如图11,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从点A同时出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 时,△ABC与△APQ全等.图1112.如图12,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,点E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并证明.图1213.如图13①,AB=4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 cm.点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等?判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由.(2)如图②,将图①中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x,t 的值;若不存在,请说明理由.图13第4课时 直角三角形全等的判定(“HL ”)1.C [解析] “HL ”是斜边、直角边分别相等,则必须有AB=DE ,故排除A,D 两个选项,而选项B 中另一个条件为∠A=∠D ,不是直角边对应相等,故排除选项B .故选C .2.C3.答案不唯一,如AC=AD 或BC=BD4.证明:∵BD ,CE 均是△ABC 的高,∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt △BEC 和Rt △CDB 中,{BC =CB,BE =CD,∴Rt △BEC ≌Rt △CDB (HL).5.B [解析] 在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,选项A 符合直角三角形全等的判定方法“HL ”;选项B 不符合三角形全等的判定方法;选项C 符合三角形全等的判定方法“SAS ”;选项D 符合三角形全等的判定方法“ASA ”.6.7 [解析] ∵∠BAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°,∠BAD+∠DBA=90°. ∴∠EAC=∠DBA.又∵AB=AC ,∴△ABD ≌△CAE (AAS). ∴AD=CE ,BD=AE. ∴DE=AD+AE=CE+BD=7 cm .故答案为7. 7.证明:∵BE=CF ,∴BE+EF=CF+EF ,即BF=CE.∵AE ⊥BC ,DF ⊥BC , ∴∠AEC=∠DFB=90°.在Rt △AEC 和Rt △DFB 中,{AC =DB,CE =BF,∴Rt △AEC ≌Rt △DFB (HL). ∴∠ACE=∠DBF.∴AC ∥DB.8.解:相等.理由如下:∵AD ⊥BC ,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt △ADB 和Rt △ADC 中,{AB =AC,AD =AD,∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (HL). ∴BD=CD ,即两个锚(B ,C )离电线杆底部(D )的距离相等. 9.B [解析] ∵AB=AC ,BD=CD ,AD=AD ,∴△ABD ≌△ACD (SSS).∴∠B=∠C.又∵∠DEB=∠DFC=90°,BD=CD ,∴△BED ≌△CFD (AAS).∴DE=DF.在Rt △AED 和Rt △AFD 中,∵AD=AD ,DE=DF ,∴Rt △AED ≌Rt △AFD (HL).故图中共有3对全等三角形. 10. 12 [解析] 如图,连接BE. 在Rt △DBE 和Rt △ABE 中,{DB =AB(已知),BE =BE(公共边),∴Rt △DBE ≌Rt △ABE (HL).∴AE=DE.又AE=12 cm,∴DE=12 cm .11.5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ,∴∠PAQ=90°.∴∠C=∠PAQ=90°.分两种情况:①当AP=BC=5时, 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中,{AB =QP,BC =PA,∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL);②当AP=CA=10时, 在Rt △ABC 和Rt △PQA 中,{AB =PQ,CA =AP,∴Rt △ABC ≌Rt △PQA (HL).综上所述,当点P 运动到AP=5或10时,△ABC 与△APQ 全等. 故答案为5或10. 12.解:BF ⊥AE. 证明:∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.在Rt △BDC 和Rt △AEC 中,{CB =CA,BD =AE,∴Rt △BDC ≌Rt △AEC (HL). ∴∠CBD=∠CAE. ∵∠CAE+∠E=90°, ∴∠CBD+∠E=90°. ∴∠BFE=90°,即BF ⊥AE.13.解:(1)当t=1时,△ACP ≌△BPQ ,此时PC ⊥PQ. 理由:当t=1时,AP=BQ=1 cm,∴BP=AC=3 cm .在△ACP 和△BPQ 中,{AP =BQ,∠A =∠B =90°,AC =BP,∴△ACP ≌△BPQ (SAS). ∴∠ACP=∠BPQ.∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°. ∴∠CPQ=90°,即PC ⊥PQ.(2)存在.由题意得AP=t cm,BP=(4-t )cm,AC=3 cm,BQ=xt cm .分两种情况讨论: ①若△ACP ≌△BPQ , 则AC=BP ,AP=BQ ,即{3=4−t,t =xt,解得{t =1,x =1; ②若△ACP ≌△BQP , 则AC=BQ ,AP=BP , 即{3=xt,t =4−t,解得{t =2,x =32. 综上所述,当x=1,t=1或x=32,t=2时,△ACP 与△BPQ 全等.。
直角三角形全等的判定(习题课)
三人（异质）小组：
在小组长的带领下，先核对答案，再解决 上述环节中的困惑（即对学有困难的同学帮 扶），并收集还没有解决的困惑。 （帮扶提示：帮助有困难的同学弄清错误
原因和正确的思路。）
六人小组：
1、在学科组长的带领下，对组员在上一环节中 未解决的问题进行进一步解决； 2、收集本组共同的困惑和典型问题书写在展示 区。 3、讨论交流后，整理自己的学案。 （整理提示：收集本组的好方法、典型错
2、线段AB和CD有什么特殊 的关系吗？
C
3、直线AC和BD有什么位 置关系呢？
F A E
B
O
D
例1 变式：若将△BDF沿直线AB向左平 移，使F点落在线段AE上（且不与A、E 重合）
（请在学案上画出图形并探究）
例1 变式：题目的条件（AC=BD， CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F， AF=BE）不变，CE=DF还成立吗？
知识回顾
直角三角形 全等的判定方法：
１.SSS； ２.SAS； ３.ASA； ４.AAS； 直角三角形特有 5.HL.
学习目标
• 1、以直角三角形为基本图形，系统认识全等 三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA 、AAS、HL）； • 2、结合具体的问题情境，学会选择适当的判 定方法证明三角形全等从而解决问题；
误原因进行交流。）
例1 如图，AC=BD，CE⊥AB，DF⊥AB，
垂足分别为E、F，AF=BE （1）求证： CE=DF 追问：1、点 O是线段CD、EF的中点， （2 ）连接CD 交 EF于点 O ，线段CD与线段EF 那么，点 O 是线段 AB 的中点吗？需要再 有什么特殊的关系吗？请说明理由。 证三角形全等吗？
F B D E
三角形全等的判定定理(四)
思考：１．还有其他解法吗？
２．从上题中，你可以得到什么结论？
五、随堂练习：教材Ｐ７９练习
六、拓展延伸Ｅ
已知，如图，ＯＣ＝ＯＤ，∠１＝∠２
试判断： Ｄ Ｃ
（1）ＯＡ＝ＯＢ吗？ １ ２
（2）ＥＣ＝ＥＤ吗? 请说明理由。 Ｏ
Ａ Ｂ
学生活动：学生在练习本上尝试独立完成，做完后分组讨论。
桃 源 县漆 河 镇中 学 教 师 电 子 教 案
教 学 过 程
教 师 活 动
学 生 活 动
教师活动：教师查视全班同学做题情况，对有困难的学生个别指导。师生共议解答。分析要证BE=B′E′，可证△ABE≌△A′B′E′，这两个三角形中由AC、A′C′为高。可知∠AEB=∠A′E′B′=90？，可设法找AB=A′B′，∠A=∠A′这两个条件可由△ABC∽△A′B′C′，利用性质证得。
能够进行有条理的思考，并进行简单的推理。
情感
态度
价值观
经历实现、探索、交流的活动，积累数学活动的经验，体验发现数学活动
的乐趣。
教 学 重 点
“角角边“定理及应用。
教 学 难 点
用“角角边”定理及与全等三角形的性质综合解题。
教 具 准 备活 动
一、知识回顾引入
1．“SAS”定理及“ASA”定理的内容及定理中边与角的关系是怎样？
课堂小结
1．本节课学习了“角角边定理”及其应用。
2．归纳判定三角形全等的几种方法：“SAS”、“ASA”、“AAS”及其边角关系
的条件依次是：“两边及其夹角，两角及其夹边，两角及一角的对边”分别对应相等，会根据具体题目分析，恰到好处的选择方法。
布置作业
课本P82习题3、4。
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课题：12.2 三角形全等的判定(4) 主备者王东明授课时间2015年5月22日星期五课型新授
教学目标1、在题组训练中，掌握全等三角形的性质与判定；
2、形成解题模型，提高总结的能力。
教学重点教学难点1、运用全等解题，形成模型；
2、解题模型的形成。
学习方法
教学手段
课时安排 1课时
教学过程、内容分析
（组内集体备课）
一、练一练
1. △ABC沿AC翻折得到△ADC，若∠B=75°，
则∠D= .
2. △ABC沿BC平移得到△DEF,若BC=8，EC=5，
则CF=.
3. △ABC≌△ADE，∠C=∠E，若∠BAC=105°，∠DAC=75°,
则∠CAE= .
归纳1：
二、利用图形语言挖掘隐含条件判定全等
1．如图，AB=AD,CB=CD. △ABC和△ADC全等吗？为什么？
2．如图，AB=AC,AD=AE.求证∠B=∠C.
3．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.
求证：DC∥AB.
（个人二次备课）
公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！
三、添条件判全等
1.如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，
根据“SAS”需要添加条件；
根据“ASA”需要添加条件；
根据“AAS”需要添加条件.
友情提示：
添加条件的题目，首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件,有些是图中隐含条件.
2. 如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，根据“SSS”需要添加条件；根据“SAS”需要添加条件.
归纳3
3.如图，BD与AC相交于点O，∠A=∠C，要使△ABO≌△CDO，根据“ASA”需要添加条件；
根据“AAS”需要添加条件.
归纳5：
四、转化间接条件，判断全等
1. 如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，AB=DC.
求证∠A=∠D.
2.如图，∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE.求证AD=AB.
3．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE,FC∥AB. AE 与CE有什么关系？证明你的结论.
五、课堂小结
1.本节课主要解决了哪些问题?你对解决全等的习题有了哪些认识？
2.本节课的学习中哪些环节给你留下的印象最深刻?你还有什么疑问?
六、课堂检测
1. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，AC=BD，∠M=∠N，BM∥CN.求证：AM∥CN.
2.已知∠1=∠2，AE=AC，请再补充条件（写一个即可），使△ABC ≌△ADE，并加以证明.
板书
设计
课本第44页第11题，第45页13题。
作业
布置
辅导
记载
教学
反思。