三角形的分割

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怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形浙江省余姚市实验学校郑建元(315400)图形的分割与组合是对图形研究的重要内容之一，也是近几年来新教材及中考中频频出现的题型之一．图形的分割主要涉及到两种类型：一类是把图形分割成规定形状的图形，另一类是把图形分割成规定面积的图形．本文就第一种类型提出：怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形这一问题作如下探究．如图1：D 为△ABC 中BC 上一点, 问：当△ABC 满足怎样的条件? △ABD 与△ADC 均为等腰三角形．我们不妨倒过来研究：假定△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．不失一般性，我们作如下分类讨论:１．若AD BD ，我们再分三种情形讨论：(1)若ADBDDC ,则有BBAD ,CDAC ，又180BBADDACCBBACC，2（BAD+DAC ）=180．90BAC．故△ABC 为直角三角形.（注：用定理“三角形一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形”证明之更简捷）(2)若AD BD ,ACDC ,则有B BAD ,DACADC ，3BACBADDACBADADCBADBBADB ．故△ABC 中存在两内角满足3倍关系；(3)若AD BD AC ,显然B BAD ,C ADC ,2CADCBBADB ．故△ABC 中存在两内角满足2倍关系；2．若AB AD ,我们再分两种情形讨论：(1)若AD DC ，类同1(3)可证∠Ｂ＝２∠Ｃ，故△ABC 中两内角仍满足2倍关系；(２)若ADAC ，显然∠Ｂ＝∠ADB ，CADC ，∴∠BAC +∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC 不成立；(３)若AC DC ，显然∠Ｂ＝∠ADB ，∠DAC ＝∠ADC ，∴∠BAC+∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠DACABD图1Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AC DC 不成立．３．若AB BD ,我们再分三种情形讨论：(1)若AD DC ，类同1(2)，可证∠BAC=3∠C ，故△ABC 中存在两内角满足3倍关系；(２)若ADAC 类同2(3)，可证∠B+∠BAC+∠Ｃ＞∠BA Ｃ+∠Ｃ＞∠ＢAD+∠Ｃ=∠BDA+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC 不成立；(３)若AC DC ,AB+AC=BD+DC=BC ，这与定理“三角形任何两边之和大于第三边”矛盾，因此AC DC 不成立．综上：如果一个三角形能被一刀截成两个等腰三角形，则此三角形必定至少满足下列条件中的一个：（1）直角三角形；（2）其中两内角有3倍关系；（3）其中两内角有2倍关系．那么反过来成立吗？即满足上述三个条件中的一个，此三角形一定能一刀截成两个等腰三角形吗？显然，满足条件（1）时，成立．如图2，在RT △ABC 中，∠BAC=RT ∠，设∠B=α，∠C=β，在BC 上取一点D ，使∠BAD=α，易证∠DAC=β，从而DA=DB ，DA=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．其次，满足条件（2）时亦成立．如图3，在△ABC 中，∠BAC=3∠B ，设∠B=α，则∠BAC=3α，在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠DAC=∠ADC=2α，从而DA=DB ，AC=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．若满足条件（3），则不一定成立．如图4，在△ABC 中，∠C=2∠B ，设∠B=α，则∠C=2α．再分三种情况讨论：①∠BAC ＞α；βCABD图2C A BD22图3CABD图4在BC上取一点D，使∠BAD=∠α，易证∠ADC=∠C =2α，从而DA=DB，AD=AC，即△ABD与△ADC均为等腰三角形，但此时2α必小于90°．B C BAC，180BAC．2180又∵∠BAC＞α，2180．45．290．②∠BAC=α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴4α=180°．∴2α=90°．此时△ABC为直角三角形，从锐角顶点A出发不能把△ABC分成二个等腰三角形，但从直角顶点出发C，仍能把△ABC分成二个等腰三角形．③∠BAC＜α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴α+α+2α＞180°．∴4α＞180°，∴2α＞90°，∴∠C=2α＞90°．此时△ABC为钝角三角形, 从最小角顶点A出发不能把△ABC截成二个等腰三角形，但当∠B=3∠BAC，或∠B=2∠BAC，或∠C=3∠BAC时分别从顶点B、顶点C、顶点C出发仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．由此可见，当三角形有两内角满足2倍关系时，此三角形不一定能一刀分割成两个等腰三角形，但当两锐角有2倍关系时，从第三角的顶点出发引“割线”能一刀分割成两个等腰三角形．综上研究，有如下定理：当且仅当满足下列条件之一时，一个三角形必定能被一刀截成两个等腰三角形：（1）直角三角形（从直角顶点出发引“割线”）；（2）两内角有3倍关系（从有3倍关系的两内角中较大一角的顶点出发引“割线”）；（3）两锐角有2倍关系（从有2倍关系的两内角之外的第三角的顶点出发引“割线”）．对于这个定理的应用，因篇幅所限，仅举二例．1．已知一等腰三角形能被一刀分割成两个等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数．应用本文定理，可知原等腰三角形三内角必定至少满足下列几种情况：(,,90)，(,,2),,)3,,((,3,3)，(,2,2)，中的一种．根据三角形内角和等于180。

将三角形分成四个相等的部分的方法

将三角形分成四个相等的部分的方法要将一个三角形分成四个相等的部分，可以使用以下两种方法：使用切割法和使用相似三角形法。

方法一：使用切割法1.画一条从三角形的顶点到底边中点的线段，得到一个高。

2.在三角形中点处，画一条与底边平行的线段，将三角形从中间切成两个以底边为底的梯形。

3.在新切割的两个梯形中，继续使用同样的方法进行切割，即在底边中点处画线段，直到最终将三角形分成四个相等的部分。

方法二：使用相似三角形法1.在三角形的一边上选择一个点，将该边分成两段，使得这两段长度之比等于2:12.从新选择的点分别向三角形的另外两个顶点引垂线，垂足分别为A'和B'。

3.连接A'、B'和三角形的第三个顶点，得到一个新的三角形。

4.证明A'B'所在的线段与三角形的底边平行，并且长度为原底边的一半。

5.通过剩下的步骤，可以得到所需的四个相等部分：a)选择第一个相似三角形，将其底边分成两段，使得这两段长度之比等于2:1b)从新选择的点分别向相似三角形的另外两个顶点引垂线，垂足分别为A''和B''。

c)连接A''、B''和第三个顶点，得到新的相似三角形。

d)证明A''B''所在的线段与原底边平行，并且长度为其一半。

e)重复步骤a)至d)，直到得到四个相等的部分。

这两种方法都能够将一个三角形分割成四个相等的部分。

切割法较为直观，但需要多次切割。

相似三角形法则根据相似三角形的性质，通过比例关系来得到所需的部分。

在实际操作中，可以根据具体的三角形形状和条件选择适合的方法。

分割三角形个数的公式

分割三角形个数的公式在我们的数学世界里，三角形那可是个相当重要的角色。

今天咱们就来好好聊聊怎么通过一个神奇的公式来搞清楚能从一个大三角形里分割出多少个小三角形。

记得有一次，我带着学生们在课堂上做一个有趣的小实验。

我在黑板上画了一个大大的三角形，然后让同学们开动脑筋，想想怎么把它分割成更多的小三角形。

有的同学拿起尺子，认真地比划着；有的同学皱着眉头，苦思冥想；还有的同学已经迫不及待地开始在本子上画了起来。

这场景，真像一群小探险家在努力寻找宝藏的秘密通道。

咱们先来说说最简单的情况。

如果是把一个三角形平分成两个，那太简单啦，就是从一个顶点向对边引一条线段就行。

可要是想分得更多呢？这就需要咱们的公式出马啦。

对于一个三角形，如果我们从一个顶点向对边引 n 条线段，那么这些线段和对边的交点会把对边分成 n + 1 段。

而每一段和顶点相连，就会形成一个新的三角形。

所以，通过这样的分割，总共能得到的三角形个数就是1 + 2 + 3 + … + (n + 1) 个。

比如说，从一个顶点向对边引 3 条线段，那对边就被分成了 4 段。

按照公式，能得到的三角形个数就是 1 + 2 + 3 + 4 = 10 个。

再举个例子，假如我们要把一个三角形分割得特别细，从一个顶点引了 5 条线段到对边，那么对边就被分成了 6 段。

这时候能得到的三角形个数就是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 个。

这个公式看起来好像有点复杂，但只要多做几道题，多画几次图，就能轻松掌握啦。

回到最开始我们在课堂上的小实验，有个聪明的同学一下子就想到了这个公式，然后兴奋地举手给大家讲解。

其他同学听了之后，恍然大悟，纷纷感叹数学的神奇。

在我们的日常生活中，其实也能发现这个公式的影子呢。

就像我们切蛋糕，如果把一个三角形的蛋糕切成很多小块，其实也能用这个公式来算算一共能切出多少块。

总之，这个分割三角形个数的公式虽然看似简单，却有着大大的用处。

三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件1

应用体验五
将一个等腰三角形分割成两个等腰三角形,原等腰三角形的顶角为几度?
梳理 1的积.一条累个件三：角形可以被分割成两个等腰三角形
（1）原三角形一个角是另一个角的2倍；
（有何限制条件？）（分第三个角）
第三个角要大于45。
（2）原三角形一个角是另一个角的3倍；
（分3倍角）（3）原三角形是直角三角形。（分直角）
大家好
三角形可被分为割
问题1：如果要分割成两个等腰三角形呢？
原三角形的角度不
知道。无法分！
A
B
C
尝试交问题流2：如果三个角分别为36°、 72°、
72°，你可以帮忙办到吗？
A
36°
36°
B 72°
P
72° C
尝试交流
问题3：如果把三角形的三个内角改成25°、50°、105°，你还能分吗？
A
β
Bβ
2β
P
图4
2β C
应用体验如图 5，△ABC中，设
二∠A=38˚,∠B=76˚,∠C=66˚. 怎么画呢?
应用体验三如图 6，△ABC中，设 ∠A=36˚,∠B=96˚,∠C=48˚. 怎么画呢? 问题在哪里呢?
条件1还缺点什么呢?
验证发三角形有一个角是现另一个角的2倍时，不一定能够被剪成两个等腰三角形。
需要增加什么条件呢? 这个角有什么限制呢?
A
继续探
如究图 7 , P为△ABC 中问B题C1边：上你一会计点算. “当B原三角图形7 P一 C
个角为另一个角 2 倍时, 若分割成两个等腰三角形”, 第三角的取值范围吗?
梳理 1小.一结个三角形可以被分割成两个等腰三角形

等腰三角形的分割

等腰三角形的分割哎呀，你知道吗？等腰三角形可神奇啦！有一天上课，数学老师就给我们出了一道难题，是关于等腰三角形的分割。

老师在黑板上画了一个大大的等腰三角形，然后问我们：“同学们，你们能想想办法把这个等腰三角形分割成不同的形状吗？”我当时就想，这能有多难呀？不就是随便画几条线嘛。

于是我举起手说：“老师，我觉得可以从顶角画一条线到底边，这样不就分成两个三角形啦！”老师笑着点了点头，说：“不错，这是一种方法。

那还有其他的吗？”这时候，我的同桌小明也不甘示弱，他站起来大声说：“老师，还可以把等腰三角形沿着对称轴对折，然后再剪开，不就变成两个完全一样的直角三角形啦！”同学们听了都“哇”的一声，觉得这个想法好棒。

后来，我们小组就开始热烈地讨论起来。

小红说：“那能不能在腰上找一个点，然后分别连接底边的两个端点呢？”大家听了都眼前一亮，纷纷说试试看。

我们就开始在纸上画呀画，哎呀，还真行！这样就分成了一个三角形和一个四边形。

这时候，隔壁小组的小刚跑过来，得意洋洋地说：“你们这都不算啥，我能把等腰三角形分割成好多好多的小三角形呢！”我们都不信，他就拿起笔在纸上飞快地画起来，边画边说：“你们看，我从每个角向对边画几条线，不就有好多小三角形啦！”我们一看，还真被他给惊到了。

这一堂课，大家都想出了各种各样的办法来分割等腰三角形，真是太有趣啦！你说，这小小的等腰三角形是不是就像一个神奇的宝藏，等着我们去挖掘呀？它看似简单，却能有这么多的可能性，这不就跟我们的生活一样吗？有时候看起来平淡无奇，但是只要我们用心去探索，就能发现无数的惊喜和精彩。

我觉得呀，数学真是一门充满魔力的学科，一个等腰三角形就能让我们玩出这么多花样，以后肯定还有更多好玩的等着我们呢！。

三角形分割平面规律

三角形分割平面规律稿子一：嘿，朋友！今天咱们来聊聊三角形分割平面的规律，这可有意思啦！你看哈，一个三角形放在那平面上，它就已经把平面分成了两个部分。

就好像它是个小小的领土划分者，一下子就把地盘给分了。

要是再多个三角形呢？那可就更热闹啦！它们可以相互交叉，相互组合，然后平面就被分得越来越多。

比如说两个三角形，如果它们完全不相交，那平面就多了 4 个部分。

要是它们稍微有点重叠，那分出来的部分就又不一样啦。

而且哦，三角形的大小、形状不同，分割平面的效果也不同呢。

小三角形和大三角形一起上，那平面就变得花花绿绿，分出来的区域可让人眼花缭乱。

有时候我就在想，这三角形是不是在平面上玩拼图游戏呀，把平面拼得一块一块的。

你说要是我们不停地加三角形，那平面会不会被分得没有地方了呢？哈哈，当然不会啦，但是这其中的规律可真得好好琢磨琢磨。

怎么样，是不是觉得三角形分割平面还挺神奇的？稿子二：亲爱的小伙伴，咱们来唠唠三角形分割平面的规律哟！你想啊，三角形这小家伙，别看它简简单单的，却有着大本事。

当只有一个三角形的时候，平面就被它分成了里和外，是不是挺简单直接的？但要是有两个三角形，那就有更多变化啦。

它们可能并排站着，这时候平面就多了几个区域；也可能交叠在一起，就像好朋友拥抱一样，平面的区域又有新花样。

三个三角形在一起的时候，那场面就更热闹喽！它们可能形成各种有趣的组合，把平面分割得七零八落的。

而且哦，三角形的摆放角度也会影响分割的结果。

有时候斜着放，有时候正着放，平面就被它们折腾得服服帖帖。

我还发现，如果把三角形画得密密麻麻的，平面就像被切成了好多好多小块的蛋糕。

你说这三角形是不是平面的小魔法师呀，轻轻一挥魔法棒，平面就变得不一样啦。

不知道你有没有自己动手画过三角形来分割平面呢？快来试试，感受一下这神奇的规律吧！。

三角形切割算法

三角形切割算法
三角形切割算法主要用于处理三角形，对其进行分割。

主要有以下两种情况：
1.一种情况是在正负各生成一个三角形；另一个情况是在一侧有一个三角形，
另一侧有两个三角形。

无论哪种情况，关键算法流程都是：顺序访问原三角形的边，设边的第一个顶点是v0，第二个顶点是v1。

如果这个边的两个顶点均在平面一侧，则两个顶点算入平面相应一侧的新多边形。

如果有一个点在平面上，则这个点如果是这个边的第一个顶点，应该在平面两侧的新多边形中都要放。

如果是第二个顶点，则需要判断第一个顶点在平面的哪一侧，并由此将v0、vip、v1按照相应顺序组合，分别放到两侧的多边形中（在这过程中，vip会两侧都放）。

2.另一种算法是基于平面切割三角形的算法。

具体步骤如下：首先确定切割
平面，然后根据切割平面的位置和三角形的顶点顺序，计算切割后三角形的顶点和法向量。

最后根据切割后三角形的法向量和切割平面的法向量，判断切割后三角形的面片方向。

三角形平均分成四份的四种答案

引言：概述：将一个三角形平均分成四份，意味着我们要将三角形分割成四个形状相等或相似的部分。

这看似简单的问题，实际上需要一定的数学知识和技巧。

本文将介绍四种不同的方法来解决这个问题，分别是等腰三角形分割法、中位线分割法、角平分线分割法和内切圆分割法。

正文内容：一.等腰三角形分割法：1.利用等腰三角形的性质，绘制一个等腰三角形与原三角形相似。

2.将等腰三角形按照一定的比例放置在原三角形内部。

3.连接原三角形的顶点与等腰三角形分割点，即可得到四个形状相等的部分。

二.中位线分割法：1.绘制原三角形的三条中位线，将原三角形划分为三个小三角形。

2.在每个小三角形中选择一个相对合适的点作为分割点。

3.连接原三角形的顶点与分割点，即可得到四个形状相等的部分。

三.角平分线分割法：1.绘制原三角形的三条角平分线，将原三角形划分为三个小三角形。

2.在每个小三角形中选择一个相对合适的点作为分割点。

3.连接原三角形的顶点与分割点，即可得到四个形状相等的部分。

四.内切圆分割法：1.绘制原三角形的内切圆，将原三角形划分为三个小三角形。

2.在每个小三角形中选择一个相对合适的点作为分割点。

3.连接原三角形的顶点与分割点，即可得到四个形状相等的部分。

五.总结：通过四种不同的方法，我们可以将一个三角形平均分成四份。

每种方法都有其独特的步骤和原理。

等腰三角形分割法和中位线分割法是比较常见且容易理解的方法，而角平分线分割法和内切圆分割法则具有更高的技术要求。

在实际问题中的选择取决于具体的需求和问题。

不论使用哪种方法，都需要对三角形的性质有一定的理解和掌握。

结论：平均分割一个三角形是一个有趣且具有挑战性的数学问题。

四种不同的分割方法提供了不同的思路和途径。

通过理解和掌握这些方法，我们能够更好地解决类似问题，并培养我们的数学思维能力。

在实践中，我们可以根据具体情况选择合适的方法，来实现我们的目标。

三角形分成几个三角形的公式

三角形分成几个三角形的公式1. 引言大家好！今天咱们聊聊一个看似简单但却非常有趣的数学问题——三角形如何被分成几个小三角形。

别看这个话题简单，其实里面的奥秘可不少呢。

说到这里，有没有想过一个问题，就是三角形被切割成更多的小三角形时，我们该怎么计算这些小三角形的数量呢？让我们一步一步揭开这个谜底。

2. 三角形的基本分割在我们开始之前，先来了解一下基本的概念。

三角形的分割指的是通过在三角形内部画线，把它变成若干个小的三角形。

这个过程听起来简单，但实际操作起来可不简单哦。

2.1. 分割的基础首先，我们从最简单的情况说起。

如果我们在一个三角形里画一条直线，那么这个三角形就会被分成两个小三角形。

举个例子，就像你在一块蛋糕上切了一刀，蛋糕就被分成了两块。

2.2. 多条线的情况如果我们在三角形内画两条线，并且这两条线交叉，那么我们会得到四个小三角形。

再多画一条线，就会变得复杂起来。

这个时候，分割的数量不仅仅取决于线的数量，还与线的交点有关。

3. 高级分割——公式来帮忙好啦，咱们了解了基本情况，接下来就要进入高级阶段了。

如何用公式来计算三角形被分成的小三角形数量呢？这就有点儿数学小技巧在里面了。

3.1. 通过点来分割假设我们在三角形内选择了 ( n ) 个点（除了三角形的三个角之外），然后将这些点通过直线连接。

每增加一个点，实际上我们又能分割出更多的小三角形。

对于这种情况，常见的公式是：[text{小三角形数量} = frac{n cdot (n 1)}{2} + 1。

]这个公式听起来有点复杂，但是实际应用起来并不难。

就像你用剪刀剪纸一样，每加一个点，就会发现新的三角形不断出现。

3.2. 总结与举例举个例子，如果我们在一个三角形里选择了4个点并连接，那么这些点将会形成几个小三角形呢？根据上面的公式，我们可以计算出：[text{小三角形数量} = frac{4 cdot (4 1)}{2} + 1 = 7 + 1 = 8。

如何把三角形三等分(至少四种不同分法)(二)2024

如何把三角形三等分(至少四种不同分法)（二）引言概述：三角形三等分是一种几何问题，即将一个三角形分割成三个面积相等的部分。

本文将介绍至少四种不同的方法来解决这个问题。

正文：一、重心法1. 找到三角形的重心，即三条中线的交点，记为点G。

2. 通过点G作平行于三边的直线，将三角形分成的三个小三角形的面积相等。

3. 在每个小三角形内部继续使用重心法直到得到所需的三等分结果。

二、高线法1. 找到三角形的三条高线，分别记为AH1、BH2和CH3。

2. 从三顶点分别连接至对应高线的交点，得到三个互相垂直的小三角形。

3. 在每个小三角形内部继续使用高线法直到得到所需的三等分结果。

三、内接圆法1. 找到三角形的内切圆，圆心记为O，半径记为r。

2. 从圆心O分别连接至三个顶点，得到三个互相垂直的小三角形。

3. 在每个小三角形内部继续使用内接圆法直到得到所需的三等分结果。

四、外接圆法1. 找到三角形的外接圆，圆心记为O，半径记为R。

2. 从圆心O分别连接至三个顶点，得到三个互相垂直的小三角形。

3. 在每个小三角形内部继续使用外接圆法直到得到所需的三等分结果。

五、连线法1. 找到三角形的顶点A、B和C，分别记为A(0, 0)、B(a, b)和C(c, d)。

2. 连接AB、AC和BC，得到三个小三角形。

3. 将三个小三角形分别以其边长等分成若干小三角形，使每个小三角形的面积相等。

4. 在每个小三角形内部继续使用连线法直到得到所需的三等分结果。

总结：通过重心法、高线法、内接圆法、外接圆法和连线法，我们可以将一个三角形三等分为面积相等的三部分。

这些不同的方法提供了多种途径来解决这个几何问题，可以根据实际情况选择最合适的方法进行操作。

三个三角形变成四个三角形的科学方法

三个三角形变成四个三角形的科学方法1. 切割: 将一个三角形分割成两个三角形，通过在三角形内部画一条直线将其分开。

2. 平移: 将一个三角形平移，使其重叠于另一个三角形，形成两个重叠的三角形。

3. 旋转: 将一个三角形绕着一个点旋转，使其与另一个三角形重叠，形成两个重叠的三角形。

4. 折叠: 将一个三角形折叠，使其重叠于另一个三角形，形成两个重叠的三角形。

5. 缩放: 将一个三角形按照比例进行缩放，使其与另一个三角形重叠，形成两个重叠的三角形。

6. 联结: 通过在两个三角形之间添加一条线段，将它们连接在一起形成一个四边形。

7. 平行线: 在两个三角形之间画一条平行于它们共有边的直线，将它们分割成两个新的三角形。

8. 挤压: 在两个三角形之间添加一条线段，形成一个小的平行四边形，然后将其切割成两个三角形。

9. 溢出: 使两个三角形之间的边重叠，形成一个四边形，然后将其切割成两个新的三角形。

10. 倾斜: 将一个三角形稍微倾斜，与另一个三角形重叠，形成两个重叠的三角形。

11. 对折: 将一个三角形沿着中线对折，与另一个三角形重叠，形成两个重叠的三角形。

12. 交叉: 将一个三角形穿过另一个三角形，形成一个新的四边形，然后将其切割成两个新的三角形。

13. 扩展: 将一个三角形的每条边延长，形成一个新的四边形，然后将其切割成两个新的三角形。

14. 拆分: 在一个三角形的内部添加一条直线，将其拆分成两个新的三角形。

15. 镜像: 将一个三角形沿着一条直线镜像，与另一个三角形重叠，形成两个重叠的三角形。

16. 变形: 将一个三角形通过变换，如扭曲、拉伸等，形成一个新的四边形，然后将其切割成两个新的三角形。

17. 重叠: 将两个三角形直接重叠在一起，形成两个重叠的三角形。

18. 共享: 在两个三角形之间添加一条线段，使其共享一条边，形成两个新的三角形。

19. 透视: 将一个三角形沿着某个点的视线进行透视投影，与另一个三角形重叠，形成两个重叠的三角形。

怎样的三角形才能一刀分割成两个等腰三角形

怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形浙江省余姚市实验学校郑建元(315400)图形的分割与组合是对图形研究的重要内容之一，也是近几年来新教材及中考中频频出现的题型之一．图形的分割主要涉及到两种类型：一类是把图形分割成规定形状的图形，另一类是把图形分割成规定面积的图形．本文就第一种类型提出：怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形这一问题作如下探究．如图1：D 为△ABC 中BC 上一点, 问：当△ABC 满足怎样的条件? △ABD 与△ADC 均为等腰三角形．我们不妨倒过来研究：假定△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．不失一般性，我们作如下分类讨论:１．若AD BD =，我们再分三种情形讨论：(1)若AD BD DC ==,则有B BAD ∠=∠,C DAC ∠=∠，又180B BAD DAC C B BAC C ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=，2∴∠∠（BAD+DAC）=180．90BAC ∴∠=．故△ABC 为直角三角形.（注：用定理“三角形一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形”证明之更简捷） (2)若AD BD =,AC DC =,则有B BAD ∠=∠,DAC ADC ∠=∠，3BAC BAD DAC BAD ADC BAD B BAD B ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠．故△ABC 中存在两内角满足3倍关系；(3)若AD BD AC ==,显然B BAD ∠=∠,C ADC ∠=∠,2C ADC B BAD B ∴∠=∠=∠+∠=∠．故△ABC 中存在两内角满足2倍关系； 2．若AB AD =,我们再分两种情形讨论：(1)若AD DC =，类同1(3)可证∠Ｂ＝２∠Ｃ，故△ABC 中两内角仍满足2倍关系； (２)若AD AC =，显然∠Ｂ＝∠ADB ，C ADC ∠=∠，∴∠BAC +∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC =不成立； (３)若AC DC =，显然∠Ｂ＝∠ADB ，∠DAC ＝∠ADC ，∴∠BAC+∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠DACABD图1Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AC DC =不成立．３．若AB BD =,我们再分三种情形讨论：(1)若AD DC =，类同1(2)，可证∠BAC=3∠C ，故△ABC 中存在两内角满足3倍关系； (２)若 AD AC =类同2(3)，可证∠B+∠BAC+∠Ｃ＞∠BA Ｃ+∠Ｃ＞∠ＢAD+∠Ｃ=∠BDA+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC =不成立；(３)若AC DC =,AB+AC=BD+DC=BC ，这与定理“三角形任何两边之和大于第三边”矛盾，因此AC DC =不成立．综上：如果一个三角形能被一刀截成两个等腰三角形，则此三角形必定至少满足下列条件中的一个：（1）直角三角形；（2）其中两内角有3倍关系；（3）其中两内角有2倍关系．那么反过来成立吗？即满足上述三个条件中的一个，此三角形一定能一刀截成两个等腰三角形吗？显然，满足条件（1）时，成立．如图2，在RT △ABC 中，∠BAC=RT ∠，设∠B=α，∠C=β，在BC 上取一点D ，使∠BAD=α，易证∠DAC=β，从而DA=DB ，DA=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．其次，满足条件（2）时亦成立．如图3，在△ABC 中，∠BAC=3∠B ，设∠B=α，则∠BAC=3α，在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠DAC=∠ADC=2α，从而DA=DB ， AC=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．若满足条件（3），则不一定成立．如图4，在△ABC 中，∠C=2∠B ，设∠B=α，则∠C=2α．再分三种情况讨论： ①∠BAC ＞α；αβα βCAB D 图2C A BDα α2α2α图3CAB D图4在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠ADC=∠C =2α，从而DA=DB ， AD=AC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形，但此时2α必小于90°．180B C BAC ∠+∠+∠=， 2180BAC αα∴++∠=．又∵∠BAC ＞α， 2180ααα∴++<．45α∴<． 290α∴<．②∠BAC=α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴4α=180°． ∴2α=90°．此时△ABC 为直角三角形，从锐角顶点A 出发不能把△ABC 分成二个等腰三角形，但从直角顶点出发C ，仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．③∠BAC ＜α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴α+α+2α＞180°． ∴4α＞180°， ∴2α＞90°， ∴∠C=2α＞90°．此时△ABC 为钝角三角形, 从最小角顶点A 出发不能把△ABC 截成二个等腰三角形，但当∠B=3∠BAC ，或∠B=2∠BAC ，或∠C=3∠BAC 时分别从顶点B 、顶点C 、顶点C 出发仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．由此可见，当三角形有两内角满足2倍关系时，此三角形不一定能一刀分割成两个等腰三角形，但当两锐角有2倍关系时，从第三角的顶点出发引“割线”能一刀分割成两个等腰三角形．综上研究，有如下定理：当且仅当满足下列条件之一时，一个三角形必定能被一刀截成两个等腰三角形：（1）直角三角形（从直角顶点出发引“割线”）；（2）两内角有3倍关系（从有3倍关系的两内角中较大一角的顶点出发引“割线”）；（3）两锐角有2倍关系（从有2倍关系的两内角之外的第三角的顶点出发引“割线”）．对于这个定理的应用，因篇幅所限，仅举二例．1．已知一等腰三角形能被一刀分割成两个等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数．应用本文定理，可知原等腰三角形三内角必定至少满足下列几种情况：(,,90)αα，(,,2)ααα,,)3,,(ααα(,3,3)ααα，(,2,2)ααα，中的一种．根据三角形内角和等于180。

“等腰三角形”的分割问题

“等腰三角形”的分割问题近几年各地中考试卷中经常出现一些有特色的图形分割题，这类问题趣味性强，想象空间广阔，一般没有复杂的计算，但需要较强的空间想象和分析问题的能力，其中就包括等腰三角形的分割问题．现例说如下．例1 如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．仿照图1，请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（注：如果两个图中分割出的3个三角形分别全等而只是分割线的具体位置不同，认为是同一种分割方法．）分析与解本题的背景是数学中“黄金三角形”（顶角是36°的等腰三角形称为黄金三角形）的分割问题．除了题中给出的分割方法，还有如下的分割方法：(1)如图2，线段BD＝BC＝BE，AE＝AD，这种分割方法其实借鉴了题中给出的分割方法，第一次分割方法(分割线BD)与原图相同，第二次改为把△ABD分割成两个等腰三角形．(2)如图3，分别作△ABC任意两边垂直平分线交于点O，连结OA、OB、OC．由垂直平分线的性质，可知OA＝OB＝OC，所以分割符合题意，进一步看，其实点O就是△ABC的外心，从圆的角度来说OA、OB、OC都是⊙O半径．(3)更一般的结论：对于任意锐角三角形，外心O与三角形顶点的连线都可以把原三角形分割成三个等腰三角形，如图4所示．例2 经过等腰三角形的一个顶点的直线，把等腰三角形分成的两个较小的三角形，都是等腰三角形，求原三角形各角的度数．分析与解易知上题中的“黄金三角形”就是符合题意的一个答案．那么，还有哪些等腰三角形符合题意呢？可以根据顶角的大小分类考虑：(1)如果顶角是直角，即原三角形是等腰直角三角形，尝试画图不难发现只要作顶角的平分线即可，如图5，易证AD＝BD＝CD．如果从底角画分割线，如图6，△ABD中，∠A＝90°，AB>AD，所以△ABD不可能是等腰三角形（因为在直角三角形或钝角三角形中直角、钝角只能作为顶角）；(2)如果顶角是钝角，同理也只能从顶角画分割线，并且可以说明分割方法是唯一的，如图7，△ABC中，AD是分割线．过点A作AG⊥BC于点G，由“垂线段最短”原理可知AG最短，并且线段AB＝AC>AD，图中∠ADB为钝角，若△ABD是等腰三角形，只可能AD＝BD，∠B＝∠BAD．在△ADC中，由于AD<AC，所以只要考虑AD＝DC和AC＝DC两种情况，若AD ＝DC，由AD＝BD，可得AD＝BD＝DC，此时能进一步证明∠BAC＝90°，这与已知∠BAC为钝角矛盾．所以只能AB＝AC＝CD，AD＝BD．设∠B＝∠BAD＝∠C＝x，则∠ADC＝∠DAC＝2x．由三角形内角和为180°，可得方程x＋x＋x＋2x＝180°，解得算＝36°，所以∠BAC＝108°，∠ABC＝∠ACB＝36°．(3)如果顶角是锐角，若从顶角画分割线，如图8，△ABC中，AD是分割线，过点A 作AC⊥BC于点G，同理可以说明若AD＝DC，则∠BAC＝90°；若AC＝DC，则∠BAC ＝108°，这两种情况都与顶角是锐角相矛盾，所以，当顶角是锐角时只能从底角画分割线．如图9，△ABC中，点D在AC边上，对于△ABD，AB>AD．若AB＝BD，则∠A ＝∠ADB<90°，所以∠BDC是钝角，所以ABDC中只能BD＝DC，所以∠DBC＝∠C，这与已知∠ABC＝∠C矛盾，所以△ABD中只能AD＝DC．在△BDC中，若BD＝DC，图形就是问题1中的黄金三角形，此时∠A＝36°，∠ABC ＝∠C＝72°．若BD＝DC，显然不成立；若CB＝CD，如图10，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠DBC＝2x，所以∠ABC＝∠C＝3x．由三角形内角和为180°，可得方程x＋3x＋3x＝180，解得x＝1807，所以∠A＝1807︒，∠ABC＝∠C＝5407︒．综上所述，符合条件的等腰三角形有四种情况，三个角分别为：90°、45°、45°；108°、36°、36°；36°、72°、72°；1807︒、5407︒、5407︒．例3 （2007无锡中考数学压轴题）(1)已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）．(2)已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．分析与解(1)如图11，共有2种不同的分割法．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D．在△DBC中，①若∠C是顶角，如图12，则∠ADB>90°．∠CBD＝∠CDB＝12（180°－x）＝90°－x，∠A＝180°－x－y．此时只能有∠A＝∠ABD．即180°－x－y＝y－（90°－12 x），∴3x＋4y＝540°，即∠ABC＝135°－34∠C；②若∠C是底角，则有两种情况：第一种情况，如图13，当DB＝DC时，则∠DBC＝x，△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x．(i)由AB＝AD，得2x＝y－x，此时有y＝3x，即∠ABC＝3∠C．(ii)由AB＝BD，得180°－x－y＝2x，此时3x＋y＝180°，即∠ABC＝180°－3∠C．(iii)由AD＝BD，得180°－x－y＝y－x，此时y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角，第二种情况，如图14，当BD＝BC时，∠BDC＝x．∠ADB＝180°－x>90°，此时只能有AD＝BD．从而∠A＝∠ABD＝12∠C<∠C，这与题设∠C是最小角矛盾，∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立，通过上述三个问题的研究可见，等腰三角形的分割问题，无论是对动手操作能力还是分析推理能力，都有较高的要求，笔者认为，解决这一类问题的一般策略是，先尝试画图操作，一方面设法找出一部分结论，同时也对分割可能的情况有一个初步的了解；在此基础上确定一个严密的分类标准（如问题2中，先对原等腰三角形的顶角按照直角、钝角、锐角分类，再对每种情况按从顶角顶点，或从底角顶点画分割线作分类讨论）；最后通过推理，确定每一种情况是否成立，从而得出所有正确的结论．。

平面向量的线段分割和三角形分割

平面向量的线段分割和三角形分割平面向量是数学中重要的概念之一，其可以用来描述平面上的运动、力的方向和大小等。

在平面向量的研究中，线段分割和三角形分割是两个常见的问题，本文将对这两个问题进行探讨。

一、线段分割线段分割是指在给定的线段上确定一个点，将线段分为两部分的过程。

在平面向量中，可以利用向量的加法和数乘运算来实现线段分割。

设有线段AB，长度为a。

现在要在线段AB上确定一个点C，使得AC与CB的长度之比为m:n。

则点C的坐标可以表示为：C = (1-m/n)·A + (m/n)·B其中，(1-m/n)·A表示从点A出发，向B的方向行进1-m/n的距离，(m/n)·B表示从点B出发，向A的方向行进m/n的距离。

根据向量的加法和数乘运算的几何意义，点C即为线段AB上的一个分割点。

二、三角形分割三角形分割是指在给定的三角形内确定一个点，将三角形分为若干小三角形的过程。

在平面向量中，可以利用向量的线性组合来实现三角形的分割。

设有三角形ABC，现在要在三角形ABC内确定一个点P，使得AP : BP : CP = m : n : p，其中m、n、p为正实数且m + n + p ≠ 0。

则点P的坐标可以表示为：P = (m/n + m/p + n/p)·A + (n/m + n/p + m/p)·B + (p/m + p/n + m/n)·C其中，(m/n + m/p + n/p)·A表示从点A出发，按照比例m/n + m/p +n/p移向点P；(n/m + n/p + m/p)·B表示从点B出发，按照比例n/m +n/p + m/p移向点P；(p/m + p/n + m/n)·C表示从点C出发，按照比例p/m + p/n + m/n移向点P。

根据向量的线性组合的几何意义，点P即为三角形ABC内的一个分割点。

三、应用举例线段分割和三角形分割在几何问题的求解中具有广泛的应用。

三角形的分割

500 25075° C A
A 120° B 20° 400800 40° C B
110°
20°
50°
C
请你设计一个一般三角形，使它可以分成两个等腰三角形，并请你的同桌进行分割。
“诚行建功”成长日记
今天的拓展课，我学习了_______
的条件，明白了它有三种常见的图形，
分别是___________现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
三角形的分割
300 P P
600
问题1：直角三角形可以分成两个等腰三角形吗？
P
结论：直角三角形可以作斜边上的中线分成两个等腰三角形。
思考1：如图，在Rt△ABC中，已知∠B=22.50，
∠C的度数吗？
A
400 200
A
400 500
400
B A
400 800 400
800 800
C
B
400
800
500
C A
700 350
B
800
200
C
B
400
700
350
C
A
直角（作斜边上的中线） A x 900-x
x
x
2x 2x
B C B 2倍角（分第三个角） A x 2x 3倍角（分3倍角） 2x x B C B
x
A
2x 900-x
C
2x x 2x
x
C
（1）直角三角形；（2）有一个角是另一个角的2倍；（3）有一个角是另一个角的3倍的三角形可以分成两个等腰三角形。
问题3：下列三角形可以分成两个等腰三角形吗？
若能，请画出分割线，并标出各角的度数。 A

一个三角形分割成两个等腰三角形的条件和分法

一个三角形分割成两个等腰三角形的条件和分法作者：孙卫荣来源：《试题与研究·教学论坛》2011年第23期摘要：通过对一个三角形分割成两个等腰三角形的条件的讨论，找到可分割的条件和分法。

关键词：分割线可分割直角三角形等腰三角形在数学问题中常碰到把一个三角形分割成两个等腰三角形，本文试图通过对这类问题的讨论，找到其中的规律。

在文中所讨论的分割都是经过三角形的一个顶点的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，如果存在这样的直线，我们称这样的三角形为可分割；否则称不可分割。

这样的直线我们称之为分割线。

一、直角三角形是否可分割图1因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以直角三角形斜边上的中线一定分这个直角三角形为两个等腰三角形。

结论1：直角三角形是可分割的。

直角三角形斜边上的中线为分割线。

一般直角三角形的直角顶点只有这样一种分法。

特别地，如果直角三角形中有一个锐角为22.5°（或有一个锐角为67.5°），则还有另外一种分法，如图1。

二、一般三角形是否可分割我们先讨论如果经过三角形的一个顶点把一个三角形分成两个等腰三角形时，三角形中的角之间存在怎样的关系。

在△ABC中，不妨设∠C是其最小的内角。

（1）因为∠C是三角形中最小的内角，所以不存在过顶点C的分割线。

（2）过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，那么∠ABC与∠C之间存在怎样的关系呢？设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D。

在△DBC中。

①若∠C是顶角，如图2，则∠ADB>90°，∠CBD=∠CDB=12（180°－x）=90°－x，∠A=180°－x－y。

此时只能有∠A=∠ABD,即180°－x－y=y－（90°－12x），∴3x+4y=540°，即∠ABC=135°－34∠C。

②若∠C是底角，则有两种情况。

奥数专题——三角形的分割-

奥数专题——三角形的分割（一）同学们大家好！三角形的面积的计算方法大家已经知道了，今天我再告诉大家一个规律：等底等髙的三角形而积相等。

这是一个非常重要的规律，在解决多边形面枳的许多问题中都要用到它。

今天，我们就一起来研究应用这一规律可以解决哪些问题。

【典型例题】一.阅读思考：例1.有一个三角形花坛，想把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分分析与解答：因为“等底等高的三角形而积相等”，所以要把这个三角形花坛平均分成两个相等的三角形，就是把这个三角形花坛分成两个等底等高的三角形就可以了。

而三角形的每条边都可以作三角形的底，所以我们只要把这三条边分别二等分，再把中点与这条边相对的顶点连接起来就可以了。

例2.将任一三角形分成而积相等的六个三角形，应怎么分分析与解：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形，它们的而积就必然相等。

而要找这六个等底等高的小三角形，只需把三角形的某一边六等分，再将各分点与这边相对的顶点连结起来即可。

如图（1）图（1）又因为6= 1x6 = 3x2 = 2x3,所以，如果我们把每一个小三角形的而积看成1, 即1x6而3x2可以看成是先把原三角形等分两份，再把每一份分别等分成三份。

图(2)同理，2x3可以看成是先把原三角形等分成三份，然后再把每一份等分成两份。

即图(3)类似于这样的分法，我们还可以画出许多，这里就不一一列举了。

这两道例题有一个共同的思路，就是想办法找出等底等髙的三角形，而找这种三角形, 就要几等分某一条线段。

如果两个三角形的底相等，髙不相等，它们的面积有什么关系呢如果两个三角形底的长度相等，高的长度不相等，那么它们的而积之比正好等于这两个三角形高的长度比。

同样的道理，我们还可以推岀，如果两个三角形髙的长度相等，底的长度不相等，那么这两个三角形的而积之比正好等于它们的底的长度比，因此我们有下面的结论：如果甲、乙两个三角形的底(高)的长度相等，那么甲、乙两个三角形的而积之比等于它们的高(底)的长度之比。