四川大学微积分函数共63页文档
(NEW)四川大学《690高等数学(微积分、级数)》历年考研真题汇编
6 （12分）一质量为m的物体，最初静止于x0处，在力F＝－k/x2 的作用下沿直线运动，试求物体在任意位置x处的速度．
7 （13分）质量为m的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作， 它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是vm．试计 算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程．
3 求下列不定积分（共50分）： （1） （2）
（3）
（4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
4 用级数展开计算下列积分的近似值（计算前三项）（共20 分）：
（1） （2）
5 （5分）甲乙两船同时从一码头出发，甲船以30km/h的速度向北 行驶，乙船以40km/h的速度向东行驶，求两船间距离增加的速度为多 少？
2012年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2013年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2014年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2015年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2016年四川大学690高等数学（川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
1 请写出下列初等函数的级数展开式（共20分）： （1）ax （2）sin（x/2） （3） （4）ln（1＋x） （5）1/（1＋x）
2 求下列平面图形的面积（共30分）： （1）曲线y＝x3与y轴和直线y＝1所围成的图形； （2）曲线y＝x2与y＝2－x2所围成的图形．
目 录
2012年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2013年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2014年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2015年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2016年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2017年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题
四川大学微积分 导数的基本公式
u v( x x ) u( x ) v
微积分
y u v v ( x x ) u( x ) x x x
y u v y lim lim[ v( x x ) u( x ) ] x 0 x x 0 x x u( x ) v( x ) u( x ) v( x )
1 (log a x) x ln a
特别地 1 (ln x) x
微积分
yx
n
（n为正整数）的导数.
n n
y ( x x) x
n 1
n(n 1) n2 2 n nx x x (x) (x) 2! y n(n 1) n2 n 1 n 1 nx x x (x) x 2!
微积分
（2）算比值：
（3）取极限：
x x x 2 cos( x ) sin sin y x 2 2 cos( x ) 2 x x x 2 2
x sin dy y x 2 lim lim cos(x ) x dx x0 x x0 2 2
(sin x) cos x
1
微积分
或者：
定理 如果函数 x ( y )在某区间 I y内单调、可导
且( y ) 0 , 那末它的反函数 y f ( x )在对应区间 I x内也可导 , 且有 1 f ( x ) . ( x )
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
微积分
例6 求函数 y arcsin x 的导数. 解
例4
同理可得
(csc x ) csc x cot x
微积分
例5
x, x0 设 f ( x) , 求f ( x ). ln(1 x ), x 0
2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
(完整word版)微积分(知识点概要).(良心出品必属精品)
微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。
称常数b 为它的极限，记为ax →lim f(x)=b 否则就称极限不存在。
大学微积分第一章
⼤学微积分第⼀章微积数学是⾃然科学的基础，是⾃然科学的皇后，是科学的⽆限，数学是思维的体操，它的特点是：1.概念上的⾼度抽象性；2.论证上的确切严格性；3.结果上的精密肯定性；4.应⽤上的极其⼴泛性。
第⼀章函数（Functions）微积分研究的是变量与运动的学科。
变量间的互相依赖关系叫函数关系，也就是说，微积分研究的对象是函数，所利⽤的⼯具是极限论。
因此，函数的概念是⾼等数学中最重要的概念之⼀。
§1-1 函数的概念与性质⼀、集合、区间、变量、邻域（主要讲述邻域概念）集合（---所谓集合是指具有某种（或某些）属性的⼀些对象的全体（简称“集” ）.集合中的每个对象称为该集合的元素.集合通常⽤⼤写的拉丁字母如 ,,,C B A 来表⽰,元素则⽤⼩写的拉丁字母如 ,,,,y x b a 来表⽰.当x 是集合E 的元素时，我们就说x 属于E ，记作E x ∈；当x 不是集合E 的元素时，就说x 不属于E ，记作E x ?. 集合运算-----略）。
变量（⼝述----略）。
区间：指介于某两个实数a 与b 之间的所有实数，即数集（a,b ）={x|a邻域：以点a 为中⼼，ε>0为半径的开区间，称为点a 的ε邻域，记作：∪（a, ε）=(a-ε,a+ε)={x| |x-a|<ε}。
去（空）⼼邻域：() ()(),,,oU a a a U a a εεε=-+。
为了⽅便，有时把开区间(),a a ε-称为点a 的左ε邻域，把开区间(),a a ε+称为点a 的右ε邻域.（举例）⼆、函数的概念1、函数的定义设有两个变量x y 与，变量x D ∈（实数集），如果存在某种对应法则f ，使得对于每⼀个x D ∈，都有唯⼀的⼀个实数y 与之对应，则称两个变量x y 与建⽴了⼀个函数关系，(---设数集R D ?，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，)通常记作 )(x f y = ，D x ∈，其中x 称为⾃变量，y 称为因变量(或函数)，D 称为定义域，记作f D ，即D D f =，f ----对应法则.包含三⼤要素：①定义域 D(f) ②对应法则（变量依赖关系的具体表现），③值域。
四川大学微积分 导数的基本公式(续)
y′ 1 − 1 2x 5 8 4 x3 −2 = + + − − − 2 1 + 5x 1 + 8x 4 y 3 1 − x 1 − 2 x 1 + x 1+ x
微积分
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x 2 ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x )(1 + x 4 )
整理后, 切线方程为： x0 x y0 y + 2 =1 2 a b
微积分
参数方程求导法则
微积分
参数方程求导法则 1. 参数方程的概念 选择一个适当的参数 t 后, y = f (x) 可表示为
x = x(t ) y = y(t )
t∈I
的形式, 此式称为函数 y = f (x) 的参数方程.
微积分
例
x = a cos t π 求椭圆 , 在 t = 时的切线方程. 2 y = b sin t
y − y0 = k(x − x0 )
解 椭圆上任意一点x处的切线的斜率为
d y (b sin t )′ b cos t b k= = = = − cot t d x (a cos t )′ − a sin t a
…………………………
y
(k )
= (y
( k −1)
)′ = n(n − 1)(n − 2) L (n − k + 1) x
n−k
(1 ≤ k ≤ n )
微积分
注意, 当 k = n 时
(x )
n (n)
= n(n − 1)(n − 2) L 3 ⋅ 2 ⋅1 = n !
从而, 当 k ≥ n + 1 时, ( x n ) ( k ) = 0 .
微积分第八章
利用函数全增量的概念，连续定义可用另一种形式表述.
三、 二元函数的连续性
函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义， 当自变量x,y分别由x0变到x0+Δx，y0变到y0+Δy时， 函数z=f(x,y)有增量
f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0) 称其为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量，记 为Δz，即
P0(x0,y0)处连续.
如果函数z=f(x,y)在区域D内各点都连续，则称函数
z=f(x,y)在区域D内连续.
三、 二元函数的连续性
对于闭区域上的连续函数z=f(x,y)，则要求
函数z=f(x,y)在区域D内和边界上都连续.当点
P0(x0,y0)
D
中的P→P0是指P在区域D内所取的路线趋近于点
P0(x0,y0)，极限中满足0<(x－x0)2+(y－y0)2<δ
图 8-7
一、多元函数的概念
定义域D就是曲面在xOy面上的投影区域. 例如，函数z=a2－x2－y2(a>0)的图形是球心在原点、 半径为a的上半球面(见图8-8).
图 8-8
二、 二元函数的极限
与一元函数情况类似，对于二元函数z=f(x,y)，我们 需要考察当自变量x,y无限趋近于常数x0,y0时，即当点 P(x,y)无限逼近于点P0(x0,y0)时，对应的函数值的变化趋 势，这就是二元函数的极限问题.
四川大学微积分(下)第9章4
一、重积分的元素法
二重积分的元素法：若要计算的某个量 U 对于平面 闭区域 D 具有可加性（即当闭区域 D 分成许多小闭区 域时，所求量 U 相应地分成许多部分量，且 U 等于部 分量之和），并且在闭区域 D 内任取一个直径很小的闭 区域 d 时，相应地部分量可近似地表示为 f .x; y/d 的 形式，其中 .x; y/ 在 d 内。这个 f .x; y/d 称为所求量 U 的元素，记为 dU ，所求量的积分表达式为 U D
三重积分的元素法：若要计算的某个量 U 对于空间 闭区域 ˝ 具有可加性（即当闭区域 ˝ 分成许多小闭区 域时，所求量 U 相应地分成许多部分量，且 U 等于部 分量之和），并且在闭区域 ˝ 内任取一个直径很小的闭 区域 d 时，相应地部分量可近似地表示为 f .x; y; z/d 的形式，其中 .x; y; z/ 在 d 内。这个 f .x; y; z/d 称为 所求量 U 的元素，记为 dU ，所求量的积分表达式为
分别为该质点系对 y 轴和 x 轴的静矩。 设有一平面薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D，在 点 .x; y/ 处的面密度为 .x; y/，
分别为该质点系对 y 轴和 x 轴的静矩。 设有一平面薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D，在 点 .x; y/ 处的面密度为 .x; y/，假定 .x; y/ 在 D 上连 续，
2 2
例 2 求由曲面 x C y D az 和 z D 2a （a > 0）所围立体的表面积。 p p 5 5 1 解 AD 2C 6 a2 . 6
p
x2 C y2
三、质心
三、质心
平面薄片的质心：
三、质心
平面薄片的质心： 设 xOy 平面上有 n 个质点，
三、质心
微积分-四川大学数学学院
习题课教学大纲（微积分II）（征求意见稿）课程名称：大学数学-微积分II英文名称：Calculus课程性质：必修课程代码：20113830(上册)20112530（下册）面向专业：大学数学II各专业习题课指导丛书名称：高等数学(第五版)出版单位：高等教育出版社出版日期：2002年7月主编：同济大学应用数学系习题课讲义名称：大学数学习题课系列教材--微积分编写单位：四川大学数学学院编写日期：2006年8月主编：四川大学数学学院高等数学教研室第一章函数与极限1．函数与极限2学时（1）基本内容函数的概念，函数的表示，函数的几种特性，复合函数，分段函数，极限的概念及性质，极限存在准则，重要极限，无穷小量与无穷大量，极限的计算，函数的连续与间断，闭区间上连续函数的性质。
（2）基本要求处理作业批改中发现的问题。
通过具体例子讲解极限的计算问题，连续性讨论问题，复合函数定义域及分段函数的复合问题。
第二章导数与微分2学时（1）基本内容：导数及高阶导数的定义；复合函数隐函数参数方程决定的函数和分段函数的求导；微分。
（2）基本要求：处理作业批改中发现的问题；举列说明复合函数隐函数参数方程决定的函数和分段函数的一阶二阶求导；会求微分。
第三章微分中值定理与导数的应用2学时1.中值定理及洛必达法则(1) 基本内容:中值定理的应用;洛必达法则求极限.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;通过具体例子讲解中值定理的题型和解题步骤;求各种不定形的极限并注意化简和变形技巧.2.不等式的证明和函数曲线(1)基本内容:函数单调性凹凸性的判定;函数的最值;泰勒定理.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;举例说明函数导数二阶导数曲线关系;举例讲解利用曲线特征证明函数不等式;举例说明函数最值的应用;泰勒中值定理的应用方法.第四章不定积分2学时一、基本内容：复习原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质及基本积分公式，总结换元积分法和分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分的计算方法。
四川大学微积分 两个重要的极限
微积分
练习题答案
一、1、ω ； 5、 5、0； 二、1、2； 5、 5、3. 三、 lim x n = 2 .
x→∞
2 2、 ； 2、 3
3、1； 3、 7、 7、e 2 ； 3、e 2 a ； 3、
6、 6、e ；
1 2、 ； 2、 e
1 ； 3 1 8、 8、 ； e
4、 4、
4、e −1 ； 4、
4、 lim x ⋅ cot 3 x = __________ .
x →0
sin x 5、 lim = __________ . x →∞ 2 x
6、 lim(1 + x ) = _________ .
x→0
1 x
微积分
1 + x 2x 7、 lim ( ) = _________ . x→∞ x 1 x 8、 lim (1 − ) = _________ . x →∞ x 求下列各极限: 二、求下列各极限 1 − cos 2 x 1、 lim x→0 x sin x 2、 lim (tan x ) tan 2 x
∴ {xn } 是有界的 ;
∴ lim x n 存在.
n→ ∞
1 = 3− < 3 n
1n 记为lim(1 + ) = e n→∞ n
(e = 2.71828L )积分可以证明对于连续变量x，也有：
1 x lim 1 + ) = e （ x →∞ x
或写成
lim 1 + y ) = e （
y →0
微积分
第二章 极限与连续
• • • • • • • 数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性
四川大学微积分(下)第9章6
若 向 量 值 函 数 f .t/; t 2 D 的 三 个 分 量 依 次 为 f1.t/，f2.t/，f3.t/，则 f 可表示为 f .t/ D f1.t/i C f2.t /j C f3.t /k; 或 f .t/ D f1.t/; f2.t /; f3.t / ; t 2 D: t 2D
t !t0
lim f .t / D f .t0/ ;
则称 f .t/ 在 t0 连续。 函 数 f .t/ 在 t0 连 续 当 且 仅 当 f .t / 的 三 个 分 量 f1.t/、f2.t/、f3.t/ 都在 t0 连续。
向量值函数的连续性：设向量值函数 f .t / 在点 t0 的某邻域内有定义，若
向量值函数的导数： 定义 2 设向量值函数 r D f .t / 在点 t0 的某邻域内 有定义，如果 r f .t0 C t / f .t0/ lim D lim t!0 t t!0 t 存在，那么就称上述极限为 r D f .t / 在 t0 处的导数或导 向量，
向量值函数的导数： 定义 2 设向量值函数 r D f .t / 在点 t0 的某邻域内 有定义，如果 r f .t0 C t / f .t0/ lim D lim t!0 t t!0 t 存在，那么就称上述极限为 r D f .t / 在 t0 处的导数或导 dr ˇ ˇ 向量，记作 f 0.t0/ 或 ˇ . dt t Dt0
向量值函数的极限：
向量值函数的极限： 定义 1 设向量值函数 f .t / 在点 t0 的某去心邻域 内有定义，
向量值函数的极限： 定义 1 设向量值函数 f .t / 在点 t0 的某去心邻域 内有定义，若存在常向量 r 0，
向量值函数的极限： 定义 1 设向量值函数 f .t / 在点 t0 的某去心邻域 内有定义，若存在常向量 r 0，对任意给定的正数 "，
四川大学微积分 极限与连续
只要取 δ = ε ,
x −1 ∴ lim = 2. x →1 x − 1
2
x2 − 1 当0 < x − x 0 < δ时, 就有 − 2 < ε, x −1
微积分
例5
证明 : 当x0 > 0时, lim
x → x0
x=
x0 .
证 ∵ f ( x) − A =
——刘徽 刘徽
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微积分
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
⋯⋯
⋯⋯
正 6 × 2 n −1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,⋯ , An ,⋯
S
微积分
2、截丈问题： 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰 1 第一天截下的杖长为 X 1 = ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X 2 = + 2 ; 2 2
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小 ; x > X 表示x → ∞的过程 .
微积分
1、定义： 、定义：
定义 1 不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x > X 的一切
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
( −1)n−1 当 n 无限增大时 , xn = 1 + 无限接近于 1. n
无限接近” 问题: 无限接近 意味着什么? 问题 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. 刻划它.
∵
xn − 1 = ( −1)
n −1
四川大学常微分方程 (张伟年 著) 高等教育出版社 课后答案
x2
dx,
两端积分得其通解为 √1 + y2 = C(1 + x2), 其中 C 为任意常数. 代入初值条件得 C = 2. 故所给 初值问题的解为 y = 1 + 2x2.
(5) 令 u = ey, 原方程变为
du dx
=
x
+
x3,
容易求得其通解为
u
=
1 2
x2
+
1 4
x4
+ C,
从而原方程的通解为
解:
(1) 这里 M (x, y) = y, N (x, y) = y − x, 由于
E
=
∂M ∂y
−
∂N ∂x
=
2,
所以它不是恰当方程.
由于
−
E M
=
−
2 y
与 x 无关,
因此该方程有只依赖于 y 的积分因子
µ(x) = e−
2 y
dy
=
−
1 y2
.
因此方程
1 y
dx
+
y
− y2
x
dy
=
0
为恰当方程, 取 x0 = 0, y0 = 1, 可计算出
y = exp(
x
2 +
1
dx)(C
+
(x
+
1)
5 2
exp(−
x
2 +
1
dx)dx)
=
C(x + 1)2
+
2 3
(x
+
1)
7 2
,
即
y
=
C (x
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微积分
集合的表示法
函数-集合
1. 列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并 用{}括起来。
例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，可表示为：
A={2,3}
注：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。
微积分
函数-集合
2.描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A 为满足P(a)的一切a构成的集合，记为：
如果A B且或AB，则称A与B相等。
1. AA即集合A是其自己的子集。 2. 传递性 AB、B C 则A C。 3. A，即空集是任何集合A的子集。
微积分
全集与空集
函数-集合
所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为:U。
不含任何元素的集合称为空集，记为： 。
例1：x2+1=0实数根集合为空集。 例2：平面上两条平行线的交点集合为空集。
线就称为数轴。
数轴上的点与实数之间可以建立一一对应的 关系。有时为了形象化起见，把数x称为点x， 就是指数轴上与数x对应的那个点。
O
x
-1 0 1
微积分
函数-集合
有 闭区间：[a,b]={x|a≤x≤b}
限 区
O a
b
x
间
开区间：(a,b)={x|a<x<b}
O
a
b
x
左闭右开区间：[a,b)={x|a≤x<b}
A={a|P(a)}
例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为： A={x|x2-5x+6=0}
例：全体实数组成的集合通常记作R，即： R={x|x为实数}
微积分
函数-集合
子集
如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 xA 则 必 xB ， 就 说 A 是 B 的 子 集 ， 记 作 AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)
微积分
函数-函数概念
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
1
o
x
-1
xsgxn x
y
4321
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
阶梯曲线
-4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
微积分
函数-函数概念
=( 1,2)U(2,3)
1 δ=1 2 δ=1 3
x
微积分
函数-函数概念
定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空 数集，若对于x ∈ D，变量y按照确定的法则f 总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数
记作 yf(x)
因变量
自变量
当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数
y mf( a x )g x ,(x ){}y mf(ix )n g ,(x ) {}
y
y
f (x)
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
o
x
微积分
(5)绝对值函数
函数-函数概念y
3
微积分
Hale Waihona Puke 函数-集合空 Ｕ( a , δ)={ x | 0<|x-a|< δ}
心 邻
={ x | a- δ <x<a 或 a<x<a+δ}
域
=(a- δ, a)U(a , a+ δ)
称为点a的δ空心邻域。
a- δ
a
a+ δ
x
例：
U(2,1)={x|0<|x-2|<1}={x|1<x<2或2<x<3 }
函数值全体组成的数集
Z{yy f (x),xD}称为函数的.值域
微积分
函数-函数概念
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0)
自变量
)
因变量
约定:如果不考虑函数的实际意义，函数的定义域 就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 ，称为函数的自然定义域。
例如 y， 1x2 D:[1,1]
非负小数部分函数 取整函数 y=(x)=x-[x]
x=7/3时,[x]=2，(x)=0.5 x=1/3时,[x]=0，(x)=1/3 x=-8/5时,[x]=-2，(x)=0.4
y y=(x)
1
-2 -1 O 1 2
x
微积分
函数-函数概念
(3) 狄利克雷函数
yD(x)10
当x是有理数时 当x是无理数时
注：{0}及{}都不是空集，前者有元素0，后者 有元素。
微积分
集合的运算
函数-集合
集合的并：AB={x|x A 或x B}
集合的交：A B={x|x A 且x B} 集合的差：A-B={x|x A 且x B}
微积分
函数-集合
区 在一条直线上指定了一点作为原点O，再指 间 定了正向，此外又规定了单位长度，这条直
微积分
函数-集合
例子 1. 1990年10月1日在南宁市出生的人。
2. 彩电、电冰箱、VCD。
3. x2-5x+6=0的根。
4. 全体偶数。
集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个 集合是确定的，是或不是二者必居其一。 由有限个元素构成的集合，称为有限集合。 由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；
O a
x
b
左开右闭区间：(a,b]={x|a<x≤b}
O a
b
x
微积分
函数-集合
无
[a, + ∞)={x|a≤x}
O
限
a
区 (-∞ ,b]={x|x≤b}
间
O
(a, +∞)={x|a<x}
O
a
x x
b
x
(-∞ ,b)={x|x<b}
O
x
b
实数集 Ｒ＝(-∞ ,+∞)={x | - ∞ <x<+ ∞}
四川大学微积分函数
微积分
微积分
dx rx
四川大学数学学院
dt
唐世福
Email:shifutang126
微积分
微积分
微积分
微积分
函数-集合
集 合 集合是指具有特定性质的一些事物的总体. 定 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 义
通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示 元素.
a是集合M的元素,记作aM(读作a属于M)； a不是集合M的元素,记作aM (读作a不属于M).
微积分
函数-集合
邻 Ｕ(a,δ)={x| |x-a|< δ}={x|a-δ<x<a+}=(a-δ,a+δ) 域 称为点a的δ邻域。a称为邻域的中心，δ称
为邻域的半径。
x
a- δ
a
a+ δ
例：Ｕ(2 ,1 )={ x | |x-2|<1 }={x | 1<x<3 }=( 1, 3)
δ=1
δ=1
x
1
2
例如y， 1 1x2
D:(1,1)
微积分
函数-函数概念
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
例如 x2， y2a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点C 集 {x (,y)yf(x)x ,D }称为
函y数 f(x)的图 . 形