九年级数学上册-圆的有关性质24.1.3弧弦圆心角导学案新版新人教版

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人教版九上数学第24章圆 24.1.3 弧弦圆心角教案+学案

人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案【教材内容】1．圆心角的概念；2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】1．了解圆心角的概念;2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．【教学重点】通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【教学难点】弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．【教学过程设计】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究知识点一：圆心角【类型一】圆心角的识别例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．知识点二：圆心角的性质【类型一】利用圆心角的性质求角例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系【类型一】结合三角形内角和求角例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中，又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDD∴AE=12AB，CF=12CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD，∠AOB=∠COD方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、教学小结师生一起总结本节学习知识要点：1．圆心角的概念；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角1.圆心角的识别2.圆心角的性质3.弧、弦、圆心角之间的关系4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算【课堂检测】1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。

人教版九年级数学24.1.3-弧、弦、圆心角学案

第1页第4课时 24.1.3 弧、弦、圆心角［学习目标］（学什么！）1．理解圆心角的概念，掌握圆的旋转不变性（中心对称性）；2．掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明.［学法指导］（怎么学！）本节课的学习重点是理解并掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题，学习难点是圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明；学习中通过动手操作、观察、比较、猜想、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的能力。

［学习流程］一、导学自习（教材P82-83）（一）知识链接1．是中心对称图形. (自己叙述)2．要证明两条弧相等，到目前为止有哪两种方法？（1）（2）（二）自主学习1．顶角在的角叫做圆心角.2. 圆既是轴对称图形，又是对称图形，它的对称中心是 .实际上，圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，因此，圆还是对称图形. 二、研习展评活动1：(1) 阅读教材Ｐ82“探究”内容，动手操作：（可以把重合的两个圆看成同圆）①在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O ′，沿圆周分别将两圆剪下； ②在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角AOB ∠和'AOB ∠，如图1所示，圆心固定．注意：在画AOB ∠与'AOB ∠时，要使OB 相对于OA 的方向与O B ''相对于O A ''的方向一致，否则当OA 与O A ''′重合时，OB 与O B ''不能重合．③将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA 与O A ''重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由． (2)猜想等量关系：， . （3）（利用圆的旋转不变性）验证：（4）归纳圆心角、弧、弦之间关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦。

九年级数学上册第二十四章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角导学案(新版)新

24．1.3 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P 83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB＝∠COD __；(2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB＝∠COD； (3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外) (1)__△ACO _≌_△ABO __； (2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.又∵∠ACB＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC＝∠AOC.,第2题图) ,第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD.(2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵.证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD.(2)∵AD＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数．解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠M 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件．(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN＝∠M.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点，∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMA ＝∠ONC，∠OMN ＝∠ONM，∴∠OMA －∠OMN＝∠ONC－∠ONM.即∠AMN＝∠M.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数．解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由：过点O 作OG⊥CD 于点G ，则CG ＝DG.∵CE＝DF ，∴CG －CE ＝DG －DF.∴EG ＝FG.∵OG⊥CD，∴OG 为线段EF 的垂直平分线．∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形．(2)证明：连接AC ，BD.由(1)知OE ＝OF ，又∵OA＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF，∠DFB ＝∠OFE，∴∠CEA ＝∠DFB.在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD，CE ＝DF ，∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等．3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AO ，BO的中点．CM⊥AB，DN ⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接AC ，OC ，OD ，BD.∵M ，N 为AO ，BO 中点，∴OM ＝ON ，AM ＝BN.∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO＝90°.在Rt △CMO 与Rt △DNO 中，OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴CM Rt △AMC 和Rt △BND 中，AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND，CM ＝DN ，∴△AMC ≌△BND.∴AC ＝BD.∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：连接AC ，OC ，OD ，BD ，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。

九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.3弧、弦、圆心角教案1新人教版(2021年整理)

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24。

1。

3 弧、弦、圆心角课标依据理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念;探索并了解点与圆的位置关系。

教学目标知识与技能1．了解圆心角的概念；2．掌握在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．过程与方法通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题,进一步理解和体会研究几何图形的各种方法。

情感态度与价值观培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，同时渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育.教学重点难点教学重点同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系．教学难点从圆的旋转不变性出发，得到圆心角，弦，弧之间的相等关系及其应用.教法学法操作、讲解、自学、练习、合作交流。

教学过程设计师生活动设计意图一、复习引入思考下面的问题：圆是中心对称图形吗？将圆旋转任意角度后会出现什么情况?我们学过的几何图形中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是？二、探究新知（一）、圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠A OB的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．（二)、圆心角、弧、弦之间的关系定理1.按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A‵OB‵的位置,你能发现哪些等量关系？为什么?得到：在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．通过该问题引起学生思考,进行探究,发现关系定理,（学生按照要求作图，并观察图形,结合圆的旋转不变性和相关知识进行思考,尝试得出关系定理,再进行严格的几何证明。

人教版数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角导学案

24.1.3 弧、弦、圆心角班级：姓名：小组：评价：【学习目标】1.掌握圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个量就相等，及其它们在解题中的应用。

2..经历用圆心角和旋转的知识探索的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

【重点难点】1. 重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题。

2.难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明【导学流程】一、了解感知：1.举例说明什么是圆心角？2.教材Ｐ82探究中，通过旋转∠AOB，试写出你发现的哪些等量关系？为什么？讨论：在圆心角的性质中定理中，为什么要说“同圆或等圆”？能不能去掉？二、深入学习：1.由探究得到的定理及结论是什么？在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，•所对的也相等．2.如图,在⊙O中,AB=AC,∠ACB=60°求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC 课海拾贝/反思纠错三、迁移运用：1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A．AB=2CD B．AB>CD C．AB<CD D．不能确定3．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．4.如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．OE、OF相等吗？为什么？当堂检测班级：姓名：小组：评价：1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2.如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )课海拾贝/反思纠错…………………………………装……………………………订………………………………线………………⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒2 B.∶4∶A.3∶2 C.D.5∶3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.05.如图所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？6.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.。

九年级数学上册24.1.3弧弦圆心角教案新版新人教版.doc

24. 1. 3弧、弦、圆心角一、教学目标1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、眩之间关系定理并利用其解决相关问题.3.理解圆心角、弧、弦Z间关系定理屮的“在同圆或等圆”条件的意义.二、课时安排1课时三、教学重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.四、教学难点理解圆心角、弧、弦Z间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. 五、教学过程（一）导入新课问题1圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里？问题2圆绕圆心旋转任意一个角度后，能与原来的图形重合吗？（二）讲授新课活动内容1：活动1：小组合作探究1;圆心角的定义1.圆心角：顶点在圆心的角，叫圆心角，如ZAOB .2.圆心角ZAOB所对的弧为弧AB.3.圆心角ZAOB所对的弦为AB.任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角、弧、弦判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.探究2:圆心角、弧、弦Z间的关系在00中，如果ZA0B= ZC0D,那么，AB与CD,弦AB与弦CD有怎样的数量关系？明确：由圆的旋转不变性，我们发现：在00中，如果ZA0B= ZC0D,那么，=弦AB二弦CD探究3：如图，在等圆中，如果ZA0B=ZC0 z D,你发现的等量关系是否依然成立?为什么？明确：通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果ZA0B=ZC0D,那么, 弧AB二弧CD,弦AB二弦CD.活动2：探究归纳归纳：弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.探究4：想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？答案：不可以，如图弧、弦与圆心角关系定理的推论：在同圆或等圆中，相等的眩所对的圆心角相等，所对的弧也相等.（三）重难点精讲证明；・・•弧AB二弧CD,・・・ AB二AC. 是等腰三角形又ZACB=60° ,・・・△ ABC是等边三角形，AB二BC二CA.・•・ ZAOB=ZBOC=ZAOC注意：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键. （四）归纳小结：1.圆心角的概念，圆的中心对称性和旋转不变性.2.圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.3.圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. （五）随堂检测1.如果两个圆心角相等，那么（）A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对2.弦t等于半径的弦所对的圆心角等于__________ .3.在同圆屮，圆心角ZAOB二2ZC0D,贝ij AB 与CD 的关系是（）A. Q B A 2CDB. a 07）C. 2B Y E DD.不能确定4.如图，已知AB、CD为的两条弦，= 求证:AB=CD.O •I)5.如图，在G>0中，2ZA0B=ZC0D,那么CD二2AB成立吗？CD二2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？【参考答案】1.D2.60 °3.A4.证明：连接AO, BO, CO, DO.・・•2D = fee,・・・ ZAOD = ZBOC.・・・ ZAOD+ZBOD二ZBOC+ZBOD.即乙403 二ZCOD・•・ AB二CD.5.答：CD二2AB成立，CD二2AB不成立.不是，取的屮点E,连接0E.那么ZAOB二ZCOE二ZDOE,所以= &£=妙E. ©£> =2 入B ,弦AB二CE二DE,在ACDE 中，CE+DE>CD,即CD<2AB.六.板书设计24.1.3弧、弦、圆心角归纳：弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的眩也相等.弧、弦与圆心角关系定理的推论：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 例题：七、作业布置课本P6练习练习册相关练习八、教学反思。

人教版九年级数学上册导学案：24.1.3_弧、弦、圆心角【精品】

24.1.3 弧、弦、圆心角学习目标：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材P82 —83 , 完成课前预习）1、知识准备（1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．（2）垂径定理推论．2、预习导航。

（1）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。

（2）等圆：能够的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径。

（3）弧、弦、弦心距、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也，所对的弦心距也。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、相等．注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也。

二、课堂练习。

1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD的关系是（）A. AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．不能确定3. 一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．4．如图，在⊙O 中，AB=AC ，∠AOB=60 °，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC三、课堂小结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的、、相等．四、反馈检测。

1．如图，⊙O 中，如果AB=2CD ，那么（）．A ．AB=ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．2．如图，以平行四边形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=50°，求BE 的度数和BF 的度数．3.如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N•在⊙O 上．（1）求证：AM =BN （2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM=MN=NB 成立吗？4．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．教&改~先&锋*网教!改~先&锋*网教!改^先&锋*网教^改~先^锋*网http//www.jgfw/5.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，求弦CE长度。

人教版数学九年级上册第24章圆24.1.3弧、弦、圆心角优秀教学案例

在教学过程中，我将以实际生活中的实例引入，激发学生的学习兴趣，接着通过引导学生观察和操作几何模型，让学生直观地理解和掌握弧、弦、圆心角的概念。同时，我将利用多媒体课件和教具，以动态的方式展示弧、弦、圆心角的变化关系，帮助学生建立起直观的几何形象。
在课堂练习环节，我将设计一系列具有层次性的题目，让学生在解答问题的过程中巩固所学知识，并通过小组合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。最后，我将进行课堂总结，强调本节课的重点和难点，为学生后续的学习打下坚实的基础。
3.学生通过自主学习、合作学习和探究学习，培养自学能力、合作能力和创新意识。
4.学生通过运用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题，提高应用能力和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极参与课堂学习，对数学产生兴趣，树立自信心。
2.学生能够体验到数学学习的乐趣，养成积极思考、善于动手的良好学习习惯。
2.问题情境：设计一些与圆的弧、弦、圆心角相关的问题，如“自行车轮的周长是多少？”、“如何测量圆的直径？”等，激发学生的思考和探究欲望。
3.操作情境：利用多媒体课件和教具，展示圆的弧、弦、圆心角的动态变化，让学生直观地感受和理解它们之间的关系。
4.实践情境：让学生亲自动手进行实验和操作，如测量和绘制圆的弧、弦、圆心角，增强学生的实践能力和体验。
（五）作业小结
3.举例说明弧、弦、圆心角在实际问题中的应用：通过实际问题的引入，讲解如何运用弧、弦、圆心角的知识解决问题，引导学生运用和巩固。
（三）学生小组讨论
1.设计小组讨论任务，让学生分组讨论和探究弧、弦、圆心角的关系和应用。
2.引导学生通过观察、操作和思考，发现弧、弦、圆心角之间的联系，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.3弧、弦、圆心角教案1(新版)新人教版

24.1.3 弧、弦、圆心角※教学目标※【知识与技能】1.理解圆心角和圆的旋转不变性．2.掌握弧、弦、圆心角之间相等关系定理.【过程与方法】1.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．2.利用圆的旋转不变性，研究弧、弦、圆心角之间相等关系定理．.【情感态度】培养学生积极探索数学问题的态度及方法．【教学重点】弧、弦、圆心角之间的相等关系．【教学难点】弧、弦、圆心角之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． ※教学过程※一、复习导入教师引导学生回顾学过的圆的相关概念以及定理.二、探索新知1.圆的中心对称性提问1 若将圆以圆心为旋转中心，旋转180°，你能发现什么？圆绕其圆心旋转180°后能与原来图形重合.所以圆是中心对称图形.提问2 若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转过后的图形能与原图形重合吗？圆绕圆心旋转任意角度α，都能够与原来的图形重合.所以圆具有旋转不变性.2.弧、弦、圆心角之间的关系相关概念顶点在圆上的角叫做圆心角.探究如图将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你发现哪些等量关系？（''AB A B = ''AB A B =)归纳总结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.思考（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？推论在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.3.圆心角、弧、弦定理及推论的应用例1 如图，在⊙O 中，AB AC =,∠ACB =60°.求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC .证明：∵AB AC =，∴AB AC =,△ABC 是等腰三角形.又∠ACB =60°，∴△ABC 是等边三角形，AB BC CA ==.∴∠AOB =∠BOC =∠AOC .例2 如图，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上的两点，且四边形OBCD 是菱形.求证： AD DC =.证明：连接OC .∵四边形OBCD 是菱形，∴OB =BC ，∠3=∠2，OD ∥BC .∴∠1=∠B.又OC =OB =BC ，∴OC =BC .∴∠3=∠B.∴∠1=∠2. ∴AD DC =.三、巩固练习1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A.相等弦所对的弧相等B.相等弦所对的圆心角相等C.相等圆心角所对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等2.如图，AB 是⊙O 的直径， BC CD DE ==,∠COD =35°，求∠AOE 的度数．答案:1.D2.∵BC CD DE ==，∴∠BOC =∠COD =∠DOE =35°.∴∠AOE =180°-3×35°=75°.五、归纳小结通过本节课的学习，你掌握了哪些基本概念和方法？※布置作业※从教材习题24.1中选取．※教学反思※本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论，可以发展学生勇于探索的良好习惯，培养学生的动手解决问题的能力．教师应让学生掌握解题方法，即要证弦相等或弧相等或圆心角相等，可以先证其中一组量对应相等，掌握这个阶梯方法有助于提升学生的抽象思维能力．。

(新人教版) 数学九年级上册 24.1 圆的有关性质 (导学案)

24．1圆的有关性质24. 1. 1圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm 或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图),第4题图) 4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图),第6题图) 6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10 cm，求OD的长．解：5 cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.2垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论． 3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题． 1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __． 2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个． 3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD. 证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ， ∴AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是cm . 点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm .3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E.则AE ＝BE ，CE ＝DE.∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE ⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB ∥CD ，则OF ⊥CD. (1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm )．即AB 与CD 之间距离为22 cm .(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE －OF ＝8 (cm )．即AB 与CD 之间距离为8 cm .由(1)(2)知AB 与CD 之间的距离为22 cm 或8 cm .点拨精讲：分类讨论，①AB ，CD 在点O 两侧，②AB ，CD 在点O 同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.3 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P 83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB ＝∠COD__； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB ＝∠COD ； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO_≌_△ABO__； (2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC. 证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC. 又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.,第2题图),第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD. (2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵. 证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵， ∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD. (2)∵AD ＝BC ， ∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数．解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件． (2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN ＝∠CNM.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点， ∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMA ＝∠ONC ，∠OMN ＝∠ONM ，∴∠OMA －∠OMN ＝∠ONC －∠ONM. 即∠AMN ＝∠CNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数．解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由：过点O 作OG ⊥CD 于点G ，则CG ＝DG.∵CE ＝DF ， ∴CG －CE ＝DG －DF. ∴EG ＝FG.∵OG ⊥CD ， ∴OG 为线段EF 的垂直平分线． ∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形．(2)证明：连接AC ，BD. 由(1)知OE ＝OF ，又∵OA ＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF ，∠DFB ＝∠OFE ， ∴∠CEA ＝∠DFB.在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD ，CE ＝DF ， ∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等． 3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AO ，BO的中点．CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接AC ，OC ，OD ，BD. ∵M ，N 为AO ，BO 中点， ∴OM ＝ON ，AM ＝BN. ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°. 在Rt △CMO 与Rt △DNO 中， OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴CM ＝DN.在Rt △AMC 和Rt △BND 中， AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ，CM ＝DN ， ∴△AMC ≌△BND. ∴AC ＝BD.∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：连接AC ，OC ，OD ，BD ，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.4 圆周角1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 85～87，完成下列问题．归纳：1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__． 5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数．解：65°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数．解：65°.,第3题图),第4题图)4．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC 的中点，那么∠DAC 的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO ＝25°，则∠C ＝__65°__．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB ＝ __64°__．3．如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.∴BC ＝AB 2－AC 2＝8 (cm )．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD.由AB 为直径，知AD ⊥BD ， ∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD 2＋BD 2＝2AD 2＝2BD 2＝AB 2，∴AD ＝5 2 cm ，BD ＝5 2 cm .点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝__10_cm __．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B ＝60°，则∠CAO ＝__30°__． 3．OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角， ∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC ＝2∠BAC ，∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠ACB ＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙O 中，∠CBD ＝30°，∠BDC ＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)第11页共11页。

九年级数学上册第二十四章24.1圆有关的性质24.1.3弧、弦、圆心角备课资料教案新人教版(202

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第二十四章 24。

1。

3弧、弦、圆心角知识点1：圆心角1.圆心角的顶点是圆心，圆心角的两边通常是圆的两条半径.如图中，∠AOB就是一个圆心角。

2。

注意：一个角要成为圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.3。

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

知识点2:弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理的推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.关键提醒:(1）运用本知识点时,应注意其成立的条件“同圆或等圆中”和“所对应的”两词的含义；（2）由“弦相等”推出“弧相等”时，这里的“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等;(3）运用本知识点可证明同圆或等圆中弧相等、角相等以及线段相等;(4)圆心角的度数等于它所对弧的度数;（5）上述关系中所说的圆心角一般指小于平角的角,因此它所对的弧是劣弧。

考点1:利用圆心角证明问题【例1】如图，A、B是☉O上的两点,∠AOB=120°，点D为劣弧AB的中点.求证：四边形AOBD是菱形。

九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3弧弦圆心角听课课件新版新人教版

弧、弦、圆在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的___弧___
心角之间的相等，所对的___弦___也相等
关系定理
24.1.3 弧、弦、圆心角
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它弧、弦、圆们所对的__圆_心__角___相等，所对的____弦____相等；心角的关系 (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
第二十四章圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识目标目标突破总结反思
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识目标
通过旋转一个圆心角，探究出同圆中弧、弦、圆心角之间的关系，并运用这种关系计算或证明有关问题．
24.1.3 弧、弦、圆心角
目标突破
目标会利用“弧、弦、圆心角之间的关系”进行证明
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。

九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.3弧弦圆心角导学课件新版新人教版

24.1.3 弧、弦、圆心角
1 …核…心…目…标…..…
2 …课…前…预…习…..…
3 …课…堂…导…学…..… 4 …课…后…巩…固…..…
5 …能…力…培…优…..…
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1
核心目标
了解弧、弦、圆心角之间的关系，并会利用这些关系进行简单的证明和计算．
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2
课前预习
1．顶点在____圆__心____的角叫圆心角．
∴OD＝OE，∵AO＝BO，精品∴课件AD＝BE．
13
课后巩固
11．如下图，AB是圆O的直径，D是圆上的一点， ∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于 C，且CE＝AO，求∠E的度数．
解：连结OC，如图，∵CE＝AO，
而OA＝OC，∴OC＝EC，
∴∠E＝∠1，∴∠2＝∠E＋∠1＝2∠E，
∵OC＝OD，∴∠D＝∠2＝2∠E，∵∠BOD＝∠E＋∠D，
∴∠E＋2∠E＝75°，∴∠E＝25°．
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14
能力培优
12 ．如下图，在 ⊙O 中， C 、 D 是直径 AB 上两点， MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．
(1)若AC＝BD，求证：AM＝BN ；
(
(
连接OM、ON，∵OA＝OB，
(( ((
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课后巩固
( (
( (
8．如下图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，AC＝BC，点E为OD上任意一点(不与O、D重合)．求证：AE＝BE.
∵AC＝BC，∴∠AOC＝∠BOC
∴∠AOD＝∠BOD，
又OA＝OB，OE＝OE，
△ △ ∠得 AOE≌ BOE，∴AE＝BE．
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