因式分解常用的六种方法详解
因式分解方法大全
因式分解方法大全以下是一些常用的因式分解方法：方法一：提取公因式法如果一个多项式的各项系数可以同时被一个常数整除，那么可以将这个常数提取出来，然后再对多项式进行因式分解。
例如：2x+4y=2(x+2y)方法二：两项提取公因式法当多项式的两项具有相同的因子时，可以将这个因子提取出来，然后再对多项式进行因式分解。
例如：3x^2+6x=3x(x+2)方法三：平方差公式如果多项式是两个平方数相减，那么可以使用平方差公式进行因式分解。
平方差公式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如：9x^2-4=(3x+2)(3x-2)方法四：差平方公式如果多项式是两个平方数相加，那么可以使用差平方公式进行因式分解。
差平方公式为：a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab例如：x^2+4=(x+2)^2-4方法五：分组法当多项式含有多项之和时，可以根据各项的共同因子进行分组，然后进行因式分解。
例如：2ab + 4bc + 6ca = 2a(b + 2c) + 2c(2b + 3a)方法六：完全平方公式当多项式是一个完全平方时，可以使用完全平方公式进行因式分解。
完全平方公式为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2例如：x^2+4x+4=(x+2)^2方法七：配方法对于一些多项式，可以通过将其形式转化为一个平方差或平方和的形式，然后使用平方差公式或完全平方公式进行因式分解。
例如：4x^2+12x+9=4(x^2+3x)+9=4(x^2+2x+1)然后使用完全平方公式进行因式分解。
方法八：综合运用多项式的因式分解方法往往需要综合运用多种方法，根据具体情况选择合适的方法进行因式分解。
对于较复杂的多项式，可能需要多次分解才能得到最简形式。
因此，需要对各种方法进行熟练运用，并根据具体情况进行灵活组合。
以上是一些常用的因式分解方法，它们可以用来解决不同类型的多项式因式分解问题。
需要注意的是，进行因式分解时要善于观察和发现多项式中的模式和规律，以便选择合适的方法进行分解。
因式分解的常用方法
因式分解的常用方法
因式分解是将一个多项式表示为两个或多个因子的乘积的过程。
以下是常见的因式分解方法：
1. 公因式法：找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
例如，对于多项式6x + 9y，可以提取公因式3，得到3（2x + 3y）。
2. 二次方程法：对于二次多项式，可以使用二次方程法进行因式分解。
例如，对于多项式x^2 - 4x + 4，可以通过找到它的
平方根来进行因式分解，即(x - 2)^2。
3. 差平方法：对于一些特殊形式的多项式，可以使用差平方法进行因式分解。
例如，对于多项式x^2 - y^2，可以通过差平
公式(x-y)(x+y)进行因式分解。
4. 分组法：对于四项或更多项的多项式，可以使用分组法进行因式分解。
该方法将多项式分为两组，将每一组的相同项提取出来，并进行因式分解。
例如，对于多项式2xy + 3x + 2y + 3，可以将其分为两组并进行因式分解为(2xy + 3x) + (2y + 3) =
x(2y + 3) + (2y + 3) = (x + 1)(2y + 3)。
5. 换元法：对于一些特殊形式的多项式，可以使用换元法进行因式分解。
该方法通过引入新的变量，将多项式转化为较简单的形式，并进行因式分解。
例如，对于多项式a^3 + b^3 + c^3 - 3abc，可以进行换元a + b + c = p，然后进行较简单的因式分解。
注意，这里的方法只是介绍了因式分解的常见方法，并不涵盖所有情况。
在实际问题中，有时需要根据具体情况使用不同的方法进行因式分解。
因式分解的常用方法
因式分解的常用方法因式分解是数学中常用的一种方法，它是将一个复杂的表达式或多项式分解成更简单的因子的过程。
因式分解在代数、方程、不等式等数学问题的解题中经常出现。
下面将介绍因式分解的常用方法。
一、公因式提取法公因式提取法是指在多项式中提取出公共的因式，然后将剩余的部分进行因式分解。
例如：1.3x+6y可以提取出公因子3，得到3(x+2y)。
2.4x^2+8x可以提取出公因子4x，得到4x(x+2)。
二、配方法配方法也被称为乘法公式法，它适用于二次型的因式分解。
当二次型为(ax+b)^2形式时，常采用配方法进行分解。
配方法的步骤如下：1. 将二次型展开为(ax+b)^2的形式，即去掉开头的系数和常数项；2. 将二次型写成(a^2x^2+2abx+b^2)的形式；3.因式分解成(a*x+b)^2的形式，即加法的平方。
例如：1.x^2+6x+9可以写成(x+3)^2的形式。
2.4x^2+12x+9可以写成(2x+3)^2的形式。
三、辗转相除法辗转相除法也是因式分解中常用的方法，它适用于多项式的因式分解和整除。
辗转相除法的步骤如下：1.对多项式进行约去常因子；2.将多项式按照次数从高到低进行排列；3.用低次多项式除以高次多项式，得到商和余数；4.如果余数为0，则表示能整除，否则继续用余数进行除法；5.将多项式的因式写成约去的常因子与商的乘积的形式；例如：1.x^2+2x+1可以通过辗转相除法整除(x+1)，得到商为x+12.3x^3-2x^2+3x+4可以通过辗转相除法整除(3x-2)，得到商为x^2+x+2四、根式分解法根式分解法适用于含有平方根或立方根的表达式因式分解。
根式分解法的步骤如下：1.提取出平方根或立方根；2.将根式进行化简；3.根据提取出的根式与原表达式进行乘法、加法运算；4.将原表达式分解成根式与其他因子的乘积的形式；例如：1.x^2+8x+16可以分解为(x+4)^22. x^3+y^3 可以分解为(x+y)(x^2-xy+y^2)。
因式分解方法大全
因式分解方法大全因式分解是数学中非常重要的一种运算方法，它在解题中具有广泛的应用。
本文将为你介绍常见因式分解的方法，希望可以帮助你更好地理解和运用因式分解。
一、提取公因数法提取公因数法是因式分解中最基本的方法，它适用于多项式的每一项都有公因数的情况。
具体步骤如下：1.找出多项式中的最大公因数。
2.将最大公因数提取出来，剩下的部分即为因式分解后的结果。
例如，对于多项式4x+8，我们可以提取出公因数4，得到4(x+2)。
二、公式法公式法是基于一些常见的公式进行因式分解的方法。
以下是一些常见的公式：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2. 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²。
3. 二次差分公式：a² - 2ab + b² = (a - b)²。
4.二次平方差公式：a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)。
5. 立方和公式：a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)。
6. 立方差公式：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)。
根据这些公式，我们可以快速进行因式分解。
例如，对于多项式x²-4，我们可以使用平方差公式得到(x+2)(x-2)。
三、分组法分组法是一种常用的因式分解方法，适用于多项式中含有多个项时。
具体步骤如下：1.将多项式按照其中一种规则分成两组，使得每一组内的项有相同的因式。
2.对每一组内的项进行提取公因数的操作。
3.对两组提取出的因式进行化简。
例如，对于多项式x³-x²+x-1，我们可以将其分成两组：(x³-x²)+(x-1)。
然后，我们可以对每一组内的项进行提取公因数，得到x²(x-1)+1(x-1)。
因式分解方法详解
因式分解方法详解因式分解是一种重要的数学方法，它将一个多项式分解为若干个因式的乘积，以便更好地理解、计算和解决数学问题。
下面将详细讲解因式分解的方法和步骤。
一、因式分解的方法1.提公因式法提公因式法是因式分解中最基本的方法之一。
它是指通过提取多项式中的公因式，将多项式转化为几个因式的乘积。
例如，将多项式x³+2x²-5x-6进行提公因式，得到(x+1)(x²-6)。
2.公式法公式法是因式分解中常用的方法之一。
它是指通过运用一些特定的公式，将多项式转化为几个因式的乘积。
常用的公式包括平方差公式、完全平方公式、立方和公式等等。
例如，将多项式a²-b²进行公式法分解，得到(a+b)(a-b)。
3.十字相乘法十字相乘法是一种特殊的因式分解方法，适用于某些二次多项式。
它是指将多项式分解为两个二次因式的乘积，系数交叉相乘并相加。
例如，将多项式2x²+5x+3进行十字相乘法分解，得到(2x+1)(x+3)。
4.待定系数法待定系数法是一种通过假设多项式中各项的系数，并设某个多项式等于0，解出未知数的值，进而得到因式分解的方法。
例如，将多项式x³+2x²-5x-6进行待定系数法分解，设(x+1)(ax²+bx+c)=0，通过解方程得到a、b、c的值，进而得到原多项式的因式分解结果。
二、因式分解的步骤1.确定多项式的项数和各项的系数和字母；2.找出多项式中的公因式，将多项式转化为几个整式的乘积；3.运用公式法、十字相乘法等方法将整式乘积转化为更简单的整式乘积；4.检验因式分解的正确性，确保所有因式的积等于原多项式。
三、因式分解的应用因式分解在数学中有着广泛的应用。
例如，在解方程中，通过因式分解可以更快地找到方程的根；在求函数的极值时，通过因式分解可以更好地理解函数的性质；在数列求和时，通过因式分解可以更方便地找到通项公式。
此外，因式分解还可以应用于解决实际生活中的问题，例如在电路设计中可以通过因式分解来计算电流和电压的变化情况。
常用的因式分解方法
常用的因式分解方法
1. 提取公因式法呀，这可是最基础的呢！就像搭积木，先把同样的那一块找出来。
比如说，分解 3x^2+6x，这里公因式就是 3x 嘛，一下子就变成 3x(x+2)啦，是不是很简单？
2. 公式法也超好用的哟！平方差公式就像一把神奇的钥匙。
好比分解x^2-4，那不就是(x+2)(x-2)嘛，这不就轻松打开这把锁啦？
3. 十字相乘法，哇，这个就有点像玩拼图啦！来看 2x^2+x-3，经过巧妙搭配就能分成(2x+3)(x-1)，是不是很有趣呢？
4. 分组分解法呀，就如同排兵布阵一样呢！像 ax+ay+bx+by，我们就可以巧妙分组变成(a+b)(x+y)，这就搞定啦！
5. 换元法呢，就像给式子化个妆一样。
比如遇到复杂式子，我们设个元来代替，化简后再换回来，是不是很奇妙呀？比如分解(x^2+1)^2-4x^2！
6. 拆项添项法呀，这可是个技术活呢，就好像玩魔术一样。
比如对
x^4+4 进行分解，通过巧妙操作就能变成(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)，厉害吧！
总之呀，这些因式分解方法都超有用的，学会了它们，数学世界的大门就会向你敞开啦！。
因式分解方法大全
因式分解方法大全因式分解是一个常用的数学方法，用于将一个多项式或一个数分解为较小因子的乘积。
在这篇文章中，我将为您详细介绍一系列因式分解的方法。
一、公因式提取法：公因式提取法是最基本的因式分解方法之一、它的思想是找到多个表达式的一个公共因子，并将其提取出来。
例如，对于多项式2x+6，我们可以发现2是两项的公因子，于是可以将其因式分解为2(x+3)。
二、分组分解法：分组分解法适用于由四个及四个以上的项组成的多项式。
它的思想是将多项式内的项进行分组，并利用分组的特点进行因式分解。
例如，对于多项式x²+5x+6，我们可以将其分解为(x²+2x)+(3x+6)，然后分别提取出每个分组的公因子，得到x(x+2)+3(x+2)，进而因式分解为(x+3)(x+2)。
三、辗转相除法：辗转相除法是一种用于分解整数的方法，适用于当我们要将一个整数分解为两个较小的因数时。
例如，对于整数15，我们可以找到一个较小的因数3，并将15除以3得到5，即15=3*5四、差的平方公式：方形式时，可以利用差的平方公式进行因式分解。
例如，对于多项式x²-4，我们可以利用差的平方公式(x+2)(x-2)进行因式分解，得到(x+2)(x-2)。
五、平方差公式：平方差公式是一个常用的因式分解方法，适用于当我们遇到平方差形式时，可以利用平方差公式进行因式分解。
例如，对于多项式x²-y²，我们可以利用平方差公式(x+y)(x-y)进行因式分解，得到(x+y)(x-y)。
六、完全平方公式：完全平方公式是一个常用的因式分解方法，适用于当我们遇到完全平方形式时，可以利用完全平方公式进行因式分解。
例如，对于多项式x² + 2xy + y²，我们可以利用完全平方公式(x + y)²进行因式分解，得到(x + y)²。
七、和的立方公式：和的立方公式是一个常用的因式分解方法，适用于当我们遇到和的立方形式时，可以利用和的立方公式进行因式分解。
因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
因式分解的方法有哪些
因式分解的方法有哪些在初高中，同学们都会接触到很多因式分解的例子与试题，那有什么因式分解的方法呢，须注意什么。
以下是由编辑为大家整理的“因式分解的方法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
因式分解的方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子： a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和(a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 和a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项;②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同;③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
因式分解的十二种途径
因式分解的十二种途径1. 公因式法则：如果一个多项式中的每一项都有相同的因子，可以通过提取公因式进行因式分解。
2. 平方差公式：对于两个数的平方差，可以使用平方差公式进行因式分解，即a² - b² = (a+b)(a-b)。
3. 完全平方公式：对于一个完全平方的多项式，可以使用完全平方公式进行因式分解，即a² + 2ab + b² = (a+b)²。
4. 分组法则：对于一个多项式中含有四项以上的情况，可以使用分组法进行因式分解。
将多项式中的项进行分组，然后尝试提取每个组的公因式进行因式分解。
5. 同底数幂公式：对于同底数的几个幂相乘的情况，可以使用同底数幂公式进行因式分解，即a^m * a^n = a^(m+n)。
6. 因子分解法则：对于一个多项式，可以尝试将其写成一些因子的积的形式，从而进行因式分解。
7. 代数和几何图像法则：有时候可以通过对代数表达式进行几何图像的分析来找到因式分解的途径。
8. 次高次幂定理：对于二次及高次多项式，可以使用次高次幂定理进行因式分解，即ax^(n+1) + bx^n + cx^(n-1) + ... + k = 0。
9. 有理根定理：对于具有整数系数的多项式，可以使用有理根定理来寻找有理根，从而进行因式分解。
10. 组合方法：可以尝试将多项式分解为两个或多个组合项的乘积，然后再进一步进行因式分解。
11. 复根定理：对于具有实系数的多项式，可以使用复根定理来寻找复根，从而进行因式分解。
12. 分解定理：对于具有多项式系数的多项式，可以使用分解定理来将多项式分解为线性和二次因子的乘积。
这些是因式分解中常用的十二种途径，通过使用不同的方法，在不同的情况下，选择合适的途径可以更加高效地进行因式分解。
常用因式分解方法
常用因式分解方法因式分解是数学中常用的一种方法，用来将一个多项式或一个数写成由其因子的乘积的形式。
因式分解在各个数学领域都有广泛的应用，包括代数、几何、微积分等。
下面将介绍几种常用的因式分解方法。
一、公因式提取法公因式提取法是最基本的因式分解方法。
其基本思想是将一个多项式中的公因子提取出来。
例如，对于多项式3x+6y，我们可以提取出公因子3，得到3(x+2y)。
二、差平方公式差平方公式是一种将一个平方差分解为两个因子的方法。
差平方公式的形式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以将其分解为(x+2)(x-2)。
三、平方差公式平方差公式是一种将两个平方和分解为一个平方差的方法。
平方差公式的形式为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2例如，对于多项式x^2+4x+4，我们可以将其分解为(x+2)^2四、完全平方公式完全平方公式是一种将一个二次多项式分解为两个平方的方法。
完全平方公式的形式为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2例如，对于多项式x^2+6x+9，我们可以将其分解为(x+3)^2五、分组分解法分组分解法是一种将一个多项式分解为多个二次多项式的方法。
例如，对于多项式x^3-2x^2+x-2，我们可以将其分解为(x^3-2x^2)+(x-2)，然后再分别对每个二次多项式进行因式分解。
六、代换法代换法是一种将一个复杂多项式转化为较为简单的多项式的方法。
例如，对于多项式x^4-16，我们可以将其转化为(x^2)^2-4^2，然后再利用差平方公式进行分解。
七、特殊因式分解法特殊因式分解法是一种针对特殊多项式形式的因式分解方法，包括平方差形式、立方差形式、四次方差形式等。
例如，对于多项式x^3-8，我们可以将其分解为(x-2)(x^2+2x+4)，其中x^2+2x+4是一个特殊的二次多项式，可以通过求根公式进行进一步分解。
这些是常用的因式分解方法，当然还有其他的方法，如拉格朗日定理、分解式的系数法、配方法等。
因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳因式分解是代数学习中的重要内容，它可以帮助我们简化复杂的代数表达式，解决方程和不等式等问题。
下面就为大家归纳一下因式分解的各种方法。
一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如，对于多项式 6x ＋ 9，6 和 9 都有公因数 3，所以可以提出 3 得到：3(2x ＋ 3)。
提公因式法的关键在于准确找出多项式各项的公因式。
公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项都含有的相同字母，字母的指数取次数最低的。
二、运用公式法（1）平方差公式：a² b²＝（a ＋ b)（a b)例如，分解 9x² 25，可写成（3x)² 5²，然后利用平方差公式得到：（3x ＋ 5)（3x 5)（2）完全平方公式：a² ± 2ab ＋ b²＝（a ± b)²比如，对于 x²＋ 6x ＋ 9，可以将其写成 x²＋ 2×3×x ＋ 3²，符合完全平方公式，分解为（x ＋ 3)²三、分组分解法将多项式分组后，组与组之间能提公因式或运用公式进行分解。
例如，对于多项式 am ＋ an ＋ bm ＋ bn，可以将其分组为（am ＋an) ＋（bm ＋ bn)，然后分别提公因式得到：a(m ＋ n) ＋ b(m ＋ n)，再提公因式（m ＋ n) 得到：（m ＋ n)（a ＋ b)四、十字相乘法对于二次三项式 ax²＋ bx ＋ c，如果存在两个数 p、q，使得 a ＝p×q，c ＝ m×n，且 b ＝ p×n ＋ q×m，那么 ax²＋ bx ＋ c ＝（px ＋ m)（qx ＋ n)比如，分解 6x²＋ 5x 6，将 6 分解为 2×3，－6 分解为－2×3，交叉相乘 2×3 ＋ 3×（－2) ＝ 0，所以可以分解为（2x 1)（3x ＋ 6)五、拆项、添项法把多项式的某一项拆开或加上互为相反数的两项，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法(方法最全最详细)因式分解的常用方法方法介绍因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式。
常用的因式分解方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法和换元法等。
一般的因式分解步骤是先提公因式，再利用乘法公式，若不能实施则采用分组分解法或其他方法。
将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
提公因式法提公因式法是将多项式中的公因式提取出来，例如ma+mb+mc=m(a+b+c)。
公式法公式法是将整式的乘、除中的乘法公式反向使用，例如(a+b)(a-b) = a^2-b^2，(a±b)^2= a^2±2ab+b^2等。
分组分解法分组分解法是将多项式分为若干组，使得每组都含有公因式，然后再进行因式分解。
换元法换元法是将多项式中的一部分用一个新的变量代替，然后再进行因式分解。
注意：因式分解应分解到不能再分解为止。
例题已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解：a+b+c=ab+bc+ca，移项得2a+2b+2c=2ab+2bc+2ca，化简得(a+b+c)^2=4(ab+bc+ca)，即(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0.因为三角形ABC的三边不全为零，所以(a-b)^2≥0，(b-c)^2≥0，(c-a)^2≥0.所以(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0，即a=b=c，所以三角形ABC是等边三角形。
以上是因式分解的常用方法，希望对大家有所帮助。
凡是能十字相乘的二次三项式ax^2+bx+c，都要求Δ=b^2-4ac>0且是一个完全平方数。
因此，Δ=9-8a为完全平方数，故a=1.对于分解因式x+5x+6，我们可以将6分解成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，我们可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5.因此，x+5x+6=(x+2)(x+3)。
根据因式分解常用的六种方法详解分数的化简
根据因式分解常用的六种方法详解分数的化简一、因式分解法以最简形式表达分数是数学中一项重要的操作。
因式分解是一种常用的方法，通过将分子和分母分别因式分解，来求得分数的最简形式。
1. 公因式因式分解法公因式因式分解法适用于分子和分母都可以有公因式的情况。
首先，将分子和分母的公因式提取出来，然后约去公因式的部分。
示例：将分数$\frac{12}{16}$化简为最简形式。
首先，分解12和16的质因数：$12 = 2^2 \times 3$$16 = 2^4$公因式为2，将分子和分母都除以2，得到最简形式为$\frac{3}{4}$。
2. 相差平方因式分解法相差平方因式分解法适用于分子和分母之间存在差平方关系的情况。
通过差平方公式的应用，将分子和分母分别因式分解，然后约去相同因式的部分。
示例：将分数$\frac{a^2 - b^2}{a - b}$化简为最简形式。
根据差平方公式，展开分子的差平方，得到$(a + b)(a - b)$。
因此，最简形式为$a + b$。
3. 全部约去因式分解法全部约去因式分解法适用于分子和分母都可以被同一因式整除的情况。
将分子和分母都因式分解，并约去分子和分母中相同的因式。
示例：将分数$\frac{8x}{12}$化简为最简形式。
首先，分解8和12的质因数：$8 = 2^3$$12 = 2^2 \times 3$公因式为$2^2$，将分子和分母都除以$2^2$，得到最简形式为$\frac{x}{3}$。
二、其他常用方法除了因式分解法，还有其他几种常用的方法可以用来化简分数。
4. 换元法换元法适用于分子和分母中存在相同的变量的情况。
通过进行换元，将分子和分母中的相同变量用新的未知数代替，然后进行约去。
示例：将分数$\frac{x + 1}{x^2 + x}$化简为最简形式。
可以进行换元，令$y = x + 1$，则原分数变为$\frac{y}{y^2 - y+ 1}$。
最简形式无法继续约去，因此最简形式为$\frac{x + 1}{x^2 +x}$。
根据因式分解常用的六种方法详解方程组的求解
根据因式分解常用的六种方法详解方程组的求解引言方程组的求解在数学中具有重要的意义。
其中，根据因式分解的方法可以帮助我们更简便地解决方程组。
本文将详细介绍六种常用的因式分解方法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
方法一：提取公因式这是最基本的因式分解方法之一。
首先，我们找到方程组中每个方程的公因式。
然后，我们将这个公因式提取出来，并用括号括起来。
最后，我们把原方程除以这个公因式得到简化后的方程。
通过这个过程，我们可以更直接地求得方程组的解。
方法二：平方公式对于有平方项的方程组，我们可以使用平方公式来进行因式分解。
平方公式可以将一个平方项表示为两个因式的乘积。
通过这个方法，我们可以将方程组中的平方项转化为两个成立的等式，从而帮助我们解决方程组。
方法三：差平方公式和平方公式类似，差平方公式也可以将一个差平方项表示为两个因式的乘积。
差平方公式在因式分解中经常用到，可以帮助我们更容易地求得方程组的解。
方法四：和差立方公式和差立方公式是一种用于因式分解的方法，可以将和差立方项表示为两个因式的乘积。
通过使用和差立方公式，我们可以更方便地求得方程组的解。
方法五：配方法配方法是一种常见的因式分解方法，可以用于解决一些复杂的方程组。
配方法通过使方程变换为一个可以因式分解的形式，从而帮助我们更容易地求得方程组的解。
方法六：矩阵法对于线性方程组，我们可以使用矩阵法来进行求解。
矩阵法通过将方程组转化为矩阵形式，并进行一系列的矩阵操作，最终求得方程组的解。
这是一种高效且广泛应用的求解方法。
结论通过六种常用的因式分解方法的介绍，我们可以更全面地了解方程组的求解过程。
无论是简单的方程组还是复杂的线性方程组，这些方法都可以帮助我们更轻松地求得解。
希望本文能够帮助读者进一步掌握和应用因式分解的方法，在解决数学问题时更加得心应手。
（注：以上内容仅供参考，具体分析和应用时请根据实际情况进行判断和求解。
）。
因式分解的常用方法
因式分解的常用方法因式分解是一种将一个数、一个代数式或一个多项式表达为乘积形式的方法。
它在数学中有着广泛的应用，尤其在代数运算和方程的求解中起着重要的作用。
以下是因式分解的常用方法：一、因式分解整数：1.分解质因数法：将一个正整数分解为若干个质因数的乘积。
例如，将60分解为质因数的乘积：60=2×2×3×52.综合除法法：用综合除法将一个整数除以数列中的质数，直到商为1为止，最后将所除的质数写成因数的乘积。
例如，将60分解为质因数的乘积：60=2×2×3×5二、因式分解代数式：1.提公因式法：将一个代数式中的公因式提出来，写成公因式与余因式的乘积形式。
例如，将2x+4y分解为公因式与余因式的乘积：2x+4y=2(x+2y)。
2.差的平方公式：对于具有形式a^2-b^2的二次差，可以分解为(a+b)(a-b)的乘积形式。
例如，将x^2-4分解为差的平方公式：x^2-4=(x+2)(x-2)。
3.和的平方公式：对于具有形式a^2+2ab+b^2的二次和，可以分解为(a+b)^2的乘积形式。
例如，将x^2+6x+9分解为和的平方公式：x^2+6x+9=(x+3)^24.两个平方差公式：(1)平方差的平方根公式：对于一个具有形式a^2-b^2的二次差，可以分解为两个平方根的乘积形式(a+b)(a-b)。
例如，将9x^2-4分解为平方差的平方根公式：9x^2-4=(3x+2)(3x-2)。
(2)平方差公式：对于一个具有形式a^2-b^2的二次差，可以分解为两个平方和的乘积形式(a+b)(a-b)。
例如，将25x^2-16分解为平方差公式：25x^2-16=(5x+4)(5x-4)。
三、因式分解多项式：1.提公因式法：将一个多项式中的公因式提出来，写成公因式与余因式的乘积形式。
例如，将2x^2+4xy分解为公因式与余因式的乘积：2x^2+4xy=2x(x+2y)。
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因式分解常用的六种方法详解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．4．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．5．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．6．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。