考研数学：协方差和相关系数例题(一).
概率论与数理统计 5.3 协方差与相关系数
概率论
均值 EX是X一阶原点矩，方差DX是X的二阶
中心矩。
四、课堂练习
概率论
1、设随机变量（X，Y）具有概率密度
f (x, y) 81(x y) 0 x 2,0 y 2
0
其它
求E(X ), E(Y ),Cov(X ,Y ), D(X Y )。
2、设X ~ N(, 2),Y ~ N(, 2)，且设X，Y相互独立 试求Z1 X Y和Z2 X Y的相关系数(其中，
Cov(aX b,cY d ) acCov( X ,Y ); Cov(aX bY ,cX dY ) acDX bdDY (ad bc)Cov( X ,Y ).
(6) D(XY) = DX+ D Y 2 Cov(X, Y) .
一般地， D(aXbY) =a 2DX + b2DY 2 abCov(X, Y).
1
1
dx
1 x 8xydy 8
0
x
15
EY
yf ( x, y)dxdy
o
1x
1
dx
1 y 8xydy 4
0
x
5
EXY
xyf ( x, y)dxdy
1
dx
0
1 xy 8xydy 4
x
9
Cov( X ,Y ) EXYEXEY 4
225
类似地，EX 2
1
X与Y不独立.
EX EY EXY 0, Cov( X ,Y ) 0, XY 0,
X与Y不相关.
例6 设 X 的分布律为
X 1 0 1 P 13 13 13
Y X 2, 求 XY , 并讨论 X 与Y 的独立性. 解 EX 0, EY EX 2 2 3, E( XY ) EX 3 0,
43(协方差与相关系数)
P{Y = aX + b} = 1．
定义 若XY = 0，称X与Y不相关．0 < XY 1，称X与Y正相关， – 1 XY < 0，称X与Y负相关．
事实上,相关系数XY是X与Y线性关系强弱的一个度量,X 与Y的线性关系程度随着|XY|的减小而减弱,
当|XY| = 1时X与Y的线性关系最强， 当XY = 0时，意味X与Y的不存在线性关系，即X与Y不相关.
4.3 协方差与相关系数
对于二维随机变量(X，Y)，除了讨论X与Y的数 学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关 系的数字特征：协方差和相关系数．
4.3.1 协方差
由方差的性质(3)知,若随机变量X与Y相互独立, 则D(X + Y) = D(X) + D(Y),也就是说,当随机变量X与 Y相互独立时,有E{[X – E(X)][Y – E(Y)]}= 0成立,这 意味着当E{[X – E(X)][Y – E(Y)]}0时,X与Y不相互 独立,由此可见这个量的重要性．
3 ydydx 9 / 20,
0 x2
1
E( XY )
x
3xydydx 1/ 4,
E(X 2) 1
x 3x2dydx 9 / 35,
0 x2
0 x2
E(Y 2 ) 1 x 3 y2dydx 9 / 35, 0 x2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 9 / 35 (9 / 20)2 153 / 2800,
4.3.1 协方差
定义4.4 设有二维随机变量(X，Y)，如果E{[X – E(X)][Y – E(Y)]}存在，则称其为随机变量X与Y的 协方差．记为Cov(X，Y)，即
随机变量的协方差及相关系数
§1.1 随机变量的协方差及相关系数例1.1《熟悉原理》设(X,Y)在xoy 平面上由圆周122=+y x所围成的区域D 内服从均匀分布，试证明：X 与Y 不相关也不相互独立。
21x --21x -证明：因为(X,Y)的联合分布密度⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0),(,),(1other D y x if y x p π所以，E(X),0),(1121211===⎰⎰⎰⎰----xoyxx xdydx dxdy y x xp πE(Y),0),(1121211===⎰⎰⎰⎰----xoyxxydydx dxdy y x yp πE(XY),0),(1121211===⎰⎰⎰⎰----xoyxxxydydx dxdy y x xyp πcov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)=0,ρ(X,Y)=0, X 与Y 不相关。
又因为11<<-x 时，⎰⎰∞+∞-----===2211221,1),()(x x x dy dy y x p x p X ππ11<<-y 时，⎰⎰∞+∞-----===2211221,1),()(y y y dx dx y x p y p Y ππ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=,,011,1)(22other x if x x p X π ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=,,011,1)(22o t h e r y if y x p Y π又由于,)0,0(,)0()0(12ππ===p p p YX),0()0()0,0(YX p p p =≠所以X 与Y 不相互独立。
例1.2《熟悉方法》设X 与Y 的相关系数为ρ，试求X*=a +b X 与Y*=c +d Y的相关系数，其中a 、b 、c 、d 均为常数，且b 、d 不为零。
证明：cov(X*,Y*)= E[a +b X-E(a+b X)][c+d Y -E(c +d Y)]= E[b X-b EX][ d Y -d EY] = E[b (X-EX)d (Y -EY)] = bd E[(X-EX)(Y -EY)]=bd cov(X, Y)。
概率论--方差、协方差和相关系数
2021/5/23
26
一般地， ||1
若 | | 1 ,称 与 完 全 线 性 相 关 。 若 0 ,称 与 不 相 关 。 若 0 | | 1 ,表 明 与 近 似 有 线 性 关 系 。 0 时 ,称 与 正 相 关 ， 0 时 ,称 与 负 相 关 。 当 与 独 立 时 ， 由 于 - E 与 - E 独 立 。
平均抗拉强度都是126
若最低抗拉强度要求为110，
第二批质量较差。
在平均值或期望值相同的情况下，
随机变量的离散程度也是分布的一个特征。
一 般 考 虑 随 机 变 量 对 E 的 偏 离 程 度 。
2021/5/23
4
由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十 分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?
求D() 解 法 一 ： 1 0 1
P 0.180.540.28
E ( ) ( 1 ) 0 . 1 8 0 0 . 5 4 1 0 . 2 8 0 . 1 E ( ) 2 ( 1 ) 2 0 . 1 8 0 2 0 . 5 4 1 2 0 . 2 8 0 . 4 6
2021/5/23
28
部分资料从网络收集整 理而来，供大家参考，
感谢您的关注！
2 8.5 8.8 9 9.2 9.5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 两者的平均长度是相同的，均为9 第二批零件更好。 因为它的误差相对较小。
2021/5/23
2
例2，某零件的真实长度为a，现用甲、
乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐
标上的点表示如图：
• • • •• a•• • • •
协方差和相关系数
2021/5/23
4.3协方差 相关系数
ξ
-1 0 1
η
－1 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 3/8
0 1/8 1/8 0 1/8 1/8 2/8
1 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 3/8
pi•
3/8 2/8 3/8
p• j
信息系刘康泽
ξ 服从 − 1 , 1 内的均匀分布 而 η = cos ξ 例6、 设 、 内的均匀分布,而 2 2 不难求得： 不难求得：cov(ξ ,η ) = 0
信息系刘康泽 二、相关系数
1、定义： 、定义： 设 (ξ ,η ) 存在有 cov(ξ ,η ) ，且 Dξ > 0 , Dη > 0 ,
cov(ξ ,η ) 的相关系数, 称 为 ξ 与 η 的相关系数,记作 ρξη . Dξ Dη cov(ξ ,η ) ρξη = 即 . Dξ Dη
.
事实上， 事实上，相关系数实质上是
信息系刘康泽
【定义 不相关。 2、 定义】若 ρξη = 0 ，则称 ξ 与 η 不相关。 【定义】
3、 性质】 【性质】
(1) | ρξη | „ 1 .
由方差的性质和协方差的定义知, 证: 由方差的性质和协方差的定义知 对任意实数b，有：
D(η − bξ ) = Dη + b Dξ − 2bCov(ξ ,η )
(4) cov(ξ ,η ) = E (ξη ) − Eξ ⋅ Eη .
协方差的一个 简洁计算公式
(5) D (ξ ± η ) = Dξ + Dη ± 2 cov(ξ ,η ) .
即： D (ξ ± η ) = Dξ + Dη ± 2 E (ξ − Eξ )(η − Eη )
4.3 协方差与相关系数
同样，得 E(Y)＝0，
所以，Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X) E(Y)＝0 .
此外，Var(X) > 0，Var(Y) > 0 .所以，XY ＝0，即 X 与 Y 不相关．
但是，在例 3.13 已计算过: X 与 Y 不独立．
4.3.2 相关系数
相关系数的性质：
性质 1 | | 1 ;
c11
c21
c12 c22
，
称此矩阵为二维随机变量(X1，X2)的协方差矩阵，简称协方差阵．
4.3.3 矩与协方差矩阵
n 维随机向量 (X1，X2，…，Xn) 的协方差阵：若随机向量 的所有的二阶中心矩
cij E{[ Xi E( Xi )][ X j E( X j )]}, i, j 1, 2, , n
4.3.3 矩与协方差矩阵
例 4.16 设随机变量 X 和Y 相互独立，且 X ~ N (1，2)，Y ~ N (0， 1)．求 Z 2X Y 3 的概率密度．
解 : 由 X ~ N (1，2)，Y ~ N (0，1)，且 X 与 Y 相互独立，知 Z 2X Y 3服从正态分布，且
性质 2 X 和 Y 独立时，ρ ＝0，但其逆不真； 性质 3 |ρ|＝1 充分必要条件是存在常数 a，b(b≠0)，使 P{ Y＝ a+bX }＝1 ，即 X 和 Y 以概率 1 线性相关．
若 X 与 Y 独立，则 X 与 Y 不相关；但由 X 与 Y 不相关，
不一定能推出 X 与 Y 独立． 若(X，Y )服从二维正态分布，则 X 与 Y 独立的充分必
n
n
Var( Xi ) Var(Xi ) .
i1
i1
4.3.2 相关系数
第4节 协方差与相关系数
{ } = D( X ) + D(Y ) + 2E ⎡⎣ X − E ( X )⎤⎦ ⎡⎣Y − E (Y )⎤⎦
由X ,Y相互独立知, X − E ( X ) 与 Y − E (Y ) 也相互独
令
⎧⎪ ⎨
∂e ∂a
=
2a
+
2bE
(
X
)
−
2E
(Y
)
=
0
⎪⎩∂e = 2bE ( X 2 ) − 2E ( XY ) + 2aE ( X ) = 0
∂b
(1)×E( X )−(2)
⇒
⎧ Cov ( X ,Y ) ⎪⎨b0 = D( X )
⎪ ⎩a0
=
E
(Y
)
−
E
(
X
)
Cov ( X ,Y D( X )
例 已知分布律：
Y X -2
-1 1
10
¼
¼
4¼
0
0
P{X=i} ¼ ¼
¼
2 P{Y=j} 0 1/2
¼ 1/2 ¼1
E( X ) = 0, E(Y ) = 5 2 , E( XY ) = 0, ⇒ ρ XY = 0
可知X与Y不相关，这表示X与Y之间不存在线性关系.
P{X= -2，Y=1}=0 ≠ P{X= -2} P{Y=1}=1/8 可知X与Y不相互独立.
D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov ( X ,Y ) = 5
协方差与相关系数
3 E ( X ) x 3 xdydx 3x xdx . 0 0 0 4 1 x 1 x2 3 E (Y ) y 3xdydx 3x dx . 0 0 0 2 8
Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
1
1 x
0 0
xy 3xdxdy
2 3 x 2 3x dx 0 10 2
2019/4/14
11
二维随机变量的协方差 例3 设( X ,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为
试求( X ,Y)的协方差。
1 x
3x,0 y x 1, f ( x, y ) 0, 其它.
2019/4/14
17
协方差的定义 设 n 维随机变量( X1 , X 2 ,..., X n )的二阶混合中心矩
cij Cov( X i , Yj ) E{[ X i E( X i )][ X j E( X j )]}
c11 c 21 都存在，则称矩阵 C ... c1n c12 c22 ... c2 n ... c1n ... c2 n ... ... ... cnn
2019/4/14
7
二维随机变量的协方差 例2 设( X ,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为 3 2 xy , 0 x 1, 0 y 2, f ( x, y ) 4 0, 其它. 试求( X ,Y)的协方差。 1 2 2 3 2 1 1 2 3 2 E ( X ) x xy dydx 3x dx 3 y dy . 0 0 0 4 12 0 4 1 2 2 3 2 3 1 3 3 E (Y ) y xy dydx 2 xdx 4 y dy . 0 0 0 0 4 32 2
协方差和相关系数的计算
协方差和有关系数旳定义 定义 称 E( X E( X ))(Y E(Y )) 为X，Y旳
协方差．记为 cov(X ,Y ) E(X E(X ))(Y E(Y ))．
称 D( X ) cov(X ,Y ) cov(X ,Y ) D(Y )
为(X，Y)旳协方差矩阵．
能够证明协方差矩阵为半正定矩阵．
XY
1, 2
cov(X ,Y ) 2
cov(X , Z ) cov(X , X ) cov(X ,Y ) 6
D(Z) D(X Y ) D( X ) D(Y ) 2 cov(X ,Y ) 12
XZ
6 2 12
3 2
§3.3.2 协方差矩阵
定义 设X1，…，Xn为n个r.v.，记bij=cov(Xi，Xj) ，i，j=1，2，…，n．则称由bij构成旳矩阵为随机变 量X1，…，Xn旳协方差矩阵B．即
若 XY 0, 称 X，Y 不有关．
无量纲 旳量
协方差和有关系数旳计算
—— 利用函数旳期望或方差计算协方差
cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
1 D( X Y ) D( X ) D(Y )
2
若(X，Y)为离散型，
cov(X ,Y ) (xi E( X ))( y j E(Y ))pij
解 cov(U ,V ) E(UV ) E(U )E(V ) a2E( X 2 ) b2E(Y 2 )
aE( X ) bE(Y )aE( X ) bE(Y )
由 E( X ) E(Y ) 0,
E(X 2) 2
D( X ) D(Y ) 2
E(Y 2 ) 2
cov(U ,V ) (a2 b2 ) 2
而 D(U ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
协方差与相关系数
协方差与相关系数
一、首先要明白这2个的定义
1、相关系数是协方差与两个投资方案投资收益标准差之积的比值，
其计算公式为：
相关系数总是在-1到+1之间的范围内变动，-1代表完全负相关，+1代表完全正相关，0则表示不相关。
2、协方差就是一个用作测量投资女团中某一具体内容投资项目相对于另一投资项目
风险的统计数据指标。
其计算公式为：
当协方差为正值时，表示两种资产的收益率呈同方向变动；协方差为负值时，表示两
种资产的收益率呈反方向变动。
二、必须分清两者的关系
1、相关系数与协方差一定是在投资组合中出现的，只有组合才有相关系数和协方差。
单个资产是没有相关系数和协方差之说的。
2、相关系数和协方差的变动方向就是一致的，相关系数的正数的，协方差一定就是
正数的。
3、（1）协方差表示两种证劵之间共同变动的程度：相关系数是变量之间相关程度的
指标根据协方差的公式可知，协方差与相关系数的正负号相同，但是协方差是相关系数和
两证券的标准差的乘积，所以协方差表示两种证劵之间共同变动的程度。
（2）相关系数就是变量之间有关程度的指标，相关系数在0至1之间，则表示两种
报酬率的快速增长就是同向的；相关系数在0至-1之间，则表示两种报酬率的快速增长就是逆向的，所以说道相关系数就是变量之间有关程度的指标。
总体来说，两项资产收益率的协方差，反映的是收益率之间共同变动的程度；而相关
系数反映的是两项资产的收益率之间相对运动的状态。
两项资产收益率的协方差等于两项
资产的相关系数乘以各自的标准差。
协方差和相关系数
ρ XY
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
称为随机变量 X 与 Y 的相关系数 .
3. 协方差的计算公式
(1) Cov( X ,Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ); ( 2) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 Cov( X ,Y ).
协方差
2. 定义
( X , Y )是二维随机变量 ,量 E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} 称为随机变量X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X , Y ), 或 XY ,即 C ov( X , Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}.
而
1
解：E ( X )
x dx dy 0 2 1 － 1-x ＋ 同理 E (Y ) ypY ( y )dy － yp ( x, y )dxdy 0
1-x 2
xp X ( x) dx
＋
－
xp( x, y )dydx
2 2 σ1
, x ,
( y μ2 ) 2
2 2σ 2
2 σ 2
, y .
2 2 E ( X ) μ1 , E (Y ) μ2 , D( X ) σ1 , D(Y ) σ 2 .
而 Cov( X , Y ) ( x μ1 )( y μ2 ) p( x , y ) d x d y
证明 (1 ) Cov( X , Y ) E {[ X E ( X )][ Y E (Y )]}
E[ XY YE ( X ) XE (Y ) E ( X ) E (Y )]
4.3协方差及相关系数v5
y
1 2πσ1σ2 1 ρ2
(x
μ1 )(
y
μ2
)
e e dydx.
(
x μ1 2σ12
)2
1 2(1 ρ2
)
y μ2 σ2
ρ
x μ1 σ1
2
令t
1 1
ρ2
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
, u
x
μ1 , σ1
则有
Cov(X ,Y )
1
2π
(σ1σ2
1
ρ2 tu
ρσ1σ2u2 )e
u2 2
t2 2
dtdu
ρσ1σ2 2π
u2
u2e 2
d
u
t2
e2
d
t
σ1σ2
1 2π
ρ2
ue
u2 2
d u
te
t2 2
dt
ρσ1σ2 2 2 , 2
即有 于是
Cov( X ,Y ) ρσ1σ2 .
XY
Cov( X ,Y ) .
D( X ) D(Y )
结论
(1) 二维正态分布密度函数中, 参数 ρ 代表
fX (x)
1
( x μ1 )2
e 2σ12 , x ,
2πσ1
fY ( y)
1
e ,
(
y μ2
2
σ
2 2
)2
2πσ2
y .
故知E(X )
μ1 ,
E(Y
)
μ2 , D( X )
σ12 , D(Y
)
σ
2 2
.
而 Cov(X ,Y )
随机变量的协方差和相关系数.
独立与不相关的关系：
若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关，
但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.
但可以证明对下述情形，独立与不相关等价
若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立
X与Y不相关
X 与 Y 的相关系数 XY
1 147 . 46 147
Cov ( X ,Y ) 15 . D( X ) D(Y ) 69
例1 设X~N(0,1), Y=X2, 求X和Y的相关系数。
4. 若 XY 0 ，则称X和Y（线性）不相关。
定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存 在，且均不为零，则下列四个命题等价： （1） XY 0 ； （2）cov(X ,Y) = 0；
（3）E(XY)=EXEY；
（4）D(X ±Y)=DX+DY。
2 2 2 2 2
cov(Z1 , Z 2 ) cov(X Y , X Y )
cov( X , X )
2 2
2 2 D ( X ) D(Y ) cov(Y , Y )
( )
2 2
2
Z Z
1 2
cov( Z1 , Z 2 ) 2 2 D( Z1 ) D( Z 2 )
第三节
随机变量的协方差和相关系数
协方差 相关系数 协方差矩阵
相关系数矩阵
原点矩、中心矩
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差， 对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y 的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间 关系的数字特征，这就是本讲要讨论的
第三节 协方差及相关系数
解得 这样求出的 最佳逼近为
Cov( X,Y ) b0 = D( X)
L(X)=a0+b0X
a0 = E(Y ) − b0E( X)
这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X 这一逼近的剩余是
求E( X ), E(Y),Cov( X ,Y), D( X + Y)。
2 2 设 X Y 2、 X ~ N(µ,σ ),Y ~ N(µ,σ )，且设 ， 相互独立
试 Z1 = αX + βY和 2 = αX − βY的 关 数(其 α， 求 Z 相 系 中 β 是 全 零 常 ） 不 为 的 数 。
第三节 协方差及相关系数
协方差 相关系数 课堂练习 小结 布置作业
问题的引入： 问题的引入 X与Y独立时， D(X+Y)= D(X)+D(Y) X与Y不独立时， D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} = D(X)+D(Y)+2 [E(XY) -E(X)E(Y)]
二、相关系数： 相关系数：
1、定义: 设D(X)>0, D(Y)>0, 称 、定义
ρXY
Cov( X,Y) = D( X )D(Y)
为随机变量 X 和 Y 的相关系数 . 在不致引起混淆时，记
ρXY
为
ρ.
2、计算: 设D(X)>0, D(Y)>0, 、计算
ρXY =
E( XY) − E( X )E(Y) E( X 2 ) −[E( X )]2 E(Y 2 ) −[E(Y)]2
概率论与数理统计-协方差和相关系数01
2) X与Y相互独立
X与Y不相关,只说明X与Y之间没有线性关系，但可以有 非线性关系； 而X与Y独立是指X,Y之间既无线性关系，
也无非线性关系，故“独立”必然不相关，但反之不然。 但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。 2 2 , 2 ;) 即：若二维r.v ( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 ; 1
E( X ) p E ( X ) np E( X )
D(X)=p (1-p ) D(X)=np(1-p) D(X)=
2
E( X )
E( X ) ab 2 1 E( X )
D(X)=
(b a ) 2 D(X)= 12
D( X )
1
(5) 切比雪夫不等式 =
∴ Cov(X,Y)=0-0=0 即X与Y不独立。
8
8
8
8
3、性质ⅰ) Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(对称性)
ⅱ) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y), a,b是任意常数； 数 ⅲ) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) 注： 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系， 字 但它还受X与Y本身的系数影响. 例如： 特 征 Cov(10X, 10Y)=100Cov(X,Y) 标准化的协方差称为 X，Y的相关系数 实际上，10X与10Y之间的关系和X与Y之间的关系应一致。 为了克服这一缺点，将协方差标准化，即在计算协方差时， 先对X与Y进行标准化.即:
复习：方差
数 （1）定义：D（X）= E
X E( X )
2
（2）计算：
字 特 征 方法1：由定义 方差是函数g( X ) X E ( X ) 2的期望 方法2:
协方差矩阵求相关矩阵例题
协方差矩阵求相关矩阵例题（原创实用版）目录一、协方差矩阵的概念及性质二、协方差矩阵与相关矩阵的关系三、求解相关矩阵的例题四、结论正文一、协方差矩阵的概念及性质协方差矩阵是一个 n 阶对称矩阵，用于描述多个随机变量之间的相关性。
设随机向量 X=(X1, X2,..., Xn)，其协方差矩阵记作 Cov(X)，元素 Cov(Xi, Xj) 表示随机变量 Xi 和 Xj 的协方差。
协方差矩阵具有以下性质：1.协方差矩阵是对称矩阵，即 Cov(Xi, Xj) = Cov(Xj, Xi)。
2.协方差矩阵的主对角线元素都是方差，即 Cov(Xi, Xi) = Var(Xi)。
3.协方差矩阵的元素和为零，即ΣCov(Xi, Xj) = 0。
二、协方差矩阵与相关矩阵的关系相关矩阵是用于描述多个变量之间线性相关性的矩阵，其元素是相关系数。
相关矩阵 R 与协方差矩阵 Cov(X) 的关系为：R = Cov(X) / (σ×I)，其中σ是协方差矩阵 Cov(X) 的主对角线元素的平均值，I 是单位矩阵。
显然，相关矩阵 R 也是对称矩阵。
三、求解相关矩阵的例题假设有两个随机变量 X 和 Y，他们的期望分别为μX 和μY，方差分别为σX 和σY。
我们需要求解这两个随机变量的相关矩阵。
根据相关矩阵的计算公式，有：R = Cov(X, Y) / (σX ×σY)由于 Cov(X, Y) = E[(X - μX) * (Y - μY)]，我们可以根据期望的线性性质计算出 Cov(X, Y) 的值：Cov(X, Y) = E[X * Y] - μX * μY假设 X 和 Y 都服从正态分布，我们可以根据正态分布的性质计算出E[X * Y] 和 E[X] * E[Y] 的值：E[X * Y] = σX * σYE[X] * E[Y] = μX * μY将上述结果代入 Cov(X, Y) 的计算公式，可以得到：Cov(X, Y) = σX * σY - μX * μY最后，将 Cov(X, Y) 的值代入相关矩阵的计算公式，可以得到：R = Cov(X, Y) / (σX ×σY) = (σX * σY - μX * μY) / (σX ×σY)四、结论通过以上例题，我们可以看到协方差矩阵和相关矩阵在计算过程中具有密切的关系。
协方差矩阵求相关矩阵例题
协方差矩阵求相关矩阵例题【最新版】目录一、协方差矩阵的概念及性质二、协方差矩阵的计算方法三、相关矩阵的概念及性质四、相关矩阵的计算方法五、协方差矩阵与相关矩阵的关系六、例题：求相关矩阵正文一、协方差矩阵的概念及性质协方差矩阵是一个 n 阶对称矩阵，用于描述多个随机变量之间的相关性。
设随机向量 X = (X1, X2,..., Xn)，其协方差矩阵定义为：Cov(X) = E[(X - μ)(X - μ)^T] / n其中，E[·] 表示期望，μ为 X 的均值向量，n 为随机变量个数。
协方差矩阵的元素 cov(i, j) 表示随机变量 Xi 与 Xj 的协方差，具有以下性质：1.协方差矩阵是对称的，即 cov(i, j) = cov(j, i)。
2.协方差矩阵的主对角线元素都是方差，即 cov(i, i) = Var(Xi)。
3.协方差矩阵的元素范围在 [-1, 1] 之间，若 cov(i, j) = 1，表示 Xi 与 Xj 完全正相关；若 cov(i, j) = -1，表示 Xi 与 Xj 完全负相关；若 cov(i, j) = 0，表示 Xi 与 Xj 不相关。
二、协方差矩阵的计算方法计算协方差矩阵的方法有多种，其中一种常见的方法是根据样本数据计算。
假设有 n 个样本数据 X1, X2,..., Xn，对应的协方差矩阵元素cov(i, j) 可以计算为：cov(i, j) = (1/n) * ∑(Xi - X 均值)(Xj - X 均值)其中，X 均值为 (X1 + X2 +...+ Xn) / n。
三、相关矩阵的概念及性质相关矩阵是用于描述多个变量之间相关性的矩阵，其元素是各变量之间的相关系数。
设随机向量 X = (X1, X2,..., Xn)，相关矩阵 R 定义为：R = Corr(X) = E[(X - μ)(X - μ)^T] / (n - 1)其中，E[·] 表示期望，μ为 X 的均值向量，n 为随机变量个数。