初等变换与等价矩阵

第六讲初等变换与初等矩阵

一、考试内容与考试要求

考试内容

矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价．

考试要求

（1）掌握矩阵的初等变换及用途；

（2）了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念．

二、知识要点

引入由于初等行变换具有不改变线性方程组的解、初等变换不改变矩阵秩等特点，初等变换在线性代数课程的学习中占有重要的作用，它的应用贯穿了全课程的内容，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练．本讲通过对初等变换这个知识点的用途进行总结，学习相关内容．

1．初等变换与初等矩阵

线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组．线性方程组的同解变换有三种：①交换两个方程的上下位置．②用一个非0的常数乘某个方程．③把某个方程的倍数加到另一个方程上．

以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换．

（1）初等变换

矩阵有以下三种初等行变换：

①交换两行的位置；

②用一个非0的常数乘某一行的各元素；

③把某一行的倍数加到另一行上．(称这类变换为倍加变换) ．

类似地，矩阵还有相应的三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换．每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵（行最简形）．

一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是惟一的，但是其非零行数和台角位置是确定的．一个矩阵用初等行变换化得的行最简形是惟一的．行最简形矩阵应用最多，它的特点是：非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0．

注：表示初等变换：r

：表示初等行变换；

c

：表示初等列变换；

i j

r r

↔

：将第i行

与第j行进行对换，

j i

r kr

+

将第i行各个元素的k倍加到第j行相应元素上；等等．

（2）矩阵的等价

矩阵之间的关系有三种情形：等价、相似与合同．其中相似与合同分别在第十四讲和第

十五讲中学习，这里首先学习矩阵的等价．

定义：矩阵A 经有限次初等变换得矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ．

A B 的充分必要条件是下列任一条件：

① 存在可逆矩阵P Q 和，PAQ B =使； ② A 与B 有相同的秩．其中A 、B 为同型矩阵； ③ A 与B 有相同的等价标准形； ④ 存在初等矩阵1112,

,,,,,,s s t P P P Q Q Q -，1112s s t P P P AQ Q Q B -=使；

矩阵A 经有限次初等行变换得矩阵B ，则称矩阵A 与B 行等价，记为r

A B ； 矩阵A 经有限次初等列变换得矩阵B ，则称矩阵A 与B 列等价，记为c

A B ． 等价的性质 ① 反身性：A A ② 对称性：若A B ，则B

A

③ 传递性：若A

B ，B

C ，则A C

由上面可得矩阵A 可逆的充分必要条件 ① A

E ；

② 是它可表示成有限个初等矩阵的乘积； ③ 存在可逆矩阵,P Q ，PAQ E =使. （3） 初等矩阵

对单位矩阵实施一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．初等矩阵有三种：

① 交换E 的,i j 行（或列）得到的初等矩阵，记为(,)E i j 或ij E ；

② E 的i 行（或列）乘以不为零的数k 得到的初等矩阵，记为(())E i k 或()i E k ； ③ E 的第i 行（或列）乘以数k 加到第j 行（或列）上得到的初等矩阵，记为

(,())E i j i k +或()ij E k ．

（4） 初等矩阵的性质 利用行列式的性质，很明显有

① 1ij E =- ② ()i E k k =（0k ≠） ③ ()1ij E k = 由于初等矩阵的行列式不为零，故初等矩阵是可逆的，其逆为： ④ 1

ij

ij E E -= ⑤ 111

()()i i E k E k

--=（0k ≠） ⑥ 1()()ij ij E k E k -=-

证明 ⑥

()()ij ij E k E k ⋅-=111

1k

⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪⋅

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭111

1i k

j ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

行行 =11()

1

1i k k j ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

行行=E ⑦ T ij ij E E = ⑧ ()()T i i E k E k =（0k ≠） ⑨ ()()T

ij ji E k E k =

⑩ *ij ij E E =- ② *

1()()i i E k k E k

=⋅（0k ≠） ③ *()()ij ij E k E k =-

证明 ⑩*1

ij ij ij

ij E E E E -==-，其它类似可证明．

这些公式在解题时可直接用结论，不用计算．这样可简化运算，如利用1

ij ij E E -=有：

1

100100001001010010-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

每一种初等变换都对应一种初等矩阵．对A 进行一次初等变换行（列）变换，相当于

左（右）乘一个同类型的初等矩阵．

2．初等变换的用途

以初等变换的用途为例探讨这种角度的学习．这里总结了初等变换这个知识点的九种用途．

（1）求解线性方程组Ax b =或Ax o =的解，即： (,)

r

A b 行最简形

（2）求矩阵的逆，即：

1

(,)(,)r

A E E A - 或 1c E A E A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭