偏微分方程简介

偏微分方程简介
PB06001109,李玉胜1、偏微分方程的起源
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。

结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了新的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。

在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。

比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。

这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。

应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。

而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。

介质的温度也是这样。

这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。

欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。

这些著作当时没有引起多大注意。

1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。

这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。

拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。

这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。

在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。

他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的，所以有人说：偏微分
方程发展的序幕是由傅里叶拉开的！
十九世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G .. Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家。

位势方程也称拉普拉斯方程：
2222220u u u u x y z
∂∂∂∆=++=∂∂∂ 拉普拉斯曾采用球面调和函数法解这个方程，不过他得到一个错误的结论，认为这个方程当被吸引的点(x,y,z)位于物体内部时也成立。

这个错误由泊松加以更正。

泊松指出，如果点(x,y,z)在吸引体内部，则满足方程πρ4V -=∆，其中ρ是吸引体密度，它也是x,y,z 的一个函数。

拉普拉斯和泊松的方法都只适用于特殊的几何体，格林则认识到函数V 的重要性，并赋予它“位势”(potential)的名称，与前人不同的是，格林发展了函数V 的一般理论。

他求解位势方程的方法与用特殊函数的级数方法相反，称为奇异点方法。

他在1828年私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中，建立了许多推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中以格林公式
()()v u u v v u dx u v d n n σ∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰
和作为一种带奇异性的特殊位势的格林函数概念影响最为深远。

至于十九世纪偏微分方程在物理中的应用使得其得到了更深刻的发展，期中最重要的一个应用是麦克斯韦1864年导出的电磁场方程
,)(1rot t
E c H ∂∂=ε ,)(1rot t
H c E ∂∂-=μ ,)(ρε=E div
0)
(=H div μ 是十九世纪数学物理最壮观的胜利！这也使得偏微分方程在十九世纪成为了数学物理方程有相同含义的名词！
进入二十世纪之后，随着泛函分析等学科的发展，以及计算机的产生，对偏微分方程的进展产生了深远的影响，如常义函数推广到广义函数，在广义空间中对偏微分方程的解的推广等！随着计算机的发展，随即产生了偏微分方程的数值解法（numerical method ）——有限差分方法（finite difference method ）等。

同时随着软件的发展，在一些大型的数学软件中，如Matlab ，Mathematica 等中加入了偏微分方程解得工具箱，使得偏微分方程解可视化！
总之，纵观偏微分方程的发展历程，我们坚信它将在更多的学科中起到很大的作用，并且随着科技的进步它的内容也将得到应有的补充！
2、偏微分方程的内容
偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。

弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。

然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。

弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。

演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。

当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。

用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。

偏微分方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。

上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。

偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。

因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。

拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。

原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。

天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。

在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。

就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。

边界条件也叫做边值问题。

当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。

在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。

偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。

方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。

求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。

但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。

对不同的方程我们可以结合其他数学学科的知识采取不同的解法。

例如，对于波动方程（一类特殊的双曲型方程），我们可以采取“特征线法”，“分离变量法”，“特征函数展开法”等，对于高维波动方程的初值问题我们可以采取“球面平均法”等；对于热传导方程（一类特殊的抛物型方程），我们可以采取“傅里叶变换”的方式；对于位势方程（一类特殊的椭圆型方程），我们可以借助“基本解”，“Green函数”等方式对其解决。

同样至于微分方程的适定性问题，我们可以采取“能量法”，“变分法”，以及“极值原理”加以证明！
应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。

常用的方法有变分法和有限差分法。

变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。

虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

小总结：随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。

从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。

从这个角度说，偏微分方程的发展和应用将变得更加重要！。