北京四中数学期中考试试卷
2023-2024学年北京四中高二(上)期中数学试题和答案
2023北京四中高二（上）期中数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（ ）A．B．C．D．﹣12．已知点A（﹣2，3，0），B（1，3，2），，则点P的坐标为（ ）A．（4，3，4）B．（﹣4，﹣1，﹣4）C．（﹣1，6，2）D．（﹣5，3，﹣2）3．已知直线方程kx﹣y﹣2k＝0，则可知直线恒过定点的坐标是（ ）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）4．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是1，O为A1C1中点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，，则（ ）A．x＝1，y＝1B．x＝1，C．，D．，y＝15．“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y＝1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（ ）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝5B．C．（x﹣3）2+（y﹣8）2＝50D．（x﹣3）2+y2＝28．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD中心，A1P＝λA1B1（λ∈[0，1]），直线OP与平面ABC所成角为θ，则θ取最大时λ的值为（ ）A．B．C．D．9．A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，若沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A、B两点间的距离是（ ）A．6B．C．D．10．点M（x0，y0）到两条直线：x+3y﹣2＝0，x+3y+6＝0距离相等，y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若向量与向量共线，则x的值为 ．12．（5分）直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0之间的距离是 ．13．（5分）以A（2，3），B（4，9）为直径的两个端点的圆的方程是 ．14．（5分）在空间四边形ABCD中，＝ ．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC 上滑动，点E在棱BB1上滑动，给出下列四个结论：①三棱锥C1﹣A1DE的体积不变；②A1D+DB的最小值为；③点D到直线C1E的距离的最小值为；④使得A1D⊥C1E成立的点D、E不存在．其中所有正确的结论为 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（13分）已知点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）．（1）求△ABC的面积；（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，求直线l的方程．17．（13分）如图，在△ABC中，，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）平面A1OB⊥平面BCED；（2）若F为A1C的中点，求点F到面A1OB的距离．18．（14分）已知直线l过点P（2，3），圆C：x2+4x+y2﹣12＝0．（1）求与圆C相切的直线l的方程；（2）当直线l是圆C的一条对称轴，交圆C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于D，E两点，求|DE|．19．（15分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，|CD|＝|DA|＝|AF|＝|FE|＝2，|AB|＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求二面角C﹣BF﹣A的余弦值；（3）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．20．（15分）已知圆和圆（r＞0）．（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．21．（15分）对于n维向量A＝（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i＝0或a i＝1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）＝．（Ⅰ）若A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1＝（1，1，1，1，1）且满足：d（A i，A i+1）＝2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若且满足：d（A i，A i+1）＝m，m∈N*，i＝1，2，3，…，若存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【答案】D【分析】利用斜率公式求解．【解答】解：因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为．故选：D．2．【答案】A【分析】设P（x，y，z），表示出、，即可得到方程组，解得即可．【解答】解：设P（x，y，z），因为A（﹣2，3，0），B（1，3，2），所以，，因为，所以（x+2，y﹣3，z）＝2（3，0，2），所以，解得，即P（4，3，4）．故选：A．3．【答案】B【分析】依题意可得（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得即可．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k＝0，即（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得，所以直线kx﹣y﹣2k＝0恒过点（2，0）．故选：B．4．【答案】C【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．【解答】解：依题意＝＝，又，所以，．故选：C．5．【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可．【解答】解：当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a+a（a+2）＝0，得a2+3a＝0，解得a＝0或a＝﹣3，所以当a＝﹣3时，直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直，而当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a＝0或a＝﹣3，所以“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．6．【答案】C【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的范围，设直线l倾斜角为θ，则a＝tanθ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a＝tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．7．【答案】D【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得k BC＝﹣1，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在AB的垂直平分线x＝3上，由此可求得a，b的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解．【解答】解：设圆心C（a，b），因为直线x﹣y＝1与圆C相切于点B（2，1），所以，即a+b﹣3＝0，因为AB中垂线为x＝3，则圆心C满足直线x＝3，即a＝3，∴b＝0，所以半径，所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝2．故选：D．8．【答案】A【分析】在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，即可得到∠POP1即为线OP与平面ABC所成角，且，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，从而求出（tanθ）max，即可得解．【解答】解：在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，由正方体的性质可知PP1⊥平面ABCD，则∠POP1即为直线OP与平面ABC所成角，则，设正方体ABCD﹣A 1B1C1D1的棱长为2，则，所以当OP1＝1时（tanθ）max＝1，此时θ取最大值，P1为AB的中点，又A1P＝λA1B1，所以当时θ取最大值．故选：A．9．【答案】C【分析】求出沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影C的坐标，作BD ⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），然后利用空间向量表示，利用向量的模的性质进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，∴y1＝﹣，y2＝2，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影为C（1，0），作BD⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），∴＝++，∴＝+++2•+2•+2•＝3+9+12﹣2××2×＝18，∴||＝3．故选：C．10．【答案】B【分析】利用点到直线的距离公式得到x0+3y0+2＝0，结合y0＜x0+2求出x0，再由x0≠0及计算可得．【解答】解：依题意，所以x0+3y0+2＝0，即，又y0＜x0+2，所以，解得x0＞﹣2，显然x0≠0，所以，当﹣2＜x0＜0时，所以，当x0＞0时，所以．综上可得．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．【答案】3．【分析】利用向量共线定理求解．【解答】解：因为向量与向量共线，所以，解得x＝3．故答案为：3．12．【答案】．【分析】由平行线间的距离公式可求得结果．【解答】解：易知直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0平行，这两条直线间的距离为．故答案为：．13．【答案】（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可．【解答】解：易知该圆圆心为A（2，3），B（4，9）的中点C（3，6），半径，所以该圆方程为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．14．【答案】见试题解答内容【分析】如图：设；由向量的加、减运算知：，，代入上式即得结论．【解答】解：如图，设＝，＝，＝，则，＝，＝，＝．所以，＝＝0故答案是：015．【答案】①②③．【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC 于点D，此时A1D+DB取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得③，利用，即可判断④．【解答】解：∵BB1⊥平面ABC，对于①：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又CC1⋂AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又点D在棱AC上滑动，∴，∴，∴三棱锥C1﹣A1DE的体积不变，故①正确；对于②：如图将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC于点D，此时A1D+DB取得最小值，∵A1C1＝CC1＝2，BC＝1，∴A1B＝＝，∴A1D+DB的最小值为，故②正确；对于③：如图建立空间直角坐标系，设D（a，0，0），a∈[0，2]，E（0，1，c），c∈[0，2]，C1（0，0，2），∴，，则点D到直线C1E的距离d＝＝＝，当c＝2时，，当0≤c＜2时，0＜（c﹣2）2≤4，∴，∴，∴，∴∈（0，]，∴当取最大值，且a2＝0时，，即当D在C点E在B点时，点D到直线C1E的距离的最小值为，故③正确；对于④：A1（2，0，2），，，∴，∵c∈[0，2]，∴当c＝2时，，∴，即A1D⊥C1E，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．【答案】（1）；（2）3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．【分析】（1）求出三角形的三边长，并求其中一个角的余弦值，代入公式即可求得面积．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，代入求解即可．【解答】解：（1）由点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）可得，，，，在△ABC中，，所以，△ABC的面积为．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，当过点C的直线l与平行时，，则直线方程为3x+4y﹣26＝0；当过点C的直线l过AB的中点，AB的中点坐标，，所以直线方程为，即3x+14y﹣46＝0．所以直线方程为3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．17．【答案】（1）证明过程请见解答；（2）．【分析】（1）由A1O⊥DE，平面A1DE⊥平面BCED，可知A1O⊥平面BCED，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）作DP⊥BC于P，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离，即可得解．【解答】（1）证明：由题意知，A1D＝A1E，因为点O是DE的中点，所以A1O⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED，又A1O⊂平面A1OB，所以平面A1OB⊥平面BCED．（2）解：作DP⊥BC于P，则BP＝1，因为DE∥BC，所以DP⊥DE，以D为坐标原点，DP，DE所在直线分别为x，y轴，作Dz⊥平面BCED，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，2），O（0，1，0），B（2，﹣1，0），C（2，3，0），因为F为A1C的中点，所以F（1，2，1），所以＝（0，0，2），＝（2，﹣2，0），＝（1，1，1），设面A1OB的法向量为＝（x，y，z），则，即，取x＝1，则y＝1，z＝0，所以＝（1，1，0），故点F到面A1OB的距离为＝＝．18．【答案】（1）x＝2或7x+24y﹣86＝0；（2）10．【分析】（1）将圆的方程化为标准式，再分斜率存在与不存在两种情况讨论；（2）依题意直线l过圆心C，即可求出直线l的方程，即可得到，利用锐角三角函数求出|AD|，从而求出|CD|，从而得解．【解答】解：（1）圆C：x2+4x+y2﹣12＝0，即（x+2）2+y2＝16，所以圆心C（﹣2，0），半径r＝4，当斜率不存在时直线的方程为x＝2，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3＝0，则，解得，所以切线方程为7x+24y﹣86＝0，综上可得切线方程为x＝2或7x+24y﹣86＝0．（2）因为直线l是圆C的一条对称轴，所以直线l过圆心C，则直线l的方程，即3x﹣4y+6＝0，则，又，即，所以|AD|＝3，则，同理可得|CE|＝5，所以|DE|＝10．19．【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．【分析】（1）先证明四边形CDFE为平行四边形，从而得到DF∥CE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，证明AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）利用待定系数法求出平面ACE的法向量，利用向量垂直的坐标表示，证明平面ACE与平面BCF不可能垂直，即可得到答案．【解答】（1）证明：因为CD∥EF，且CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE，因为DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以DF∥平面BCE；（2）解：在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，所以AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．由题意得，A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），E（0，3，），F（0，1，），所以＝（2，﹣2，0），＝（0，﹣3，），设平面BCF的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝1，则x＝1，z＝，所以＝（1，1，），平面ABF的一个法向量为＝（1，0，0），则cos＜，＞＝＝，所以平面CBF和平面BFA的夹角的余弦值为；（3）解：线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：设平面ACE的法向量为＝（a，b，c），所以，令b＝1，则a＝﹣1，c＝﹣，所以＝（﹣1，1，﹣），因为•＝﹣1+1﹣3≠0，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．20．【答案】（1）（﹣2，+2）；（2）k＝；（3）（，）或（，）．【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求r的取值范围；（2）联立直线与圆C1，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；（3）由两圆半径相等，两直线11和12截得圆C1和圆C2，弦长相等可得弦心距相等，得＝，转化为求方程组的解即可．【解答】解：（1）由题意得，圆C1的圆心C1（﹣3，1），r1＝2，圆C2的圆心C2（4，5），半径为r，|C1C2|＝＝，∵圆C1与圆C2相交，∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|＜＜r+2，解得：﹣2＜r＜+2，∴r∈（﹣2，+2）．（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与圆C1联立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，由Δ＞0得k2＜，x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，∵，∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝4，∴5+﹣3＝0，解得：k＝，∵k2＜，∴k＝．（3）由题意得C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣（x﹣m），即kx﹣y+n﹣kn＝0，﹣x﹣y+n+＝0，由题意可知，圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，则＝，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，则有或，故P（，）或（，）．21．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，求d（A，B）的值．（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【解答】解：（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，可得d（A，B）＝4．…（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1，A2，A3，…A n，使得A1＝（1，1，1，1，1），A m＝（0，0，0，0，0）．因为向量A1＝（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设A1的第i（i＝1，2，3，4，5）个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1）+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）＝2（n1+n2+n3+n4+n5﹣2）﹣1次，此数为奇数．又因为，说明A i中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A i+1，所以共需要改变数值2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾．所以该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．…（9分）（Ⅲ）存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，此时m＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…（13分）。
2023-2024学年北京四中高二(下)期中数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京四中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共13小题，共62分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将一枚均匀硬币抛3次，设正面朝上的硬币数为X，则()A. B. C. D.2.在的展开式中，x的系数为()A.4B.C.1D.3.从2位男生中选1人，3位女生中选2人，组成一个由其中一名女生为组长的活动筹备组，可以选择的方法种数为()A.36B.24C.18D.124.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则第一张抽到奇数且第二张抽到偶数的概率是()A. B. C. D.5.在一段时间内，甲去博物馆的概率为，乙去博物馆的概率为，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是()A. B. C. D.6.由数字0，1，2，3，4，5组成三位数允许重复，各位数字之和等于6的有()A.13个B.15个C.17个D.20个7.某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2：3，已知第一车间的一等品率为，第二车间的一等品率为今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为()A. B. C. D.8.某射手射击所得环数的分布列如下：78910P x y若，x，，y成等差数列，则()A. B. C.9 D.9.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为()A.7B.9C.11D.1310.一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.试验一：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都放回，记取到白球的个数为；实验二：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都不放回，记取到白球的个数为则下列判断正确的是()A. B. C. D.11.设等比数列的前n项和为，若，，则()A.31B.32C.63D.6412.已知1，，成等比数列，3，a，b成等差数列，则该等差数列的公差为()A.或B.或4C.D.213.某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：方案一：风险投资，有的概率获得回报400元，有的概率获得回报800元；方案二：第一天获得回报10元，以后每天获得的回报比前一天多10元；方案三：第一天获得回报元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍.若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是()A.方案一B.方案二C.方案三D.都可以二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
北京市第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
北京市第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数y x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．2x <C ．2x >D ．2x ≥2．下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 3．下列各组数中，是直角三角形三边长的一组数为（ ） A ．1，2，3B ．4，5，6C ．15，9，17D ．1.5，2.5，24．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O 点，给出四组条件：①AB DC =，AD BC ∥； ②AB CD =，AB CD ∥； ③AB CD ∥，AD BC ∥； ④OA OC =，OB OD =．能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组． A ．1B ．2C ．3D ．45．一次函数24y kx k =-+的图象可能经过的点是（ ） A ．()0,4B ．()3,4C ．()0,3D ．()2,36．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC ＝4，BC ＝2时，则阴影部分的面积为（ ）A ．4B ．4πC ．8πD ．87．若函数y kx b =-的图象如图所示，则关于x 的不等式()30k x b -+>的解集为（ ）A ．1x <B ．2x <C ．3x <D ．5x <8．已知112233()()()x y x y x y ，，，，，为直线23y x =-+上的三个点，且123x x x <<，则以下判断正确的是（ ）． A ．若120x x >，则130y y > B ．若130x x <，则120y y > C ．若230x x >，则130y y >D ．若230x x <，则120y y >二、填空题9．已知()113,P y -，()222,P y 是一次函数31y x =+图象上的两个点，则1y 2y （填“>”、“<”或“=”）．10．在平行四边形ABCD 中，30A ∠=︒，7AB =，21ABCD S 平行四边形=，则AD = ． 11．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A ，B ，C ，D 都是格点，AB 与CD 相交于点P ，则BPD ∠= ︒．12．小明做了一个矩形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准．小宁用刻度尺度量了这个四边形的四条边长和对角线长，然后告诉小明，纸板是标准的矩形．小宁得出这个结论的依据是（1） ；（2） ．13．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，那么三角形的面积为S ，S =，那么它的面积为 ．14．如图，在四边形ABCD 中，6AB =，10BC =，130A ∠=︒，100D ∠=︒，AD CD =．若点E ，F 分别是边AD ，CD 的中点，则EF 的长是 ．15．如图，矩形矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在边BC 上，AB BE =且2CBD CAE ∠=∠，连结OE ，则AOEBOE S S V V 的值是 ．16．如图，正方形ABCD 边长为1，点M ，N 分别是边AD ，CD 上的动点且AM CN =，作NP BM ⊥于点P ，则AP 的最小值是 ．三、解答题 17．计算：2-+-；(2)． 18．直线15y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，与直线224y x =-交于点C ． (1)求交点C 的坐标；(2)直接写出当x 取何值时12y y <；(3)在y 轴上取点P 使得2OP OB =，直接写出ABP V 的面积．19．一次函数y kx b =+的图象由函数y x =-的图象平移得到，且经过点()1,1． (1)求这个一次函数的表达式；(2)当1x <时，对于x 的每一个值，函数()10y mx m =-≠的值小于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．20．春季同学们到北海公园赏花游白塔（如图1），这座白塔位于北京市西城区文津街1号北海公园永安寺内，建在善因殿后的山顶．它始建于清顺治八年（1651年），由塔基、塔身和塔顶三部分组成．初二年级课外实践小组为测量永安寺白塔的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图2，84m AE =，30BDG ∠=︒，45BFG ∠=︒．已知测角仪DA 的高度为1.5m ，则永安寺白塔BC 1.7 1.4，结果保留整数）21．如图1，在ABC V 中，D ，E 分别是边,AB AC 上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： I ．若D 是AB 的中点，12DE BC =，则E 是AC 的中点； II ．若DE BC ∥，12DE BC =，则D ，E 分别是,AB AC 的中点； III ．若D 是AB 的中点，DE BC ∥，则E 是AC 的中点．(1)小明通过对命题I 的思考，发现命题I 是假命题．他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I 条件的点E ，从而直观判断E 不一定是AC 的中点．小明尺规作图的方法步骤如下：①在图2中，作边BC 的垂直平分线，交BC 于点M ；②在图2中，以点D 为圆心，以BM 的长为半径画弧与边AC 交与点E 和E '； 请你在图2中完成以上作图．(2)小明通过对命题II 和命题III 的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明．22．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB DC =，对角线AC ，BD 交于点O ，且AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)连接OE ，交CB 于点F ，若20ACB ∠=︒，则∠=CFE __________︒． 23．已知：直线334y x =+，分别交x 轴，y 轴于点A 与点B ．(1)直接写出点A 与点B 的坐标；(2)如图1，在线段OB 上有一点C ，将ABC V 沿直线AC 折叠后，点B 恰好落在x 轴上的点D 处，求点C 的坐标；(3)将直线AB 绕点B 逆时针旋转45°交x 轴于点P ，求点P 的坐标．24．倡导垃圾分类，共享绿色生活：为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A 型和B 型两款垃圾分拣机器人，已知1台A 型机器人每小时分拣垃圾0.4吨，1台B 型机器人每小时分拣垃圾0.2吨．(1)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A 型和B 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A 型机器人a 台（1045a ≤≤），B 型机器人b 台，请用含a 的代数式表示b ；(2)机器人公司的报价如下表：在（1）的条件下，设购买总费用为w 万元，问如何购买使得总费用w 最少？请说明理由． 25．在菱形ABCD 中，()2045ABC αα∠=<<︒，对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是线段BO 上动点（不与B ，O 重合），将线段EO 绕点E 顺时针旋转2α得到线段EF ．(1)如图1，当点F 在线段BC 上时，求证：点E 是线段BO 的中点；(2)如图2，作点B 关于点E 的对称点G ，连结CG FG ，，猜想CFG ∠的度数，并证明． 26．定义：关于x ，y 的方程1m ax by c n dx ey f +++++=称为“双绝对值方程”；所有满足“双绝对值方程”的坐标点(),x y 组成的图形称为“双绝对值图形”． 例如：如图1是“双绝对值方程”1x y +=所对应的“双绝对值图形”，求：(1)画出“双绝对值方程”21x y +=所对应的“双绝对值图形”；(2)点()1,0A -，()1,1B ，()1,0C ，()1,1D --组成平行四边形，写出对角线BD 所在直线的函数解析式，并写出“双绝对值图形”ABCD Y 所对应的“双绝对值方程”；(3)对于线段MN ，其中()2,0M -，()0,1N -，1m y x y -+=对应的“双绝对值图形”与线段MN 有两个公共点，求出m 的取值范围；(4)类似的对于方程1x y x y +++=我们可以定义“三绝对值方程”，请画出其对应的“三绝对值图形”．四、单选题27．若12,,,n p p p ⋅⋅⋅是平面上的n 个点，12,,,m l l l ⋅⋅⋅是以这些点为端点的m 条线段，且这些线段的长度均为1，则称此图形为“(),n m 火柴棍图”．以下4个图依次是()12,21火柴棍图，()16,29火柴棍图，()19,35火柴棍图，()25,47火柴棍图，其中阴影四边形一定是正方形的为（ ）A ．B ．C ．D ．五、填空题28．在平面直角坐标系xOy 中，x ，y 表示自变量和对应的函数．一次函数1y ax b =+，2y cx d =+，3y ex f =+，若()()()123113210220x y y y x x x x ⎧-≤-⎪-+=+-<<⎨⎪-+≥⎩请给出一组满足的条件的函数：1y = ，2y = ，3y = ．29．横，纵坐标均为整数的点称为整点，例如：()2,3为一个整点．已知点A 为()1,1，点B为()5,1，点C 为()5,5，点D 为()1,5．（1）正方形ABCD 边及其内部，有 个整点；（2）若坐标系内取k 个整点，满足如下条件：对于正方形ABCD 边及其内部的任意整点，总可以在这k 个整点中找到一个点，和它所连的线段上没有整点（除端点外），我们把满足条件的k 的最小值称为此正方形的“分隔数”．问：正方形ABCD 的分隔数是 ．。
北京四中2022学年度第一学期期中测验初一年级数学试卷及答案
北京四中2022-2022学年度第一学期期中初一数学试卷（考试时间为100分钟，试卷满分为100分）班级__________ 学号___________ 姓名___________ 分数____________一、选择题（每题3分，共36分）1.在下列各数：(2)--，2(2)--，|2|--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为（ B ）个 个 个 个2.下列命题中，正确的是（ C ）①相反数等于本身的数只有0； ②倒数等于本身的数只有1； ③平方等于本身的数有±1和0； ④绝对值等于本身的数只有0和1；A.只有③B. ①和②C.只有①D. ③和④3.2007年10月24日，搭截着我国首颗探月卫星“嫦娥一号”的“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心三号塔架发射成功，技术人员对“嫦娥一号”进行了月球环境适应性设计，这是因为月球表面的昼夜温差可达310℃，白天阳光垂直照射的地方可达127℃，那么夜晚的温度降至（ D ）A.437℃B.183℃C.-437℃D.-183℃4.据测我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约亿元，用科学记数法表示我国一年（按365天计算）因土地沙漠化造成的总经济损失（ B ）A.115.47510⨯元B.105.47510⨯元 C.110.54710⨯元 D.85.47510⨯元 5.两数相加，其和小于其中一个加数而大于另一个加数，那么（ C ）A.这两个加数的符号都是正的B.这两个加数的符号都是负的C.这两个加数的符号不能相同D.这两个加数的符号不能确定6.有理数、、在数轴上的对应点如下图所示，下列式子中正确的是（ C ）A.ac dc <B.||a c a c +=-C.||b c b c -=-D.a c b +>7.代数式，271x -+，25x -，1213，235x -中，单项式共有（ C ）个 个 个 个8.小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为、，求A B +的值，”他误将“A B +”看成了“A B -”，结果求出的答案是，若已知32B x y =-，那么原来的A B +的值应该是（ D ）。
北京市第四中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷(含答案解析)
北京市第四中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．飞机上升了-50米,实际上是（）A ．上升50米B ．下降-50米C ．先上升50米,再下降50米D ．下降50米2．在代数式2532x x -，22x y π，1x ，5-，a 中，单项式的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列各式正确的是（）A ．853--=-B ．437a b ab +=C ．54x x x-=D ．()275---=4．方程2x =x -2的解是()A ．1B ．-1C ．-2D ．25．如图，a b 、两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（）A ．0a b +<B ．0ab <C ．0b a -<D ．>0ab6．下列说法正确的是（）A ．1.8和1.80的精确度相同B ．5.7万精确到0.1C ．6.610精确到千分位D ．1300000用科学记数法表示为51310⨯7．下列方程变形中，正确的是（）A ．由03y=，得3y =B ．由23x =，得23x =C ．由23a a -=，得3a =D ．由2131b b -=+，得2b =8．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去⋯⋯第2019次输出的结果是（）A ．6B ．8C ．4D ．39．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是（）A ．5112-B ．4112-C ．512D ．41210．如图所示，动点P 从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，……，依此规律跳动下去，点P 从0跳动6次到达1P 的位置，点P 从0跳动21次到达2P 的位置，……，点1P 、2P 、3P ……n P 在一条直线上，则点P 从0跳动（）次可到达14P的位置．A ．887B ．903C ．909D ．1024二、填空题11．2-的相反数是___________．12．单项式2335x yz -的系数是______．13．比较大小：23-______34-．14．若23a b +=，则742b a ++=______．15．代数式2(1)2m +-有最小值为______．16．若a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，1m =，则()20222ab c d m -++的值为______．17．已知一个长为6n ，宽为2n 的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是___________.（用含n 的代数式表示）18．将1，3，5，…，199，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为x ，另一个数记为y ，代入代数式()14x y x y +--中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，则这50个值的和的最小值是_________________．三、解答题19．计算(1)()()2935+---+；(2)()11124263⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭；(3)731081557⎛⎫-÷⨯-⨯ ⎪⎝⎭；(4)()337911660.355⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(5)(23213[22)3.34⎛⎫⎤-+⨯+--÷- ⎪⎦⎝⎭20．化简()()222222122+----a b ab a b ab ab ．21．已知（x+2）2+|y ﹣12|=0，求5x2y ﹣[2x2y ﹣（xy2﹣2x2y ）﹣4]﹣2xy2的值．22．解方程．(1)4752x x -=-；(2)()()371323x x x --=-+．23．有一列数，按一定规律排列成1-，3，9-，27，81-，243，⋯其中某三个相邻数的和是1701，这三个数各是多少？请列方程求解．24．小亮在解关于x 的一元一次方程312x -＋□＝3时，发现正整数□被污染了；(1)小亮猜□是5，请解一元一次方程31532x -+=；(2)若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？25．材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方．三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”.图1所示的是“和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等．(1)=a ______，b =______；(2)如图2是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母m 表示的数是______；(3)图3所示是“积幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之积均相等，则n m =______．26．某路公交车从起点经过A 、B 、C 、D 站到达终点，一路上下乘客如下表所示．（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数）起点ABCD 终点上车的人数181512750下车的人数3-4-10-11-(1)到终点下车______人；(2)车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？______站和______站；(3)若每人乘坐一站需买票1元，问该车出车一次能收入多少钱？写出算式．27．如图，点A 、O 、C 、B 为数轴上的点，O 为原点，A 表示的数是﹣8，C 表示的数是2，B 表示的数是6.我们将数轴在点O 和点C 处各弯折一次，弯折后CB 与AO 处于水平位置，线段OC 处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O 为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记AB 为“折坡数轴”拉直后点A 和点B 的距离：即AB ＝AO ＋OC ＋CB ，其中AO 、OC 、CB 代表线段的长度．(1)若点T 为“折坡数轴”上一点，且16TA TB +=，请求出点T 所表示的数；(2)定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点P 从点A 处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点O ，再上坡移动，当移到点C 时，立即掉头返回（掉头时间不计），在点P 出发的同时，动点Q 从点B 处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C ，再下坡到点O ，然后再沿OA 方向移动，当点P 重新回到点A 时所有运动结束，设点P 运动时间为t 秒，在移动过程中：①点P 在第秒时回到点A ；②当t ＝时，2PQ PO =．（请直接写出t 的值）28．请观察下列各式：110.11010-==，22110.011010010-===，33110.00110100010-===，⋯一般地，10的n -（n 为正整数）次幂等于0.0001=⋯（小数点后面有n 位），所以可以利用这种方法表示一些很小的数，例如：40.000536 5.360.0001 5.3610-=⨯=⨯；80.00000007287.280.000000017.2810--=-⨯=-⨯．像上面这样，把一个绝对值小于1的数表示成10n a -⨯的形式（其中1||10a < ，n 是正整数），使用的也是科学记数法．请阅读上述材料，完成下列各题：(1)下列选项中，正确使用科学记数法表示的数是______A ．537.510⨯B ．94.8310--⨯C ．80.25810-⨯D ．1290.610-⨯(2)已知1米等于910纳米，一微型电子元件的直径约50000纳米，用科学记数法可以表示成______米．29．将n 个0或1排列在一起组成了一个数组，记为()12,,n A t t t = ，其中，12,,,n t t t ⋅⋅⋅都取0或1，称A 是一个n 元完美数组（2n ≥且n 为整数）．例如：()0,1，()1,1都是2元完美数组，()0,0,1,1，()10,0,1，都是4元完美数组，但()3,2不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于x 和y ，()x y x y x y =+--*，新运算2：对于任意两个n 元完美数组()12,,,n M x x x = 和()12,,,n N y y y = ，()112212n n M N x y x y x y ⊗=++⋅⋅⋅+***，例如：对于3元完美数组()1,1,1M =和()0,0,1N =，有()100212M N ⊗=++=．(1)在()0,0,0，()2,0,1，()1,1,1,1，()1,1,0中是3元完美数组的有：______；(2)设()()1,0,1,1,1,1A B ==，则A B ⊗=______；(3)已知完美数组()1,1,1,0M =求出所有4元完美数组N ，使得2M N ⊗=；(4)现有m 个不同的2022元完美数组，m 是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C ，D 均有：0C D ⊗=；则m 的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．30．定义1：一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．例如：1，2，3是1，2，3的一个排列，1，3，2和2，3，1也是1，2，3的一个排列．如果1a ，2a ，3a ．，4a ．，5a 是1，2，3，4，5的一个排列，那么将这个排列记为{}5a ：1a ，2a ，3a ，4a ，5a ．定义2：设()1234512345,,,,12345E a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-，称上述等式为数列{}5a ：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的位差和．(1)求数列1，3，4，2，5的位差和；(2)若位差和()12345,,,,4E a a a a a =，请直接写出满足条件的数列{}5a 的个数参考答案：1．D【详解】解：因为“正”和“负”相对，所以，飞机飞行时比原来的高度高，即上升规定为“+”，则飞机飞行时比原来的高度低，即下降为“-”．故-50米表示下降了50米．故选D 2．B【详解】单项式就是数与字母的乘积，以及单独的数与单独的字母都是单项式，根据定义可判断是单项式的有：2πx ²y 、−5、a ，共有3个.故选：B.3．D【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可．【详解】解：A 、5813--=-，故本选项错误，不符合题意；B 、4a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；C 、5x 与4x 不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；D 、2(7)5---=，正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项和有理数的减法运算，解题的关键是掌握合并同类项法则和有理数减法法则．4．C【分析】移项合并同类项即可得解.【详解】22x x =-,解得x =-2,故选C【点睛】本题考查一元一次方程的解法.按照正常的解方程的步骤解题即可.5．B【分析】根据数轴上a b 、的位置可知，0a <，0b >，a b <由此即可求解．【详解】解：根据题意得，0a <，0b >，a b <，∴0a b +>，A 选项不符合题意；0ab <，B 选项符合题意；0b a ->，C 选项不符合题意；0ab<，D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查数轴上用字母表示有理数的大小关系，理解和掌握数轴的特点是解题的关键．6．C【分析】根据精确度的定义判断A ；把5.7万化成57000，7所在数位便为精确数位，从而判断B ；根据精确度判断C ；根据科学记数法判断D ．【详解】A ．1.8精确到十分位，1.80精确到百分位，再者精确度不相同，选项不符合题意；B ．因5.7万57000=，所以5.7万精确到千位，选项不符合题意；C ．6.610精确到千分位，选项符合题意；D ．1300000用科学记数法表示为61.310⨯，选项不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了科学记数法-表示较大的数，较小的数，以及近似数与有效数字，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．7．C【分析】按照解一元一次方程的步骤进行计算，逐一判断即可解答．【详解】A 、由03y=，得0y =，故A 不符合题意；B 、由23x =，得32x =，故B 不符合题意；C 、由23a a -=，得3a =，故C 符合题意；D 、由2131b b -=+，得2b =-，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．8．D【分析】根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，然后即可求得第2019次输出的结果．【详解】由题意可得，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，第4次输出的结果是8，第5次输出的结果是4，第6次输出的结果是2，第7次输出的结果是7，第8次输出的结果是12，⋯，由上可得，这列数依次以12，6，3，8，4，2，7循环出现，201972883÷=⋯ ，∴第2019次输出的结果是3，故选：D ．【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，求出所求次数的输出结果．9．C【分析】根据分数乘法的意义求得剩下的长度．【详解】由题意，第一天截取后木棍剩余的长度为11122-=；第二天截取后木棍剩余的长度为21111111(12222242-⨯=⨯-==第三天截取后木棍剩余的长度为22231111111(1)2222282-⨯=-==……第n 天截取后木棍剩余的长度为12n∴第5天截取后木棍剩余的长度是512故选C【点睛】本题考查了分数乘法的应用，乘方的意义，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．10．B【分析】由题意可得：跳动1236++=个单位长度到1,P 从1P 到2P 再跳动45615++=个单位长度，归纳可得：从上一个点跳动到下一个点跳动的单位长度是连续的三个正整数的和，从而可得答案.【详解】解：由题意可得：跳动1236++=个单位长度到1,P 从1P 到2P 再跳动45615++=个单位长度，······归纳可得：结合143=42,´所以点P 从0跳动到达14P 跳动了：123404142++++++g g g ()1142429032=+´=个单位长度.故选B【点睛】本题考查的是数字规律的探究，有理数的加法运算，掌握“从具体到一般的探究方法及运用发现的规律解题”是关键.11．2【分析】根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”解答即可．【详解】2-的相反数是：(2)2--=，故答案为：2．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键．12．35-##-0.6【分析】利用单项式系数定义可得答案．【详解】单项式2335x yz -的系数是35-，故答案为：35-．【点睛】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数．13．＞【分析】利用两个负数比较大小的方法判断即可．【详解】解：∵23-=23，34-=34，且23＜34，∴23-＞34-，故答案为：＞．【点睛】此题考查了有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解本题的关键．14．13【分析】根据23a b +=，可知24a b +的值，进一步求解即可．【详解】23a b += ，()2422236a b a b ∴+=+=⨯=，7427613b a ∴++=+=，故答案为：13．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．15．2-【分析】根据偶次方的非负数性质可得2(1)0m +≥，据此可得代数式2(1)2m +-的最小值．【详解】解：2(1)0m +≥ ，2(1)2022m ∴+-=-=-，∴最小值为2-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了非负数性质，掌握偶次方的非负数是解答本题的关键．16．3或1-【分析】根据a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，1m =，可以得到1ab =，0c d +=，1m =±，然后代入所求式子计算即可．【详解】解：a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，1m =，1ab ∴=，0c d +=，1m =±，当1m =时，()20222ab c d m-++12022021=-⨯+⨯102=-+3=；当1m =-时，()20222ab c d m-++()12020021=-⨯+⨯-()102=-+-1=-；故答案为：3或1-．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．17．2n【分析】根据题意和观察图形，可以得到图2中小长方形的长和宽，从而可以得到阴影部分正方形的边长．【详解】解：由图可得，图2中每个小长方形的长为3n ，宽为n ，则阴影部分正方形的边长是：3n -n =2n ，故答案为：2n ．【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，得到小长方形的长和宽，利用数形结合的思想解答．18．1250【分析】假设x>y ，化简()14x y x y +--=12y ，得到当y 是1,3,5,7，L ，99时，这50个值的和最小，，根据求和公式计算即可得到答案.【详解】假设x>y ，∴()14x y x y +--=()1142x y x y y +-+=，∴当50组中的较小的数y 恰好是1,3,5,7，L ，99时，这50个值的和最小，最小值为()1135992++++ =12⨯()5019912502⨯+=，故答案为：1250.【点睛】此题考查代数式的计算，设出x 、y 的大小关系，据此化简是解题的关键.19．(1)1(2)－16(3)25-(4)－21(5)－1【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；（2）根据乘法分配律计算即可；（3）先将除法转化为乘法，再约分即可；（4）先算乘法，再算加法即可；（5）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘除法，最后算加减法即可．【详解】（1）()()2935+---+()2935=+-++1=；（2）()11124263⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭()()()111242424263=⨯--⨯-+⨯-()1248=-++-16=-；（3）731081557⎛⎫-÷⨯-⨯ ⎪⎝⎭718105857=-⨯⨯⨯25=-；（4）()337911660.355⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3791119.85⎛⎫⎡⎤=+-⨯-+ ⎪⎣⎦⎝⎭()680.619.8=⨯-+40.819.8=-+21=-；（5）(23213[22)334⎛⎫⎤-+⨯+--÷- ⎪⎦⎝⎭()2928343=-+⨯-+⨯()296343=-+⨯-+⨯()9412=-+-+1=-．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．22ab-【分析】根据整式的加减运算法则进行化简即可求出答案．【详解】解：原式2222222222a b ab a b ab ab=+-+--2222222222a b a b ab ab ab =-+--+22ab =-．【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．21．162【详解】分析：原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值．详解：原式=5x 2y ﹣2x 2y +xy 2﹣2x 2y +4﹣2xy 2=x 2y ﹣xy 2+4．∵（x +2）2+|y ﹣12|=0，∴x =﹣2，y =12，当x =﹣2，y =12时，原式=2+12+4=612．点睛：本题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．22．(1)2x =(2)5x =【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；（2）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．【详解】（1）4752x x -=-，4257x x +=+，612x =，2x =；（2）()()371323x x x --=-+，377326x x x -+=--，372367x x x -+=--，210x -=-，5x =．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．23．243，729-，2187【分析】设三个数中最前面的数为x ，则另外两个数分别为3x -，9x ，根据三个数之和为1701，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值，再将其代入3x -和9x 中，得出三个数．【详解】设三个数中最前面的数为x ，则另外两个数分别为3x -，9x ，依题意，得：391701x x x -+=，解得：243x =，3729x ∴-=-，92187x =，答：这三个数依次是243，729-，2187．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．24．(1)=1x -(2)2【分析】（1）利用去分母，移项，合并同类项，系数化1，可得答案；（2）设被污染的正整数为m ，则有3132x m -+=，求解可得答案．【详解】（1）31532x -+=，去分母，得31106x -+=，移项，合并同类项得33x =-，系数化1，得=1x -；（2）设被污染的正整数为m ，则有3132x m -+=，3126x m -+=，解得723m x -=，723m - 是正整数，m 为正整数，2m ∴=．即被污染的正整数是2．【点睛】此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．25．(1)12，6-(2)7(3)169【分析】（1）根据三个数的和为()87832b ++=++-，可求b ，进一步求出a ；（2）根据三个数的和538p m m ++=++，求出p ，再设第一列第2个数、第3个数分别为x ，y ，根据“和幻方”的定义求出3x m =-+，2y m =+，然后再求出m ；（3）根据“积幻方”先求出n ，再求出m ，再代入计算即可求解．【详解】（1）解：依题意有：()87832b ++=++-，解得6b =-，∴387a +=+，解得12a =，故答案为：12，6-．（2）解：根据题意得：538p +=+，解得6p =，53xp 8y m如图所示：根据题意得：5636m y ++=++，5686m x ++=++，解得2y m =+，3x m =-+，()()53238m m m ∴+-+++=++，解得7m =，故答案为：7．（3）解：依题意有：()422233n ⎛⎫⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，解得2n =，∴322m -=⨯，解得43m =-，∴2416()39n m =-=．故答案为：169．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数学常识，根据表格，先求出三个数的和或积是解题的关键，也是本题的突破口．26．(1)29(2)B ，C(3)150元【分析】（1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，列出算式即可得解；（2）分别计算相邻两站之间车上的乘客数解答即可；（3）分别计算相邻两站之间车上的乘客数，相加再乘以票价1元，然后计算即可得解．【详解】（1）根据题意可得：到终点前，车上有1815312471051129+-+-+-+-=，即29人；故到终点下车29人．故答案为29；（2）根据图表可知各站之间车上人数分别是：起点A →站，车上有18人，A 站B →站，车上有1815330+-=人，B 站C →站，车上有3012438+-=人，C 站D →站，车上有3871035+-=人，D 站→终点，车上有3551129+-=人，易知B 站和C 站之间人数最多．故答案为B ；C ；（3）根据题意可知：起点A →站，车上有18人，A 站B →站，车上有1815330+-=人，B 站C →站，车上有3012438+-=人，C 站D →站，车上有3871035+-=人，D 站→终点，车上有3551129+-=人，则()18303835291150++++⨯=（元）．答：该车出车一次能收入150元．【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算的应用，读懂图表信息，求出各站之间车上人数是解题的关键．27．(1)−9和7；(2)①212；②2或225或315或345【分析】（1）首先判断出点T 的位置，设T 表示的数为x ，根据T 的位置分两种情况列出方程求解即可；（2）①分别根据“时间＝路程÷速度”求出点P 运动的时间，再求和即可；②分别求出点Q 在运动时间，结合点P ，点Q 的不同位置，根据2PQ PO =列出方程求解即可．【详解】（1）∵AB ＝AO ＋OC ＋CB ＝|−8|＋6＝14，而16TA TB +=，16＞AB ，∴T 不在AB 内，设T 表示的数为x ，当T 在点A 的左侧时，TA TB +=TA TA AB++＝（−8−x ）＋（−8−x ）＋14＝16，解得：x ＝−9；当T 在点B 的右侧时，TA TB +=TB TB AB++＝（x -6）＋（x -6）＋14＝16，解得：x ＝7，故答案为：−9和7；（2）①∵O 为原点，A 表示的数是﹣8，C 表示的数是2，B 表示的数是6∴AO ＝8，OC ＝2，∴点P 从A 到O 所需时间为：12AO t ＝＝4，∵OC ＝2，∴点P 从O 到C 所需时间为：22122OC t ⨯＝＝，返回时，点P 从C 到O 所需时间为：3212242OC t ===⨯，点P 从O 到A 所需时间为：414t t ==，∴点P 运动的总时间t ＝t 1＋t 2＋t 3＋t 4＝212，故点P 在秒212时回到了点A ，故答案为：212；②（Ⅰ）当点P 在AO 上，点Q 在BC 上时，PQ ＝PO ＋OC ＋CQ ＝（8−2t ）＋2＋（4−t ）＝14−3t ，PO ＝8−2t ，∵PQ ＝2PO ，∴14−3t ＝2（8−2t ），解得：t ＝2；（Ⅱ）当P 在OC 上，此时Q 在OC 上，设点Q 在OC 上的时间为t ′，a ）当OP ＋QC ＝OC ，即t ′＋2t ′＝2，即t ′＝23时，P 、Q 相遇，PQ ＝OC −OP −QC ＝2−t ′−2t ′，PO ＝t ′，由2PQ PO=得：2−t ′−2t ′＝2t ′，解得：t ′＝25，∴t ＝4＋25225；b ）当Q 到达点O 时，点P 刚到OC 的中点，并继续向上走2−1＝1（秒），PQ ＝OP ＋OQ ＝t ′＋（t ′−1），PO ＝t ′，由2PQ PO=得：2t′−1＝2t′，此时无解；c）当Q在OA上，P在OC向下移动时，PQ＝OQ＋OP＝（t′−1）＋[2−2×2（t′−2）]，PO＝2−2×2（t′−2），由2PQ PO=得，（t′−1）＋[2−2×2（t′−2）]＝2[2−2×2（t′−2）]，解得：t′＝115，此时，t＝4＋t′＝31 5；（Ⅲ）当点P重新回到OA上，设P回到O点后运动时间为t″，在t″之间，点P、Q已经运动了4＋2＋1213=2（秒），此时，Q在OA上走了132−4−1＝32，即OQ＝32×1＝32，a）PQ＝OQ−OP＝（32＋t″）−2t″，PO＝2t″，由2PQ PO=得：（32＋t″）−2t″＝2t″，解得，t″＝310，此时，t＝310+132345=；2）当P在Q右侧，超过Q后，PQ＝OQ−OP＝2t″−（32＋t″），PO＝2t″，由2PQ PO=得：2t″−（32＋t″）＝2t″，解得，t″＝12-（舍去），综上所述，当t ＝2或225或315或345秒时，2PQ PO =故答案为：2或225或315或345．【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏．28．(1)B(2)5510-⨯【分析】（1）科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a < ，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数；（2）根据1米等于910纳米，用95000010÷即可．【详解】（1）解：正确使用科学记数法表示的数是94.8310--⨯，故答案为：B ；（2）解：95000010÷米5510-=⨯米，故答案为：5510-⨯．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a < ，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．29．(1)()0,0,0，()1,1,0(2)2(3)()1,1,0,1N =或()1,0,1,1或()0,1,1,1或()1,1,0,0或()1,0,1,0或()0,1,1,0(4)m 的最大可能值是2023；()1,0,0,0,,0C ⋅⋅⋅，()0,1,0,0,,0D ⋅⋅⋅【分析】（1）根据n 元完美数组的定义判断即可；（2）依据新运算定义()112212n n M N x y x y x y ⊗=++⋅⋅⋅+***进行计算即可；（3）依据新运算定义()112212n n M N x y x y x y ⊗=++⋅⋅⋅+***，尝试使得2M N ⊗=的计算结果即可；（4）根据新运算定义()112212n n M N x y x y x y ⊗=++⋅⋅⋅+***，0C D ⊗=则可知数组C ，D 中对应位置不能同时为1，由数组C ，D 的任意性可知：完美数组中元素最多只能有一个1，即可推出m 的最大可能值是2023，由此推出这些完美数组的一个构造即可．【详解】（1）解：在()0,0,0，()2,0,1，()1,1,1,1，()1,1,0中()2,0,1不是完美数组，()1,1,1,1是4元完美数组，故3元完美数组的有：()0,0,0，()1,1,0；（2）∵()1,0,1A =，()1,1,1B =，∴()()11110111202222A B ⊗=++=++=***；故答案为：2；（3）()x y x y x y =+-- *，∴当1x y ==时，2x y =*，当0x y ==时，0x y =*，当x y ≠时，0x y =*，综上即2x y =*或0，2M N ⊗= ，112233444x y x y x y x y ∴+++=****，()1,1,0,1N ∴=或()1,0,1,1或()0,1,1,1或()1,1,0,0或()1,0,1,0或()0,1,1,0；（4）0C D ⊗= ，C ∴、D 中对应位置的元不能同时为1，每个数组有2022个元，1可以出现在2022个位置，或者全部为0∴m 的最大值为2023，当C 确定后，D 中的对应元与C 中的不同，当()1,0,0,0,,0C ⋅⋅⋅则()0,1,0,0,,0D ⋅⋅⋅．【点睛】本题结合新定义运算考查了有理数的运算，关键在于阅读理解新运算的含义，灵活运用有理数的运算技能技巧，逐步提高符合意识素养．30．(1)4(2)12个【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）根据题意可知1234512345a a a a a -+-+-+-+-的结果可以是11110++++或11200++++两种情况，再列举出每一种情况下的数列顺序即可求解．【详解】（1）()1,3,4,2,511324324554E =-+-+-+-+-=，∴数列1，3，4，2，5的位差和是4；（2）()12345,,,,4E a a a a a = ，1234512345a a a a a ∴-+-+-+-+-的结果可以是11110++++或11200++++两种情况，当1234512345a a a a a -+-+-+-+-结果中有4个1，1个0时，数列{}5a ：2，1，4，3，5或1，3，4，2，5或1，3，2，5，4；当1234512345a a a a a -+-+-+-+-结果中有2个1，2个2．时，数列{}5a ：3，2．，1，4，5或1，4，3，2，5或1，2，5，4，3或2，3，1，4，5或1，3，4，2，5或1，2，4，5，3或3，1，2，4，5或1，4，2，3，5或1，2，5，3，4；∴满足条件的数列{}5a 的个数共12个．【点睛】本题考查数字的变化规律，弄清定义，根据所给的条件，列举出满足条件的数的排列是解题的关键．。
北京四中高一数学上学期期中考试试卷
北京四中2022-2022学年高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷〔Ⅰ〕100分，卷〔Ⅱ〕50分，总分值共计150分考试时间：120分钟卷〔Ⅰ〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分1. 如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A ．0⊆A B. {0}∈A C. {0}⊂≠ A D. φ∈A 2. 函数f 〔x 〕＝22-x ，那么f 〔21〕＝ A. 0 B. －2 C. 22 D. －22 3. 设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，那么A 〔C I B 〕等于A. {1}B. {1，2}C. {2} D{0，1，2}4. 与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A. y ＝x －1B. y ＝1-xC. y ＝11-x D. y ＝1-x5. 假设函数f 〔x 〕＝3x ＋3x -与g 〔x 〕＝3x －3x -的定义域均为Ｒ，那么A. f 〔x 〕与g 〔x 〕均为偶函数B. f 〔x 〕为偶函数，g 〔x 〕为奇函数C. f 〔x 〕与g 〔x 〕均为奇函数D. f 〔x 〕为奇函数，g 〔x 〕为偶函数6. 设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，那么A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 设函数y ＝x 3与y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象的交点为〔x 0，y 0〕，那么x 0所在的区间是 A. 〔0，1〕 B. 〔1，2〕 C. 〔2，3〕 D. 〔3，4〕8. 函数f 〔x 〕是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，那么f 〔x 〕<0的解集是A. 〔－1，0〕B. 〔0，1〕C. 〔－1，1〕D. ()()∞+-∞-，，119. 某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以本钱计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A. 不亏不盈B. 盈利37.2元C. 盈利14元D. 亏损14元10. 设函数f 〔x 〕在()∞+∞-，上是减函数，那么A. f 〔a 〕>f 〔2a 〕B. f 〔a 2〕<f 〔a 〕C. f 〔a 2＋a 〕<f 〔a 〕D. f 〔a 2＋1〕<f 〔a 〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分11. log 64＋ log 69－832＝____.12. 函数y ＝f 〔x 〕为奇函数，假设f 〔3〕－f 〔2〕＝1，那么f 〔－2〕－f 〔－3〕＝____。
北京四中初一数学期中试卷
初一数学期中试卷（考试时间100分钟，A卷满分100分，B卷满分20分）班级____________学号____________姓名____________分数____________ 试卷部分A卷一．选择题（每小题所给4个选项中只有一个符合要求，每小题3分，共30分）.1、下列说法正确的是( ) .A、一个数前面加上“－”号这个数就是负数；B、非负数就是正数；C、正数和负数统称为有理数；D、0既不是正数也不是负数.2、在，，，这四个数中，负数有( ) .A、1个；B、2个；C、3个；D、4个.3、若互为相反数，那么( ) .A、；B、；C、；D、∣a∣＝∣b∣.4、社会人士向慈善总会捐款数目共10249010元，此数保留三个有效数字后为( ) .A、10300000 ；B、10200000；C、；D、.5、已知两个有理数的和比其中任何一个加数都小，那么一定是（）A、这两个有理数同为正数B、这两个有理数同为负数C、这两个有理数异号D、这两个有理数中有一个为零6、下面运算正确的是( ) .A、；B、；C、；D、.7、设x为有理数，若，则( ) .A、x为正数；B、x为负数；C、x为非正数；D、x为非负数.8、下列结论中正确的是( ) .A、在等式3a－6＝3b＋5的两边都除以3，可得等式a－2＝b+5；B、在等式7x＝5x＋3的两边都减去x－3，可得等式6x－3＝4x＋6；C、在等式5＝0.1x的两边都除以0.1，可得等式x＝0.5；D、如果2＝－x，那么x＝－2.9、下列说法，正确的是( ) .A、长方形的长是a米，宽比长短25米，则它的周长可表示为(2a－25)米；B、6h表示底为6、高为h的三角形的面积；C、10a+b表示一个两位数，它的个位数是a，十位数是b；D、甲、乙两人分别以3千米/小时和5千米/小时的速度，同时从相距40千米的两地相向出发，设他们经过x小时相遇，则可列方程为3x+5x=40.10、某商品进价为a元，商店将价格提高30％作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80％）的价格开展促销活动.这时一件商品的售价为( ).A、元；B、元；C、元；D、元.二．填空题（每小题2分，共20分）.11、－1的倒数是 __________ ；－（－3）的相反数是_________.12、数轴上离开原点3个单位长度的数是_________.13、一个数的绝对值是9，则这个数是_________.14、用四舍五入法把0.00304保留两个有效数字所得的近似值是___________.15、若代数式与是同类项，那么，.16、添括号（_________）.17、三个连续奇数的和比其中最小的奇数大128，则最小的奇数是_________.18、若方程为关于x的一元一次方程，则它的解是_________.19、若│x－3│＋（y+1）2＝0，n为正整数，则的值为_________.20、用牙签按下列方式搭图：（2）第ｎ个图形有多少根牙签_________.三．计算题（共38分）.21、计算下列各式：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸.22、合并同类项：⑴；⑵.23、已知，求代数式的值.解：24、求代数式的值，其中.解：25、解关于的方程：⑴；⑵.解：解：四．解答题（共12分）.26、已知：有理数、在数轴上对应的位置如右图，请化简：.解：27、已知关于x的多项式的值与x无关，求的k值.解：28、（列方程解应用题）两个村共有834人，较大的村的人数比另一村的人数的2倍少3，两村各有多少人？解：29、（列方程解应用题）一个两位数，十位数字是个位数字的3倍，如果把十位数字与个位数字交换，所成的新数比原数少54，求原数.解：B卷（共20分）1、解关于的方程：.解：2、比较与的大小.解：3、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。
2023-2024学年北京四中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京四中高一（上）期中数学试卷一、选择题。
（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≥1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1≤x＜2}2．已知下列表格表示的是函数y＝f（x），则f（﹣1）+f（2）的值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．13．函数f(x)=13x3−2x−2一定存在零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．函数f(x)=√3x+61−x的定义域为（）A．[﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）5．关于x，y的方程组{x 2+y2−1=0y−x−m=0有唯一的一组解，则实数m的值是（）A．√2B．−√2C．±√2D．16．已知a，b为非零实数，则“a＞b”是“1a ＜1b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）为奇函数，其局部图象如图所示，那么（）A．f（2）＝2B．f（2）＝﹣2C．f（2）＞﹣2D．f（2）＜﹣28．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（）A．80B．70C．60D．509．已知函数f（x）={x2+4x+3，x≤0−2x2+4x−1，x＞0，若关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不同的实数根，那么实数a的取值范围是（）A．（1，3]∪{﹣1}B．（1，3）∪{﹣1}C．（1，3）D．（1，3]10．已知函数f(x)=√x+1+k，若存在区间[a，b]，使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a+1，b+1]，则实数k的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0]C．[−14，+∞)D．(−14，0]二、填空题。
2023-2024学年北京四中八年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）下列博物院的标识中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）A．B．C．D．3．（2分）下列计算正确的是（ ）A．（4ab）2＝4a2b2B．a2⋅a3＝a6C．a2+a2＝a4D．（﹣3a3b）2＝9a6b24．（2分）如图，△ABC被木板遮住了一部分，其中AB＝6，则AC+BC的值不可能是（ ）A．11B．9C．7D．55．（2分）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）A．B．C．D．6．（2分）如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．AD＝CB D．∠BAC＝∠DCA 7．（2分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数（ ）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小8．（2分）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号（4，8，8），（3，6，3，6），（3，3，4，3，4）表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ）A．（3，12，12）B．（3，4，6，4）C．（3，3，4，12）D．（3，4，3，3，6）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）计算：（π﹣3.14）0＝ ；＝ ．10．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．11．（2分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．12．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于 ．13．（2分）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是直角三角形时，t ＝ ．14．（2分）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为 ．15．（2分）数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段a、b，利用“尺规作图”作Rt△ABC使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下，请你回答下列问题：所以，Rt△ABC为所求作的三角形．（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ；（只填序号）①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D；②画直线BF；③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F；④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，连接AC；⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB＝a．（2）∠ABC＝90°的理由是 ．16．（2分）在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：①存在无数个△MNP是等腰三角形；②存在无数个△MNP是等边三角形；③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．所有正确结论的序号是 ．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．（24分）（1）计算：；（2）计算：20222﹣2020×2024 （需简便运算）；（3）计算：（15x2y﹣10xy2）÷5xy；（4）计算：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）；（5）因式分解：（x+m）2﹣（x+n）2；（6）因式分解：3ax2+6axy+3ay2．18．（6分）如图，A，C，D三点共线，△ABC和△CDE落在AD的同侧，AB∥CE，BC＝DE，∠B＝∠D，求证：（1）△ABC≌△CDE；（2）AB+CE＝AD．19．（6分）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．20．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，﹣1），点B坐标为（﹣1，﹣1），点C坐标为（﹣3，3）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）请写出点B关于x轴对称点的坐标为 ；（3）点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标为 ．21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．如图2，∠ABC为直角，以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与交于点G ；作射线BF ，BG ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG ，∠GBF ，∠FBE 的大小关系．22．（7分）如图（1），等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE ．（1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE ∥BC 的理由；（3）如图（2），将（1）动点D 运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE ∥BC ？证明你的猜想．23．（6分）阅读下列材料：对于多项式x 2+x ﹣2，如果我们把x ＝1代入此多项式，发现x 2+x ﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2 有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1．于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）请你根据以上材料，解答以下问题：（1）当x＝ 时，多项式6x2﹣x﹣5的值为0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式 ，从而因式分解6x2﹣x﹣5＝ ；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：x3﹣7x+6．24．（7分）如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在射线AB上，且∠ACE＝2α，在射线CE上取点D使得CD＝CA，连接AD并延长交射线CB于点F．（1）当0°＜2α＜60°时，①∠DAB＝ ；（请用含α的代数式表示）②求证：CE+BE＝CF；（2）当60°＜2α＜120°时，请根据题意补全图2，并写出线段CE，BE，CF间的数量关系 ．第二部分附加题（共10分）25．（5分）找规律．第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；……（1）请写出第4组等式 ， ；（2）请写出第n组等式 ， ；（3）若k2+96032＝96052（k＞0）则k＝ ．26．（5分）为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法．因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明A＞B，只需要证明A﹣B＞0；同样的，要证明A ＜B，只需要证明A﹣B＜0．例如：小明对于命题：任意的实数a和b，总有a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立，给出了如下证明：证明：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立．（1）请仿照小明的证明方法，证明如下命题：若a，b，x，y≥0，且a≥x，则（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）若a1≥a2≥……≥a n≥0，b1≥b2≥……≥b n≥0，且a1+a2+……+a n＝b1+b2+……+b n＝1，求（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值．2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．【解答】解：△ABC的边AB上的高是经过点C与AB垂直，故选：A．3．【解答】解：A．（4ab）2＝16a2b2，故A错误，不符合题意；B．a2⋅a3＝a5，故B错误，不符合题意；C．a2+a2＝2a2，故C错误，不符合题意；D．（﹣3a3b）2＝9a6b2，故D正确，符合题意．故选：D．4．【解答】解：在△ABC中，AC+BC＞AB，∵AB＝6，∴AC+BC＞6，∴AC+BC的值不可能是5，故选：D．5．【解答】解：原式＝﹣＝，故选：D．6．【解答】解：添加的条件是AD＝CB，理由是：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），故选：C．7．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．8．【解答】解：A、∵正三角形一个内角为60°，正十二边形一个内角为150°，60°+2×150°＝360°，∴（3，12，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；B、∵正三角形一个内角为60°，正方形一个内角为90°，正六边形一个内角为120°，60°+2×90°+120°＝360°，∴（3，4，6，4）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；C、∵2×60°+90°+150°＝360°，∴（3，3，4，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；D、3×60°+90°+120°＝390°≠360°，∴（3，4，3，3，6）不可以得到“半正密铺”图案，故符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．【解答】解：（π﹣3.14）0＝1；＝．故答案为：0；﹣．10．【解答】解：∵x﹣3≠0，∴x≠3．故答案为：x≠3．11．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是十二边形．12．【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是70°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是110°．故答案为：70°或110°．13．【解答】解：分两种情况：①当∠APB＝90°时，过A作AP⊥BC于点P，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP＝，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝；②当∠BAP＝90°时，过A作P'A⊥AB交BC于点P'，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝6，综上所述，当△ABP是直角三角形时，t＝或6，故答案为：或6．14．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，所以a2+b2＝11，故答案为：11．15．【解答】解：（1）⑤①③②④，故答案为：⑤①③②④；（2）∠ABC＝90°的理由是：等腰三角形的三线合一；故答案为：等腰三角形的三线合一．16．【解答】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）．故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值（面积可以接近O，没有最小值）．故答案为①②③．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．【解答】解：（1）原式＝﹣6a3b2；（2）原式＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+22＝4；（3）原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy＝3x﹣2y；（4）原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2；（5）（x+m）2﹣（x+n）2＝（x+m+x+n）（x+m﹣x﹣n）＝（2x+m+n）（m﹣n）；（6）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2．18．【解答】证明：（1）∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）；（2）∵△ABC≌△CDE；∴AC＝CE，AB＝CD，∴AB+CE＝CD+AC＝AD．19．【解答】解：＝＝．∵x≠±2且x≠0，∴x＝﹣1时，．20．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）B（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）；（3）设P（0，m），由题意×3×|m+1|＝×3×4，∴m＝3或﹣5，∴P（0，3）或（0，﹣5）．故答案为：（0，3）或（0，﹣5）．21．【解答】解：（1）如图，射线BG，BF即为所求．（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．理由：连接DF，EG，则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，即△BDF和△BEG均为等边三角形，∴∠DBF＝∠EBG＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．22．【解答】解：（1）△DBC和△EAC会全等证明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD ∴∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），（2）∵△DBC≌△EAC∴∠EAC＝∠B＝60°又∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC（3）结论：AE∥BC理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），∴∠EAC＝∠B＝60°又∵∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC．23．【解答】解：（1）当x＝1时，6x2﹣x﹣5＝6×12﹣1﹣5＝0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式x﹣1，即6x2﹣x﹣5＝（x﹣1）（6x+5）．故答案为：1，x﹣1，（x﹣1）（6x+5）；（2）当x＝1时，x3﹣7x+6＝13﹣7×1+6＝0，所以x3﹣7x+6＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）．24．【解答】（1）①解：∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACE＝2α，∴∠CAD＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAD﹣∠CAB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，故答案为：30°﹣α；②证明：在CF上截取CM＝CE，连接DM，BD，∵∠ABC＝60°，∠DAB＝30°﹣α，∴∠F＝60°﹣（30°﹣α）＝30°+α，∵CD＝CB，∠DCM＝∠BCE，CM＝CE，∴△CMD≌△CEB（SAS），∴∠CMD＝∠CEB，DM＝BE，∴∠DEB＝∠DMF，∵∠DEB＝∠DAB+∠CDA＝120°﹣2α，∴∠DMF＝120°﹣2α，∴∠MDF＝180°﹣30°﹣α﹣120°+2α＝30°+α，∴∠F＝∠MDF，∴DM＝MF，∴BE＝MF，∴CF＝CM+MF＝CE+BE；（2）解：补全图形如下：在CE上截取CN＝CF，连接BN，BD，则CA＝CB＝CD，同（1）可知△BCN≌△DCF（SAS），∴∠CNB＝∠CFD，∴∠BNE＝∠BFD，∵∠BCE＝2α﹣60°，CD＝CB＝CA，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∴∠DAB＝60°﹣（90°﹣α）＝α﹣30°，∴∠E＝∠CDA﹣∠DAB＝120°﹣2α，∵∠CFD＝90°﹣α+60°＝150°﹣α，∴∠CNB＝150°﹣α，∴∠BNE＝30°+α，∴∠NBE＝180°﹣∠BNE﹣∠E＝30°+α，∴∠BNE＝∠NBE，∴BE＝NE，∴CE＝NC+NE＝CF+BE．故答案为：CE＝CF+BE．第二部分附加题（共10分）25．【解答】解：∵第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；∴（1）请写出第4组等式，162+632＝652；故答案为：，（2）请写出第n组等式＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；故答案为：＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；（3）∵k2+96032＝96052（k＞0），设x+（x+2）＝k，则x（x+2）＝9603，解得x＝97，k＝196，故答案为：196．26．【解答】（1）证明：由题意得，（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2＝（a﹣x）2﹣（a+b﹣x）2+（b﹣y）2﹣y2＝（a﹣x+a+b﹣x）（a﹣x﹣a﹣b+x）+（b﹣y+y）（b﹣y﹣y）＝﹣b（2a+b﹣2x）+b（b﹣2y）＝b（﹣2a﹣b+2x+b﹣2y）＝2b（x﹣a﹣y）．∵a，b，x，y≥0，且a≥x，∴x﹣a≤0，﹣y≤0．∴x﹣a﹣y≤0．∴2b（x﹣a﹣y）≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）解：设a1≥b1，∵b1≥b2≥……≥b n≥0，b1+b2+……+b n＝1，∴b1≥．又++……+≤+b1b2+……+b1b n＝b1（b1+b2+……+b n）＝b1，∴b1（a1+a2+……+a n）＝a1b1+b1（a2+……+a n）≤a1b1+a1（a2+……+a n）≤a1b1+a2b2+…+a n b n+a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n．∴a1b1+a2b2+…+a n b n≥b1（a2+……+a n）﹣（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2＝（++……+）﹣2（a1b1+a2b2+…+a n b n）+（++……+）≤（++……+）﹣2b1（a1+a2+……+a n）+2（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）+b1＝（a1+a2+……+a n）2﹣2b1+b1＝1﹣2b1+b1＝1﹣b1≤1﹣＝．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值为．。
2023-2024学年北京四中九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年北京四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（ ）A．36°B．33°C．30°D．27°3．（2分）抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的对称轴是直线（ ）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣3D．x＝34．（2分）关于x的一元二次方程4x2+（4m+1）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（ ）A．1B．0C．﹣1D．﹣25．（2分）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）A．A，B，C都不在B．只有BC．只有A，C D．A，B，C6．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）A．40°B．70°C．80°D．75°7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝x2﹣2ax+4．若A（a﹣1，y1），B （a，y2），C（a+2，y3）为抛物线上三点，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 8．（2分）在一化学实验中，因仪器和观察的误差，使得三次实验所得实验数据分别为a1，a2，a3．我们规定该实验的“最佳实验数据”a是这样一个数值：a与各数据a1，a2，a3差的平方和M最小．依此规定，则a＝（ ）A．a1+a2+a3B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图，AB为⊙O的切线，切点为点A，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是 ．10．（2分）若正六边形的半径等于4，则它的边心距等于 ．11．（2分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O 的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是 ．12．（2分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．13．（2分）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为 ．14．（2分）某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行雨道，如图所示，阴影部分为雨道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设雨道的宽为x米，根据题意可列方程为 ．15．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 ．①abc＞0；②a+b+c＝2；③b＞2a；④b＞1．16．（2分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23题每题5分，第27题7分）17．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）x2﹣1＝2（x+1）．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，1），B（﹣4，2），C （﹣3，3）．（1）平移△ABC，若点A的对应点A1的坐标为（3，﹣1），画出平移后的△A1B1C1；（2）将△ABC以点（0，2）为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A2B2C2；（3）已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 ．19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D在AB上，且BA＝3AD，连接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，连接BE，DE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求线段DE的长度．21．（5分）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O（纸片），其半径为r．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；⑤以AE为边作正方形AEFG．正方形AEFG即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l为⊙O的切线，其依据是 ．（2）由②③可知，AC＝r，AB'＝πr，则MC＝ ，MA＝ （用含r的代数式表示）．（3）连接ME，在Rt△AME中，根据AM2+AE2＝EM2，可计算得AE2＝ （用含r的代数式表示）．由此可得S正方形AEFG＝S⊙O．22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B （3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）当0≤x≤3时，直接写出y的取值范围；（3）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围．23．（5分）如图，AB是⊙O的弦，∠OAB＝45°，C是优弧AB上一点，BD∥OA交CA 延长线于点D，连接BC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AC＝，∠CAB＝75°，求⊙O的半径．24．（6分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：表1 直发式x（dm）024********…y（dm） 3.84 3.964 3.96m 3.64 2.56 1.44…表2 间发式x（dm）024681012141618…y（dm） 3.36n 1.680.840 1.40 2.403 3.203…根据以上信息，回答问题：（1）表格中m＝ ，n＝ ；（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．25．（6分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝5cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 AC/cm0.10.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9CD/cm0.10.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0FD/cm0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.80.5在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是 ．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）与y轴交于点A，与直线x＝﹣4交于点B．（1）若AB∥x轴，求抛物线的解析式；（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（x P，y P），都有y P≥﹣3，求a的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D为AB上一点．过点D作DE⊥AC 于点E，过点D作DF⊥BC于点F，G为直线BC上一点，连接GE，M为线段GE的中点．连接MD，MF，将线段MD绕点M旋转，使点D恰好落在AB边上，记为D'．（1）①在图1中将图形补充完整；②求∠FMD'的度数．（2）如图2所示，，当点G，M，D′在一条直线上时，请直接写出∠GFM 的度数．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为．对于平面内一点A，若存在边长为1的等边△ABC，满足点B在⊙O上，且OC≥OA，则称点A为⊙O的“近心点”，点C为⊙O的“远心点”．（1）下列各点：D（﹣3，0），，，中，⊙O 的“近心点”有 ；（2）设点O与⊙O的“远心点”之间的距离为d，求d的取值范围；（3）直线分别交x，y轴于点M，M，且线段MN上任意一点都是⊙O的“近心点”，请直接写出b的取值范围．2023-2024学年北京四中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2．【解答】解：连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∵∠BCD＝54°，∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，∴∠A＝∠D＝36°．故选：A．3．【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x＝＝1．故选：B．4．【解答】解：∵4x2+（4m+1）x+m2＝0，∴Δ＝（4m+1）2﹣16m2＝16m2+8m+1﹣16m2＝8m+1，∵有实数根，∴8m+1≥0，∴，∴最小整数值为0．故选：B．5．【解答】解：∵AB＝300m，BC＝400m，AC＝500m，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∵点D是斜边AC的中点，∴AD＝CD＝250m，BD＝AC＝250m，∵250＜300，∴点A、B、C都在圆内，∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C．故选：D．6．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，∴∠DAB＝40°，∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∴∠ADE＝70°，故选：B．7．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2ax+4的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，∴A（a﹣1，y1）到对称轴的距离为1，B（a，y2）点为顶点，C（a+2，y3）点到对称轴的距离为2，∴y2＜y1＜y3．故选：D．8．【解答】解：根据题意：要使a与各数据a1，a2，a3差的平方和M最小，这M应是方差；根据方差的定义，a应该为a1，a2，a3的平均数；故a＝．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∵∠ABO＝32°，∴∠AOB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ADC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案为：29°．10．【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCD是正六边形，∴∠OAD＝60°，∴OD＝OA•sin∠OAB＝4×＝2．故答案为：2．11．【解答】解：由切线长定理得，BF＝BG，CM＝CG，DF＝DN，EN＝EM，∴BF+CM＝BG+GC＝BC＝9，∴AF+AM＝25﹣9﹣9＝7，△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DF+AE+EM＝AF+AM＝7，故答案为：7．12．【解答】解：设圆的半径为r m，由题意可知，DF＝CD＝m，EF＝2.5m，Rt△OFD中，OF＝，r+OF＝2.5，所以+r＝2.5，解得r＝1.3．故答案为：1.3．13．【解答】解：由勾股定理得，，则OC2+OD2＝CD2，∴∠COD＝90°，∵四边形OACB是正方形，∴∠COB＝45°，∴，，，∴阴影部分的面积为．故答案为：．14．【解答】解：∵花园长20米，宽18米，且雨道的宽为x米，∴种植花卉的部分可合成长为（20﹣2x）米，宽为（18﹣x）米的矩形．根据题意得：（20﹣2x）（18﹣x）＝306．故答案为：（20﹣2x）（18﹣x）＝306．15．【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x＝﹣＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故①错误，不符合题意；②当x＝1时，函数值为2，∴a+b+c＝2；故②正确，符合题意；③∵对称轴直线x＝﹣＞﹣1，a＞0，∴2a＞b，故③错误，不符合题意；④当x＝﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又∵a+b+c＝2，将a+c＝2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故④正确，符合题意；综上所述，其中正确的结论是②④；故答案为：②④．16．【解答】解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，故点B（4，0），设圆的半径为r，则r＝2，连接PB，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，故答案为：3.5．三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23题每题5分，第27题7分）17．【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝8＞0，∴x＝＝±，所以x1＝+，x2＝﹣；（2）x2﹣1＝2（x+1）．（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，（x+1）（x﹣1﹣2）＝0，x+1＝0或x﹣1﹣2＝0，所以x1＝﹣1，x2＝3．18．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，交于点P，∴旋转中心的坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．19．【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，∴Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：△ABC为等腰三角形，∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，∴三角形的三边长为4、6、6，当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，∴三角形的三边长为6、6、10，②当b＝c时，则方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．还可采取以下方法：由x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0得到（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0，解得x＝2k或k+1，当a＝b＝2k＝6时，则a＝b＝6，k＝3，此时，三角形的边长为6，6，4；当a＝c＝k+1＝6时，则a＝c＝6，k＝5，则x＝2k＝10＝b，此时，三角形的边长为6，6，10；当b＝c时，即2k＝k+1，解得k＝1，则b＝c＝2，此时，三角形的边长，2，2，6（构不成三角形，舍去）∴综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．20．【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD＝∠BCE．在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝6．∵AB＝3AD，∴AD＝2，BD＝4．由（1）可知△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠A＝45°，BE＝AD＝2，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°．在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，∴DE2＝BE2+BD2，∴DE＝＝2．21．【解答】解：（1）∵l⊥OA于点A，OA为⊙O的半径，∴直线l为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）∵以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C，∴AC＝r．∵纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处，∴AB'＝＝πr，∴CB′＝CA+AB′＝r+πr＝（π+1）r．∵M为CB′的中点，∴MC＝CB′＝．∴MA＝MC﹣AC＝﹣r＝．故答案为：；；（3）连接ME，如图，则ME＝MC＝．在Rt△AME中，∵AM2+AE2＝EM2，∴AE2＝EM2﹣AM2＝﹣＝[][]＝πr×r＝πr2．∴S正方形AEFG＝S⊙O．故答案为：πr2．22．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）﹣1≤y≤3．理由如下：当x＝0时，y＝3；当x＝3时，y＝0；又y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，即x＝2时，y有最小值﹣1，∴当0≤x≤3时，y的取值范围为：﹣1≤y≤3；（3）设直线BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0），∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），又∵B（3，0），∴，解得，所以直线BC的表达式为y＝﹣x+3；抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为x＝＝＝2，当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝﹣1，故顶点坐标为（2，﹣1），画出函数图象如图，∵垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），∴y1＝y2，∴x1+x2＝4．令y＝﹣1，代入BC的解析式y＝﹣x+3，得x＝4．∵x1＜x2＜x3，∴3＜x3＜4，∴7＜x1+x2+x3＜8．23．【解答】（1）证明：连接OB，如图．∵OA＝OB，∠OAB＝45°，∴∠1＝∠OAB＝45°，∵AO∥DB，∴∠2＝∠OAB＝45°，∴∠1+∠2＝90°，∴BD⊥OB于B，又∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；（2）解：作OE⊥AC于点E．∵OE⊥AC，AC＝4，∴AE＝＝2．∵∠BAC＝75°，∠OAB＝45°，∴∠3＝∠BAC﹣∠OAB＝30°．∴在Rt△OAE中，OA＝＝＝4．24．【解答】解：（1）由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：m＝3.84；在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设这条直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，3.36）、（8，0）代入，得，解得：，∴这条直线的解析式为y＝﹣0.42x+3.36，当x＝2时，y＝﹣0.42×2+3.36＝2.52，表格2中，n＝2.52；故答案为：3.84，2.52；（2）由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：“直发式“模式下，抛物线的顶点为（4，4），∴设此抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4（a＜0），把（0，3.84）代入，得3.84＝a（0﹣4）2+4，解得：α＝﹣0.01，∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+4；（3）当y＝0时，0＝﹣0.01（x﹣4）2+4，解得：x1＝﹣16（舍去），x2＝24，∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1＝24；“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为（16，3.20），∴设这条抛物线的解析式为y＝m（x﹣16）2+3.2 （m＜0），把（8，0）代入，得0＝m（8﹣16）2+3.2，解得：m＝﹣0.05，∴这条抛物线的解析式为y＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2，当y＝0时，0＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2，解得：x1＝8，x2＝24，∴d2＝24dm，∴d1＝d2，故答案为：＝．25．【解答】解：（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数．故答案为：AC，CD，FD．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知CD＞DF时，3.5cm＜x＜5cm．故答案为：3.5cm＜x＜5cm．26．【解答】解：（1）若AB∥x轴，则A、B关于抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）的对称轴对称，∵抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）与y轴交于点A，与直线x＝﹣4交于点B，∴A（0，3），∴B（﹣4，3），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，∴a＝＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣3；（2）当x＝﹣4时，y＝8a2+16a﹣3，∵y P≥﹣3，∴8a2+16a﹣3≥﹣3，a2+2a≥0，a（a+2）≥0，∴或，解得：a＞0或a≤﹣2；综上所述：a的取值范围是a＞0或a≤﹣2．27．【解答】（1）①补全图形如图1.1；②延长FM、DE，相交于H，如图1.2，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠D'DF＝135°，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠C＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DE∥FC，∴∠H＝∠MFG，∵M为EG中点，∴EM＝GM，∵∠FMG＝∠HME，∴△FMG≌△HME（AAS），∴HM＝FM，∵△FDH是直角三角形，∴DM＝HM＝FM，由题意得：MD＝MD′，∴DM＝D′M＝FM，∴∠MDD′＝∠MD′D，∠MDF＝∠MFD，∴∠FMD′＝360°﹣∠MDD′﹣∠MD′D﹣∠MDF﹣∠MFD＝360°﹣2∠D′DF＝360°﹣2×135°＝90°，即∠FMD'＝90°；（2）∠GFM的度数为15°或75°．理由如下：分两种情况讨论：①如图2.1，连接EF，∵DE＝DF，在Rt△DEF中，tan∠DEF＝＝，∴∠DEF＝30°，∴∠EFC＝30°，由（1）得：∠FMD'＝90°，∴FM⊥EG，∵M为线段GE的中点，∴FM垂直平分EG，∴∠GFM＝∠EFC＝15°；②如图2.2，同①可得：∠GFM＝∠EFC＝（180°﹣30°）＝75°．综上，∠GFM的度数为15°或75°．28．【解答】解：（1）如下图，观察图形可知，∴⊙O的“近心点”有F，G，故答案为：F，G；（2）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0），根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上，当O．B，C在同一直线上，即C也位于x轴上时，点O与⊙O的“远心点“C之间的距离最大，此时OC＝OB+BC＝+1；当A'C'⊥x轴时，点O与⊙O的“远心点”C之间的距离最小，设A'C'与x轴交于点K，∵BC'＝BA'，∴A'K＝C'K＝A'C'＝，∴BK＝＝＝，∴OK＝OB﹣BK＝＝，∴OC'＝＝＝1，综上所述，点O与⊙O的“远心点“之间的距离d的取值范围为：1≤d≤+1；（3）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0），根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上，当AC⊥x轴时，点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最大，设AC与x轴交于点G，∵BC＝BA，∴AG＝CG＝AC＝，∴BG＝＝＝，∴OG＝OB+BG＝+＝，∴OA＝＝＝，当O．，A'，C'在同一直线上，即C也位于x轴上时，点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最小，此时OA'＝OB+A'B＝﹣1，点O与⊙O的“近心点”之间的距离d的取值范围为﹣l≤d≤；对于直线y＝﹣x+b，令x＝0，则y＝b，即N（0，b），令y＝0，则有0＝﹣+6，解得x＝b，M（b，0）；如下图，当b取最大值时，有b＝，解得b＝，当b取最小值时，过点O作OH⊥MN，垂足为H，此时OH＝﹣1，∵M（b，0），N（0，b），∴OM＝b，ON＝b，∴MN＝＝2b，∵S△OMN＝OM•ON＝MN•OH，∴，解得b＝2﹣，∴b的取值范围为2﹣≤b≤．。
北京四中2023-2024初一下期中数学试卷
数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）在每道题给出的四个选项中，只有一个选项正确．1.在平面直角坐标系中，点(2,3)−在（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.如图，手盖住的是两个图形中的一个，若这两个图形其中一个是由另一个平移得到的，则手盖住的图形是（）．A．B．C．D．3.如右图，AB//CD，GH AB⊥于H，125∠=︒，则∠2=（）．A．55°B．65°C．75°D．85°4.已知32 xy=⎧⎨=⎩是关于x，y的二元一次方程21ax y+=的一个解，那么a的值为（）．A．2.5B．1C． 2.5−D．1−5.下列等式正确的是（）．A．3=B3=±C3=−D．22−=6.已知a b>，则下列不等式中，正确的是（）．A．a b−>−B．2131a b−>−C．33a b+>+D．44a b<7.下列四个命题，①对顶角相等；②有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；其中真命题的个数是（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8. 不等式组5335x x x a−<+⎧⎨<⎩，的解集为4x <，则a 满足的条件是（ ）．A ．4a <B ．4a =C ．4aD ．4a9. 如图是北京地铁部分线路图．在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴 的正方向建立平面直角坐标系，当表示崇文门站的点的坐标为(8,2)−，表示北海北站的点的坐标为(4,8)−时，表示复兴门站的点的坐标为（ ）．A ．()9,0−B ．()14,2−C ．()9,5−D ．()7,2−（第9题图） （第10题图）10. 如图，直线//AB CD ，M 、N 分别在直线AB ，CD 上，H 为平面内一点，连接HM ，HN ，延长HN 至点G ，BMH ∠和GND ∠的角平分线相交于点E ．若H α∠=，则∠E 可以用含α的式子可以表示为（ ）．A ．1802α︒− B ．180α︒− C ．902α︒+ D ．90α︒+二、填空题（每小题2分，共16分）11. 用不等式表示“m 的3倍与n 的差不大于6”： ．12.写出一个大小在之间的整数是 ．13. 如图，直线l 表示一段河道，点P 表示村庄，现要从河l 向村庄P 引水，图中有四种方案，其中沿线段PC 路线开挖的水渠长最短，理由是 ．14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？” 译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？”（注：斛，音hú，古量器名，亦是容量单位）设大容器的容量为x 斛，小容器的容量为y 斛，根据题意，可列方程组为 ．15. 在平面直角坐标系中，AB //x 轴，2AB =，若点(1,3)A −，则点B 的坐标 是 ．16. 如图，直线,AB CD 相交于点O ，OE 平分BOD ∠，OF CD ⊥，垂足为O ．若 72AOC ∠=°，则EOF ∠的度数是___________．（第16题图） （第17题图） 17. 如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2024次，点P 依次落在点1P ，2P ，3P ，…，2024P 的位置，则5P 的坐标为 ，2024P 的坐标为 ．18. 给定实数,a b ，记max{,}a b 为,a b 两数的最大者，min{,}a b 为,a b 两数的最小者，如max{2,3}3−=，min{3,2}3−=−．特别地，max{,}min{,}a a a a a ==．若{}{}min 5,21max 5,1x x +=−，则x 的取值范围是____________．三、解答题（共54分）19. （52+．20. （5分）解下列方程组：1238x y x y +=−−=⎧⎨⎩,．21. （8分）解下列不等式（组）（1）316x ++≤254x −； （2）2311,54.3x x x x +≤+⎧⎪+⎨>⎪⎩22. （6分）完成下面的证明：如图，已知：AD BC ⊥，FG BC ⊥，垂足分别为D ，G ，且12∠=∠， 求证：BDE C ∠=∠．证明：AD BC ⊥，FG BC ⊥（已知），ADC ∴∠=90FGC ∠=︒（ ），//AD FG ∴（ ）．1∴∠= （ ）．又12∠=∠（已知），2∴∠= ．//DE AC ∴（ ）．BDE C ∴∠=∠．23. （5分）已知在平面直角坐标系xOy 中，点(3,3)A −，点(4,1)B −，点(2,2)C −．（1）写出△ABC 的面积．（2）将△ABC 平移，使得点A 与点(1,4)D 重合，得到△DEF ，点B ，C 的对应点分别是点E ，F ．①画出平移后的△DEF ，并写出点E 和点F 的坐标；②若△ABC 中任意一点(),P x y 经同样的平移得到对应点为(),P x m y n '++，则mn = ．24. （7分）如图，已知ADB BCE ∠=∠，180CAD E ∠+∠=︒．（1）判断AC 与EF 的位置关系，并证明； （2）若CA 平分BCE ∠，EF AF ⊥于点F ，70ADB ∠=︒，求BAD ∠的度数．25. （7分）学校计划为“数学文化活动”购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需130元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需230元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共40个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．购买预算金不超过920元，请通过计算说明，学校有几种不同的购买方案．26. （4分）对于实数a ，我们规定：用符号称为a 的根整数，例如：3=，3=；还可以对a 连续求根整数，直到结果为1为止，例如：对10连续求根整数2次：3=，1=，得到结果为1．（1）仿照以上方法计算：= ；（2）对123连续求根整数， 次之后结果为1；（3）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是多少？请通过计算说明．C27.（7分）如图1，AB//CD，点E，F在直线AB上，点H在直线CD上，且EH ⊥FH；作射线FG平分∠EFH，交直线CD于点G；在∠EHC内部作射线HN 交直线AB于点N，使∠NHG=3∠NHE；射线FG与射线HN交于点M．（1）在图1中补全图形；（2）若∠FGH=∠NHG，求∠FMH的度数；（3）在（2）的条件下，将△FMH绕着点F以每秒3°的速度顺时针旋转，旋转时间为t，当MF边与射线FB重合时停止，直接写出t为何值时，△FMH的边MH与△EHF的某一边平行．（图1）（备用图）附加题（共10分）1．（4分）对于给定的自然数()3m m ≥，用1和1− 作为元素填满m 行m 列的数表A ，数表A 中第i 行第j 列的元素记作ij a ，记()r i 为数表A 的第i 行的各数之和，()c j 为数表A 的第j 列的各数之和，其中,1,2,,i j m =．记()()()22(|1)|2m r r M r m A −+++=为数表A 的“代表数”．若数ij a 满足()0ij a r i ⋅>且()0ij a c j ⋅>，则称元素ij a 是“好的”，记()H A 是数表A 中“好的”元素的个数．（1）对以下数表0A ，5m =，则0()M A = ；数表0A（2）当自然数()3m m ≥是偶数时，数表A 的“代表数”()M A 的最大值是______ _____．（用含m 的代数式表示）（3）在数表A 中，若()()()12,,r r r m ，中恰有s 个正数，()()(),1,2,c c c m 中恰有t 个正数，其中，2s m ≥，2t m ≥，则()H A 的最大值是__________．（用含s ，t 和m 的代数式表示）2．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点11(,)P x y ，给出如下定义：当点22(,)Q x y 满足2121k x x y y −=−时，称点Q 是点P 的k 倍等距点．已知，点(20)P ，．（1）在1Q (01)，，2Q (32)，，3Q (22)−，中，点P 的2倍等距点是________；（2）已知点(,1)M m −，(1,4)N m +−，若在线段MN 上存在点E 是点P 的2倍等距点，求m 的取值范围；（3）已知点Q （3，0），A （2−，1），B （0，1），以AB 为边在直线AB 的上方作正方形ABCD ，以PQ 为边在直线PQ 的上方作正方形PQMN ，对于正方形PQMN 边上任意一点E ，若正方形ABCD 的边上都存在点E 的k 倍等距点，直接写出k 的取值范围．。
北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷
北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷一、单选题1．下面四个标志中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（）A ．2x =B ．0x =C ．2x =-，=0D ．=2，=03．若()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 为二次函数()21y x =+图象上的三点，则1y ，23,y y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数()()57y x x =-+的图象的对称轴是（）A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为⊙O 直径，点,C D 在⊙O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（）A ．()21.0581 1.167x -=B ．()1.05812 1.167x +=C ．()21.0581 1.167x +=D ．()21.1671 1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，表盘的半径长为（）A ．3BC ．D ．8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（）A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A ．B ．C ．D ．二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x 向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE 的度数为．11．抛物线y ＝x 2－5x ＋6与y 轴交点的坐标是．12．如图，,PA PB 分別切⊙O 于,A B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作⊙O 的切线分别交,PA PB 于,M N 两点，若PMN 的周长为10，则切线长PA 等于．13．已知22310a a -+=，则代数式()()233a a a -++的值为．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度是cm ．15．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点()1,0-，对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在()0,1A 和()0,2B 之间（不与A B 、重合）．下列结论：①0abc >；②93a c b +>；③40a b +=；④当0y >时，15x -<<；⑤a 的取值范围为2155a -<<-．其中正确结论有（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 是AC 上一点，10BD =，AB CD =，则BC 的最大值为．三、解答题17．解下列方程：(1)23610x x -+=；(2)()233x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()3,1B -，()1,4C -．将ABC V 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到11A BC V ．(1)请在图中画出11A BC V ；(2)线段BC 旋转过程中所扫过的面积是______（结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE．(1)求证：AEB ADC ≌ ；(2)连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．20．已知关于x 的一元二次方程()22840x k x k +--=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围．21．已知：如图，O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：作法一（如图1）作法二（如图2）①接OP ，作线段OP 的垂直平分线，交OP 于点A ；②以点A 为圆心，以AO 的长为半径作A ，A 交O 于点B ；③作直线PB ，则直线PB 是⊙O 的切线．①连接OP ，交O 于点M ，过点M 作OP 的垂线MN ；②以点O 为圆心，以OP 的长为半径作弧，交直线MN 于点Q ；③连接OQ ，交于点B ；④作直线PB ，则直线PB 是的切线．证明：如图1，连接OB ，PO 为A 直径，∴90PBO ∠=︒．（______）∴PB OB ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．证明：……请仔细阅读，并完成相应的任务：(1)“作法一”中的“依据”是指______；(2)请写出“作法二”的证明过程．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过()0,2A -，()2,0B 两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；x⋅⋅⋅1-01212⋅⋅⋅y⋅⋅⋅2-0⋅⋅⋅(3)若一次函数y mx n =+的图象也经过,A B 两点，结合图象，直接写出不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥．(1)求证：AC 是BDE V 的外接圆的切线；(2)若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米(1)求抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙；25．如图1，线段AB 及一定点,C P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7cm AB =，设,A P 两点间的距离为cm x ，,A Q 两点间的距离为1cm y ，,P Q 两点间的距离为2cm y ．小明根据学习函数的经验，分别对函数12,y y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．/cm x 00.30.50.81 1.52345671/cmy 00.280.490.7911.481.872.372.612.722.762.782/cmy 00.080.090.0600.290.73 1.82 3.03 4.20 5.33 6.41第二步：在同一平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点()()12,,,x y x y ，并画出函数12,y y 的图象．解决问题：(1)在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；(2)结合函数图象，解决问题：当APQ △中有一个角为30︒时，AP 的长度约为______cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y ax a x a =-≠．(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC BE =，连接AE ，过C 作CF AE ⊥于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ．(1)求证：AEB ACF ∠=∠；(2)用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”．已知()1,0B -，()2,0C ，(1)写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标______；(2)已知点()112,02C m m ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2:l y x b =+上，求b 的取值范围；(3)已知点H 是直线1x =上的一点，且点H 的纵坐标小于0，()3,0C ，E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线6x =上的点()6,F h ，以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．。
北京四中高二2022~2023学年度第一学期期中考试
高 二 数 学（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）Ⅰ卷（满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项 中，只有一个选项正确.） 1. 直线1y x =-+的倾斜角是 （A ）45︒ （B ）135︒ （C ）120︒（D ）90︒2. 已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b ，且⊥a b ，则x = （A ）103（B ）6- （C ）6（D ）13. 已知点(1,2)A ，(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是 （A ）425x y += （B ）425x y -= （C ）25x y +=（D ）25x y -=4. 正方体1111ABCD A B C D -中，E 为正方形1111A B C D 的中心，1AE AA xAB yAD =++，则,x y 的值是（A ）1,1x y ==（B ）11,2x y ==（C ）11,22x y ==（D ）1,12x y ==5. “1a =”是“直线(1)10ax a y +--=与直线(1)10a x ay -++=垂直”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6. 若点(1,1)M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 （A ）20x y --= （B ）20x y -+= （C ）0x y -=（D ）0x y +=DCBA z yxO7. 已知(2,3)A -，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 （A ）4k ≤-或34k ≥（B ）344k -≤≤（C ）14k ≤-或43k ≥（D ）344k -≤≤8. 在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱11A B ，11A D 的中点，则直线AM 和CN 所成角的余弦值是 （A（B（C） （D9. 如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为 （A ）O ABC -是正三棱锥 （B ）直线//OB 平面ACD（C ）直线AD 与OB 所成的角是45︒ （D ）二面角D OB A --为45︒10.过直线0x y m --=上一点P 作圆M ：22(2)(3)1x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，若使得四边形P AMBP 有两个，则实数m 的取值范围为 （A ）53m -<< （B ）35m -<< （C ）5m <-或3m > （D ）3m <-或5m >二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.直线10x y --=和直线10x y -+=之间的距离是_____.12.若直线3(1)230a x y -++=与直线2(1)10a x ay -++=平行，则a =_____.ED 1C 1B 1A 1DCBA13.与直线062=++y x 平行，且与圆04222=-++y x y x 相切的直线方程为_____. 14.在四面体ABCD 中，所有棱长都是1，P ，Q 分别为棱BC ，AB 的中点，则DP CQ ⋅=_____.15.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，且π3DAB ∠=，PD AD =，PD ⊥平面ABCD ，F ，O 分别是PA ，BD 的中点，E 是线段PB 上的动点，给出下列四个结论： ①AC OE ⊥； ②FC PO =；③直线PO 与底面ABCD； ④AEC ∆面积的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_____.三、解答题（本题共2个小题，共25分，需要写出详细的演算过程和推理过程.） 16.（本题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点． （Ⅰ）求证：1//BD 平面ACE ；（Ⅱ）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值．17.（本小题满分13分）已知点(1,3)A ，(3,1)B ，(1,0)C -，求： （Ⅰ）直线BC 的方程；（Ⅱ）BC 边上的中线所在直线的方程； （Ⅲ）ΔABC 的面积.OEFDCBAPⅡ卷（满分50分）四、解答题（本题共4个小题，共50分，需要写出详细的演算过程和推理过程.） 18.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AB AC ==1=1AA ，M 为线段11AC 上的一点． （Ⅰ）求证：1BM AB ⊥； （Ⅱ）若直线1AB 与平面BCM 所成角为4π，求点1A 到平面BCM 的距离.19.（本题满分12分）已知圆22:(6)(7)25M x y -+-=及其上一点(2,4)A .（Ⅰ）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （Ⅱ）平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且||||BC OA =，求直线l 的方程.20.（本题满分13分）C 1B 1A 1MCBA如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，ΔPAD 为等边三角形，//AD BC ，22AD CD BC ===，E ，F 分别为棱PD ，PB 的中点． （Ⅰ）求证：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求平面AEF 与平面PAD 所成锐二面角．．．．的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在点G ，使得//DG 平面AEF ？若存在，求直线DG 与平面AEF 的距离；若不存在，说明理由.21.（本题满分13分）已知圆C 与圆22168()()255x y -+-=关于直线240x y +-=对称. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若,A B 为圆C 上两个不同的点，O 为坐标原点.设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ，当123k k ⋅=时，求k 的取值范围．FE DCBAP。
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北京四中2012九年级期中数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级 学号 姓名 分数一、选择题（每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．）1．下列事件是必然事件的是（ ）．A ．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是6B ．掷一枚硬币，正面朝上C ．3个人分成两组，一定有两个人分在一组D ．打开电视，正在播放动画片2．抛物线2(1)2y x =-+可以由抛物线2x y =平移而得到，下列平移正确的是（ ）．A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm ，母线长为50cm ，则圆锥形纸帽的侧面积为（ ）． A ．2250cm πB ．2500cm πC ．2750cm πD ．21000cm π4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关系是（ ）．A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（ ）．A ． 14B ．13C ．34D ．126．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（ ）．A ．(53)，B ．(35)，C ．(54)，D ．(45)，7．抛物线21y x kx =++与2y x x k =--相交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为（ ）．QPONxy MA．0 B．2 C．−1 D．1 48．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，90C∠=，6cmCD=，AD＝2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为(s)t，BPQ△的面积为y2(cm)．下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是（）．A．B．C．D．二．填空题（每小题4分，本题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm．10．函数223(22)y x x x=+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是_______________．12．已知二次函数2y ax bx c=++满足：（1）a b c<<；（2）a b c++=；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有．①0a<②0a b c-+<③0c>④20a b->⑤124ba-<三．解答题（每小题5分，本题共30分）13．计算：()331221250-⎪⎭⎫⎝⎛-+---π14．用配方法解方程：212302x x--=PQA DCBPAEFDCB15． 已知221(1)(3)mm y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：（1）弦AB 的长； （2） AB⌒ 的长．17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下表是x 与y 的对应值表：x 0 2 y−3−4−3（1）求出二次函数的解析式；（2）将表中的空白处填写完整；（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象； （4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y =ax 2+bx +c 的值大于0．_______________________18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D ．xO yOC B A OA（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．四．应用题（19题6分，20题5分，21题4分）19．桐桐和大诚玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从剩余的3张牌中也抽出一张．桐桐说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．（1）请用列表（或树状图）表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）若按桐桐说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．G OB A20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件；若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的位置． （保留作图痕迹，不写作法）五．解答题（本题5分）22．已知如图，正方形AEDG 的两个顶点A 、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为 C ，试判断线段AC 与线段BC 的关系．六．综合运用（23、25题7分，24题8分）23．已知： 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2−bx +kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1． （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcabb kc +-22)(的值；（3）求证： 关于x 的一元二次方程ax 2−bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根．24．已知：如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB 为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x 轴于点D．（1）求B、C两点的坐标；（2）求直线CD的函数解析式；（3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：当点E运动到什么位置时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？第24题图25．抛物线23y ax bx =+-交x 轴于B A 、两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为直线1=x ，4AB =．（1）求二次函数23y ax bx =+-的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到C B 、两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于N M 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．初三期中考试参考答案及评分标准 四中 2011.11．04一、选择题：（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CCBBADBB二、填空题：（本题共16分，每小题4分） 9．322 10． −4， 5 11． 849π- 12． ①②③⑤（少选1个扣1分，多选或选错均不得分）三、 解答题：（本题共30分，每小题5分）13． 计算：()3031221250-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π解：原式=522127---…………．．4分（化简运算对一个数给1分） =4228-……………………5分 14．用配方法解方程：212302x x --= 解：21(4)302x x --= ………．．1分 21(2)52x -= ………．．3分210x -=±∴ 12210,210x x =+=- ……．．5分15．已知221(1)(3)mm y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？解：依题设，若原函数为二次函数，则有210212m m m +≠⎧⎨--=⎩ (2)解得 m =3 ………．．．5分 16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：（1） 弦AB 的长； （2） AB⌒ 的长． 解：依题设有OC ⊥AB 于C ，又∵AB 为⊙O 的弦∴ AC =BC =12AB ……… 2分连结OA 则 22AC OA OC =- 又∵OA =6，OC =3∴ AC =33 ∴ AB =63 ………3分（2）由（1）知，在Rt △ACO 中，OA =6，OC =3 ∴ ∠OAC =30° ∴ ∠AOC =60°∴ ∠AOB =120° ………4分∴ AB ⌒ = 123OA π⋅⋅=4π ………．．5 分17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下表是x 与y 的对应值表：x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0（1）求出二次函数的解析式；解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线x =1， 顶点坐标为（1，4） ……1分∴ 二次函数解析式可变形为2(1)4y a x =-- 又由图象过（0，-3），有-3=a -4，解得a =1 ∴ 二次函数解析式为223y x x =-- ．．．．．2分（2）将表中的空白处填写完整； ．．．．．3分（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象； ………4分 （4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y =ax 2+bx +c 的值大于0．x <−1或x >3．．．．．5分18．如图，在△ABC 中，∠C =90°， AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点， 以OA 为半径的⊙O 经过点D ． （1）求证： BC 是⊙O 切线；OCBA（2）若BD =5， DC =3， 求AC 的长． 解：（1）证明： 如图1，连接OD ．∵ OA =OD ， AD 平分∠BAC ，∴ ∠ODA =∠OAD ， ∠OAD =∠CAD ． ………………1分∴ ∠ODA =∠CAD ．∴ OD //AC ． …………………………………2分∴ ∠ODB =∠C =90︒．∴ BC 是⊙O 的切线． ……………………………3分 图1 （2）解法一： 如图2，过D 作DE ⊥AB 于E ． ∴ ∠AED =∠C =90︒．又∵ AD =AD ， ∠EAD =∠CAD ，∴ △AED ≌△ACD ． ∴ AE =AC ， DE =DC =3．在Rt △BED 中，∠BED =90︒，由勾股定理，得 图2 BE =422=-DE BD ． ………………………………………………………4分 设AC =x （x >0）， 则AE =x ．在Rt △ABC 中，∠C =90︒， BC =BD +DC =8， AB =x +4， 由勾股定理，得 x 2 +82= （x +4） 2． 解得x =6．即 AC =6． …………………………………………………………5分 解法二： 如图3，延长AC 到E ，使得AE =AB ． ∵ AD =AD ， ∠EAD =∠BAD ， ∴ △AED ≌△ABD ． ∴ ED =BD=5．在Rt △DCE 中，∠DCE =90︒， 由勾股定理，得CE =422=-DC DE ． ………… ……………4分 图3在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒， BC =BD +DC =8， 由勾股定理，得 AC 2 +BC 2= AB 2．即 AC 2 +82=（AC +4） 2．解得 AC =6． …………………………………………………………5分19． 解：（1） 树状图为：共有12种可能结果． ·················································································· 3分 （2）游戏公平． ···················································································· 4分 ∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果：DCAOB EBDCAO EB DCAOG O B D ACE （6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）．∴ 桐桐获胜的概率P =126=21． ·································································· 5分 大诚获胜的概率也为21． ··········································································· 6分∴ 游戏公平．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件．若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？ 解：设若想盈利1200元，每件器材应降价x 元，则有(40)(202)12x x -+= ……………．2分 可解得1210,20x x ==，答：若想盈利1200元，每件器材降价10元或20元均可 ………．3分 设降价x 元时，盈利为y 元，则 (40)(202)y x x =-+ 0<x <40 ………．4分 解析式可变形为22(15)1250y x =--+ 且 0<15<40由此可知，当降价15元时，最大获利为1250元． …………5分． 21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的位置． （保留作图痕迹，不写作法）任作2弦 给1分，两条中垂线各1分，标出并写出 点O 即为所求给1分五．解答题（本题5分）22． 已知如图，正方形AEDG 的两个顶点A 、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为 C ，试判断线段AC 与线段BC 的关系． 解：线段AC 与线段BC 垂直且相等 ………1分 证明：连结AD ………2分 ∵ 四边形AEDG 为正方形 ∴ ∠ADE =45°∵ 四边形ABCD 内接⊙O ∴∠B +∠ADC =180° ……．．．3分 又∵∠ADE +∠ADC =180°∴∠B =∠ADE =45° 又∵AB 为⊙O 直径∴ ∠ACB =90°，即AC ⊥BC ……4分 ∴ ∠BAC =45°∴ AC =BC ……．．5分23． 解：（1）解：由 kx =x +2，得（k -1） x =2．依题意 k -1≠0．∴ 12-=k x ． ……………………………………1分 ∵ 方程的根为正整数，k 为整数， ∴ k -1=1或k -1=2．∴ k 1= 2， k 2=3． …………………………………………………2分 （2）解：依题意，二次函数y =ax 2-bx +kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a -b +kc ， kc = b -a ．∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.122-=--aab aba …3分 （3）证明：方程②的判别式为 Δ=（-b ）2-4ac = b 2-4ac ． 由a ≠0， c ≠0， 得ac ≠0．证法一：（ i ）若ac <0， 则-4ac >0． 故Δ=b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根．……4分（ ii ）若ac >0， 由（2）知a -b +kc =0， 故 b =a +kc ．Δ=b 2-4ac = （a +kc ）2-4ac =a 2+2kac +（kc ）2-4ac = a 2-2kac +（kc ）2+4kac -4ac =（a -kc ）2+4ac （k -1）． …………………………………………………5分 ∵ 方程kx =x +2的根为正实数， ∴ 方程（k -1） x =2的根为正实数．由 x >0， 2>0， 得 k -1>0． …………………………………6分 ∴ 4ac （k -1）>0． ∵ （a -kc ）2≥0，∴Δ=（a -kc ）2+4ac （k -1）>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………7分 证法二：（ i ）若ac <0， 则-4ac >0． 故Δ=b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根． ……4分（ ii ）若ac >0，∵ 抛物线y =ax 2-bx +kc 与x 轴有交点， ∴ Δ1=（-b ）2-4akc =b 2-4akc ≥0． （b 2-4ac ）-（ b 2-4akc ）=4ac （k -1）． 由证法一知 k -1>0， ∴ b 2-4ac > b 2-4akc ≥0．∴ Δ= b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………………7分 综上， 方程②有两个不相等的实数根．证法三：由已知，a b kc =-，∴2222244()(2)4(1)b ac b c b kc b c k c ∆=-=--=-+-可以证明2b c -和c 不能同时为0（否则0a =），而10k ->，因此20∆>． 24．解：（1）∵A （2，0）， ∴OA =2．作BG ⊥OA 于G ，∵△OAB 为正三角形，∴OG =1，BG =3， ∴B （1，3）． ………………………………1分 连AC ，∵∠AOC =90°，∠ACO =∠ABO =60°．（第24题）90AOC ∠=，∴OC =332． ∴C （0，332）． …………………………………2分 （2）∵∠AOC =90°，∴AC 是圆的直径， 又∵CD 是圆的切线，∴CD ⊥AC ． ∴∠OCD =30°，OD =32．∴D （32-，0）． 设直线CD 的函数解析式为y =kx +b （k ≠0）， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==bk b 320332，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3323b k ∴直线CD 的解析式为y =3323+x ．…4分 （3）∵AB =OA =2，OD =32，CD =2OD =34，BC =OC =332，∴四边形ABCD 的周长6+332． 设AE =t ，△AEF 的面积为S ， 则AF =3+33－t ，S =t 43（3+t -33）． ∵S =t 43（3+t -33）=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2337639432t ． ∵点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+≤≤≤322333020t t ∴2331≤≤+t …………………………6分 ∴当t =639+时，S 最大=831237+．…………8分25．（1）设抛物线的解析式为2(1)y a x h =-+，∵点(3 0)B ，、0 3C-（，）在抛物线上， （第24题）EF∴403.a h a h +=⎧⎨+=-⎩， 解得14.a h =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为22(1)423y x x x =--=--． ……………2分 （2）223(1)(3)y x x x x =--=+-，∴A （1-，0），B （3，0）． ∴221310AC =+=． ∴P A=PB ，∴PB PC PA PC -=-． ………．．3分 如图1，在△P AC 中，PA PC AC -<，当P 在AC 的延长线上时，10PA PC AC -==． 设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴03.k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得33.k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为33y x =--． 当1x =时，336y =--=-．∴当点P 的坐标为（1，6-）时，PA PC -的最大值为10．……………．5分 （3）如图2，当以MN 为直径的圆与x 轴相切时，N y r =．∵点N 的横坐标为1r +，∴22(1)2(1)34N y r r r =+-+-=-． ∴24r r -=． 解得11172r +=，21172r -+=． ……………．．7分新课标第一网系列资料。