圆的周长和弧长
圆周长、弧长
圆周长、弧长知识点辅导1、圆周长公式：R C π2=，其中C 为圆周长，R 为圆的半径。
把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。
2、弧长公式：180Rn l π=，其中l 为n ︒的圆心角所对弧长，R 为圆的半径。
弧长公式的推导过程为：360︒的圆心角所对的弧长为︒⇒=12R C π的圆心角所对的弧长为 ︒⇒=n nR R 1803602π的圆心角所对的弧长为︒180Rn π。
应当注意的是：公式中的n 表示的1︒的圆心角的倍数，它不带单位。
3、圆面积公式：圆面积S 与半径R 之间的关系如下：2R S π=。
4、扇形面积公式：圆心角为n ︒，半径为R 的扇形面积为：lR R n S 213602=π＝扇形。
其中l 表示n ︒的圆心角所对的弧长。
（1）扇形面积公式的推导：360︒的圆心角的扇形面积为︒⇒12R π的圆心角的扇形面积为︒⇒n R 3602π的圆心角的扇形面积为lR R R n S R n l R n 21·180·211803602==πππ＝，故。
又因扇形。
（2）扇形面积公式与三角形面积公式的比较：如果把扇形的弧看成一个“三角形”的“底”，把扇形的半径看成是“高”，那么扇形面积公式与三角形面积公式是类同的。
5、弓形面积的计算方法。
弓形面积的计算问题可转化为扇形面积和三角形面积的计算来进行。
（1）弧长小于半圆的弓形面积等于一个扇形面积减去一个三角形的面积。
（2）弧长等于半圆的弓形面积等于半圆面积。
（3）弧长大于半圆的弓形面积等于一个扇形面积加上一个三角形面积。
6、对一些没有面积计算公式的几何图形，可采用割补法，转化为有面积计算公式的几何图形的面积的和或差。
知识点讲解例1、如图∠AOB ＝120︒，圆O'的半径为r , 圆O'与、OA 、OB 相切于点C 、D 、E 。
求的长。
分析：要求的长，只需求出所在圆的半径即可。
连结OC ，由圆O'与相切知，C 、O'、O 三点共线，因O'C =r ,故只需求OO'即可。
圆的周长与弧长讲义
圆的周长、弧长一、知识要点1、圆的认识：圆中心的一点叫做圆心，圆心一般用字母“o ”表示；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用字母“r ”表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母“d ”表示。
2、圆的特征：（1）在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径长度是半径长度的2倍，用字母表示是：d =2r 或r =d/2（2）圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。
圆的对称轴是直径所在的直线。
3、圆的周长:围成圆的曲线的长。
周长一般用字母“C ”表示,C=πd=2πr . 圆周率：圆的∏ 3.14）4、弧：联结圆上两点的部分。
弧长即为弧的长度。
弧长公式：..2360360360n l n n l C r C π=⇒==二、典型例题例1、求下面各圆的周长。
（1）r = 4cm （2）d = 10dm （3）C = 18.84m例2、上海外滩海关大钟钟面的直径是5.8米，钟面的面积是多少平方米？时针长2.7米，时针绕一圈时针尖端走过途径的长度是多少米？（得数保留一位小数）例3、如图是个半圆（单位厘米），其阴影部分的周长是多少？练一练：1、计算阴影部分的周长。
（单位：厘米）2、如图，求阴影部分的周长（单位：米）。
例4、小乌龟和小白兔又要比赛了，这一次小白兔沿大圆跑一圈，小乌龟沿两个小圆“∞”跑一圈，谁跑的路程长呢？练一练：1、已知AB之间的距离为10，求4个圆的周长之和为多少？2、现有两根圆木，横截面直径都是2分米，如果把它们用铁丝捆在一起，两端各捆一圈（接头不计），那么应准备多长的铁丝？3、求绳子的长度（每个圆的半径都是2厘米）。
4、有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米?例5、（1）圆形的车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的_________（2）等边三角形的边长为2厘米，如果其滚动一次，请画出A点所经过的路线并求出其长度。
圆周长、弧长
圆周长、弧长 ( 一)圆周长、弧长 (一)圆周长、弧长 (一)教学目标：1、复习圆周长公式；2、理解弧长公式．3、通过弧长公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力；4、通过“弯道”问题的解决，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．教学重点：弧长公式．教学难点：正确理解弧长公式．教学过程：一、新课引入：前一阶段我们学习了圆的有关概念，知道圆上两点之间的部分叫做弧．弧的度数前面已经学过了，弧应当有长度，弧的长度应如何求呢？小学我们学了圆周长公式，怎样通过圆周长求出弧长，这正是我们这节课所要研究的内容．二、新课讲解：由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，学过圆的有关1性质和小学学过圆周长的基础，研究弧长公式已呈水到渠成之势，所以本节课以推导弧长公式为重点并应用弧长公式解决某些简单的实际问题，在计算过程中常出现由于对“n ”理解上的错误而影响计算结果的正确清楚 n °圆心角所对弧长是 1°弧长的n 倍．(复习提问 )：1 ．已知⊙ o 半径为 r，⊙o 的周长 c 是多大？ (安排中下生回答： c=2 πr)，2 ．已知⊙ o 的周长是 c，⊙ o 的半径 r 等幻灯给出例 1，已知：如图 7-155 ，圆环的外圆周长 c1=250cm ，内圆周长 c2=150cm ，求圆环的宽度 d( 精确到 1mm) ．圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？(安排中学生回答，d=r1-r2)请同学们完成此题，(安排一名学生上黑板做，其余同学在下面做 )(d ≈15.9cm)我们知道，把顶点在圆心的周角等分成360 份时，每一份的圆心角是1°的角，因为同圆中相等的圆心角所对弧相等，所以整个圆也被等分成 360 份，每一份这样的弧就是 1°的弧，大家知道圆的周长是 2πr，想想看 1 °的弧长应是多少？怎样求？ (安排中等生回答： 1°的弧长 =(安排中下生回答 )哪位同学回答， n °的圆心角所对的弧长 l ，应怎么求？(幻灯供题，学生计算，然后回答)1 ．边长 6cm 的正三角形，它的内切圆周长是___；它的外接圆的周2 ．边长 4cm 的正方形，它的内切圆周长是___；它的外接圆的周长3 ．周长 6 πcm 的⊙ o ，其内接正六边形的边长是___；(3cm)4 ．已知⊙ o 的周长 6 πcm ，则它的外切正方形的周长是 ___；(24cm)的半径是 ___(2cm)7 ．如果⊙ o 的半径 3cm ，其中一弧长 2πcm ，则这弧所对圆心角度数是 ___(120°)以上各题解决起来不太困难，所以应重点照顾中下学生．幻灯供题：已知圆的半径 r=46.0cm ，求 18 °31 ′的圆心角所对的弧长 l(保留三个有效数字 )．(安排一中下生上黑板做此题，其余同学在下面完成．)供了分析素材．假如上黑板作题的学生先把18 °31 ′化为18.52 °后计的问题让学生们充分展开讨论．在讨论过后首先让先把18 °31 ′化为 18.52 °后再代入公式计算的学生谈谈，他是怎么想的，最后由上等生或示 1°的n 倍，由于 2 °是1°的2 倍， 3 °是1°的3 倍， n °是1倍数 n 与圆心角的度数 n °相对应．而这道题的圆心角是 18 °31 ′，所以需将 31 ′换算成度才能得到公式中所需的 n ．(安排学生正确完成此题，答案，l≈14.9cm)请同学们再计算一题，已知圆的半径r=10cm ，求 18 °42 ′的圆心角所对的弧长l ．幻灯给出例 2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度 l(单位： mm ，精确到 1mm)哪位同学到前面指出图 7-155 中所示的管道指的哪部分？ (安排举手的同学 )。
弧长周长公式
弧长周长公式弧长周长公式是一种计算圆弧长度和圆周长的重要方法，它是由17世纪意大利数学家符拉迪欧普勒提出的，并得到十九世纪法国数学家奥古斯特杰斐逊完善。
弧长周长公式通常用来表示圆弧长度和圆周长之间的关系，可以通过其计算出圆弧长度和圆周长。
弧长周长公式表示为：弧长＝圆心角×半径周长＝圆心角×2×半径在弧长周长公式中，圆心角是弧对应的两个圆心之间的角度，即以圆的圆心，圆的内切线和圆的线段的夹角，单位是弧度。
弧长是指圆弧线段的长度，而周长指的是圆的全部长度。
在使用弧长周长公式时，首先要确定圆心角和半径，然后根据公式计算出圆弧长度和圆周长。
在实际计算中，可以利用圆心角求解圆弧长度，并利用周长求解圆的半径。
弧长周长公式在很多领域有广泛的应用，尤其是在几何学，建筑学，机械工程，圆柱曲面等方面都有重要的研究和应用。
在工程实践中，弧长周长公式有着重要的意义，可以为设计者提供非常实用的计算数据。
在弧长周长公式中，还有一个重要概念叫做弧率，即弧长与半径的比值，标准弧率是指一圆弧长度和半径的比值为1：2π，也就是说，弧率通常表示其半径是2π时，弧长为1，即1弧度等于2π弧长。
此外，还有一种著名的弧长公式叫做“虚拟长度公式”，它有别于传统的弧长公式，它不要求圆心角等于1，而是要求圆周长等于1。
虚拟长度公式可以用于曲线和圆的弧长计算，表示为：弧长＝η（1）/（s）其中，η（s）是曲线或圆上的投影长度。
虚拟长度公式可以用于计算曲线和圆的弧长，它的优势在于它的计算算法更加简单，可以有效地减少计算时间。
总之，弧长周长公式是一种优秀的计算方法，它被广泛用于圆弧长度和圆周长的计算，是很多领域的重要计算方法。
弧长周长公式为设计者提供了非常实用的计算数据，经过不断的改进，它的使用范围也会越来越广泛。
圆的周长和弧长
天天学教育学员个性化辅导教案学生 辅导科目 数学 所在年级 六年级 所在课次 授课教师 付老师教案编号教材版本授课时间课题名称 圆的周长和弧长教学重点教学难点掌握圆的特征,理解和掌握在同一个圆里半径和直径的关系和计算圆的周长,理解弧长公式的推导过程,掌握弧长的计算公式。
理解圆周率的意义,能推导出圆周长的计算公式,能正确地计算圆的周长；会利用弧长公式解决问题。
教学过程 圆的周长和弧长【根本知识概念】一、圆的认识：圆心：我们把圆中心的这一点叫做圆心.圆心一般用字母 o 表示.半径：我们把连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,半径一般用字母r 表示.〔在同一个圆里有无数条半径,所有半径的长度都相等.〕直径：我们把通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径.直径一般用字母 d 来表示。
结论：在同一圆内〔或等圆〕有无数条半径,无数条直径,所有的直径都相等,所有的半径都相等,直径是半径2倍,也就是“ d = 2r 或 2r d〞。
例1：判断:1.画圆时,圆规两脚间的距离是半径的长度.〔 〕2.两端都在圆上的线段,叫做直径.〔 〕3.圆心到圆上任意一点的距离都相等.〔 〕4.半径2厘米的圆比直径3厘米的圆大.〔 〕5.所有圆的半径都相等.〔 〕6.在同一个圆里,半径是直径的 .〔 〕7.在同一个圆里,所有直径的长度都相等.〔 〕 8.两条半径可以组成一条直径.〔 〕弧长公式：在半径为R 的圆中,n 的圆心角所对的弧长为：180rn l π=。
注意：〔1〕在应用弧长公式进行计算时,要注意公式中n 的意义．n 表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的；180rn π不能写成1800r n π或者0180rn π〔2〕公式可以理解记忆〔即按照上面推导过程记忆〕；〔3〕区分弧、弧的度数、弧长三概念。
圆的弧长不仅和圆心角有关,还和圆的半径有关。
弧相等和弧长相等是不等价的。
如果说两条弧相等,是说两条弧的度数和长度都相等,反过来,如果两条弧的度数相等,或者两条弧的长度相等,那么两条弧不一定相等。
圆的周长、弧长
圆的周长、弧长前言圆是几何学中的基本概念，它由一条固定的点（圆心）和到这个点距离固定的点（半径）的所有点组成。
在几何学中，我们经常需要计算圆的周长和弧长，这两个量在很多实际问题中都起着重要作用。
圆的周长圆的周长是指绕圆形曲线一周所需要的长度。
要计算圆的周长，需要知道圆的半径或直径。
公式圆的周长可以使用以下公式进行计算：周长 = 2 * pi * r 或者周长 = pi * d其中，r是圆的半径，d是圆的直径，而pi是一个数学常数，近似取值为3.14159。
根据给定的半径或直径，可以通过上述公式来计算圆的周长。
示例假设一个圆的半径为5厘米，那么根据上述公式可以计算出圆的周长：周长 = 2 * 3.14159 * 5 = 31.4159 厘米因此，这个圆的周长为31.4159厘米。
圆的弧长圆的弧长是指圆上两点之间的弧所对应的圆周的长度。
弧是圆上的一段连续的曲线。
与周长类似，要计算圆的弧长，同样需要知道圆的半径或直径，并知道所对应的弧度。
公式圆的弧长可以使用以下公式计算：弧长 = 弧度 * r其中，弧度是以弧长等于半径的圆的角度，r是圆的半径。
在计算弧长时，需要将角度转换为弧度，然后使用上述公式进行计算。
示例假设一个圆的半径为10厘米，而所对应的弧度为60度，则可以计算出圆的弧长：将60度转换为弧度：弧度= 60 * (pi / 180) ≈ 1.0472弧长 = 1.0472 * 10 = 10.472 厘米因此，这个圆的弧长为10.472厘米。
结论圆的周长和弧长是计算圆形曲线相关属性的重要指标。
通过本文我们了解到，要计算圆的周长，需要知道圆的半径或直径；要计算圆的弧长，需要知道圆的半径和所对应的弧度。
根据相应的公式，我们可以方便地计算出圆的周长和弧长。
这些概念和计算方法在几何学和实际问题中都有广泛的应用。
圆的周长、弧长
圆的周长、弧长 圆周长、弧长一 教学目标 1、初步掌握圆周长、弧长公式； 2、通过弧长公式的推导，培养学生探究新问题的能力； 3、调动学生的积极性，培养学生的钻研精神; 4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用 所学知识分析问题和解决问题的能力． 教学重点弧长公式． 教学难点正确理解弧长公式． 教学活动设计 一复习圆周长 已知⊙半径为，⊙的周长是多少？=2π 这里 π=314159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率． 由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧 的长度呢？ 提出新问题已知⊙半径为，求°圆心角所对弧长． 二探究新问题、归纳结论教师组织学生探讨因为问题并不难，学生完全可以自己研究得到公式． 研究步骤 1 圆周长=2π； 21°圆心角所对弧长=； 3°圆心角所对的弧长是 1°圆心角所对的弧长的倍； 4°圆心角所对弧长=． 归纳结论若设⊙半径为，°圆心角所对弧长，则弧长公式 三理解公式、区分概念 教师引导学生理解 1 在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中的意义．表示 1°圆心角 的倍数，它是不带单位的； 2 公式可以理解记忆即按照上面推导过程记忆； 3 区分弧、 弧的度数、 弧长三概念． 度数相等的弧， 弧长不一定相等， 弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧． 四初步应用 例 1、已知如图，圆环的外圆周长 1=250，内圆周长 2=150，求圆环的 宽度精确到 1． 分析 1 圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？ 2 已知周长怎样求半径？ 学生独立完成 解设外圆的半径为 1，内圆的半径为 2，则 =．∵，， ∴ 例 2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所 示管道的展直长度单位，精确到 1 教师引导学生把实际问题抽象成数学问题，渗透数学建模思想． 解由弧长公式，得 所要求的展直长度 答管道的展直长度为 2970． 课堂练习 176 练习 1、4 题． 五总结 知识圆周长、弧长公式；圆周率概念； 能力探究问题的方法和能力，弧长公式的记忆方法；初步应用弧长公 式解决问题． 六作业教材 176 练习 2、3；186 习题 3．圆周长、弧长二 教学目标 1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题； 2、培养学生综合运用知识的能力和数学模型的能力； 3、通过应用题的教学，向学生渗透理论联系实际的观点． 教学重点灵活运用弧长公式解有关的应用题． 教学难点建立数学模型． 教学活动设计 一灵活运用弧长公式例 1、填空 1 半径为 3，120°的圆心角所对的弧长是_______； 2 已知圆心角为 150°，所对的弧长为 20π，则圆的半径为_______； 3 已知半径为 3，则弧长为 π 的弧所对的圆心角为_______． 学生独立完成，在弧长公式中、、知二求一． 答案 12π；224；360°． 说明使学生灵活运用公式，为综合题目作准备． 练习 196 练习第 1 题 二综合应用题 例 2、 如图， 两个皮带轮的中心的距离为 21， 直径分别为 065 和 024． 1 求皮带长保留三个有效数字；2 如果小轮每分转 750 转，求大轮每分约转 多少转． 教师引导学生建立数学模型 分析 1 皮带长包括哪几部分+++； 2 两个皮带轮的中心的距离为 21，给我们解决此题提供了什么数学信 息？ 3、与⊙1、⊙2 具有什么位置关系？与具有什么数量关系？根据是什 么？与是⊙1 与⊙2 的公切线，=，根据的是两圆外公切线长相等． 4 如何求每一部分的长？ 这里给学生考虑的时间和空间，充分发挥学生的主体作用． 解 1 作过切点的半径 1、1、2、2，作 2⊥1，垂足为． ∵12=21，，，∴， ∴ ∵，∴， ∴的长 1． ∵，∴的长． ∴皮带长=1+2+2=562． 2 设大轮每分钟转数为，则，转 答皮带长约 563，大轮每分钟约转 277 转． 说明通过本题渗透数学建模思想，弧长公式的应用，求两圆公切线的 方法和计算能力． 巩固练习 196 练习 2、3 题探究活动钢管捆扎问题 已知由若干根钢管的外直径均为，想用一根金属带紧密地捆在一起， 求金属带的长度． 请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明． 提示设钢管的根数为，金属带的长度为如图 当=2 时，2=π+2． 当=3 时，3=π+3． 当=4 时，4=π+4． 当=5 时，5=π+5． 当=6 时，6=π+6． 当=7 时，7=π+6． 当=8 时，8=π+7．猜测若最外层有根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两 圆是切，则金属带的长度为=π+． 证明略．。
《圆的周长公式的应用》
《圆的周长公式的应用》圆的周长公式是数学中的基本公式之一，它用于计算圆的周长。
公式如下：周长=2πr圆的周长公式的应用非常广泛，下面将介绍其中的一些具体应用：1.圆的周长计算最基本的应用是计算圆的周长。
通过该公式，我们可以直接根据圆的半径求得其周长，而无需测量圆的直径。
2.圆的周长与直径的关系根据圆的周长公式，可以推导出圆的周长与其直径的关系。
即，周长等于直径乘以π。
这一关系说明了圆的周长与其直径之间的比例关系。
3.弧长的计算在圆的周长公式的基础上，可以计算圆的弧长。
弧长是一个圆弧的长度，通常用字母l表示。
若知道圆的半径和圆心角的大小（通常用θ表示），可以通过下列公式计算弧长：弧长=(θ/360)×周长4.转弯处的路径规划在实际生活中，我们常常需要计算车辆在转弯处的路径长度，以便进行路径规划和安全控制。
在轮子形状相对简单的车辆中，可以将其轮子近似看作圆。
通过圆的周长公式，可以计算车辆在转弯时的路径长度，以便找到最佳路径和调整车速。
5.圆形运动的运动过程分析在物理学中，我们常常研究物体进行圆弧运动的过程。
通过圆的周长公式，可以计算物体在一段时间内绕圆周运动的路程。
这对于理解物体的运动规律、计算相关物理量等非常有帮助。
6.圆的逼近圆在几何学中非常重要，但在实际操作中，往往很难得到一个完美的圆。
因此，在实际工作中，往往通过逼近法来计算圆的周长和面积。
圆的周长公式为这种逼近法的基础，可以通过增加边数来逼近真实的圆。
总之，圆的周长公式是数学中的一个基本公式，具有广泛的应用。
通过它，我们可以计算圆的周长、弧长，分析物体的运动规律，进行路径规划等。
在实际工作中，经常会用到这个公式，因此掌握圆的周长公式及其应用是非常重要的。
沪教版六年级数学上册 第4章 圆的周长和弧长(带答案)
1、复习圆的周长、及圆的弧长公式。
2、在基础训练部分，着重复习公式及计算的方法技巧；在巩固训练部分，加强对图形的分析，由易到难，解决平时学生易犯错误的题目，加深理解。
3、在教学中让学生感受到几何图形的美。
圆的周长与弧长一、上节回顾（课前回顾）圆的认识：O.r圆心：我们把圆中心的这一点叫做圆心.圆心一般用字母O表示.半径：我们把连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,半径一般用字母r 表示.（在同一个圆里有无数条半径,所有半径的长度都相等.）直径：我们把通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径.直径一般用字母d来表示。
结论：在同一圆内（或等圆）有无数条半径,无数条直径,所有的直径都相等,所有的半径都相等,直径是半径2倍,也就是“d = 2r”。
二、本节内容知识点一：圆的周长用字母C表示圆的周长，d表示直径，那么C= πd 或C= 2πr .（直径大小一般用字母∅表示）。
基础练习：（1）圆的周长总是它的直径的倍多一些。
这个倍数是个固定的数，把它叫做，用字母表示。
（2）一个圆的半径是2.5厘米，它的直径是厘米，圆的周长是厘米。
（3）一个圆的周长是50.24分米，它的直径是分米，半径是分米。
（4）一个圆的半径是2厘米，半径扩大3倍，直径扩大倍，圆的周长就扩大倍。
（5）两圆的半径之比为3∶2，则它们的周长之比为；（6）周长为6π的圆的半径为。
经典例题：例1、（1）一个时钟的时针长10cm，时针尖12小时走了cm。
62.8（2）一个半圆形的窗户，它的直径是1米，这个半圆形的一周用米材料。
2.57（3）如果圆的直径扩大原来的5倍，那么圆的周长扩大为原来的倍；5如果圆的半径增加3cm，那么圆的周长增加cm。
18.84一个直径为2cm的圆的周长，正好等于另一个圆周长的1，则另一个圆的半径是cm。
44例2、如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系式是（）AA．a=b B．a<b C．a>b D．不能确定例3、一辆自行车车轮的外直径是75cm，如果车轮以每分钟100圈的速度行驶，那么通过1413m的公路需要多少分钟？6分钟例4、两个皮带轮用皮带相连，大轮的直径是1.5m，小轮的直径是0.5m，大轮转一圈，小轮转几圈？3例5、在一个边长为4厘米的正方形内画一个最大的圆，并在其余部分涂上阴影，求阴影部分的周长。
数学关于圆的知识点
数学关于圆的知识点圆是数学中的一种基本几何形状，具有许多独特的性质和特点。
本文将介绍一些关于圆的数学知识点。
一、圆的定义和基本性质圆是由平面上的一组点构成，这些点到一个固定点的距离都相等。
这个固定点称为圆心，距离称为半径。
圆可以用一个大写字母表示，如圆O。
圆的基本性质有：1. 圆的直径是任意两点在圆上的最大距离，它等于圆的半径的两倍。
2. 圆的周长是圆上任意一点到相邻两点的弧长之和，用2πr表示，其中r是圆的半径。
3. 圆的面积是圆内部所有点组成的区域，用πr²表示，其中π约等于3.14159，r是圆的半径。
二、圆的弧长和扇形圆的周长也可以称为圆的弧长。
当圆的半径为r时，圆的弧长等于2πr。
如果只取圆上的一段弧，那么这段弧的长度可以通过圆的弧度来表示。
圆的弧度是弧长与半径的比值。
圆的扇形是由圆心、圆周上的两点以及与这两点相连的弧所围成的图形。
扇形的面积可以通过弧度与圆的半径的平方的乘积来计算。
三、圆的切线和切点圆与直线的关系是圆的重要性质之一。
如果一条直线与圆相交于圆上的一点，且这条直线与圆的切线垂直，那么这条直线称为圆的切线，这个相交点称为切点。
圆的切线有以下性质：1. 切线与半径的夹角是直角。
2. 切线与半径在切点处相交。
3. 半径与切线的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
四、圆的切圆和切点圆与圆的关系也是圆的重要性质之一。
如果一个圆与另一个圆相交于圆上的一点，且这两个圆的切线相交于这个点，那么这两个圆称为切圆，这个相交点称为切点。
切圆的性质有：1. 切圆与切线相切于同一点。
2. 切圆的半径与切点到圆心的距离相等。
五、圆的坐标表示圆可以通过坐标系来表示。
如果圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，那么圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²。
这个方程可以用来表示圆上的所有点的坐标。
六、圆的变换圆可以通过平移、旋转和缩放等变换来改变形状和位置。
这些变换不会改变圆的半径和周长，但会改变圆心和圆的位置。
六年级秋季班-第15讲圆的周长和弧长
圆的周长和弧长是六年级数学上学期第4章第1节的内容，通过本讲的学习，同学们需要掌握圆的周长和弧长的公式，并熟练运用进行相关的计算．难点是圆的周长和弧长公式在组合图形中的运用，以及在实际问题中的应用．1、圆的周长通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母π表示，π读作“pai”；圆周率π是个无限不循环小数， 3.14π≈．圆的周长÷直径= 圆周率．用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：C dπ=或2C rπ=圆的周长和弧长内容分析知识结构模块一：圆的周长知识精讲【例1】 想要求圆的周长，就必须知道（ ）A ．圆心B ．圆周率C ．直径和半径D ．直径或半径【难度】★ 【答案】D【解析】C d π=或2C r π=． 【总结】考查圆的周长公式．【例2】 π是一个（ ）A ．有限小数B ．无限循环小数C ．无限不循环小数D ．混合循环小数【难度】★ 【答案】C【解析】圆周率π是一个无限不循环小数． 【总结】考查圆周率基的概念．【例3】 判定题：（1）大圆的圆周率大于小圆的圆周率．（ ）（2）一个圆的半径扩大2倍，它的周长也扩大2倍．（ ）【难度】★【答案】（1）×；（2）√． 【解析】（1）圆周率是个定值；（2）由周长公式可知，当一个圆的半径扩大n 倍时，这个圆的周长也扩大n 倍． 【总结】考查圆周率及圆的周长公式．例题解析20 cm3【例4】 求下列图中各圆的周长．（π取3.14）【难度】★【答案】（1）62.8cm ；（2）18.84．【解析】（1） 3.142062.8C d cm π==⨯=；（2）22 3.14318.84C r π==⨯⨯=．【总结】考查圆的周长以及周长公式的计算．【例5】 车轮的直径是0.8米，那么它的滚动一周长为多少米？（π取3.14） 【难度】★ 【答案】2.512米．【解析】3.14×0.8=2.512m ．【总结】考查圆的周长的在实际问题中的计算．【例6】 小智每天绕半径为20米的花坛跑15圈，则小智每天要跑多少米？（π取3.14） 【难度】★ 【答案】1884米．【解析】15×2×3.14×20=1884米．【总结】考查圆的周长的在实际问题中的计算．【例7】 小方家挂钟的分钟长24厘米，1小时后，分针的尖端所走的路程是多少厘米？10小时后呢？（π取3.14）【难度】★★【答案】1小时后走过的路程为：150.72cm ，10小时后走过的路程为：1507.2cm ． 【解析】1小时后走过的路成为：2×3.14×24=150.72cm ， 10小时后走过的路成为：150.72×10=1507.2cm ．【总结】考查圆的周长的计算，分针走过1小时，针尖走过的路程即为一个圆的周长．10154 6【例圆的半径 2厘米 2.5dm 1.5m 10m 圆的直径 4cm 5dm 3米 20m 圆的周长12.56cm15.7分米9.42m62.8米【难度】★★ 【答案】见表格．【解析】根据半径、直径、周长之间的关系计算． 【总结】考查圆的周长、半径、直径之间的关系．【例9】 如图，是一个由半圆和一条直径所组成的图形，求这个图形的周长．（单位：厘米，π取3.14）【难度】★★ 【答案】25.7．【解析】10×3.14÷2+10=25.7．【总结】考查半圆的周长的计算，直径的长度勿忘．【例10】 如图，大半圆的直径为15厘米，小半圆的直径是大半圆的13，则该图形的周长为______．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】41.4cm ．【解析】3.14(155)25541.4cm ⨯+÷++=．【总结】考查圆的周长的计算，注意本题中是半个圆．【例11】 如图是由直径分别为4厘米、6厘米和10厘米的三个半圆所组成的图形，则这个图形的周长为______．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】31.4cm ．【解析】3.14(1064)231.4cm ⨯++÷=．【总结】考查圆的周长的计算，注意本题中周长是三个半圆的和．ABCO【例12】 直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地的捆在一起，如图所示，试求金属带的长度．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】7.14m ．【解析】3.14×1+4=7.14m ．【总结】本题中注意金属带的长度包含了4个直径．【例13】 一个正方形的铁片里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是25.12厘米，那么正方形的周长比圆的周长多多少厘米？（π取3.14）【难度】★★ 【答案】6.88厘米．【解析】已知正方形的边长即为圆的直径，则正方形边长为25.12÷3.14=8cm ， 所以正方形周长为：8×4=32cm ，则正方形的周长比圆的周长多：32-25.12=6.88cm ．【总结】本题中注意正方形的边长即为圆的周长，从而利用圆的周长公式计算．【例14】 如图，点O 、点B 在线段AC 上，AB = 120 米，BC = 70 米，O 是圆心．从A到C 有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短．【难度】★★★ 【答案】距离一样．【解析】A →C ：190π÷2 = 95π； A →O →C ：95π÷2×2 = 95π； A →B →C :120π÷2+70π÷2 = 95π．【总结】考查圆的周长公式在组合图形周长计算中的运用．【例15】 如图，一个半径1厘米的硬币沿着长方形纸板的边缘滚动，长方形纸板长30厘米，宽20厘米，当硬币滚回原来位置时，硬币的圆心经过的路程是______厘米．（π取3.14） 【难度】★★★ 【答案】106.28cm ．【解析】虚线图形的周长即为银币圆心经过的路程： 即：（30+20）×2+2×3.14×1=106.28cm ． 【总结】本题在计算时注意四角是四段圆弧组成的．ABO1、弧和圆心角的概念如图，圆上A 、B 两点之间的部分就是弧，记作：AB ，读作：弧AB ；AOB ∠称为圆心角．2、弧长公式设圆的半径长为r ，n °圆心角所对的弧长是l ，那么：180nl r π=．【例16】 下列图形中的角是圆心角的有______个．【难度】★ 【答案】3．【解析】顶点在圆心的角叫圆心角． 【总结】考查圆心角的概念．模块二：弧长知识精讲例题解析【例17】下列判断中正确的是（）A．半径越大的弧越长B．所对圆心角越大的弧越长C．所对圆心角相同时，半径越大的弧越大D．半径相等时，无论圆心角怎么改变，弧长都不会改变【难度】★【答案】C【解析】由公式可得C正确．【总结】考查弧长的影响因素．【例18】若一弧长是所在圆周长的25，则它所对的圆心角是______度．【难度】★【答案】144度．【解析】2 3601445⨯=．【总结】考查弧长公式的逆运用．【例19】一段圆弧所在的圆的半径是40厘米，这条弧所对的圆心角为100°，求该圆弧的弧长．（结果保留π）【难度】★【答案】2009π．【解析】100×40π÷180 =2009π．【总结】考查对弧长公式的理解以及利用公式进行计算．【例20】一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（π取3.14）【难度】★【答案】4cm．【解析】18.84×180÷270÷3.14 = 4cm．【总结】考查弧长公式的逆运用．ABC【例21】 如图，ABC ∆的三条边长都是18毫米，分别以A 、B 、C 为圆心，18毫米为半径画弧，求这三条弧长的和．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】56.52毫米．【解析】180×3.14×18÷180 = 56 .52毫米．【总结】考查对弧长公式的理解以及运用公式进行计算．【例22】 某建筑物上的大钟，分针长1.2米，时针长0.9米，试计算2小时分针和时针的针尖运动的距离．（π取3.14）【难度】★★【答案】分针针尖2小时经过的路程为15.072m 、时针针尖2小时经过的路程为0.942m ． 【解析】时针走两小时，走过的圆心角度数为60°，则时针针尖2小时运动的距离为：60×3.14×0.9÷180 = 0.942m ，分针走一小时，走过的圆心角为360°，则时针针尖2小时运动的距离为：720×3.14×1.2÷180= 15.072m ．【总结】考查弧长公式的运用，注意时针针尖和分针针尖在不同时间走过圆心角不同．【例23】 把直径为18厘米的圆等分成9个扇形，每个扇形的周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】24.28cm ．【解析】3.14×18÷9+18=24.28cm ．【总结】考查弧长的计算，分成扇形后多了两个半径．【例24】 如图，圆心角为135°的扇形减去直径为12厘米的半圆，所得到的阴影部分的周长为______厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】59.1厘米．【解析】135×3.14×12÷180+3.14×6＋12 = 59.1厘米． 【总结】考查弧长公式的计算．A BCD7厘米2 2 2 2 2 2 4【例25】 如图，以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？（π取3.14）【难度】★★ 【答案】3.09cm ．【解析】已知两段弧所对的圆心角的度数均为60°， 故阴影部分的周长为：120×3.14×1÷180＋1=3.09cm ． 【总结】考查弧长的计算，注意阴影部分的周长包含BC 的长．【例26】 如图，四边形ABCD 是长方形，长为10厘米，宽为6厘米，求阴影部分的周长．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】33.12cm ．【解析】90×3.14×10÷180＋90×3.14×6÷180＋4＋4=33.12cm ． 【总结】考查组合图形的周长的计算．【例27】 夏天到了，爸爸到商店买了3瓶啤酒，售货员将3瓶啤酒捆扎在一起，如图所示，那么捆4圈至少用绳子______厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】171.92厘米．【解析】（3×7+3.14×7）×4 = 171.92cm ．【总结】本题中一圈绳子的长度包含了一个直径为7厘米的 的圆的周长与3个直径的和．【例28】 求图中阴影部分的周长．（π取3.14） 【难度】★★★ 【答案】33.12．【解析】四条弧加起来正好是一个圆， 故阴影部分的周长为：3.14×4×2＋2×4=33.12．【总结】考查组合图形的周长的计算，注意该组合图形中包含了四条线段的长．AABCABCABCABCA……原位置第一次第二次第三次第四次第五次【例29】如图，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长600厘米的正方形，栓狗的绳子长20米．现狗从A点出发，将绳子拉紧顺时针跑，可跑多少米？（π取3.14）【难度】★★★【答案】69.08m．【解析】狗可以跑4个14圆，第一个14圆的半径为20米，路程是：14×2π×20 = 10π；第二个14圆的半径为20-6=14米，路程是：14×2π×14 = 7π；第三个14圆的半径为20-6-6=8米，路程是：14×2π×8 = 4π；第四个14圆的半径为20-6-6-6=2米，路程是：14×2π×2 =π．所以可以跑的总路程为：10π+7π+ 4π+π= 22π= 69.08m．【总结】本题综合性较强，主要是分清每段圆的半径．【例30】等边三角形的边长是3厘米，现将ABC沿一条直线翻滚30次，如图所示，求A点经过的路程的长．【难度】★★★【答案】125.6cm．【解析】A点运动一次走过的路程是圆心角为120度半径为3厘米的扇形的弧长，但连续运动两次之后，第三次A点是不动的，因此ABC每翻滚一次，就有一次固定不动，A点经过的路程的长为：1202323040125.6 3603cm ππ⨯⨯⨯⨯⨯==．【总结】本题综合性较强，一方面要分清楚A点的运动路径，另一方面要确定三角形在旋转时的旋转中心．【习题1】 下列结论中，正确的是（ ）A ．任何一个圆的周长与半径之比不是一个固定的数B ．任何两个圆的周长之比等于它们的半径之比C ．任何两个圆的周长之比是一个固定的数D ．称圆的周长与半径之比为圆周率 【难度】★ 【答案】B ．【解析】圆周率是一个固定的数． 【总结】考查圆的周长及圆周率的概念．【习题2】 圆的直径为30 ，则圆的周长为______．（结果保留π） 【难度】★ 【答案】30π． 【解析】30C d ππ==． 【总结】考查圆的周长的计算．【习题3】 一个圆中，120°的圆心角所对的弧长是15.072米，则这个圆的半径是______米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】7.2m ．【解析】15.072×180÷120÷3.14 = 7.2m ． 【总结】考查弧长公式的逆运用．【习题4】 一个半圆的周长是17.99厘米，则它的直径为______厘米．（π取3.14） 【难度】★★ 【答案】7厘米． 【解析】设周长为d ，则17.992dd π+=，解得：7d =．【总结】考查圆的周长公式的逆运用，注意本题中周长还包含一条直径的长．随堂检测AB6厘米 4厘米【习题5】 两只蚂蚁分别沿着边长为10米的正方形和直径为10米的圆的路线爬行，如果同时以同样的速度从一点出发，那么谁先回到起点？【难度】★★【答案】沿圆形路线爬行的蚂蚁先到起点．【解析】因为4×10 > 10π，所以沿圆形路线爬行的蚂蚁先到起点． 【总结】考查圆与正方形周长的计算在实际问题中的运用．【习题6】 如图是由两个正方形和两个扇形的组合图形，则阴影部分的周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】33.98厘米．【解析】90×3.14×10÷180＋90×3.14×4÷180＋2＋6＋4 =33.98厘米．【总结】考查组合图形的周长的计算，注意周长包含了好几部分．【习题7】 一个自行车轮子的直径为0.8米，能滚动25圈/分，要通过一座长502.4米的大桥，需要多少分钟？【难度】★★（π取3.14） 【答案】8分．【解析】502.4÷（25×3.14×0.8）= 8分．【总结】自行车的轮子滚动一圈，实际上就是直径为0.8米的圆的周长，然后转化为路 程与速度的问题．【习题8】 如图，圆A 的半径为圆B 半径的13，圆A 从图上所示位置出发，沿着圆B滚动，那么至少要滚动多少圈才能回到原处？【难度】★★★ 【答案】4．【解析】设小圆半径为x ，则大圆半径为3x ，则圆心A 经过的路程为：8x π，故圆A 滚动的圈数为：842xxππ=．【总结】考查圆的周长的计算及运用，本题中只要看点A 运动的路程即可．【习题9】地球的赤道是个近似的圆形，赤道的半径约6378.2千米，假设有一根绳子沿地球赤道贴紧地面绕一周，现在将绳子增加6.28米，使绳子与地面之间有均匀的缝隙，请问缝隙有多宽？一只高4厘米的蜗牛能否从该缝隙间爬过？（π取3.14）【难度】★★★【答案】1m，能．【解析】6378.2千米= 6378200米，绳子增加6.28米后的周长为：2 3.146378200 6.28 6.286378201⨯⨯+=⨯米，增加后的半径为：6.286378201 3.1426378201⨯÷÷=米，增加的半径长度为：637820163782001-=米，即缝隙宽为1米．因为1米大于4厘米，所以该蜗牛能从该缝隙爬过．【总结】本题综合性较强，注意认真分析题目中的条件，进行计算．【习题10】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的图形的总周长为多少米？【难度】★★★【答案】50.24m．【解析】120×3.14×2÷180×2＋300×3.14×8÷180=50.24m．【总结】本题中小狗运动的路程是三段弧长的和，解题时注意分析．10080【作业1】 两个圆的周长比为1 : 3，则半径比为______． 【难度】★ 【答案】1:3．【解析】周长比等于半径比． 【总结】考查圆的周长与半径的关系．【作业2】 把一张圆形纸对折，再对折，再对折，得到一个扇形，那么它的圆心角是______°．【难度】★ 【答案】45．【解析】360°÷2÷2÷2=45°．【总结】考查圆的对折引起相应圆心角的变化．【作业3】 在一个周长为31.4厘米的圆中，108°所对的弧长为______厘米．（π取3.14） 【难度】★ 【答案】9.42厘米．【解析】108÷360×31.4 = 9.42厘米． 【总结】考查弧长的计算．【作业4】 如图，计算环行跑道的周长（单位：米；π取3.14）． 【难度】★★ 【答案】451.2米．【解析】3.14×80＋200 = 451.2米． 【总结】考查环形跑道周长的计算．课后作业AB C DEFG H【作业5】用一根31.4分米的铁丝围成一个正方形或者围成一个圆，则围成的正方的边长与围成的圆的直径哪个大？大多少？（π取3.14）【难度】★★【答案】圆的直径大，大2.15dm．【解析】正方形边长为：31.4÷4=7.85dm，圆的直径为：31.4÷3.14=10dm，故圆的直径大，大：10-7.85=2.15dm．【总结】考查圆的周长的计算．【作业6】如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，边长的一半为半径在正三角形内作弧，若正三角形边长为4厘米，求三条弧长的和．【难度】★★【答案】2π．【解析】180π×2÷180 = 2π．【总结】考查弧长的计算．【作业7】如图，正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到如图所示是图形，则该图形的外周长为______厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】19.7厘米．【解析】2×3.14×（1+2+3+4）÷4 + 4= 15.7+ 4 = 19.7厘米．【总结】考查组合图形周长的计算，注意该图形周长中还包含线段DH的长．ABCDEABCDE45°【作业8】 如图，小明同学分别以同一个含45°角的三角板的两个锐角顶点为圆心，以一条直角边的长为半径画弧，求这两段弧AD 与AE 的长的比．【难度】★★★ 【答案】1:3．【解析】两段弧的半径相等，所以弧长比等于 圆心角比：45:135=1:3．【总结】考查利用弧长公式求出弧之比．【作业9】 下图中，五个正方形的边长均为l ，那么其中阴影部分的周长相等的图形是哪些？【难度】★★★ 【答案】 【解析】【答案】B = C = E 、A = D ．【解析】B 、C 、E 的周长都等于一个圆的周长，A 、D 的周长都等有一个圆的周长加 正方形的周长．【总结】考查组合图形的周长的计算．【作业10】 两枚如图放置的同样大小的硬币，其中一枚固定另一枚沿其周围滚动．滚动时，两枚硬币总是保持有一点相触，这在几何学上叫做相切．当滚动的一枚硬币沿固定的一枚硬币周围滚过一圈回到原来的位置时，滚动的那枚硬币自转了多少周？【难度】★★★ 【答案】2．【解析】设硬币的半径为r ，则滚动的圆的圆心走过的圆的半径为2r ， 故银币自传的圈数为：（2×π×2r ）÷（2×π×r ）= 2．【总结】考查圆的周长的计算及运用，本题中只要看圆心运动的路程即可．。
弧长计算公式
在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。
有优弧劣弧之分。
弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，a是圆心角弧度。
公式l = n（圆心角）x π（圆周率）x r（半径）/180在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。
例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为l=nπR/180=45×π×1/180=45××1/180约等于(cm)拓展扇形面积公式：S（扇形面积）=n（圆心角度数）x π（圆周率）x r²【半径的平方（2次方）】/360如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。
它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
补充公式S扇=nπr*2/360=πrnr/360=2πrn/360×1/2r=πrn/180×1/2r所以：S扇=rL/2还可以是S扇=n/360πr²(n为圆心角的度数，L为该扇形对应的弧长。
)圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积其中：圆锥体的侧面积=πRL圆锥体的全面积=πRl+πR2π为圆周率≈R为圆锥体底面圆的半径L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线（注意：不是圆锥的高）是展开扇形的边长n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l弧长=圆周长侧面展开图的圆心角求法：n=360r/R=πRr或2πr=nπr/180 n=360r/R 。
如果题目中有切线，经常用的辅助线是链接圆心和切点的半径，得到直角，再用相关知识解题。
扇形的面积扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角（顶角）、圆半径相关，圆心角为n°，半径为r的扇形面积为n/360*πr^2。
圆周长与弧长
四、理解公式、区分概念 （1）在应用弧长公式l nR 进行计算时，要注意 180
公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长 不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆 或等圆中，才可能是等弧．
；
（2）圆直径为4cm，则C= 4πcm ；
（3）直角三角形两直角边分别为5和12， 则其外接圆周长为 13π 。
（4）正三角形边长为6，则其内切圆周长
为 2 3 ，外接圆周长为 4 3 。
（5）已知圆的周长是12π,则圆半径 R= 6 ；
d
（6）圆环的外圆周长C1=250cm,内圆周长
50
为C2=150cm,则圆环的宽度d= cm。
西汉刘歆（公元前30年）制作了一个铜斛，由其容算出； π =3.1457，称 歆率；
东汉张衡（公元78—139）通过球体积计算，推出 π=3.1623，称衡率；
三国时代（公元263年）的刘徽，首次运用“割圆术”．他用圆内正192 边形算出 π =3.14，并用157/50 表示，后人称之为徽率；
南北朝时期的祖冲之经反复计算，得到3. 1415926＜ π ＜3. 1415927．这是世界上最早算出的精确到小数点后六位的圆周率．祖冲之的发 现是空前的，为了纪念他的伟大功绩，后人把分数 355/113 又叫做祖率．在祖 冲之以后一千多年，荷兰的工程师安托尼茨大约于1585年才得到 这个特殊分 数。
区别
五、 典型例题、初步应用
例1、已知：如图，圆环的外C1=250cm，内圆 周长C2=150cm，求圆环的宽度d (精确到1mm)．
圆与弧长的比例关系公式
圆与弧长的比例关系公式
在数学中，圆与弧长的比例关系公式是一个重要的公式，它描
述了圆的周长与其半径或直径之间的关系。
这个公式可以帮助我们
计算圆的周长和弧长，对于工程、建筑、物理学等领域都有广泛的
应用。
首先，让我们来看一下圆的周长和弧长的定义。
圆的周长是指
圆的边界上所有点的长度之和，通常用C表示。
而弧长是指圆上两
点之间的弧所对应的圆周的长度，通常用L表示。
根据圆的定义，我们知道圆的周长与直径之间的关系是C =
πd，其中π是一个无理数，约等于3.14159，d是圆的直径。
另外，圆的周长与半径之间的关系是C = 2πr，其中r是圆的半径。
而弧长与圆的周长之间的关系可以用一个简单的比例来描述。
根据圆的性质，我们知道弧长与圆的周长之间的比例是弧长L与圆
周长C之间的比例关系，即L/C = θ/360°，其中θ是弧所对应
的圆心角的度数。
这个比例关系公式可以帮助我们计算圆的弧长，只需要知道弧
所对应的圆心角的度数，就可以通过简单的比例关系来计算出弧长。
这对于工程、建筑、物理学等领域的计算和设计都非常有用。
总之，圆与弧长的比例关系公式是一个重要的数学工具，它可
以帮助我们计算圆的弧长，对于实际问题的解决有着重要的作用。
希望大家能够熟练掌握这个公式，并能够灵活运用它来解决实际问题。
圆弧长计算公式大全
圆弧长计算公式大全
L=2πr n/360°=πr n/180°(r=半径*n=圆弧的角度的绝对值）
弧长的定义:一段弧的长度叫做弧长.
弧长的计算公式:在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C＝2πR,所以n°圆心角所对的弧长为l＝nπR÷180.
比如半径为1cm,45°的圆心角所对的弧长为
l＝nπR÷180
＝45×3.14×1÷180
＝0.785(cm)＝7.85(mm)
如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图.它是由一个半径为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图.。
圆的周长和弧长
圆的周长和弧长一、知识要点1、圆的周长（1）将线段的一个端点固定，另一个端点绕着这个定点旋转一周，这个动点所形成的曲线图形就是圆。
圆的周长就是这条曲线的总长度。
公式：C=d π，C=r π2。
（2）圆的周长和它的直径之间有一个固定的倍数关系，把这个数叫做圆周率。
用字母π来表示，它是一个无限不循环小数，我们通常用它的近似值3.14.2、圆的弧长（1）弧是圆的一部分，弧的长度由所在圆的半径和弧所对的圆心角决定。
其中圆心角是指顶点在圆心的角，每段弧都对着唯一的一个圆心角。
（2）01的圆心角所对的弧长是圆周长的3601，那么0n 的圆心角所对的弧长是圆周长的360n 。
（3）弧长的计算公式是r n r n l ππ1802360=⨯=。
（注：弧长的计算结果是长度，要用长度单位。
）二、经典例题例1、 将一细铅丝圆圈剪成A 、B 、C 三段弧，A 弧长是B 弧长的31，B 弧长是C 弧长的21，则最长的弧所对的圆心角为多少度？例2、（1）轧路机前轮直径 1.2米，每分钟滚动6周，1小时能前进多少米？（2）自行车轮胎外直径 71厘米，每分钟滚动100圈，通过一座 1000米的大桥约需几分钟？例3、求下图中阴影部分的周长三、巩固提升1、如果一条弧长等于l ，它的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加（ ）A 、B 、C 、D 、2、一只挂钟的分针长20厘米，经过30分钟后，分针的尖端所走的路程是多少厘米？经过45分钟呢？3、 一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm 的圆的周长，求该圆弧所在圆的半径．4、一辆自行车轮胎的外直径是7分米，如果每分钟转100周，现在要通过一段长3300米的路，需要多少分钟？（得数保留整数）5、一只挂钟分针的针尖在41小时内，正好走了25.12厘米。
它的分针长多少？ n 1180R πR l π18036016、求下列阴影图形的周长。
数学圆的所有概念
数学圆的所有概念数学圆的所有概念包括圆的定义、圆的性质、圆心和半径、直径和周长、面积、弧长和扇形等等。
下面将详细介绍这些概念。
一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成的集合。
这个固定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离叫做半径。
二、圆的性质1. 圆的内部所有点到圆心的距离都小于半径，而圆上的点距离等于半径。
2. 圆的内部所有点的距离到圆心的距离都大于半径，而圆外的点到圆心的距离大于半径。
3. 圆是一个凸集，即圆上任意两点的连线都在圆内部。
三、圆心和半径1. 圆心是圆的中心点，用字母O表示。
2. 半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
四、直径和周长1. 直径是通过圆心，且两个端点在圆上的线段。
2. 直径的长度是半径长度的两倍，即直径=2r。
3. 周长是圆的边界的长度，用字母C表示，计算公式为C=2πr，其中π是一个常数，约等于3.1415926。
五、面积圆的面积是指圆内部所有点组成的区域的大小，用字母A表示，计算公式为A=πr²。
六、弧长弧是圆上的一段曲线，弧长是弧所占有的圆的周长的长度比例。
1. 弧度制（radian）是计量弧长的单位，用符号rad表示。
一个圆周的弧长等于半径r的弧长是2πr，故一个圆的周长等于2πr，其中π是一个常数，约等于3.1415926。
2. 利用弧长S、圆心角θ和半径r之间的关系可以得到公式S=rθ，其中θ用弧度制表示。
七、扇形扇形是圆内以圆心为顶点的两条半径和介于它们之间的弧所围成的区域。
1. 扇形的面积可以通过扇形的圆心角θ和半径r计算，公式为A=(θ/360)πr²。
2. 扇形的弧长与圆周长的比例等于圆心角与360的比例，即s=(θ/360)2πr。
总结：数学圆的概念包括圆的定义、圆的性质、圆心和半径、直径和周长、面积、弧长和扇形等。
圆是由平面上距离一个固定点相等的所有点组成的集合，这个固定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离叫做半径。
圆的周长与弧长的关系数学教案-圆的周长弧长
圆的周长与弧长的关系|数学教案－圆的周长、弧长圆周长、弧长一教学目标：1、初步掌握圆周长、弧长公式；2、通过弧长公式的推导，培养学生探究新问题的能力；3、调动学生的积极性，培养学生的钻研精神;4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．教学重点：弧长公式．教学难点：正确理解弧长公式．教学活动设计：（一）复习（圆周长）已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？C=2πR这里π=3.14159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率．由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？提出新问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．（二）探究新问题、归纳结论教师组织学生探讨（因为问题并不难，学生完全可以自己研究得到公式）．研究步骤：（1）圆周长C=2πR；（2）1°圆心角所对弧长=；（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；（4）n°圆心角所对弧长=．归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则（弧长公式）（三）理解公式、区分概念教师引导学生理解：（1）在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．（四）初步应用例1、已知：如图，圆环的外圆周长C1=250cm，内圆周长C2=150cm，求圆环的宽度d 精确到1mm．分析：（1）圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？（2）已知周长怎样求半径？（学生独立完成）解：设外圆的半径为R1，内圆的半径为R2，则d= ．∵ ，，∴ （cm）例2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度L单位：mm，精确到1mm教师引导学生把实际问题抽象成数学问题，渗透数学建模思想．解：由弧长公式，得（mm）所要求的展直长度L （mm）答：管道的展直长度为2970mm．课堂练习：P176练习1、4题．（五）总结知识：圆周长、弧长公式；圆周率概念；能力：探究问题的方法和能力，弧长公式的记忆方法；初步应用弧长公式解决问题．（六）作业教材P176练习2、3；P186习题3．圆周长、弧长二教学目标：1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题；2、培养学生综合运用知识的能力和数学模型的能力；3、通过应用题的教学，向学生渗透理论联系实际的观点．教学重点：灵活运用弧长公式解有关的应用题．教学难点：建立数学模型．教学活动设计：（一）灵活运用弧长公式例1、填空：（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．（学生独立完成，在弧长公式中l、n、R知二求一．）答案：（1）2π；（2）24；（3）60°．说明：使学生灵活运用公式，为综合题目作准备．练习：P196练习第1题（二）综合应用题例2、如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m．1求皮带长保留三个有效数字；2如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转．教师引导学生建立数学模型：分析：（1）皮带长包括哪几部分（+DC++AB）；（2）“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么数学信息？（3）AB、CD与⊙O1、⊙O2具有什么位置关系？AB与CD具有什么数量关系？根据是什么？（AB与CD是⊙O1与⊙O2的公切线，AB=CD，根据的是两圆外公切线长相等．）（4）如何求每一部分的长？这里给学生考虑的时间和空间，充分发挥学生的主体作用．解：1作过切点的半径O1A、O1D、O2B、O2C，作O2E⊥O1A，垂足为E．∵O1O2=2.1，，，∴ ，∴ （m）∵ ，∴ ，∴的长l1 （m）．∵，∴的长（m）．∴皮带长l=l1+l2+2AB=5.62（m）．（2）设大轮每分钟转数为n，则，（转）答：皮带长约5.63m，大轮每分钟约转277转．说明：通过本题渗透数学建模思想，弧长公式的应用，求两圆公切线的方法和计算能力．巩固练习：P196练习2、3题.探究活动钢管捆扎问题已知由若干根钢管的外直径均为d，想用一根金属带紧密地捆在一起，求金属带的长度．请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明．提示：设钢管的根数为n，金属带的长度为Ln如图：当n=2时，L2=（π+2）d．当n=3时，L3=（π+3）d．当n=4时，L4=（π+4）d．当n=5时，L5=（π+5）d．当n=6时，L6=（π+6）d．当n=7时，L7=（π+6）d．当n=8时，L8=（π+7）d．猜测：若最外层有n根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两圆是切，则金属带的长度为L=（π+n）d．证明略．数学教案－圆的周长、弧长感谢您的阅读，祝您生活愉快。
弧形长度计算公式
弧形长度计算公式弧长是指圆的弧所对应的长度，而弧形长度计算公式则是用来计算弧长的数学公式。
在几何学中，弧长的计算是很常见的，它在实际生活中有着广泛的应用。
下面将介绍弧形长度的计算公式及其应用。
在圆的几何形状中，弧是圆周上的一段弯曲部分。
弧长是弧的长度，通常用字母L表示。
当我们知道圆的半径r和弧度θ时，可以使用如下的弧形长度计算公式来计算弧长L：L = r * θ其中，r为圆的半径，θ为弧的角度（以弧度为单位）。
这个公式是通过圆的周长与圆的角度之间的关系得到的。
当角度θ为360度时，弧长L就等于圆的周长2πr。
弧形长度计算公式的应用非常广泛。
一种常见的应用是在航海中使用经纬度来确定两个地点之间的距离。
地球被近似地认为是一个球体，而经纬度可以用来描述地球表面上的点。
在这种情况下，可以使用弧形长度计算公式来计算两个地点之间的距离。
通过将经纬度转换为弧度，然后使用弧形长度计算公式，可以准确地计算出两个地点之间的距离。
另一个应用是在工程测量中。
在建筑、道路和管道等工程项目中，需要测量弯曲部分的长度。
使用弧形长度计算公式，可以准确地计算出这些弯曲部分的长度，从而帮助工程师们进行设计和施工。
除了上述应用外，弧形长度计算公式还可以在物理学和工程学的其他领域中使用。
例如，在力学中，当物体绕一个固定轴旋转时，可以使用弧形长度计算公式来计算物体移动的距离。
在电力工程中，当电流通过一段弯曲的导线时，可以使用弧形长度计算公式来计算电流的路径长度。
弧形长度计算公式是用来计算弧长的数学公式，可以广泛应用于几何学、航海、工程测量和物理学等领域。
通过应用这个公式，我们可以准确地计算出弧的长度，从而帮助我们解决各种实际问题。
熟练掌握弧形长度计算公式是数学和科学学习中的基本技能，也是实际工作和生活中的实用工具。
希望通过本文的介绍，读者能够理解弧形长度计算公式的应用和意义，并能够灵活运用它解决实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十四讲 圆的周长和弧长
【知识点1】
1． 正方形周长公式 正方形周长=4边长 2． 圆周长公式
用字母C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，那么C=πd 或C=2πr ． 本节的学习要求
3． 圆周长公式的运用
已知圆周长求直径的方法：d=π
c
【典型例题1】
一个正方形的周长和一个圆的周长相等．正方形的边长是12.56厘米,那么圆的直径是多少？ 解析：
C 正方形=12.56×4=50.24（厘米） 因为C 圆=πd
所以d=π
c
=50.24÷3.14=16（厘米）
答：圆的直径是16厘米．
点评：本题主要考查对圆周长计算公式的理解和运用。
要求出圆的直径求必须知道圆的周长，利用圆的周长和正方形的周长相等就能求出圆的周长． 【基本习题限时训练】
1．判断题（正确的在括号内填入“√”，错误的在括号内填上“×”）． （1） 圆的半径扩大4倍，圆的周长也扩大4倍． （ ） （2） 如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的半径和直径的长度也一定分别相等． （ ）
（3） 一个圆的周长是同圆直径的3.14倍． （ ） （4） 圆的两个半径和在一起就是圆的直径． （ ） （5） 任何两个圆的周长之比等于它们的半径之比． （ ） 2．小华和小军沿着一个直径是500米的圆形湖边同时从同一点相背而行．小华每分钟行81米，小军每分钟行76米．两人经过多少分钟相遇？
【拓展题1】
小坚和小刚同时从A 出发，以相同的速度步行去B ．小坚走图中大圆弧的路径，小刚走三段小圆弧．AB 是大圆的直径．问谁先到达目的地B ？
【拓展题2】
将三根直径为a 的圆柱形钢管用铁丝捆扎，现设计了两种方案，如图所示，•请你探索，宜采用哪一种方案．
【点评】
本题主要考查对圆周长计算公式的理解和运用。
图（1）是有两个半圆，可以拼
成完整的一个圆，图（2）是有三个3
1
圆，可以拼成完整的一个圆。
【知识点2】 1、圆周长公式
用字母C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，那么C=πd 或C=2πr ． 2、路程、速度、时间的等量关系 时间=路程÷速度 【典型例题2】
一种汽车轮胎的外直径是1米，它每分钟可以转动400周．这辆汽车通过一座长5.652千米的大桥需要多少分钟？
解析： C 圆=πd=1×3.14=3.14（米） 3.14×400=1256（米）=1.256（千米） 5.652÷1.256=4.5（分钟）
答：这辆汽车通过一座长5.652千米的大桥需要4.5分钟． 点评：
本题主要考查对圆周长计算公式的理解和运用。
先求出轮胎一分钟滚动的长度，然后再求出所须的时间，同时别忘了单位换算． 【基本习题限时训练】
1、一辆自行车的车轮半径是40厘米，车轮每分钟转100圈，要通过2512米的桥，大约需要（ ）分钟.
A 、1
B 、5
C 、100
D 、 10
2、一个铁环直径是60厘米， 从操场东端滚到西端转了90圈，另一个铁环的直径是40厘米，它从东端滚到西端要转（ ）圈.
A 、270
B 、135
C 、100
D 、 120 3、半个圆的周长与圆周长的一半比较（ ）
A 、圆周长的一半比较长
B 、长度一样
C 、半个圆的周长比较长
D 、两个长度不能比较
【拓展题1】
矩形的长和宽分别为10厘米和6厘米，求阴影部分的周长（π取3.14）
【点评】周长，指的是一个封闭图形一周的长。
图中的两段弧长都可以看作是所在圆周长的四分之一。
【拓展题2】
在标准的400米跑道上进行200米赛跑比赛，由于有弯道，为了公平起见，外道和内道选手的起跑线不在同一地点。
已知每条跑道宽为1.2米，那么外道选手的起点应比内道选手前移多少米？
【解析】设内道圆的半径为r 米，外道圆的半径为R 米， 则πR －πr =π（R-r ）=1.2π=3.768(米) 【点评】外道和内道的长度差异在于弯道，所以只要求出弯道的长度差就可以了。
弯道的长就是两个半圆的长度。
【知识点3】 1．弧长公式
设圆的半径为r ，n O 圆心角所对的弧长是l ，那么r n
l π180=．
2．时针每一小时走过的弧所对的圆心角是30 O。
从上午8点到下午4点所走过的弧所对的圆心角是240O ． 【典型例题3】
一个闹钟的时针长5厘米，从上午8点到下午4点，时针针尖走过的距离是多少厘米？
解析：
360÷12×8=240O
13.14614.3180
240180=⨯⨯==r n l π（厘米） 答: 时针针尖走过的距离是14.13厘米.
点评：时针针尖走过的距离是一段弧，时针的长就是半径．本题考查的是弧长的计算方法。
【基本习题限时训练】
1、下列判断中，正确的有（ ）
6
10
（1） 同圆中弧长相等，所对的圆心角相等．
（2） 已知直径为d 时，弧长d n
l π360
=．
（3） 弧是圆上两点之间的一段．
（4） 相等的圆心角所对的弧长也相等．
A 、 1个
B 、 2个
C 、 3个
D 、4 2、下列判断中正确的是（ ）．
（A ） 半径越大的弧越长．
（B ） 所对的圆心角越大弧越长．
（C ） 所对的圆心角相等时半径越大的弧越长． （D ） 半径相等时，所对的圆心角越大的弧越长． 3、求下图阴影部分的弧长，正确的是（ ）
【拓展题1】
一条直线上放着一个长和宽分别是4厘米和3厘米的长方形1，它的对角线的长恰好是5厘米。
把这个长方形绕顶点B 顺时针旋转90°后到达长方形2的位置，这样连续做3次，A 点到达E 点的位置，求A 点走过的路程的长
【点评】A 点走的路是由三段弧长组成的，这三段弧的圆心角都是90度，半径分别为4、5、3厘米。
运用弧长公式即可求解。
【拓展题2】
如图,正△ABC 的边长为1cm,将线段AC 绕点A 顺时针旋转120°至AP 1,形成扇形D 1;将线段BP 1绕点B 顺时针旋转120°至BP 2,形成扇形D 2;将线段CP 2绕点C 顺时针旋转120°至CP 3,形成扇形D 3;将线段AP 3绕点A 顺时针旋转120°至AP 4,形成扇形D 4,……
设n l 为扇形n D 的弧长(n=1,2,3…),回答下列问题: (1)按要求填表:
4
3
21A
D
C
E
B
n
1 2 3 4 n l
(2)根据上表所反映的规律,试估计n 至少为何值时, 扇形n D 的弧长能绕地球赤道一周?(设地球赤道半径为6400km).
【点评】本题考查的是弧长公式的熟练运用，通过填表可以得到规律：
【知识点4】 1．弧长公式
设圆的半径为r ，n O 圆心角所对的弧长是l ，那么r n
l π180
=
． 2．周长，指的是一个封闭图形一周的长。
【典型例题4】
已知AB=8厘米，求阴影部分的周长：
解析：r n l π180=小=28.6180
8
4514.3=⨯⨯(厘米)
r l π=大=56.12414.3=⨯(厘米)
阴影部分周长=6.28+12.56+8=26.84(厘米) 答:阴影部分的周长是26.84厘米.
点评：本题所求的周长可以看作是由两条弧和一条线段的长组成的。
【基本习题限时训练】 1、一个100O 的圆心角所对的弧长为24厘米，这段弧所在的圆的周长是（ ）厘米
A 、43.2
B 、21.6
C 、86.4
D 、24 【解】C
2、下图阴影部分的周长是（ ）厘米
A 、18.84
B 、12.56
C 、25.12
D 、37.68 【解】A
【拓展题1】
如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长 是多少厘米.(保留两位小数)
【点评】本题要先求出弧BE 、CE 的圆心角和半径长，再运用弧长的计算方法求解，注意周长指的是一个封闭图形一周的长，不要忘记加上线段BC 的长。
【拓展题2】
小敏家最近新建了一幢楼房，楼房前是一个很大的院子。
小敏爸爸设计了一个大的半圆形花坛（以AB 为直径），接着又准备在大的半圆形花坛里围两个小的半圆形花坛来种植三种不同的花卉（如图所示），其中：直径AC=2米，直径BC=3米。
小敏妈妈看到隔壁邻居家的白色护栏很漂亮，准备在各花坛四周围上白色护栏，小敏妈妈犯愁了，到底要买多少白色护栏才够而又不浪费呢？你能帮小敏妈妈这个忙吗？
如果小敏想要种植更多的花卉，在大的半圆形花坛内多设计几个半圆形花坛，（如图所示）
那小敏妈妈买的白色护栏还够吗？请写出必要的计算过程。
【点评】本题主要考查对弧长（也可看作半圆）计算公式的理解和运用。
注意整体思想的运用。
E
D
C B A
作业：
1、一种自行车轮胎的外直径是70厘米，它每分钟可以转200周．小明骑着这辆自行车从学校到家里用了10分钟．小明从家里到学校的路程是（）米。
2、下图阴影部分的周长是多少？。