线性规划基本题型
例谈线性规划的常见题型及其解法
线性规划是高考数学必考的内容，侧重于考查同学们的数学建模、数学运算、数学分析等能力.线性规划问题的类型有很多，在本文中笔者总结了几类常见的线性规划题型及其解法，以帮助同学们加深对线性规划题型及其解法的了解.类型一：求目标函数的最值求目标函数的最值是线性规划中的一类常见题型，主要有两种形式：（1）求线性目标函数的最值；（2）求非线性目标函数的最值.无论是哪一种，解题的基本思路都是：（1）画出约束条件所确定的平面区域；（2）将目标函数变形为斜截式直线方程、两点间的距离、直线的斜率等；（3）在可行域内寻找取得最优解的对应点的位置；（4）解方程组求出对应点的坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.例1.已知x、y满足以下约束条件ìíîïï2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y -3≤0,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是_____.解：作出如图1所示的可行域，将z=x2+y2可以看作点()x,y到原点的距离的平方，由图可知，在可行域内点A到原点的距离的平方最大，即||AO2=13,直线2x+y-2=0到原点的距离的平方最小，为d2=æèççöø÷÷||0-222+122=45，所以z=x2+y2的最大值和最小值分别是13和45.在求目标函数的最值时，同学们要注意将目标函数进行适当的变形，深入挖掘其几何意义，将其看作直线的斜率、截距、两点间的距离等，然后在可行域内寻找取得最值的点.类型二：求可行域的面积求可行域的面积的关键在于根据约束条件画出正确的图形，然后将可行域拆分、补充为规则的几何图形，如三角形、平行四边形、矩形等，再利用三角形、平行四边形、矩形等的面积公式进行求解.例2.已知不等式组ìíîïï2x+y-6≥0,x+y-3≤0,y≤2,则该不等式表示的平面区域的面积为_____.解：根据所给的不等式组作出可行域，如图2所示，由图2可知△ABC的面积即为所求.显然S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC，S梯形OMBC=12×()2+3×2=5，S梯形OMAC=12×()1+3×2=4，所以S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC=5-4=1.本题中的可行域为三角形，而该三角形的面积很难直接求得，于是将其看作梯形OMAB的一部分，将梯形OMAB的面积减去梯形OMAC的面积，便可得到三角形ABC的面积.类型三：求参数的取值或者范围很多线性规划问题中含有参数，要求其参数的取值或范围，首先要确定可行域，然后结合题意寻找符号条件的最优解，建立相对应的关系式，便可求得参数的取值或者范围.例3.已知x、y满足以下约束条件ìíîïïx+y≥5,x-y+5≤0,x≤3,使z=x+ay()a>0取得最小值的最优解有无数个，则a的值为_____.解：根据约束条件作出可行域，如图3所示，作出直线l:x+ay=0，要使目标函数z=x+ay()a>0取得最小值的最优解有无数个，可将直线l向右上方平移，使之与直线x+y=5重合，故a=1.通常含有参数的目标函数图象是不确定的，因此正确绘制出可行域十分关键，只有对问题中的所给条件进行正确的分析，才能快速找到正确的解题思路.通过对上述三类题型的分析，同学们可以发现线性规划问题都比较简单，按照基本的解题步骤：画图—变形目标函数—寻找最优解对应的点—求值便能得到答案.同学们在解答线性规划问题时还需重点关注特殊点、直线，这些特殊的点、位置常常是取得最优解的点或者位置.（作者单位：江苏省江阴市第一中学）承小华图1图2图３方法集锦45。
线性规划的常见题型
线性规划的常见题型一、基础能力【一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．技能掌握1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．二、题型分解题型一：求线性目标函数的最值1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2题型二：求非线性目标的最值4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ． 6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2题型三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．73B ．37C ．43D ．3410．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．题型四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？三、练习巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．06．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12二、填空题21．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩． 28．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．29．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．30．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．33．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．34．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．35．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．。
八种经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D 、5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划常见题型及解法 均值不等式(含答案)
线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。
通常代特殊点（0，0）。
（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。
线性规划题型总结
3.【安徽卷（理05）】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=获得最大值旳最优解不唯一，则实数 a 旳值为（A ）21或1-（B ）2或21（C ）2或1（D ）2或1-【答案】D【解析】可行域如右图所示，ax y z -=可化为z ax y +=，由题意知2=a 或1-4.【天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目旳函数2z x y =+旳最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．2=2=-当目旳函数线过可行域内A 点时，目旳函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.5.【山东卷（理09）】已知y x,满足旳约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目旳函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下获得最小值52时，22a b +旳最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2【答案】B【解析】10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=旳距离旳平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭。
6.【全国新课标Ⅰ（理09）】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩旳解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.7.【全国新课标Ⅱ（理09）】设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-旳最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】 B【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=9.【北京卷（理06）】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-旳最小值为-4，则k 旳值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，由kx ﹣y+2=0，得x=，∴B （﹣）．由z=y ﹣x 得y=x+z ．由图可知，当直线y=x+z 过B （﹣）时直线在y 轴上旳截距最小，即z 最小．此时，解得：k=﹣．故选：D11.【广东卷（理03）】若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且旳最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】由题画出如图所示旳可行域；由图可知当直线2z x y +通过点(2,1)B -时，max 2213z =⨯-=，当直线2z x y =+通过点(1,1)A --时，min 2(1)13z =⨯--=-，因此6M N -=，故选C.2246510y = -1x +y -1=0y = xBAC O1 ．（高考湖南卷（理））若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是 （ ）A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】C2 ．（一般高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知0a >,,x y满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+旳最小值为1,则a =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B3 ．（一般高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目旳函数z = y -2x 旳最小值为 （ ）A ．-7B ．-4[来源:学.科.网]C ．1D ．2【答案】A4．（一般高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy 中,M为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所示旳区域上一动点,则直线OM 斜率旳最小值为（ ）A ．2B ．1C ．13-D ．12-5．（高考北京卷（理））设有关x ,y 旳不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表达旳平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 旳取值范围是（ ）[来源:学#A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭[来源:学,科,网Z,X,X,K]【答案】C 二、填空题6．（一般高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所示旳平面区域为D ,若直线()1y a x =+与D 公共点,则a 旳取值范围是______.【答案】1[,4]27．（高考陕西卷（理））若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成旳封闭区域, 则2x -y 旳最小值为___-4_____.【答案】- 48．（高考四川卷（理））已知()f x 是定义域为R 旳偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<旳解集是____________.【答案】(7,3)- 910．（一般高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 旳最大值为12,则实数=k ________.[来源:学_科_网Z_X_X_K]【答案】2。
线性规划全部题型和解析
线性规划什么是线性规划？线性规划的题一般都是大括号下面三个式子，把三条线画出来，然后找到一个区域，然后再找到一条直线，去平移，求一个点的坐标，带进去，求最值。
那么，大括号里面的式子我们叫做约束条件，在高中阶段学习的线性的约束条件，也就是所有的约束条件都是一次的，都是直线。
形成的区域叫做可行域。
Z=几x+几y 叫做目标函数，一般线性规划问题都是线性目标函数。
要解决目标函数的最大值和最小值，就是最值问题。
所以线性规划问题的完成表述就是线性规划条件形成可行域内目标函数的最值问题。
取到最值得x 和y 叫做最优解。
考点1：典型的线性规划问题（可行域和目标函数都是线性的）关键：如何把一个不等式转化为可行域上的一个区域。
方法一：把直线转化为斜截式处理。
3260x y +-≥，化成斜截式，332y x ≥-+，直线画出来大于等于，可行域取直线上面。
缺点：转化为斜截式比较麻烦。
优点：大于等于在上面小于等于在下面不会错 方法二：一般式（截距）直线。
3260x y +-≥，与x 轴y 轴的交点分别是(2,0)和(0,3)。
然后判断（0,0）是不是满足不等式，判断可行域取直线上面还是下面。
分析目标函数：目标函数得到的直线靠上好还是靠下好。
例如222x zz x y y =+⇒=-+，截距越大，z 越大，条直线越靠上越好。
如果222x zz x y y =-+⇒=+，还是越靠上越好。
所以直线靠上还是靠下，取决于y 前面的正负。
例题1：若变量,x y ，满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=？解析：正常可以画出可行域，通过直线的平移来解决此类问题。
但是针对这道题有简单的方法计算，这三条直线围成的区域围成的是三角形，如果是三角形的话那么一定在三个顶点的位置取得最大值和最小值。
所以只需要求出三个顶点的值最大的是最大值，最小的是最小值。
1）y x =和1x y +=的交点(0.5,0.5)， 1.5z =。
线性规划基本题型
例5
(2023年北京-7)设不等式组
3x表x达y旳y平1面13
0 0
区(A域)(1为，D3，] 若(B指)数[2，函3数] y=(aCx旳) (1图，像2上] 存在(D区)[域35D，x上+旳∞3]点y，则9a旳0取值范围是
解：作出可行域如右图所示绿色
区域． 0<a<1 时 ， x>0 时 ， 0<ax<1 ， y=ax
离旳平方旳最值问题．
题型三 求非线性目旳函数旳最值—斜率型
例3
x＋y－6≥0， 已知实数 x，y 满足4x－3y＋12≥0，
x≤4.
求xy的最大值与最小值.
【解】
x＋y－6≥0， 作出不等式组4x－3y＋12≥0，
x≤4
平面区域，如图所示．
表示的
(1)令 z＝xy，则 y＝zx.故求xy的最大值与最小值就是求 不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的 最大值与最小值，由图易知，kOC 最小，kOA 最大．
联立2x＋x＋2yy＝ ＝4500 ，得xy＝＝2100 ， ∴A(10,20)． ∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20＝70.
题型二 求非线性目旳函数旳最值—距离型
若目旳函数不是线性函数，我们可先将目旳函数变形找 到它旳几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0 ，求：
的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值 12，即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163＋2＝ 265，故2a＋3b的最小值为265.
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高考数学线性规划题型总结
高考数学线性规划题型总结文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]线性规划常见题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。
数形结合是数学思想的重要手段之一。
习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .22x y +解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。
由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。
22x y +的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。
求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2C 、13，45D 、13，25图2x y O22 x=2y =2 x + y =2BA2x + y - 2= 0x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0OyxA解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 练习2、已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________． 2，0三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例3、在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形。
线性规划的12种题型
线性规划的12种题型线性规划是高考必考的知识点，学生对这个知识点认识多数停留在简单应用阶段，现将常见题型归纳如下：一、 考查不等式表示的平面区域：例1、不等式0x y ->所表示的平面区域是（ ） A. B. C. D.分析：法一：代入特殊点验证；法二：看系数的符号，若x 系数为正数，则左小右大，选Ｂ练习１、不等式()20y x y +-≥在平面直角坐标系中表示的区域（用阴影部分表示）是 （ ）选Ｃ2、已知点()3,1-和()4,3--在直线320x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是__________．【答案】611a a ><-或二、 判断可行域形状例2、不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是( ) A.矩形 B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形分析：画图可知为等腰梯形，选D练习2、已知约束条件400x k x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为（ ）A.0B.1C.1或3D.3选B三、 最值型简单线性规划例3、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-041y y x y x ，则目标函数y x z 42+=的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．11分析：1.画可行域，2画l 0:2x+4y=0,3平移到可行域的最右侧确定最优解的位置，4联立求出最优解坐标，4代入目标函数求最大值11选D练习3、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x y z +=的最小值为.答案：1四、最优解问题例4、如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内，目标函数ay x z -=2取得最大值的最优解有无数个，则a 为( )A.－2B.2C.－6D.6分析：因为x 的系数为正，所以目标函数与BC 重合时，取最大值，最优解有无数个 代入B 、C 的坐标两式相等，求出a=-2选A五、斜率型线性规划例5、若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为 ． 分析：1y x -相当于P （x,y ）与Q （0,1）连线的斜率，直线最陡时，斜率最大，P 取（1,3）答案：2练习：5、设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A.[3,11] B.[2,10] C.[2,6] D.[1,5]选A六、距离型例6、设实数,x y 满足约束条件250403100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为 （ ）10 C.8 D.5分析：所求式子相当于原点与可行域内点距离的平方，利用点到直线距离公式可求 选B练习6、设x ，y 满足0,10,3220,y ax y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩若210z x x y =-+2的最小值为12-，则实数a的取值范围是（ ）A ．32a <B ．32a <-C ．12a ≥D ．12a ≤- 选D七、含绝对值型例7、实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-++≤20222x y x x y ，则||y x z -=的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8分析：先求出z=x-y 的最值，再取绝对值选B八、向量型例8、已知()21A ，，()00O ，，点()M x y ，满足12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z OA AM =的最大值为（ ）A ．1B ．0 C.1- D ．5-分析：先将向量化简，再求最值选A九、变换型例9、已知点(),M a b 在由不等式组002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内，则点(),N a b a b +-所在平面区域的面积是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8分析：设x=a+b,y=a-b,求出x,y 满足的关系式，再求解选C练习9设变量x ，y 满足1,0,0,x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则点(,)P x y x y +-所在区域的面积为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．14 选B十、隐含型例10、已知关于x 的方程2(1)210x a x a b +++++=的两个实根分别为1x ，2x ，且101x <<，21x >，则b a的取值范围是（ ） A ．1(1,)4-- B ．1(1,]4-- C ．(1,)-+∞ D ．1(,)4-∞- 分析：根据条件，利用根的分布列出关系式，提供约束条件，再求解选A练习10、若关于的方程22222(6)2410x a b b x a b a b -+-+++-+=的两个实数根1x ，2x 满足1201x x ≤≤≤，则224a b a ++的最大值和最小值分别为（ ） A.12和5+ B.72-和5+ C.72-和12 D.12-和15-选B十一、含参型例11、设1m >，变量x ，y 在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =_________．分析：画大致图像，确定最优解位置，解方程组，代入求解1m =+练习1、当x ，y 满足不等式组22,4,72x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，22kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,0-C ．13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦练习2、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+1236x y x y x ，则目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为2，则b a 11+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．53+D ．223+十二、曲线型例12已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2y z x =的最大值是 A ．13B ．9C ．2D ．11 分析：所求函数变形后为抛物线，代最高点取最大值【答案】B练习12已知P （x,y）的坐标满足021,x y x y x ≤⎧⎪>⎨⎪<+⎩________ 分析：可转化为向量夹角余弦，再画图求解答案：(（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
线性规划常见题型大全
绝密★启用前2021-2021 学年度???学校8月月考卷试卷副标题考前须知：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷〔选择题〕请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题〔题型注释〕1．实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，那么z ＝4x ＋y 的最大值为( )A 、10B 、8C 、2D 、0 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目的函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 获得最大值为8考点：线性规划.2．假设不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，那么a 的取值范围是〔〕 A.43a ≥B.01a <≤C.413a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D【解析】根据0220x y x y y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩画出平面区域〔如图1所示〕，由于直线x y a +=斜率为1-，纵截距为a ，自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01a <≤时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域〔如图2所示〕；当413a <<时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形区域〔如图3所示〕，当43a ≥时，0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域〔如图1所示〕，应选D.图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划.3．变量x,y 满足约束条件 20170x y x x y -+≤,⎧⎪≥,⎨⎪+-≤,⎩那么y x 的取值范围是( )A ．9[6]5,B ．9(][6)5-∞,⋃,+∞ C ．(3][6)-∞,⋃,+∞ D ．(3,6]【解析】试题分析：画出可行域，yx可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点〔59,22〕，〔1,6〕那么可知k＝yx的范围是9[6]5,.考点：线性规划，斜率.4．〔5分〕〔2021•广东〕平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．假设M〔x，y〕为D上的动点，点A的坐标为，那么z=•的最大值为〔〕【答案】B【解析】试题分析：首先做出可行域，将z=•的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z 有最大值．解：首先做出可行域，如下图：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行挪动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B〔，2〕，所以z的最大值为4应选B点评：此题考察线性规划、向量的坐标表示，考察数形结合思想解题．5．不等式组202020x yxax y+-⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥表示的平面区域的面积等于3，那么a的值为〔〕﹙A ﹚1- 〔B 〕52 ﹙C ﹚2 〔D 〕12【答案】D 【解析】试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要1a >-，不等式组表示的区域如以下图中的阴影局部，面积1(22)232Sa =⋅+⋅=，解得12a =，应选D.考点：1.线性规划求参数的取值.6．设x ，y 满足约束条件，假设z=的最小值为，那么a 的值为〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 ∵=1+而表示点(x ，y)与点(－1，－1)连线的斜率．由图知a>0，否那么无可行域，且点(－1，－1)与点(3a ，0)的连线斜率最小，即==a=17．实数x ，y 满足条件22(3)(2)110x y x y ⎧-+-≤⎨--≥⎩，那么2yz x =-的最小值为〔 〕A ．32+B ．22+C ．34D ．43【答案】C【解析】试题分析：如以下图可行区域为上图中的靠近x 轴一侧的半圆，目的函数022y y z x x -==--，所表示在可行区域取一点到点〔2,0〕连线的斜率的最小值，可知过点〔2,0〕作半圆的切线，切线的斜率2yz x =-的最小值，设切线方程为y=k 〔x-2〕，那么A 到切线的间隔 为1，故223141k k k -=⇒=+. 考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.8．假设在区间[0，2]中随机地取两个数，那么这两个数中较大的数大于12的概率是( ) 931515【答案】C 【解析】试题分析：设这两个数为：,x y，那么0202xy≤≤⎧⎨≤≤⎩.假设两数中较大的数大于12，那么还应满足：12x>或12y>〔只需排除1212xy⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩〕，作出以上不等式组表示的区域，由几何概型的概率公式得11541416p=-=.选C.考点：1、几何概型；2、不等式组表示的区域.第II 卷〔非选择题〕请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题〔题型注释〕9．假设实数x ，y 满足线性约束条件3122x y x y x +≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，那么z =2x y +的最大值为________．【答案】5. 【解析】试题分析：作出不等式组3122x y x y x +≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的平面区域，即可行域，那么可知直线03=-+y x 与直线x y 21=的交点)1,2(M ，作直线l ：02=+y x ，平移直线l ，可知当2=x ，1=y 时，5122max =+⋅=z . 考点：线性规划.10．变量,x y 满足约束条件 23110,480,20,x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩假设目的函数()0z x ay a =->的最大值为1，那么a = . 【答案】3 【解析】试题分析：约束条件所满足的区域如下图，目的函数过B 〔4,1〕点是获得最大值，所以141a =-⨯，所以3a =.考点：线性规划.11．设z=kx+y ，其中实数x ，y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩假设z 的最大值为12，那么实数k= ． 【答案】2作出可行域(如图)，其中A(4，4)，B(0，2)，C(2，0)过原点作出直线kx+y=0k=0时，y=0，目的函数z=y 在点A 处获得最大值4，与题意不符 ②102k <-≤即102k -≤<时，直线kx+y=0即y=－kx 经过一、三象限，平移直线y=－kx 可知，目的函数z=kx+y 在点A 处获得最大值，即，此时k=2与102k -≤<不符; ③－k>12即k<－12时，直线kx+y=0即y=－kx 经过一、三象限，平移直线y=－kx 可知，目的函数z=kx+y 在点B 处获得最大值，即max 022z =+=，此式不成立 ④－k<0即k>0时，直线kx+y=0即y=－kx 经过二、四象限，平移直线y=－kx 可知，目的函数z=kx+y 在点A 处获得最大值，即max 4412z k =+=，此时k=2与k>0相符，所以k=212．点(,)M x y 是不等式组0333x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y m -+≥总成立，那么m 的取值范围是________________.【答案】3m ≥ 【解析】试题分析：将不等式化为2m y x ≥-，只需求出2y x -的最大值即可，令2z y x =-，就是满足不等式0333x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在()0,3处z取最大值3，那么m 取值范围是3m ≥.考点：简单的线性规划和转化思想.13．设变量x ，y 满足|3|2,43:y x z x y x x y -=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥则的最大值为.【解析】 试题分析：这是如图可行域，目的函数223⨯-=y x z ,表示可行域内的点到直线03=-y x 的间隔 的2倍，很显然点A 到直线的间隔 最大，点()22，-A ,将其代入点到直线的间隔 公式得到822232max =⨯⨯--=z 考点：1.线性规划；2.点到直线的间隔 公式.14．实数x ，y 满足6003x y x y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－＋，＋，，假设z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，那么实数a 的取值范围为__________． 【答案】[－1，1]【解析】作出可行域如图中阴影局部所示，那么z 在点A 处获得最大值，在点C 处获得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.15．设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．假设// a b ，那么实数m 的最大值为 ． 【答案】6； 【解析】试题分析：因为//a b ，所以202x y m m y x -+=⇒=-,故根据线性规划的知识画出可行域如图,那么目的函数在点〔1，8〕处获得最大值6. 考点：向量平行 线性规划16．点(3,3)A ，O 为坐标原点，点(,)P x y 满足303200x y x y y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩,那么||OA OP Z OA ⋅=的最大值是 【答案】3 【解析】试题分析：作出可行域如图，那么||||OA OPOP cos AOP OA ⋅∠＝,又AOP ∠是,OA OP 的夹角, ∴目的函数||OA OPZ OA ⋅=表示OP 在OA 上的投影，过P 作OA 的垂线PH ，垂足为H ， 当P 在可行域内挪动到直线30x y -＝和直线320x y +＝的交点3)B ，时，OP 在OA 上的投影OH 最大，此时||||26OP OB AOP AOB π∠=∠=＝＝，，∴||OA OPZ OA ⋅=的最大值为|236cos AO O c B B os π∠＝＝,故答案为3．17．假设实数x 、y 满足()222x y x y +=+,那么x y +的最大值是_________.【答案】4 【解析】试题分析：将()222x y x y +=+变形为22(1)(1)2x y -+-=，表示圆心为(1,1)，半径为2的圆。
最新八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产A、B两种产品，每天生产的产品数量不同，且每种产品的生产时间和利润也不同。
现在需要确定每种产品的生产数量，以使得总利润最大化。
已知每天可用的生产时间为8小时，A产品的生产时间为2小时/件，利润为200元/件；B产品的生产时间为3小时/件，利润为300元/件。
同时，还有以下限制条件：1. A、B产品的总生产数量不能超过100件；2. A产品的生产数量不能超过60件；3. B产品的生产数量不能超过80件。
二、问题分析这是一个典型的线性规划问题，需要确定A、B产品的生产数量，使得总利润最大化。
根据题目中的限制条件，可以得到以下数学模型：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0三、数学模型目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0四、求解过程1. 根据数学模型，列出线性规划的标准形式：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：A +B ≤ 100A ≤ 60B ≤ 80A, B ≥ 02. 根据标准形式，画出目标函数和约束条件的图形：在二维坐标系中，以A为横轴，B为纵轴，画出以下直线：A +B = 100A = 60B = 80并标明非负约束条件。
3. 确定可行解区域：根据约束条件，可得到可行解区域为一个三角形，顶点分别为(60, 40)、(60, 80)和(0, 80)。
4. 确定目标函数的最优解：由于目标函数是线性的，最优解一定在可行解区域的某个顶点上。
计算每个顶点的目标函数值：(60, 40)：Z = 200 * 60 + 300 * 40 = 28,000(60, 80)：Z = 200 * 60 + 300 * 80 = 36,000(0, 80)：Z = 200 * 0 + 300 * 80 = 24,000可知，目标函数的最优解为Z = 36,000，对应的生产数量为A = 60，B = 80。
线性规划题型整理与例题(含答案)
积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找使目标函数最大或最小的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划经常被应用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 约束条件：某公司有两种产品A和B，生产一单位产品A需要耗费2个单位的资源X和1个单位的资源Y，生产一单位产品B需要耗费1个单位的资源X和3个单位的资源Y。
公司每天可用资源X和资源Y分别为10个单位和12个单位。
假设产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元，问如何分配资源才能使公司利润最大化？1.2 目标函数：设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y，则目标函数为Maximize 3x + 4y。
1.3 答案：通过线性规划计算，最优解为生产产品A 4个单位，生产产品B 2个单位，公司利润最大化为20万元。
二、生产计划问题2.1 约束条件：某工厂生产两种产品C和D，生产一单位产品C需耗费2个单位的资源M和3个单位的资源N，生产一单位产品D需耗费4个单位的资源M和2个单位的资源N。
工厂每天可用资源M和资源N分别为8个单位和10个单位。
产品C的利润为5万元，产品D的利润为6万元，问如何安排生产计划以最大化利润？2.2 目标函数：设生产产品C的单位数为x，生产产品D的单位数为y，则目标函数为Maximize 5x + 6y。
2.3 答案：经过线性规划计算，最佳生产计划为生产产品C 2个单位，生产产品D 2个单位，工厂利润最大化为22万元。
三、运输问题3.1 约束条件：某公司有三个仓库分别存储产品E、F和G，每个仓库的存储容量分别为100、150和200个单位。
产品E、F和G的单位运输成本分别为2元、3元和4元，需求量分别为80、120和150个单位。
问如何安排运输计划以最小化总成本？3.2 目标函数：设从仓库i运输产品j的单位数为xij，则目标函数为Minimize2x11 + 3x12 + 4x13 + 2x21 + 3x22 + 4x23 + 2x31 + 3x32 + 4x33。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个单位产品A的利润为100元，每个单位产品B的利润为150元。
公司有两个车间可用于生产这两种产品，每个车间每天的工作时间为8小时。
产品A在车间1生产需要1小时，产品B在车间1生产需要2小时；产品A在车间2生产需要2小时，产品B在车间2生产需要1小时。
每天车间1的生产能力为400个单位产品A或200个单位产品B，车间2的生产能力为300个单位产品A或150个单位产品B。
公司的目标是在满足车间生产能力的前提下，最大化利润。
二、数学建模设x1为在车间1生产的产品A的数量，x2为在车间1生产的产品B的数量，x3为在车间2生产的产品A的数量，x4为在车间2生产的产品B的数量。
目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：车间1的生产能力：x1 + x2 ≤ 4002x1 + x2 ≤ 800车间2的生产能力：x3 + x4 ≤ 300x3 + 2x4 ≤ 300非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0三、求解过程使用线性规划的求解方法，可以得到最优解。
1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 4002x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 8000x1 + 0x2 + x3 + x4 ≤ 3000x1 + 0x2 + x3 + 2x4 ≤ 300x1, x2, x3, x4 ≥ 02. 使用线性规划求解器求解得到最优解：最优解为：x1 = 200, x2 = 200, x3 = 0, x4 = 100最大利润为：Z = 100(200) + 150(200) + 100(0) + 150(100) = 50000元四、结果分析根据求解结果，最优解是在车间1生产200个单位产品A，200个单位产品B，在车间2生产100个单位产品B，不需要在车间2生产产品A。
线性规划基本题型_2022年学习资料
例5-x+y-11≥0-2010年北京-7设不等式组-3x-y+3≥0表示的平面-5x-3y+ ≤0-区域为D,若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则-a的取值范围是-A1,3]B[2, ]C1,2]-D3,+o-解：作出可行域如右图所示绿色-0<a<1时，x>0时，0<x<1,y x-5x-31+9=0-的图像上不存在区域D上的点，-x+11=0->1时，当y=r过A2,9 ，u最-3/-3x-大为3.-a∈1,3].选A.
例6-x-y≥0-2x+y≤2-北京2007-6若不等式组-表示的平面区域是一个三角形，则-x y≤a-a的取值范围是》-A.a≥B.0<a≤1C.1≤a≤-D.0<a≤1或a≥-x+y≤a 示斜率为-l的动直线的左下方
检测：-3x-y-6≤0，-1.设x,y满足约束条件x一y+2≥0，-若目标函数乙-x≥0，y 0，-=ax十bya>0,b>0的最大值为12，则后+的最小值为-25-解析-不等式表示的平面 域如图所示-x-y+2=0-阴影部分，当直线ax+by=za>0,b>0-z=ax+by-过直 x-y+2=0与直线3x-y-6=0-的交点4,6时，目标函数z=ax十bya>0-b>0取得 大值12，即4a+6b=12,即-2a+3b-6,+8-+230-8+9=+2--故2+的最小 为
1z=2+y一52表示可行域内任一点x,y到点-M0,5的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂 足在AC上，故-MN=-+-房9-性-故乙-的最小值为}-【点评】-1对形如z=x一02十y一 2型的目标函-数均可化为求可行域内的点x,y与点a,b间的距-离的平方的最值问题
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(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作 AC 的垂线，易知垂 足在 AC 上，故
MN＝
|01－＋5－＋12|2＝
3 ＝3 2
2
2.MN2＝(3
2
2)2＝92，故
z
【数的均点最可评小化】值为为(求192)可对. 行形域如内z＝的(x点－(xa，)2＋y)(与y－点b()a2，型b的)间目的标距函
2x－y－5≤0
z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值.
【分析】 由题目可获取以下主要信息：在约束条件下，
①求 z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2 的最小值.
解答本题可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利 用解析几何知识求最值．
【解】 作出可行域，如图所示，求得A(1,3)， B(3,1)，C(7,9)．
.
题型一 求线性目标函数的最值—截距型
线性规划问题的基本解法是图解法，解好线性规划问 题的关键是画好平面区域，找到目标点．
2x＋y≤40 例1 若变量 x，y 满足xx≥＋02y≤50 ，
y≥0 求 z＝3x＋2y 的最大值．
【分析】 解答本题可先画出可行域，采用图解法，平 行移动直线求解．
【解】由题意，满足二元一次不等式 组的解的可行域如图所示．由 z＝3x ＋2y，得 y＝－32x＋2z.要求 z 的最大值， 可求2z 的最大值，即求斜率为－23的直 线在可行域内在 y 轴上截距的最大值． 如图，显然直线过 A 点时，y＝－32＋2z 在 y 轴上截距最大．
联立2x＋x＋2yy＝ ＝4500 ，得xy＝＝2100 ， ∴A(10,20)． ∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20＝70.
题型二 求非线性目标函数的最值—距离型
若目标函数不是线性函数，我们可先将目标函数变形找 到它的几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0 ，求：
【分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 解答本题可先作出可行域，利用数形 结合求解． 【解析】 由约束条件作出可行域(如图)．
点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax＋z时 使直线在y轴上的截距最大， ∴－a＜kCD，即－a＜－1，∴a＞1. 【答案】 a＞1 【点评】 解答此类问题必须要注意边界直线斜率与 目标函数斜率的关系．
B.0a1C.1a4D.0a1或a4
3
3
1
2 2 ,
33
x
D
0
1
x y a 表 示 斜 率 为 - 1 的 动 直 线 的 左 下 方
.
检测：
3x－y－6≤0， 1. 设 x，y 满足约束条件x－y＋2≥0， 若目标函数 z
x≥0，y≥0，
＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为
25
12，则2a＋3b的最小值为
____6____．
解析 不等式表示的平面区域如图所示
阴影部分，当直线 ax＋by＝z(a>0，b>0)
过直线 x－y＋2＝0 与直线 3x－y－6＝0
的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值 12，即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163＋2＝ 265，故2a＋3b的最小值为265. .
例5 (2010年北京-7)设不等式组
x y 11 0
3
x
y
3
0 表示的平面
5 x 3 y 9 0
区域为D，若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点，则a
的取值范围是
(A)(1，3] (B )[2，3] (C ) (1，2] (D )[ 3，+ ∞] 解：作出可行域如右图所示绿色
由xx＋＝y4－，6＝0， 得xy＝＝24.，
故 C(4,2)．∴kOC＝21.
由x4＋x－y－3y＋6＝120，＝0， 得xy＝＝36776
.
故 A(67，376)． ∴kOA＝6. 故xy的最大值为 6，最小值为12.
题型四 求目标函数中参数的取值范围
此类题目为线性规划的逆向思维问题．解答此类 问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行 域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法 求解． 例4 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4， －2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在 点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_______．
离的平方的最值问题．
题型三 求非线性目标函数的最值—斜率型
例3
x＋y－6≥0， 已知实数 x，y 满足4x－3y＋12≥0，
x≤4.
求xy的最大值与最小值.
【解】
x＋y－6≥0， 作出不等式组4x－3y＋12≥0，
x≤4
平面区域，如图所示．
表示的
(1)令 z＝xy，则 y＝zx.故求xy的最大值与最小值就是求 不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的 最大值与最小值，由图易知，kOC 最小，kOA 最大．
区域． 0<a<1 时 ， x>0 时 ， 0<ax<1 ， y=ax
的图像上不存在区域D上的点． a>1时，当y=ax过A(2，9)时，a最
大为3.
a∈(1，3]. 选A． .
例6
xy0
(北京2007-6)若不等式组2xyy02表示的平面区域是一个三角形，则
xya
y
a的取值范围是（ ）
2
A.a34