《四次数学危机与世界十大经典数学悖论》
数学中的十大悖论
2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺 用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的 悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让 乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得 比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时， 乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时， 乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。
预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期 的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试， 但他又告诉班上的同学：‚你们无法知道是哪一天，只有 到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。‛ 你能说出为什么这场考试无法进行吗？
电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控 制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而， 办公室靠近顶层的王先生说：‚每当我要下楼的时候，都 要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇 怪！‛李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室 上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：‚不论我 什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼 的。真让人烦死了！‛ 这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同， 可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？
数学中的十大悖论
--人文1102班
张燕燕
学号：3110102114
N· 布尔巴基说过：
‚……古往今来，为数众多的 悖论为逻辑思想的发展提供了 食粮。‛
什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它 看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很 多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题： 由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推 出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要 特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠 性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这 种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人 们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往 会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的 说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的 数学危机。
数学上有哪些著名的悖论？
数学上有哪些著名的悖论？数学上的悖论很多，最著名的，就是导致了第三次数学危机的集合论悖论。
因是英国哲学家罗素在1902年写给数理逻辑学家弗雷格的一封信中最早提出来的，所以也经常被称之为“罗素悖论”。
该悖论直指集合论的基础问题，而集合论此时已经是整个数学大厦赖以建立的基础，如若基础不稳，则整个大厦为之震动。
所谓导致了所谓第三次数学危机之说，就是这个意思。
罗素与弗雷格及其1902年的通信罗素本人1919年对这个悖论进行了“科普”，提出了一个生动有趣的比喻性解释，称为“理发师悖论”。
从而使得这个悖论几乎家喻户晓，堪称是数理逻辑普及化的一个典范。
其他的著名数学悖论还包括：概率论悖论、几何学悖论、曲线悖论、统计学悖论和蠕虫悖论等。
荷兰画家埃舍尔笔下的永动水流城堡概率论悖论说的是从概率论的一般性原理出发所得到的结论，却与实际进行概率计算所得到的结果之间存在着很大矛盾。
几何学悖论则包含了视觉和计算错误、拓扑变换和不可能图形等内容。
曲线悖论来自于有数学家定义曲线是一条连续而光滑的线，而另有数学家发现按这个定义也可以形成一个面，从而使线和面难以分辨，导致矛盾结果。
而统计学悖论与概率论悖论有相似之处，一个看似概率很小的事件，实际发生的概率却非常大，从而形成悖论。
蠕虫悖论是说，一条每秒以一厘米的速度在一条一米长、但每秒都伸长一米的橡皮筋上爬行的蠕虫，能否最后爬到橡皮筋的另一尽头？以常识看这绝对是不可能的事情，但实际上从数学的角度看却是可能的，只不过需要很长时间而已。
这种悖论实际上是常识与数学之间的矛盾。
诸如此类的悖论还有豌豆和太阳体积相等悖论，即把豌豆切成无穷多的小块，再拼合起来，正好等于太阳的体积。
综上，数学中的悖论，有些是数学自身所存在的矛盾或特殊性质引起，这是真悖论。
有些则是对数学原理的误解所引起，还有些是数学与常识之间的矛盾所致。
后两类严格的说不能算是真数学悖论。
世界十大数学难题
世界十大数学难题数学是科学中最古老和最重要的学科，它是科学技术进步的基础，更是人类发现和理解自然规律的重要工具。
在各种数学领域中，学者们发现不少难题，它们对现代数学的发展至关重要。
接下来，我们将介绍世界十大数学难题：第一，毕达哥拉斯假设（Pythagorean Hypothesis）：毕达哥拉斯假设指的是被认为是十分重要的几何定理。
该定理认为，任意一个三角形的直角边上的两条边之和，等于对角线的平方。
在古希腊，人们却怀疑这一定理是否成立，故而未能得出证据证明它，而到了现代，也仍未能有效地证明它，因此它被认为是当之无愧的世界十大数学难题之一。
第二，泛函分析中的Riemann猜想（Riemann Hypothesis）：Riemann猜想是一个有关质数的函数的重要问题。
它指的是质数的分布可以用函数ζ(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+……来表示。
Riemann猜想认为，当s=1/2时，该函数为无穷，其图形右半部分具有零点。
至今，这一猜想仍未能令人满意地证明，被认为是数学史上最重要的问题之一，由此也成为世界十大数学难题之一。
第三，卡尔贝-比尔金猜想(Goldbach Conjecture)：卡尔贝-比尔金猜想是指，任意一个大于2的偶数，都可以由两个质数之和构成。
这一猜想已经有约两个世纪的历史，至今仍未能得到证明。
这一猜想的证明将引发数学史上最重大的突破，因此也被认为是当之无愧的世界十大数学难题之一。
第四，维度理论(Dimension Theory)：维度理论是指研究拓扑空间中每一点的特性所组成的理论，这些特性决定了空间的维度，如空间中存在环路则维度为一，存在平面则维度为二，存在立体则维度为三等。
这一理论至今尚未能得到有力的证明，因此也成为世界十大数学难题之一。
第五，米勒假说(Mills Conjecture)：米勒假说指的是，当10的一次幂次数的形式为n+1时，其中n为一个素数，那么n也为一个素数。
数学十大著名悖论
十大数学著名悖论1. 二分法悖论概述：运动的不可分性，由古希腊哲学家芝诺提出。
每次到达一个点都需要先到达中点，形成无限过程，直到19世纪数学家解决了无限过程的问题。
脑洞：无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感，探讨物质、时间和空间的无限可分性。
2. 飞矢不动概述：箭在瞬间位置不动，暗示了时间的瞬间性。
关联到量子力学和相对论，强调运动在特定时刻的相对性。
脑洞：看到漂亮妞心动3秒，上去要电话惨遭拒绝。
咳咳，飞矢不动，我没心动。
3. 忒修斯之船概述：船上的木头逐渐替换，引发同一性的哲学争议。
讨论木头替换后船是否仍然是原来的船。
脑洞：人体细胞每七年更新一次，七年后，镜子里是另一个你。
4. 托里拆利小号概述：体积有限的物体，表面积可以无限。
源自17世纪的几何悖论，涉及到平凡的几何图形和无限的概念。
脑洞：平胸不一定能为国家省布料的时候。
5. 有趣数悖论概述：将数字的特征定义为有趣或无趣，涉及质数、斐波那契数列等。
引出无趣数概念，研究整数的有趣属性。
脑洞：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，你想起数列是个什么鬼了吗？6. 球与花瓶概述：无限个球和一个花瓶进行操作，放10个球再取出1个，引发花瓶内球的数量无限和可变的讨论。
脑洞：小学奥林匹克暗袋摸球概率题终极版。
7. 土豆悖论概述：土豆的含水量和干物质之间的矛盾，涉及百分比的计算。
展示了百分比在特定情境下的谬误。
脑洞：理科生们笑到内伤。
8. 饮酒悖论概述：酒吧里的人是否都在喝酒，引出实质条件的悖论。
通过逻辑演绎表明酒吧中的每个人都在喝酒。
脑洞：一人喝酒导致全场人喝酒，数学的实质条件逻辑。
9. 理发师悖论概述：小城理发师的承诺，引出对自己刮脸的矛盾。
赫赫有名的罗素悖论，影响了数学领域的发展。
脑洞：对于不刮胡子的女理发师不成立。
10. 祖父悖论概述：通过时光机回到过去，引发关于杀死祖父的时间旅行悖论。
涉及对时间和平行宇宙的思考。
脑洞：时间旅行中的命运操纵与平行宇宙的可能性。
数学四大悖论
数学四大悖论
1.费马大定理悖论：费马大定理是一个世界闻名的问题，它被认为是数学史上最伟大的问题之一。
然而，费马大定理也是数学史上最大的悖论之一。
费马大定理的证明一直是数学界的一个未解之谜，即使是最聪明的数学家也无法证明它。
虽然有许多人声称已经证明了费马大定理，但这些证明都被证明是不正确或存在错误。
2. 托勒密定理悖论：托勒密定理是一个基本的几何定理，它断言在一个凸四边形中，两对对立的角的积相等。
然而，在20世纪初期，一些数学家发现了一个托勒密定理的悖论。
他们发现了一个凸四边形，可以被划分成两个凸四边形，使得两个凸四边形的两对对立的角积都相等，但整个凸四边形的两对对立的角积不相等。
这个发现震惊了整个数学界，并引起了数学家对几何学的讨论和重新审视。
3. 无穷小悖论：无穷小是微积分中的一个基本概念。
一个数列如果极限为0，那么它被称作是无穷小。
然而，在数学中，出现了一些无穷小的悖论。
例如，当一个无穷小被乘以无穷大时，结果可以是任何值，这与我们通常的数学直觉相矛盾。
这些悖论引发了数学家的思考和讨论，并促进了微积分的发展。
4. 齐比奥悖论：齐比奥悖论是一个古老的悖论，它与集合论有关。
它的内容是：“如果所有的马都是有毛的，那么所有没有毛的动物都不是马”。
这个悖论的问题在于，它可以被应用于任何一个动物，而不仅仅是马。
因此，它导致了集合论中的悖论，这个悖论在数学中引发了一场集合论的危机。
数学家们不得不重新审视集合论的基础，
并开发了新的集合论，来避免这种悖论的出现。
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用导读：本文数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用悖论是让数学家无法回避的问题。
悖论出现使得数学体系出现不可靠性和失真理性，这就逼迫数学家投入最大的热情去解决它。
而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了，因而悖论在推动数学发展中的巨大作用。
现在我作如下简单阐述：毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派的致命打击，也对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.二百年后，欧多克索斯提出的新比例理论暂时消除悖论。
一直到18世纪，当数学家证明了圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。
到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪微积分诞生，但是微积分理论是不严格的。
理论都建立在无穷小分析之上，作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。
其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”.笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
世界十大数学难题
世界十大数学难题难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题难题”之二：霍奇（Hodge）猜想难题”之三：庞加莱（Poincare）猜想难题”之四：黎曼（Riemann）假设难题”之五：杨—米尔斯（Yang-Mills）存在性和质量缺口难题”之六：纳维叶—斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性与光滑性难题”之七：贝赫（Birch）和斯维讷通—戴尔（Swinnerton-Dyer）猜想难题”之八：几何尺规作图问题难题”之九：哥德巴赫猜想难题”之十：四色猜想美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
以下是这七个难题的简单介绍。
干僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数13,717,421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文考克（StephenCook）于1971年陈述的。
干僖难题”之二：霍奇（Hodge）猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
世界上十大数学难题
世界上十大数学难题（原创实用版）目录1.世界近代三大数学难题2.世界七大数学难题3.其他著名数学难题4.几何尺规作图问题5.蜂窝猜想正文数学是一门充满挑战和神秘的学科，自古以来，人们一直在探索数学的奥秘。
在世界数学史上，有许多著名的数学难题一直困扰着数学家们。
本文将介绍一些世界上著名的数学难题，包括世界近代三大数学难题、世界七大数学难题以及其他著名数学难题。
首先，我们来了解一下世界近代三大数学难题。
这三大数学难题分别是：费尔马大定理、四色问题和哥德巴赫猜想。
费尔马大定理是法国数学家费尔马于 1637 年提出的，他猜想对于任何大于 2 的整数 n，方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
这个猜想经过数学家们长达 358 年的努力，最终在 1994 年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明正确。
四色问题是指在地图上，是否存在一种方法，使得任意两个相邻的国家用四种颜色就可以区分开来。
这个问题在 1852 年被提出，经过数学家们的努力，最终在 1976 年由肯尼思·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯宣告解决。
哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫于 1742 年提出的，他猜想任何一个大于 2 的偶数都可以表示成两个质数之和。
这个猜想至今尚未被证明，但它已经在许多数学研究中得到了验证。
接下来，我们来看看世界七大数学难题。
这些难题是：P（多项式时间）问题对 NP（nondeterministicpolynomialtime，非确定多项式时间）问题、霍奇 (Hodge) 猜想、庞加莱 (Poincare) 猜想、黎曼 (Riemann) 假设、杨米尔斯 (Yang-Mills) 存在性和质量缺口、纳维叶斯托克斯(Navier-Stokes) 方程的存在性与光滑性以及贝赫 (Birch) 和斯维讷通戴尔 (Swinnerton-Dyer) 猜想。
这些难题都是数学领域中久负盛名的难题，它们在数学家的努力下，部分已经得到了解决，但仍有许多问题尚待破解。
数学的三次危机
数学的三次危机在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革。
数学的进展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且能够应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉与日常经验。
整数是在关于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各类量，比如长度、重量与时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
因此，假如定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包含所有的整数与分数，因此关于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，假如令它的定端点与右端点分别表示数0与1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，能够用每一单位间隔分为q等分的点表示。
因此，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
因此就务必发明新的数对应这样的点，同时由于这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。
首先，关于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。
其次，无理数看来与常识大概相矛盾。
在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，由于与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。
三次数学危机和数学悖论读书笔记
三次数学危机和数学悖论读书笔记一、第一次数学危机。
1. 危机的起源。
- 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数指的是整数或整数之比（即有理数）。
当他们研究等腰直角三角形的斜边与直角边的关系时，发现了一个不可公度的量。
例如，对于边长为1的等腰直角三角形，其斜边长度为√(2)，√(2)不能表示为两个整数之比，这与他们的信条产生了冲突。
2. 对数学的影响。
二、第二次数学危机。
1. 危机的起源。
- 17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分。
在微积分的早期发展中，存在着一些概念上的模糊性。
例如，牛顿的流数法中，对于无穷小量的定义和处理不够严谨。
在求导过程中，先把一个量看作无穷小量进行运算，最后又把它当作零舍去，这就引发了逻辑上的矛盾。
例如，对于函数y = x^2，求导时(Δ y)/(Δ x)=frac{(x + Δ x)^2-x^2}{Δ x}=2x+Δ x，当Δ x趋近于0时，牛顿把Δ x既当作非零的量进行运算，最后又当作零舍去得到y' = 2x。
2. 对数学的影响。
- 这次危机促使数学家们对微积分的基础进行深入的思考和研究。
柯西、魏尔斯特拉斯等数学家通过极限理论等方式来完善微积分的基础。
柯西提出了极限的ε - δ定义，使得微积分中的概念如导数、积分等有了严格的定义基础。
魏尔斯特拉斯进一步完善了极限理论，消除了无穷小量概念的模糊性，从而使微积分建立在严格的逻辑基础之上，推动了分析学的蓬勃发展，也为现代数学分析等学科的发展奠定了坚实的基础。
三、第三次数学危机。
1. 危机的起源。
- 19世纪末，集合论成为了数学的基础。
康托尔创立的集合论在处理无穷集合等问题上取得了巨大的成功。
罗素提出了著名的罗素悖论。
考虑集合S={xx∉ x}，如果S∈ S，根据S的定义，S∉ S；如果S∉ S，同样根据定义S∈ S，这就产生了矛盾。
这个悖论表明集合论本身存在着逻辑漏洞。
2. 对数学的影响。
- 第三次数学危机引发了数学界的巨大震动。
《四次数学危机与世界十大经典数学悖论》
《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》“四次"数学危机第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比,他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理(西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现,边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬"和违反常识的事.它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条,也冲击了当时希腊人的传统见解。
使当时希腊数学家们深感不安,相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决.两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。
正方形的一边与对角线,就不存在能同时量尽它们的第三线段,因此它们是不可通约的.很显然,只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了.我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生,比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了,正是有这种思想，当我们将负数开方时,人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。
但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义,因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。
第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
数学发展史上的三次危机
数学发展史上的三次危机无理数的发现---第一次数学危机 大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不无穷小是零吗？---第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。
其中特别是：没有 直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。
从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄悖论的产生---第三次数学危机 数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令 1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。
两年后，康托发现了很相似的悖论。
1902年，罗素 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基 承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。
尽管悖派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出："牛顿在求xn的导数时，靠。
其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪来看，还没有解决到令人满意的程度。
史上最著名的数学悖论—关于集合论的悖论，引发了深层的数学危机
史上最著名的数学悖论—关于集合论的悖论，引发了深层的数学危机希尔伯特以康托的连续统问题来开始他在1900年巴黎的第一届世界数学家大会上的著名问题清单，这是集合理论的一个关键问题，而接着的第二问题就是是否每一个集合都可以被良序（良序定理）？第二问题相当于确立实数集合R的概念为相容的。
在数学中，良序指的是对于一个集合，其中的每个非空子集都有一个最小元素。
换句话说，一个集合被称为良序的，当且仅当它的元素可以被排成一列，并且其中没有无穷递减的序列。
良序性质在数学中有广泛的应用，比如在证明归纳原理、Zorn引理等定理时都需要使用良序的概念。
在选择公理中，良序定理指的是任何一个集合都可以被良序排列的定理，这个定理与选择公理等价。
悖论和相容性1896年前后，康托发现所有序数的集合和所有基数的集合，这些表面上无害的概念都会导致矛盾。
在康托尔的集合论中，序数（Ordinal）和基数（Cardinal）是两个重要的概念。
序数是用来描述集合之间的顺序关系的概念。
具体地说，一个序数就是所有在它之前的序数构成的集合。
例如，自然数集合 {0, 1, 2,3, ...} 就是一个序数，因为每个自然数都比前面的自然数大 1。
基数则是用来描述集合的大小的概念。
一个集合的基数就是它所包含的元素的个数。
例如，自然数集合的基数就是无穷，因为它包含了无穷多个元素。
在序数的情况，这个矛盾通常称为Burali-Forti悖论；而在基数情况，则称为康托悖论。
根据康托的结果，所有序数形成一个集合这一假设，将会导致存在一个序数小于其自身——对于基数，也有类似的结果。
戴德金在听说这些悖论以后，开始怀疑人类的思想是否完全是理性的。
更糟的是，在1901年或1902年，策墨罗和罗素发现一个很初等的矛盾，现在称为罗素悖论，有时也称为策墨罗-罗素悖论。
现在已经很清楚了，把集合理论理解为逻辑是站不住脚的，一个新的不稳定的时期开始了。
但是应该说，只有逻辑学家心烦意乱，因为矛盾是出现在他们的理论中。
数学史上的三大危机
无理数危机、无穷小是零危机和悖论危机数学史上的三大危机无理数的发现－第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯的悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可总结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大的冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？－第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的实验过，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，茅头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
数学发展史上三次数学危机
数学发展史上三次数学危机第一次数学危机“无理数的产生”第一次危机发生在公元前580～568 年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
毕达哥拉斯学派认为“万物皆数” ，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。
毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为 1 的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。
这无疑对“万物皆数” 产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机。
第二次数学危机“微积分工具”18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
但是不管是牛顿，还是莱布尼茨所创立的微积分理论都是不严格的。
危机的起源因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。
1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
笼统的说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。
这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。
第三次数学危机“罗素悖论”到 19 世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用到其他的数学分支。
集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了无懈可击的地步。
但是，正当数学家们熟练地应用集合论时，数学帝国又爆发了一次危机。
康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在 1900 年巴黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了。
数学历史上三大危机
数学历史上三大危机数学作为一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，自诞生以来就不断面临着各种挑战和危机。
其中，数学历史上最为著名的三大危机，分别是无理数的发现、无穷小量的悖论以及集合论中的罗素悖论。
这三大危机不仅推动了数学的发展，也深刻地影响了数学哲学和科学哲学的演变。
一、无理数的发现无理数的发现是数学史上的一次重大突破，也是数学历史上第一次危机。
自古以来，人们一直认为所有的数都可以表示为分数，即两个整数的比例。
然而，公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现了一个重要的几何事实：边长为1的正方形的对角线长度无法用两个整数的比例来表示。
这个发现不仅颠覆了毕达哥拉斯学派关于数的理论，也引发了一场关于无理数存在性的哲学争论。
无理数的发现揭示了数学中存在着一类无法用分数精确表示的数，这对当时的数学观念产生了巨大的冲击。
为了解决这个问题，古希腊数学家们发展了无理数的理论，并提出了诸如平方根、立方根等概念。
无理数的发现不仅推动了数学的发展，也促使人们重新审视数学的基础和本质。
二、无穷小量的悖论无穷小量的悖论是数学史上第二次重大危机。
在17世纪，随着微积分的诞生，无穷小量的概念逐渐被引入数学研究。
然而，无穷小量的性质和应用却引发了诸多悖论和争论。
例如，无穷小量是0还是非0？无穷小量乘以无穷大是什么？这些问题困扰着当时的数学家，也对微积分的发展产生了阻碍。
为了解决无穷小量的悖论，数学家们进行了深入的研究和探索。
19世纪，柯西、黎曼等数学家提出了极限的概念，建立了微积分的严格基础。
极限概念的引入不仅解决了无穷小量的悖论，也推动了数学分析的进一步发展。
三、集合论中的罗素悖论集合论中的罗素悖论是数学史上第三次重大危机。
19世纪末，德国数学家康托尔创立了集合论，为数学提供了一个全新的研究对象。
然而，1901年，英国哲学家罗素发现了一个关于集合论的基本悖论：一个集合如果包含所有不包含自身的集合，那么这个集合是否包含自身？罗素悖论揭示了集合论中存在的基本矛盾，对数学的基础产生了严重的挑战。
由悖论引起的三次数学危机
由悖论引起的三次数学危机数学发展史上的第一次危机发生于古希腊时期，当时毕达哥拉斯学派所倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点。
他们认为宇宙的本质就是数的和谐，一切事物都必须而且只能通过数学得到解释。
而他们所谓“数的和谐”是指一切事物和现象都可归结为整数或整数与整数之比。
他们深信这一观点无比正确，因此广泛利用它来解释各种现象。
而后不久即出现了我们前面介绍过的希帕索斯发现无理数的事件，而这一事件是由于一个简单的不公度线段的发现而引起的。
在一般人看来，对于任何两条不一样长的线段，我们都能找到第3条线段，使给定的两条线段都包含第3条线段的整数倍。
可是希帕索斯却发现，对于边长为l 的正方形，设它的对角线为x ，根据勾股定理，则有：2 )(2 2 22222=±==∴=+lx l x l x x l l 舍掉负根 这里出现的2，正好是1与2的比例中项（图153）。
但是无论如何了找不到两个整数之比等于2。
也就是说，x 和l 之间不可能是整数的比例关系，也就不可能找到一条线段，使x 和l 都包含它的整数倍。
因此，从数学的推导可以得出结论，那就是，与我们直观的观察和想像相反，的确存在着不可公度的线段，即不具有共同度量单位的线段。
不可公度线段的出现对毕达哥拉斯学派是一个沉重的打击，但这一怪现象毕竟是学派内部的人发现的，因此被称为毕达哥拉斯悖论或希帕索斯悖论。
希帕索斯为此而献出生命，但他的死并没有消除悖论的存在，却使数学界产生了极度的思想混乱，从而爆发屯第一次数学危机。
这次数学危机的解决导致无理数的诞生。
美籍华人数学家项武指出，有理数的准确翻译应该是“可比数”，无理数的准确翻译应该是“不可比数”。
经过这次惨痛的教训，古希腊数学家不得不承认直观和经验并非绝对可靠。
因此他们对一些凭经验而得到的几何知识都要求严格的推理加以证明，正是在这个过程中促进了欧氏几何和非欧几何的诞生。
数学史上的第二次危机发生在17世纪，涉及的是微积分理论基础的问题，是由贝克莱悖论引起的。
数学危机和数学猜想精编版
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伯特兰·罗素（1872-1970）
Russell, Bertrand Arthur William(Third Earl Russell) 出生年月：1872-1970 国籍：英国
这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论 的发展过程，悖论消除了。
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但是，新的系统的相容性尚未证明。因 此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来 后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊 群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内 有没有狼”。
这就是说，第三次数学危机的解决，并 不是完全令人满意的。
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牛顿
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为了消除悖论，数学家们要将康托 “朴素的集合论”加以公理化；并且规定构 造集合的原则，例如，不允许出现“所有 集合的集合”、“一切属于自身的集合”这 样的集合。
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1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953） 提出了由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。
1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条 公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合 论的ZF-系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。
因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从
5 0 3 0 出发，两端同除以0，得出5=3一样
的荒谬。
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贝克莱还讽刺挖苦说：即然 t 和 S 都变 成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既 不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂” 了。
这就是著名的“贝克莱悖论”。 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的，但是，
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《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》“四次”数学危机第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。
它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。
使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。
两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。
正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。
很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。
我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。
但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。
第二次数学危机发生在十七世纪。
十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。
微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。
柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。
无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。
第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。
我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。
那么理发师该不该给自己理发呢？还有大家熟悉的“说谎者悖论”，其大体内容是：一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。
”试问这句话是真还是假?从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。
罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。
事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有R R。
一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。
因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。
因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则，否则就是不合法的集合。
这样看来，罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。
归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。
因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。
从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。
首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。
现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic 集合论，集合是先定义了全集I，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来得。
而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。
中国数学爱好者李明波，根据他所发现的纯数学及应用数学中种种意想不到的错误现象，精辟地在警示人们:数学中的错误，正在关系到公众的安危。
李明波在1997年7月的辽宁省数学年会上首次指出，人类历史上的“第四次数学危机”已经在中国开始了。
但是，由于当时他的论文印数不多，而没能产生太大的影响。
时隔8年之后的2005年9月，李明波在他原文章的基础上，增添了“重重反例的爱希阿引理”，并整理出了专题文章《第四次数学危机》。
这篇堪称宣布第四次数学危机已经在中国开始的经典论文，已被本人以《李明波与第四次数学危机》为题投放到东陆论坛。
世界著名数学疑难问题之哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图 1图 2这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。
哥德巴赫猜想1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。
第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。
这就是著名的哥德巴赫猜想。
它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。
实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。
1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。
但是第一个问题至今仍未解决。
由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。
1920年挪威数学家布龙证明了“9+9”；以后的20几年里，数学家们又陆续证明了“7+7”，“6+6”，“5+5”，“4+4”，“1+c”，其中c 是常数。
1956年中国数学家王元证明了“3+4”，随后又证明了“3+3”，“2+3”。
60年代前半期，中外数学家将命题推进到“1+3”。
1966年中国数学家陈景润证明了“1+2”，这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果。
陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位，更重要的是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难，不畏艰险，永攀高峰的精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为21世纪世界数学大国而奋斗!世界十大经典数学悖论1.理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。
试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。
这样，理发师陷入了两难的境地。
2．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。
”如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。
所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。
公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。
”同上，这又是难以自圆其说！说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。
说谎者悖论有许多形式。
如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。
”又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。
3．跟无限相关的悖论：{1，2，3，4，5，…}是自然数集：{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。
这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。
由线段BC上的点往顶点A 连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。
为什么？5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。