高等数学第七章微分方程习题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第七章
微分方程与差分方程
习题7-1(A )
1. 说出下列微分方程的阶数:
;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x
.0)32()67()3(=++-dy y x dx y x
2. 下列函数是否为该微分方程的解: x e x y y y y 2;
02)1(==+'-''
)(2;
0)()2(2为任意常数C x
x C y xdy dx y x -==++
),(cos sin ;
0)
3(212122
2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+
)(ln ;
02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+
3. 在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,写出符合初始条件的函数: ;5,
)1(0
22==-=x y
C y x ;1,0,)()2(0
221='
=+===x x x y y
e x C C y .
0,1,
)(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y
4. 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
点横坐标的平方。
处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x
轴平分。被,且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2(
习题7-1(B )
1.在下列各题中,对各已知曲线族(其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数)求出相应的微分方程: ;
1)()1(22=+-y C x .
)2(21x x e C e C xy -+=
2.用微分方程表示下列物理问题:
平方成反比。温度的成正比,与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1(
。
速度成反比(比例系数同时阻力与,
成正比(比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动,作一质量为)))2(11k k t m
习题7-2(A )
1.求下列微分方程的通解: ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;
)()3(2y y a y x y '+='-'
;10)
4(y x dx
dy
+=
;
11)5(2
2
x y y --='
;
1)
6(2x
y x dx dy -=
;
63)7(32
22y
x y y x x dx dy --=
;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;
0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .
0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x
2.求解下列初值问题: ;0,)1(02=
='=-x y x y
e y
;4
,cos cos sin cos )2(0π
=
==x y dy
dx
x
y y x
;0,ln sin )3(2
=='=
π
x y
y y x y .
1,
)1()4(1
=='+=x x x y
e y y e
平分,求这曲线方程。
意切线线段均被切点所,它在两坐标轴间的任一曲线过点)3,2(.3方程。
斜率的两倍,求这曲线到该切点的连线的
的切线斜率等于自原点,且在曲线上任何一点一曲线过点)3
1
,1(.4
习题7-2(B )
及流完所需的时间。
求水面高度变化的规律,的孔漏斗下面有面积为,顶角为斗,高为有一盛满水的圆锥形漏2)(5.0,60)(10.1m c cm o
后的速度是多少?
运动开始经过了一分钟,问从达因,外力为时速度等于秒速度成反比;在,和质点运动的,这外力和时间成正比线运动的质点受外力作用作直克质量为)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅= 的函数关系。与时间的一半,试求镭的量年后,只余原始量镭经过由经验材料得知,,成正比存量镭的衰变速度与它的现:镭的衰变有如下的规律t R R R 01600.3
间变化的规律。
成正比,试求船速随时知阻力和速度秒后速度减至一半,已,初速开始运动的船以5)/(6.40s m v =
间的函数关系。
在上升过程中速度与时,试求为常数竖直上抛,空气阻力为的物体在空气中以速度设将质量为)(.50k kv v m
,求这曲线方程。倍矩形面积的
的坐标面积等于同底而高为纵为底构成的曲边梯形的,它以一曲线过点)1(1
],[),2(.6>m m
y x a b a
.
)(,)()
1()()(.70
x y dx x y x x dx x y x
x y x x 求且满足
是一个连续可微函数,设⎰
⎰
+=
习题7-3(A )
1. 求下列齐次方程的通解: ;)ln (ln )1(x y y y x -=' ;
0)2(22=--
-'x y y y x ;
0)()3(22=-+xydy dx y x ;
0)2()4(=+-xdy dx y xy ;
)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=
.03)32()6(=-+dy x
y
ch x dx x y ch y x y sh
x
2.求解下列初值问题:
;
0)1(,0cos )cos ()1(==-+y dy x
y
x dx x y y x
.
2)1(,)2(=+=
'y x
y y x
y
3. 求一曲线方程,使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。
4. 求一曲线方程,使其上任一点处的切线在 y 轴上的截距恰好等于原点O 到
该点的距离。
习题7-3(B )
1. 求下列齐次方程的通解或特解:
;1)2
1()1(='-y y
x
;0)1(2)21()2(=-
++dy y
x
e dx e y
x y
x
;
1,
02)3()3(022==+-=x y xydx dy x y
.
1,
0)2()2()4(12222==-++-+=x y dy x xy y dx y xy x