函数图象的对称变换

课题：函数图像的对称变换（2课时）

学情分析：相对于函数图象的平移变换，对称变换是学生的难点，对于具体函数，学生还有一定的思路，但结论性的结果，学生掌握的不是很好。

教学目标：

（1） 通过具体实例的探讨与分析，得到一些对称变换的结论。

（2） 通过一定的应用，加强学生对对称变换结论的理解。

（3） 能数形结合解决想过题目。

教学过程：

欣赏图片，感受对称

一、师生共同分析讨论完成下列结论的形成。

1、（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称；

（2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称；

（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称．

2、奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称．

3、（1）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则

()y f x =的图像关于直线 对称．

（2）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点 对称．

4、对0a >且1a ≠，函数x y a =和函数log a y x =的图象关于直线 对

称．

5、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．

6、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于 的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．

二、学生先独立完成，再分析点评

2

3、函数x y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称．

4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ．

5、设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关

于 对称．

6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ．

二、典例教学

【例1】填空题：

（1

（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为 ．

①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有

(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．

（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是 ．

（4）当1a >时，已知1x ，2x 分别是方程1x x a +=-和log 1a x x +=-解，则12x x +的值为 ．

【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12x

y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （3）2log y x =；（4）21y x =-．

【例3】（利用图象的变换解决相应的问题）

设函数)(x f y =图象进行平移变换得到曲线C ，这时)(x f y =图象上一点)1,2(-A 变为曲线C 上点)3,3('-A ，则曲线C 的函数解析式为（ ）

A. 2)1(+-=x f y

B. 2)1(++=x f y

C. 2)1(--=x f y

D. 2)1(-+=x f y

【例4】（有关图象问题的综合应用）

1．若函数)10(1≠>-+=a a b a y x 且的图象经过第二、三、四象限，则一定有 ．

2．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）

A ．0,1<>b a

B ．0,1>>b a

C ．0,10><

D ．0,10<<

3．关于x 的方程x a x x =-+-342有三个不相等的实数根，则实数a 的值是多

少？

四、归纳小结

图象的对称变换

①)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称

②)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称

③)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面内的部分，及与x 轴的交点，将的)(x f y =图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。 ⑤)(x f y =图象是保留中位于右半面内的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面内的部分，而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。

⑥奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形