一元二次方程小结

第二十二章《一元二次方程》小结

一、本章知识结构框图

二、本章知识点概括

1、相关概念

（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，

其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．

一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程

整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程

*（4）有理方程高次方程：

分式方程

2、降次——解一元二次方程

（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:

①方程化为一般形式；

②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

③化二次项系数为1；

④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，

从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；

⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，•

将a、b、c代入求根公式x=

a2

ac 4

b

b2-

±

-

（b2-4ac≥0）就得到方程的根．

（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：

①通过移项将方程右边化为0；

②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；

③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。

3、一元二次方程根的判别式

（1）⊿＝b 2－4ac 叫一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式。

（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：

①⊿=b 2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根；

②⊿=b 2－4ac =0 方程有两个相等实数根；

③⊿=b 2－4ac ＜0 方程没有实数根；

④⊿=b 2－4ac ≥0 方程有两个实数根。

（3）应用：

①不解方程，判别方程根的情况；

②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；

③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；

注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a ≠0。

*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）

（1）如果一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是21,x x ， 那么a

c x x a b x x =-=+2121, （2）应用：

①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；

③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；

④不解方程可以求某些关于21,x x 的对称式的值，通常利用到：

2122122212)(x x x x x x -+=+

212212214)()(x x x x x x -+=-

()|

a |x x 4x x ||2122121∆=-+=-x x 当21x x +=0且21x x ≤0，两根互为相反数；

当⊿≥0且21x x =1，两根互为倒数。

（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a ≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）

⑩用公式法因式分解二次三项式ax 2+bx+c(a ≠0)：

ax 2+bx+c=a （x-x 1）（x-x 2）其中21,x x 是方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根。 5、实际问题与一元二次方程

传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。

三、典型例题辨析

1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．

①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-

5x =0 2、当m 时,关于x 的方程(m+2)x |m|+3mx+1=0是一元二次方程.

3、方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．

4、根据下列表格的对应值：

x

3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09

判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根x 的取值范围是________。

5、已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．

6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____．

7、已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是_____．

8、已知2和1-是关于x 的方程022=++n mx x 的两个根，则m 的值为 ，n 的值为 .