材料力学典型例题及解析 12.冲击问题典型习题解析

击构件瞬间的速度为 υ
，只须将前面（a）式右端改为
1 2
⋅
Pυ2 g
= Vε
，即可导出 kd
=
υ2 。 g∆st
（4）、前面推导过程中，冲击物的势能取为 Ep = P(h + ∆d ) ，一般情况下 ∆d << h ，可将其忽
略，取 Ep = Ph ，读者可仿照上面推导一下，并讨论忽略后对 kd 有什么影响。
所以本问题的动载荷因数为： kd
=
∆d ∆st
=1+
1+ 2h = 1+ ∆st
1+
2
× 440 ×10 −3 2 ×10 −3 m
m
= 22
讨论：（1）、在线弹性范围内，载荷、变形、应变、应力之间都是线性关系，也就是说，当
外载荷被放大 kd 倍，则变形、应力、应变也同样被放大 kd 倍。所以有σ d = kdσ st 。有了 kd 很
动能完全转化为橡皮筋的应变能。即 Ek = Vε 。
解：设小球离开木拍瞬间速度为υ ，则其动能 Ek
=
1 2பைடு நூலகம்
W g
υ 2 ；而橡皮筋被拉至最长时应变能
Vε
=
1 2
F ⋅ ∆L ，其中
F
为小球速度为零时橡皮筋所受拉力。由于假设橡皮筋为线弹性变形，
3
所以 F
=σ
A
=
Eε
A=
∆L L0
EA ，于是Vε
=
∆d
=
∆d ∆st
P 。定义
∆d ∆st
= kd 为动载荷因数，则有
Fd P
=
∆d ∆st
= σd σ st
= kd ，将上述关系代入（d）式得： ∆d2 − 2∆st ∆d − 2∆st h = 0
解得： ∆d = ∆st (1+
1+ 2h ) ∆st
于是
kd
=
∆d ∆st
=1+
1+ 2h ∆st
冲击问题
典型习题解析
1 一圆杆横截面面积为 A ，弹性模量为 E ，杆下端带一法兰盘，杆上部套一圆形重物，如 图所示。设重物 P 离法兰盘高为 h ，当重物自由落下时，形成冲击载荷作用在杆上。试计算 杆中动应力。 解题分析：假设冲击物和杆端法兰均为刚体，则它们在冲击过程中没有应变能。同时，不考 虑其他能量损失，则，根据这一关系，即可建立冲击过程中的最大应力、变形等。 解： 重物落下后，当其达到最低点时，其势能完全转化为杆的应变能。所以有
EA 2L0
(∆L) 2
代入能量守恒方程 Ek
= Vε ，得
1 2
W g
υ2
=
EA 2L0
(∆L) 2 ，
υ=
EAg (∆L) 2 = WL0
EAg WL0
(L1
−
L0
)2
=
2.0 ×106 Pa ×1.6 ×10−6 m 2 × 9.8 m/s 2 300 ×10−3 N × 300 ×10−3 m
1+
2 × 440×10-3 2 ×10−3 m
m
= 44 ×10−3
m
= 44 mm
2、 计算动荷因数 将动载荷理解为变大了或变小了的静载荷，动载与静载之间存在特定的比例关系，
即 Fd = kdW ，其中系数 kd 即为动荷因数。
将上式两边同除以弹簧常量 k ，得到：
Fd k
=
kd
W k
， ∆d
= kd ∆st
Ep = Vε
(a)
其 中 EP 为 冲 击 物 的 势 能 。 设 受 冲 击 后 杆 的 最 大 变 形 为 ∆d ， 则
Ep = P(h + ∆d )
(b)
Vε 为杆被冲击后的应变能，设重物对杆冲击作用的最大作用力为 Fd ，
则 Fd 做的功即为杆增加的应变能。
所以， Vε
=
1 2
Fd ∆d
于是由（a），（b），（c）三式有
空心柱体
外力功。 解：1、计算弹簧最大位移
题2图
设弹簧被冲击后，最大位移为 ∆d ，弹簧承受的最大冲击力为 Fd ，则由能量守恒得
W (h
+
∆d
)
=
1 2
Pd
∆d
。
由于弹簧常量为 k ，所以有 W = k∆st ， Pd = k∆d 。 ∆st 为重物静止放在弹簧上时弹簧
的缩短量。于是有
W (h
+
∆d
方便就能计算出动载荷条件下被冲击物的各量。（2）、但应注意，对不同的问题， kd 有不同 的表达式，不能生搬硬套。（3）、掌握本题所采用的以能量守恒为基本原理的分析方法是最 重要的。
3 一个橡胶小球重W = 300 mN ，用一橡皮筋连在一木拍上，橡皮筋长 L0＝300 mm ，横截
面面积 A = 1.6 mm2 ，弹性模量 E = 2.0 MPa 。用木拍击打小球后，小球拉动橡皮筋，使橡
(c) 题1图
P(h +
∆d )
=
1 2
Fd ∆d
，或
Fd ∆d
− 2P∆d
− 2Ph
=
0
(d)
对线弹性体，载荷与其相应位移存在关系 P = k ⋅ ∆st ， k 为刚度系数。 ∆st 为载荷 P 作用
下杆的位移。设杆长为 l
，则
∆st
=
Pl EA
。动载荷时，同样有 Fd
=
k∆d
于是有 Fd
=
P ∆st
2 如图所示柱筒内重为 W = 20 N 重物从高为 h = 440 mm 处落到一个弹簧上，弹簧常量
k = 10 kN/m 。（1）确定弹簧的最大压缩位移；（2）
重物
计算动荷因数。
解题分析：忽略重物在冲击过程中的变形，并忽略
h
能量损失，则重物冲击弹簧后，其势能全部转化为
弹簧
弹簧应变能，利用能量守恒原理，则有 Ep = Vε ，Vε =
皮筋总长达到 L1 = 1.0 m ，试问小球离开木拍瞬间的速度是多少？假设橡皮筋为线弹性体， 而且忽略小球的势能。 解题分析：木拍击打小球是冲击载荷问题。小球受木拍撞击飞出，将连接小球和木拍的橡皮 筋拉长。小球离开木拍的瞬间有一个初速度，橡皮筋被拉长的同时，小球速度不断减小，当 小球速度为零时，橡皮筋被拉至最长。假设不考虑小球的势能变化，则小球离开木拍瞬间的
)
=
1 2
k∆d
⋅
∆d
即
k∆d2 − 2W∆d − 2Wh = 0 或 ∆d2 − 2∆st ∆d − 2∆st h = 0 。解得
∆d = ∆st (1+
1+ 2h ) ∆st
2
而 ∆st
=W k
= 20 N 10 ×103 N/m
= 2 ×10 −3
m
代入前式得
∆d = 2 ×10−3 m(1+
1
有了动荷因数后，可用下面式子计算动载荷作用下构件的变形和应力。
冲击载荷： Fd = kd P
冲击位移： ∆d = kd ∆st
冲击应力，即杆中的动应力：σ d
=
kdσ st
=
kd
P A
讨论： (1)、冲击载荷或其他动载荷作用下构件变形和应力计算可归结为计算动荷因数 kd ，
算出 kd 后，只要将相应的静载荷下的变形和应力乘以 kd ，即得到动载荷作用下构件的变形 和应力。(2)、当 h = 0 时，为突加载荷情况，这时 kd = 2 。(3)、水平冲击问题：设冲击物撞