灰色预测法GM总结
灰色理论基础(自己总结)
灰色理论在灰色理论中，通常用GM （n, m ）来表示灰色模型，其中，n 为差分次数，m 为变量的个数。
对于沉降的预测，工程研究人员一般采用GM （1, 1）来进行预测。
等时距GM （1, 1）模型等时距GM （1, 1）模型是最常用的一种灰色预测模型，也是非等时距GM （1,1）模型的建模基础。
设观测到的原始等时距数据序列为：{}[0](0)(0)(0)(0)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中，(0)()x k 为k t 时刻对应的初始数值，时间步长1i i t t c +-=为常数，1,2,3i n =⋅⋅⋅。
对[0]X 中的数据经过一次累加（1-AGO ）运算，得到光滑的生成数列：{}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中，(1)(0)1()()k k i i x t xt ==∑，1,2,3k n =⋅⋅⋅。
[1]X 的均值数据序列[1]Z 可以表示为：{}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,(1)Z z z z k z n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅-其中，(1)(1)(1)()1/2()(1)z k x k x k ⎡⎤=++⎣⎦。
(1)()x k 的GM （1, 1）模型白化形式的微分方程可表示为：（1） 其中，a ，b 为待定参数，可以由式（1）离散化后求得，式（1）在区间[,1]k k +离散后的方程为：(0)(1)(1)()x k az k b ++= （2）离散的过程：式（1）在区间[,1]k k +上积分，有：111(1)(1)()()k k k kk kdxt ax t dt bdt ++++=⎰⎰⎰ 1(1)(1)(1)(0)()(1)()(1)k kdxt x k x k x k +=+-=+⎰所以，式（1）离散后的方程为式（2）。
利用最小二乘法可以从式（2）中求得参数a 和b ：(0)(1)(0)(1)(1)()(1)=-()x k az k b x k az k b Y Ba ++=⇒++⇒= 式中，(1)(0)(1)(0)(1)(0)(1), 1(2)(2), 1(3), Y=, , 1 (1),1()z x a z x B a b z n x n ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢--⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把求得的参数代入式（1）中，可以得到白化方程的解为： (1)1()/at x t c e b a -=+当t=1时，(1)(1)(0)(1)(1)(1)()=(1)(1)()=((1)/)/a t x t x x x t x b a e b a --=⇒-+所以GM （1,1）模型的时间相应数据序列为：k =1,2,3….n 。
灰色模型GM
问题的分析本文关键在于预测长江江豚个体数量的变化，由于近20年来，江豚的数量急剧下降，如不进行保护，则在未来的10-15年将会发生功能性灭绝，因此江豚种群数量的预测关系到江豚的生存和保护的大问题。
由于江豚个体数量受出生率，死亡率，繁殖能力，长江水质的污染，自然灾害，人为的捕获，人类肆意采挖江砂与非法使用渔具等众多因素的影响，而前这些因数也可能时刻发生变化，难以确定，更难确定这些因素与江豚数量变化的定量关系。
且题中所给的数据数量较少，我们只能在一定的假设条件（往往是一些经验及常识）下按照某种逻辑推理演绎而得到模型，它是一个抽象的灰色系统。
因此，针对问题一，可以采用灰色预测法建立GM(1,1)模型。
因为，灰色预测法至少需要4个数据，我们通过查找资料，得到了1996年江豚在长江中下游的数量.由于数据限制，灰色预测模型在分析江豚出现功能性灭绝和彻底灭绝时是以五年为一个时间间隔的,要得到具体每一年的江豚个体数量，可以通过拟合所得预测数据,得出具体每一年的江豚数量，与出现功能性灭绝的数量进行对比，就可以确定功能性灭绝的时间。
五模型的建立与求解5.1 江豚数量变化的灰色预测模型我们首先以五年为一个时间先给出一个时间间隔，建立灰色预测模型，对江豚数量以五年为一个周期进行一个大致的预测。
5.1.1模型的分析本题已给的江豚种群在1991年，2006年，2011年的种群数量数据，如下表：法时，至少需要四组数据，因此，我们查阅资料得到的两组数据，我们最终得到五组江豚种群和时间的数据，如下表：灰色模型GM（1，1）建立X，它有5个观测值：设定时间序列(0){}{}(0)(0)(0)(0)(0)(0)==X X X X X X(1),(2),(3),(4),(5)2700,2400,2000,1750,1250其中的数值为1991年到2011每隔5年长江江豚的数量。
X：第一步，通过累加生成新数列(1){}{}(1)(1)(1)(1)(1)(1)==X X X X X X(1),(2),(3),(4),(5)2700,5100,7100,8850,10100其中(1)(1)(1)(0)==-+=()(1)(),2,35X X i X i X i i第二步，构造矩阵B 和数据向量Y 。
GM(1_1)模型,灰色预测
小额贷款远程智能预警系统 人数预测算法的设计一、灰色系统的引入：灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。
目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。
特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。
灰色模型的优点（一） 不需要大量的样本。
（二） 样本不需要有规律性分布。
（三） 计算工作量小。
（四） 定量分析结果与定性分析结果不会不一致。
（五） 可用于近期、短期，和中长期预测。
（六） 灰色预测精准度高。
二、GM （1,1）模型（grey model 一阶一个变量的灰微分方程模型）灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。
灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。
同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。
因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。
GM （1,1）的具体模型计算式设非负原始序列()()(){}n x x x X )0()0()0()0(,...,2,1=对)0(X作一次累加()()∑==ki i x k x1)0()1( ;k=1,2,…,n得到生成数列为()()(){}n x x x X )1()1()1()1(,...,2,1=于是()k x)0(的GM （1,1）白化微分方程为u ax dtdx =+)1()1( (1—1)其中a,u 为待定参数，将上式离散化，即得()()()()u k x az k x =+++∆11)1()1()1(（1—2）其中()()1)1()1(+∆k x 为)1(x在（k+1）时刻的累减生成序列，()()()[]()[])1()()1(11)0()1()1()()0()1()0()1()1(+=-+=∆-+∆=+∆k x k x k x k x k x k x r（1—3）()()1)1(+k x z 为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x 的取值）()()()()()k x k x k x z )1()1()1(1211++=+ （1—4）将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得()()()()u k x k x a k x +++-=+]121[1)1()1()0( （1—5）将（1—5）式展开得()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡u a n x n x x x x x n x x x 1:11121:32212121:32)1()1()1()1()1()1()0()0()0( （1—6）令()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x Y )0()0()0(:32，()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=1:11121:32212121)1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ，[]Tu a =Φ 为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成Φ=B Y （1—7）参数向量Φ可用最小二乘法求取，即[]()Y B B B u a T T T 1ˆ,ˆˆ-==Φ（1—8）把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为()()a u e a u x k xk a ˆˆˆˆ11ˆ)1()1(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+- （1—9）还原到原始数据得()()()()()ka a e a u x e k x k x k x ˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+=+ （1—10）（1—9）、（1—10）式称为GM （1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM （1,1）模型灰色预测的具体计算公式。
文天灰色预测模型-GM
常用的灰色预测有五种：
（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来 构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征 量的时间。
（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生 在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
x (0)(N ) ax (1)(N ) u.
把ax(1) (i) 项移到右边，并写成向量的数量积形式
x(0) (2)
[
x(1)
(2),
1]
a u
x
(
0)
(3)
[
x(1)
(3),
1]
a u
(5)
x(0)
(
N
)
[
x(1)
(
N
),
1]
a u
由于x (1)
t
涉及到累加列 x(1)
当k 1, 2, , N 1时，由(8)式算得的
(8) xˆ(1) (k 1) 是拟合值；
当k N时，xˆ(1) (k 1) 为预报值.这是相对于一次累加序列
x(1) 的拟合值，用后减运算还原，当k 1, 2, , N 1时，
就可得原始序列 x (0) 的拟合值 xˆ(0) (k 1)；当k N时，
【例2】 表2列出了某公司1999—2003年逐年的销 售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求 作精度检验。
【例2】 表2列出了某公司1999—2003年逐年的销 售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求 作精度检验。
表2 逐年销售额（百万元）
年份 序号
民航机场旅客吞吐量灰色GM(1,2)预测
民航机场旅客吞吐量灰色预测的PGM(1,2)模型研究杜云郑顺文指导老师：杨丽安然（中国民用航空学院天津 300300）摘要：本文应用灰色GM(1,1)模型对民航机场旅客吞吐量进行了预测研究，得到了有价值的规律和结论。
同时，本文以灰色GM(1,2)模型为基础，提出了适用于灰色系统数列预测的PGM(1,2)模型，并将其应用于对民航机场旅客吞吐量进行预测研究，结果表明：PGM(1,2)预测模型曲线能反映民航机场旅客吞吐量的变化规律，预测精度很高。
为实现民航机场旅客吞吐量的短、中、长期的准确预测提供了科学的依据和方法。
关键词：灰色预测；PGM(1,2)模型；民航机场旅客吞吐量；1 引言随着我国经济的飞速发展，人民生活水平的显著提高，各行各业都显示出良好的发展势头，中国民航业也同样拥有着很大的发展机遇。
旅客运输是民航运输主要业务之一，对民航机场旅客吞吐量进行短、中、长期的准确预测的研究对民航建设有着重要的意义。
短期预测（指对未来1-2年的预测）可以指导民航机场近期运输业务的计划和运力安排，做好运输服务。
而中、长期预测（指对未来3-5年、5-15年的预测）则是机场规划、建设的依据，以决定机场分期建设的规模，控制机场的最终用地范围。
民航机场旅客吞吐量预测是一件复杂的工作，城市对航线格局下某机场业务量与该地区的社会、经济情况密切相关，地区经济发展的快慢、地区政策的变化都会直接影响航空业务量的变化。
目前航空运输预测的基本方法主要是定性预测法、平均预测法和回归分析法。
资料［１］显示这些方法对短期预测的结果能满足管理要求（即预测相对误差≤12%）。
而对中、长期的预测则是非常困难的，只能通过对历史资料的分析、研究，参考、借鉴国外机场发展的过程做出预测，因此，准确度较差，有时甚至是失败的。
这将导致机场规划建设的决策失误。
例如：珠海机场、绵阳机场就是由于预测不准确造成所建航站楼规模过大，长期不能有效利用，从而造成资金的浪费。
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
第六章 灰色预测法GM
(3), X
( 0)
( N )}
2.对原始序列作一次累加 生成X (1) X
(1)
{ X (1), X (2),, X (n)}
(1) (1) (1) k (1) (0)
其中: X (k ) X
i 1
(i ) X (k 1) X
(1)
(0)
(k )
X (1) X
(1)
7
第二节 灰关联分析
一、关联度的概念 关联度是事物之间、因素之间关联性大 小的度量，若事物之间变化态势基本一 致，则关联度较大，反之则关联度较小 灰色关联分析所需数据较少，对数据要 求较低。
8
二、灰关联分析的步骤 1. 确定比较数列和参考数列 2.求关联系数 3. 求关联度 4. 关联度按大小排序
27
6.进行还原得对原始时间 序列的预测值 ˆ ( 0) (t 1) X (1) (t 1) X (1) (t ) ˆ ˆ X
例见Excel操作
28
例:设有数列X(0)如下: X(0) 1 2.874 2 3 4 3.278 3.337 3.39 5 3.679
试建立GM(1,1)模型并进行预测.
Yn ( X ( 0 ) (2), X ( 0 ) (3), X ( 0) (4), X ( 0 ) (5))T (3.278, 3.337, 3.39 3.679)T
20
附，根据初值化处理后的数据计算的关联度：
ç1 1 2 3 4 5 6 7 Ø ª È ¹ Á ¶ 1 0.970189 0.705259 0.626042 0.518127 0.405722 0.333687 0.651289 1 0.925684 0.872216 0.93988 0.922355 0.824281 0.7282 0.887516 ç2 1 0.903241 0.955737 0.770742 0.672213 0.609823 0.574434 0.783741
GM灰度模型预测方法
GM灰度模型预测方法GM(1,1)灰度模型是一种灰度系统建模和预测方法，它是由中国科学家灰色系统理论的创始人邓聚龙教授于1984年提出的。
GM(1,1)模型是一种线性灰度预测模型，主要用于描述和预测短期和中期非随机灰度序列的发展趋势。
它广泛应用于经济、环境、社会发展等领域，具有简单、高效、灵活的特点。
GM(1,1)模型的建立是基于灰色预测理论的，该理论将预测的问题转化为寻找构造相似数据序列的问题，以便对原始序列进行预测。
GM(1,1)模型的基本思想是通过灰色累加生成序列，将原始序列单纯累加变成灰色累加后的序列，再对其进行建模和预测。
首先，对原始序列进行数据标准化。
通过比例变化到0-1之间，使序列具有可比性和可比较性。
然后，对标准化后的序列进行累加生成序列。
通过一次累加操作来转化原始序列，使其变成一个累加生成序列。
接下来，建立GM(1,1)模型。
通过常微分方程(一阶线性微分方程)来描述灰色累加生成序列的发展趋势。
GM(1,1)模型可以表示为：$x^{(1)}(k)+ax^{(0)}(k)=b$，其中$x^{(1)}(k)$表示一次累加生成序列，$x^{(0)}(k)$表示原始序列，a和b为模型参数。
然后，通过解微分方程，得到GM(1,1)模型的解析表达式。
接着，对模型进行检验。
主要包括残差检验和后验差检验。
残差检验用于检验模型在建立时的合理性和适用性，后验差检验用于检验模型的精度和稳定性。
最后，通过GM(1,1)模型进行预测。
通过灰色预测模型的解析表达式，可以对未来的序列值进行预测。
通常可以使用累减法或累加法来还原预测值，使其恢复到原始序列的范围。
GM(1,1)模型也存在一些限制。
首先，它只能用于中小样本的预测，对于大样本的预测效果可能较差。
其次，模型对异常值和噪声的敏感性较高，需要对数据进行预处理和清洗。
最后，模型对序列的发展趋势做出的假设是线性的，对于非线性序列的预测效果不理想。
总之，GM(1,1)灰度模型是一种简单而有效的灰度预测方法，适用于中小样本的非随机灰度序列的预测。
灰色预测与GM(1,1)
(k )
ˆ 0 k X 0 k max max X ˆ 0 k X 0 k min min X ˆ 0 k X 0 k max max X ˆ 0 k X 0 k X
1 1 X X k z 1 X k 1 k 1 2
从而有：
1 1 X X 0 k 1 k X k 1 a 2
0 令： y X
X k11 X k1 ，x ， 利用最小二乘拟合直线： 2
联系来加以观测研究。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一
部分信息是未知 的，系统内各因素间有不
确定的关系。
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定
信息的系统进行预测，就是对在一定范围内
变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据， 将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数
据上，其和作为生成列的第二个数据，将原始序列
的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作
为生成列的第三个数据，按此规则进行下去，便可
得到生成列。
记原始时间序列为：
X 0 X 0 1, X 0 2, X 0 3,... X 0 n
1,1.063,1.1227,1.1483 X2
1,.097,1.0294,1.0294 X3
1,1.0149,0.805,0.7 X4
第二步：求序列差。
2 0,0.1155,0.1992,0.2335
3 0,0.0225,0.1059,0.1146
《灰色GM(1,1)模型的优化及其应用》范文
《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言灰色系统理论是一种研究信息不完全、数据不精确的系统的理论。
其中，灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中最为重要和常用的预测模型之一。
该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，具有较高的预测精度和实用性。
然而，传统的灰色GM（1,1）模型在某些情况下仍存在模型参数不够准确、预测精度不高等问题。
因此，对灰色GM（1,1）模型进行优化及其应用的研究具有重要意义。
本文将首先介绍灰色GM（1,1）模型的基本原理，然后探讨其优化方法，并最后分析其在不同领域的应用。
二、灰色GM（1,1）模型的基本原理灰色GM（1,1）模型是一种基于微分方程的预测模型，主要用于处理小样本、不完全信息的数据。
该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，将原始数据序列转化为微分方程的形式，从而进行预测。
其基本步骤包括：数据累加、建立微分方程、求解微分方程、模型检验等。
三、灰色GM（1,1）模型的优化针对传统灰色GM（1,1）模型的不足，学者们提出了多种优化方法。
其中，基于数据预处理、模型参数优化和预测结果修正的优化方法较为常见。
1. 数据预处理：通过对原始数据进行处理，如去趋势、归一化等，以提高模型的适应性和预测精度。
2. 模型参数优化：通过引入其他因素或变量，如时间序列的波动性、随机性等，对模型参数进行优化，提高模型的预测精度。
3. 预测结果修正：通过对预测结果进行修正，如引入专家知识、其他预测方法的结果等，进一步提高预测精度。
四、灰色GM（1,1）模型的应用灰色GM（1,1）模型在各个领域都有广泛的应用。
下面以几个典型领域为例，介绍其应用。
1. 经济学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测经济增长、股市走势等经济指标，为经济决策提供参考。
2. 农业领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测农作物产量、农业气候等指标，为农业生产提供指导。
3. 医学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测疾病发病率、死亡率等指标，为医学研究和卫生政策制定提供参考。
灰色预测模型GM
灰色预测模型GM (1,1)§1 预备知识灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。
设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和()∑=--=ni i i b ax y J 12最小。
J 是关于a , b的二元函数。
由()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅--⋅=∂∂=-⋅--⋅=∂∂∑∑==0120211ni ii i ni i i i i b x a y b J x b x a y a J()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒∑∑==00112ni i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⋅∑∑∑∑∑=i iii n i i i y nb x a y x x b x a 12（*）()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22222i i i i i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1) 以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。
灰色预测法(GM(1-1)模型)
商业
X 4 6.7,6.8,5.4,4.7
参考序列分别为 X1, X 2 ，被比较序列为 X 3, X 4,
试求关联度。
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. #;
解答：
以 X1 为参考序列求关联度。
第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
X1 1,0.9475,0.9235,0.9138
回总目录 回本章目录
. #;
10.2 GM(1,1)模型
一、GM（1，1）模型的建立
设时间序列 X 0 X 01, X 02,..., X 0n 有n个观
察值，通过累加生成新序列 X 1 X 11, X 12,..., X 1n
则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX 1 aX 1
. #;
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
回总目录
. #;
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全充分的。
回总目录 回本章目录
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
回总目录 回本章目录
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回总目录 回本章目录
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（2）关联度
X 0k 和 Xˆ 0k 的关联度为：
灰色预测GM(1,1)模型分析
SPSS分析SPSS教程SPSSAU 灰色预测模型GM11 灰色模型灰色预测GM(1,1)模型分析Contents1背景 (2)2理论 (2)3操作 (3)4 SPSSAU输出结果 (3)5文字分析 (4)6剖析 (5)灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测，其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。
但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等。
灰色预测模型有很多，GM(1,1)模型使用最为广泛，第1个数字表示进行一阶微分，第2个数字1表示只包含1个数据序列。
特别提示：GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测；GM(1,1)模型适用于数量少(比如20个以内)时使用，大量数据时不适合。
灰色预测模型案例Contents1背景 (2)2理论 (2)3操作 (3)4 SPSSAU输出结果 (3)5文字分析 (4)6剖析 (5)1背景当前某城市1986~1992共7年的道路交通噪声平均声级数据，现希望预测出往后一期器械声平均声级数据。
数据如下：年份城市交通噪声/dB(A)198671.10198772.40198872.40198972.10199071.40199172.00199271.602理论灰色预测GM(1,1)模型一般针对数据量少，有一定指数增长趋势的数据。
在进行模型构建时，通常包括以下步骤：第一步：级比值检验；此步骤目的在于数据序列是否有着适合的规律性，是否可得到满意的模型等，该步骤仅为初步检验，意义相对较小。
级比值=当期值/上一期值。
一般情况下级比值介于[0.982,1.0098]之间则说明很可能会得到满意的模型，但并不绝对。
第二步：后验差比检验；在进行模型构建后，会得到后验差比C值，该值为残差方差/ 数据方差；其用于衡量模型的拟合精度情况，C值越小越好，一般小于0.65即可。
灰色预测GM模型的改进及应用
灰色预测GM模型的改进及应用一、本文概述灰色预测GM模型是一种基于灰色系统理论的预测方法，具有对样本数据量少、信息不完全的复杂系统进行有效预测的优势。
然而，传统的GM模型在处理某些实际问题时，可能会遇到预测精度不高、模型适应性不强等问题。
因此，本文旨在深入研究灰色预测GM模型的改进方法，以提高其预测精度和适应性，并探讨改进后的模型在各个领域的应用价值。
具体而言，本文首先将对灰色预测GM模型的基本原理和算法进行详细阐述，为后续研究提供理论基础。
然后，针对传统GM模型存在的问题，本文将从模型参数优化、数据预处理、模型结构改进等方面提出一系列改进措施，并通过实验验证其有效性。
在此基础上，本文将进一步探讨改进后的GM模型在经济管理、生态环境、社会发展等领域的实际应用，以展示其广泛的应用前景和实用价值。
本文旨在通过深入研究灰色预测GM模型的改进方法，提高其预测精度和适应性，推动灰色系统理论在实际问题中的应用，为相关领域的研究和实践提供有益参考。
二、灰色预测GM模型的基本理论灰色预测GM模型，简称GM模型，是灰色系统理论的重要组成部分。
灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年提出的，它主要用于解决信息不完全、数据不充分的“小样本”和“贫信息”问题。
GM模型以其独特的优势，在众多领域如经济预测、环境科学、工程技术等得到了广泛应用。
GM模型的基本思想是通过生成变换，将原始数据转化为规律性较强的生成数据，然后建立微分方程模型进行预测。
其核心步骤包括：数据累加生成：原始数据序列经过一次或多次累加生成，使原本杂乱无章的数据呈现出明显的规律性，这是灰色预测的关键步骤。
建立微分方程：基于累加生成的数据序列，建立一阶线性微分方程，该方程能够较好地描述数据序列的变化趋势。
还原预测值：通过还原操作，将微分方程求解得到的预测值还原为原始数据序列的预测值。
模型检验：对预测结果进行后验差检验或残差检验，以评估模型的预测精度和可靠性。
灰色预测GM（1，1）方法
灰色预测法一、相关知识1、灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
2、灰数简介： （1）灰数的定义：是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。
灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“⊗”表示灰数。
（2）灰数的分类：(Ⅰ)有下界而无上界的灰数[)∞∈⊗,a 或()a ⊗，如大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量,所以其重量为灰数[)∞∈⊗,0。
(Ⅱ)有上界而无下界的灰数(,]a ⊗∈-∞或()a ⊗，如一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。
(Ⅲ)既有下界a 又有上界a 的灰数称为区间灰数，记为[]a a ,∈⊗。
如海豹的重量在20--25公斤之间，某人的身高在1.8-1.9米之间，可分别记为[]25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗(Ⅳ)黑数：当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都是灰数时，称⊗为黑数。
(Ⅴ)白数：当[,]a a ⊗∈且a a =时，称⊗为白数。
(3)本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。
我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。
如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。
例：（1）气温不超过36℃，[]36,0∈⊗。
（2）预计某地区今年夏粮产量在100万吨以上，[)∞∈⊗,100；（3）估计某储蓄所年底居民存款总额将达7000万到9000万，[]9000,7000∈⊗； （4）如某人希望至少获得1万元科研经费，并且越多越好，[)∞∈⊗,10000；（5）有的数，从系统的高层次，即宏观层次、整体层次或认识的概括层次上看是白的，可到低层次上，即到系统的微观层次、分部层次或认识的深化层次则可能是灰的。
灰色预测总结
灰色系统建模灰色系统理论在建模中的应用:灰色系统理论在建模中被广泛用来处理数据。
与插值拟合相比，利用灰色模型处理数据不仅对数据没有很强的限制，而且精度更高，计算更简便。
常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍. 累加生成:(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)[(1),(2),,()],,[(1),(2),,()],:x x x x x n x x x x x n x x ==令为原始序列,记生成数为如果与之间满足如下关系(1)(0)1()();1,2,,(21)ki x k x i k n===-∑,1AGO -一次累加生成则称为记为累加生成在灰色系统理论中有着非常重要的地位,它能使任意非负数列,摆动的或非摆动的,转化为非减的的,递增的数列.累减生成:累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为∆.()()(),,:r r i x r x i ∆令为次生成数列对作次累减生成记为其基本关系式为(0)()()(1)()(0)()(0)()(2)()(1)()(1)()()()(1)()(1)()[()]()[()][()][(1)][()][()][(1)](25)[()][()][(1)]r r r r r r r r i r i r i r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k --∆=∆=∆-∆-∆=∆-∆--∆=∆-∆-(0)(1)(),(0)0,;(0)1(0)11.i k k i k k i ∆∆-∆--式中为次累减即无累减为1次累减,即与时刻两个零次累减量求差,为次累减,即与时刻两个次累减量求差(25):-从式还可得到以下关系(1)()(0)()(0)()()()1(1)(1)11(1)[()][()][(1)]()(1)(26)()()()r r r r r kk r r i i r x k x k x k x k x k x i x i xk ---==-∆=∆-∆-=---=-=∑∑(2)()(1)()(1)()(1)(1)1(2)(2)11(2)[()][()][(1)]()(1)(27)()()()r r r r r kk r r i i r x k x k x k x k x k x i x i x k -----==-∆=∆-∆-=---=-=∑∑:同理可得()()()[()]()(28)i r r i x k xk -∆=-()()(0)[()]()(29)r r x k x k ∆=-(29),,.,,.:1,r r r -=从式可以看出对次生成数列作次累减即还原为非生成数列事实上累加中包含着累减累减中包含着累加比如时有1(1)(0)(0)(0)11(1)(0)()()()()(1)()(210)k k i i x k x i x i x k x k x k -====+=---∑∑(0)(1)(1)()()(1)x k x k x k =--进一步有(1)()()()()(1)(211)r r r x k x k x k -=---.均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种 σρ级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法.对数列端点值的生成,我们无法采用均值生成填补空缺,只能采用级比生级比生成.成是级比级比生(k 成在建模中可以获得较好的灰)与光滑比(k)生成指数律.的总称.(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,()],(),(),X x x x n K k σρ=设序列为原始序列称为级比为光滑比其表达式为(0)(0)(0)(1)()()/(1)()()/(1)(212)k x k x k k x k x k σρ=-=--(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,(1),()],(1)(1),()(),(1)()X x x n n x n x n x x n ϕϕϕϕ=-设为端点是空穴的序列若用右邻的级比生成用的左邻级比生成则称和为级比生成GM(1.1)模型建模机理 GM(1.1)原理步骤 原始数列：{}(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()X x x x n =对(0)X 进行一次累加，得到新数列：{}(1)(1)(1)(1)(1),(2),,()X x x x n =(1),()()ki xk x i ==∑其中于是(0)()x k 的GM （1.1）白化形式的微分方程为： (1)(1)(216)dx ax u dt+=- 其中，a,u 为待定系数，将（2-16）式离散化，即得：(1)(1)(1)((1))((1))(217)x k az x k u∆+++=-其中，(1)(1)((1))x k ∆+为(1)x 在（k+1）时刻的背景值 因为：(1)(1)(1)(1)(0)((1))(1)()(1)(218)x k x k x k x k ∆+=+-=+-(1)(1)(1)1(1)((1)())(219)2z k x k x k +=++-将（2-18），（2-19）式代入（2-17）式，得(0)(1)(1)1(1)[(()(1))](220)2x k a x k x k u+=-+++-将（2-20）(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1((1)(2))12(2)1((2)(3))1(3)(221)2()1((1)())12x x x x x x x n x n x n ⎡⎤-+⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1((1)(2))12(2)1((2)(3))1(3),2()1((1)())12x x x x x x Y B x n x n x n ⎡⎤-+⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦令[]T a u Φ=为待辨识参数向量，则（2-21）可写成：(222)Y B =Φ-参数向量Φ可用最小二乘法求取，即1ˆˆˆ[,]()T T T a u B B B Y -Φ== 把求取的参数代入（2-16）式，并求出其离散解ˆ(1)(1)ˆˆˆ(1)[(1)](224)ˆˆak uu x k x e a a -+=-+-(0)(1)(1)ˆˆ(1)ˆˆˆ(1)(1)()ˆ(1)[(1)](225)ˆa akxk x k x k u e x e a-+=+-=---还原到原始数据得(224),(225)(1.1),(1.1).GM GM --式称为模型的时间相应函数模型它是模型灰色预测的具体计算公式（GM1.1）模型的精度检验模型选定之后,一定要经过检验才能判定其是否合理,只有通过检验的模型才能用来作预测,灰色模型的精度检验一般有三种方法:相对误差大小检验法,关联度检验法和后验差检验法.下面对这三种方法做个简单介绍.1 级比检验：为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。
灰色预测法GM总结
灰色预测模型一、灰色预测的概念1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。
灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。
尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
二、灰色预测的类型1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM （1，1）模型的建立 1. 数据处理为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
i. 设()()()()()()()()(){},,, (00000)123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比()()()(),,,,()00123X t t t n X t λ-==L 。
如果绝大部分的级比都落在可容覆盖区间(,)2211n n ee-++内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色预测。
灰色预测法(GM模型)描述共33页
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
灰色GM
灰色GM(1,1)预测模型1.模型的建立在灰色系统理论中，称抽象的逆过程为灰色预测，也称GM 。
它是根据关联度、生成数灰导数、灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续型的微分方程。
下面利用单变量一阶灰色预测GM(1,1)模型对(0)x 序列的确定增长趋势进行预测。
GM(1,1)模型设原始时间序列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...())n xx x x =，这是一组信息不完全的灰色量，且具有很大的随机性将其进行生成处理，提供更多的有用信息。
其形式为：(1)(1)dtdxx μα+=设原始时间序：(0)(0)(0)(0)((1),(2),...())n xx x x =预测第n+1期，第n+2期，…的值：(0)(0)(1),(2),...n n x x ++ 其相应的预测模型模拟序列为： (0)(0)(0)(0)((1),(2),...())n x x x x =设(1)x为(0)x的一次累加序列：(1)(0)(0)(0)((1),(2),...())n xx x x =，n k ,,2,1 = ， 其中(1)(0)1()(())ki k i xx ==∑。
利用(1)x计算GM(1,1)模型参数αμ，。
通过最小二乘法可得：1=()T n T B B Y B αμ-⎛⎫ ⎪⎝⎭,其中1111111((1)(2))121((2)(3))1211((1)())12B n n x x x x xx ⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪-+ ⎪=⎪⎪ ⎪--+ ⎪⎝⎭，(0)(0)(0)((2),(3),,())n n x x x Y =。
微分方程的解为：(0)(0)(1)((1))ak k e x x μμαα∧-+=-+2.残差检验评价精度高低最简单的方法是看模型值和原值之间的残差百分比。
我们认为一般百分比±5%即为满意，对±20%以内的，根据实际情况也可以使用。
如果再大即要考虑修正模型或改为其他模型。
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计算方差比 ，小误差概率 ，令 , ,则
检验指标 和 与灰色预测精度检验等级标准如下表所示：
XＸＸ表
检验指标
优ﻩ
良
中
差
>0.9
＞０.8ﻩ
>0．7
≤０.７
＜0.3５
<０.5
＜0.6５
0．６5
四、残差模型修正
若用原始经济时间序列 建立的GＭ（1，1)模型检验不合格或精度不理想时,要对建立的GＭ（1,１）模型进行残差修正或提高模型的预测精度。修正的方法是建立GM（１,１)的残差模型。
若 则相应的残差修正时间响应式
称为累减还原式的残差修正模型。
取定k后，按此模型,可对ｋ＞k0的模拟值进行休整，修正后的精度如下表:
误差检验表
序号
实际数据
模拟数据
残差
相对误差
10
11
1２
13
18
1５.5
17
15
１7．1８５8
1６.4799
１5．７6０４
１５.0３72
０.８１42
-０.9799
１.２396
4.拓扑预测；将原始数据作曲线,在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点
三、GM（1,1)模型的建立
1.数据处理
为了弱化原始时间序列的随机性,在建立灰色预测模型之前,需先对原始时间序列进行数据处理,经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
灰色GＭ(１,1)预测模型在计算过程中主要以矩阵为主,它与ＭＡＴLＡＢ的结合解决了它在计算中的问题.由ＭATLAB编制的灰色预测程序简单实用,容易操作,预测精度较高.
(２)灰色GM(１,1)模型的缺点
该模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论对我国人口发展进行预测的方法,因此它对历史数据有很强的依赖性,而且GM(1，1)的模型没有考虑各个因素之间的联系.因此,误差偏大,尤其是对中长期预测，例如对中国人口总数变化情况做长期预测时,误差偏大,脱离实际.下面我们来讨论GM(1,1)模型的适用范围.
根据 ,得到一个新的数列
这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化,平稳性大大增加。
2.新数列的变化趋势近似地用下面的微分方程描述。
其中:ａ称为发展灰数；u称为内生控制灰数。
3.模型求解。
令 , 为待估参数向量, ,
，
于是模型可表示为
通过最小二乘法得到:
求解微分方程，即可得灰色预测的离散时间响应函数：
二、灰色预测的类型
1.灰色时间序列预测;即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型,预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
2.畸变预测;即通过灰色模型预测异常值出现的时刻,预测异常值什么时候出现在特定时区内。
3.系统预测;通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
-0.0372
４．52%
6.3２%
7.29%
0.25%
平均相对误差
4.5９5%
残差修正GM（1,1)模型的模拟精度得到了明显提高。若对残差精度仍不满意,就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍。
再用P和C检验预测效果。
五、GＭ(1,1)模型的适用范围
灰色GM(1，１）模型评价推广
( 1)灰色GＭ（１,1)模型优点
2.灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测,对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测,也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的,但毕竟是有序的、有界的,因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律,生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
,
为所得的累加的预测值，将预测值还原即为:
注:若数据经过预处理,则还需经过相应变换才能得到实际预测值。
4、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。
1)残差检验
分别求出预测值、绝对误差值和相对误差值,计算出平均相对误差判断精度是否理想。
检验表
序号
实际数据
模拟数据
残差
色预测法ＧM(－)总结
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ﻩ
灰色预测模型
一、灰色预测的概念
1.灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
设 其中， - 为 的残差序列。若存在ｋ0,满足
1.
2. ，则称 为可建模残差尾段,仍记为
设 为可建模残差尾段,其一次累加序列 的ＧM(1,1)模型的时间响应式为
则残差尾段的模拟序列为
其中
若用 修正 则称修正后的时间响应式
为残差修正GM（1,1)模型，简称残差GM(1,1)。
其中残差修正值 的符号应与残差尾段 的符号保持一致。
3.278
3.3３7
3．390
3．679
3.2300
3.3545
3．4817
3．6１3６
0.０460
-０.01７５
－０．0917
0.0６54
1.4０%
0.5２%
2．7１%
1.78%
平均相对误差
1.6025%
2)关联度检验
i.定义关联系数
其中:① 为第 个点 与 的绝对误差;
② 称为分辨率,0< ＜1，一般取 =0.5;
③对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化,即将该序列所有数据分别除以第一个数据。
ii.定义关联度 ,称为 与 的关联度
根据上述方法算出 与原始序列 的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当 =0．5时，关联度大于0.６便满足检验标准。
3)后验差检验
计算原始序列标准差和绝对误差序列的标准差分别为:
i.设 是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比 。如果绝大部分的级比都落在可容覆盖区间 内,则可以建立GＭ(１，１)模型且可以进行灰色预测。否则，对数据做适当的预处理。方法目前主要有数据开n方、数据取对数、数据平滑。预处理的数据平滑设计为三点平滑,具体可以按照下式处理
ii.预处理后对数据作一次累加生成处理，即:将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据,将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据。按此规则进行下去,便可得到生成列。