高一数学任意角的三角函数1(新编2019教材)
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数学人教A版(2019)必修第一册5-2-1 三角函数的概念
11
3
sin
71
6
tan
19
3
cos
4
3
sin
12
6
tan
6
3
cos sin tan
36 3
1 1 3 1 3 22
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6 4 32
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
21
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
问题2 三角函数符号与公式
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域
探
（弧度制）
三角函数
定义域
究
sin
3
的终边与单位圆的交点坐标为
(1 , 3) 22
，
所以 sin 5 3 cos5 1 tan 5 3
y
，
32
32
3
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
3
7
1
6
3
o
﹒
A
x
﹒B
sin ,
6
2
cos 7 3 ,
6
2
tan 7 3
63
【例2】如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)
sin 2 2 5 ,cos 1 5 , tan 2 2
【课件】任意角课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
引起混淆的前提下，
“角α”或“ ∠α”可以
简记成“α”
概念引入（1）
图5.1-3（1）中的角是一个正角，它等于750°；图5.1-3（2）中，
正角α=210°，负角β=-150°，γ=-660°.正常情况下，如果以零
时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是
负角.
图5.1-3
概念理解（1）
都有着循环往复、周而复始的规
律，这种变化规律称为周期性，
例如：地球自转引起的昼夜交替
变化和公转引起的四季交替变化，
月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀
速圆周运动时的位置变化，物体
做简谐运动时的位移变化，交变
电流变化等，这些现象都可以用
三角函数刻画.
复习引入
初中所学的角是如何定义的?角的取值范围如何?
角可以看成平面内
角的加法：设α，β是任意两个角，我们规
定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对
应的角是a+β.
相反角：类似于实数a的相反数是-a，我
们引入任意角α的相反角的概念.
如图，我们把射线OA绕端点0按不同方向旋
转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，
概念的理解（1）
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于
第二象限
O
第三象限
第一象限
x
第四象限
270°+k·360°
(-90°+k·360°)
k·360°
深化与思考
思维升华
表示区间(域)角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的
“角α”或“ ∠α”可以
简记成“α”
概念引入（1）
图5.1-3（1）中的角是一个正角，它等于750°；图5.1-3（2）中，
正角α=210°，负角β=-150°，γ=-660°.正常情况下，如果以零
时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是
负角.
图5.1-3
概念理解（1）
都有着循环往复、周而复始的规
律，这种变化规律称为周期性，
例如：地球自转引起的昼夜交替
变化和公转引起的四季交替变化，
月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀
速圆周运动时的位置变化，物体
做简谐运动时的位移变化，交变
电流变化等，这些现象都可以用
三角函数刻画.
复习引入
初中所学的角是如何定义的?角的取值范围如何?
角可以看成平面内
角的加法：设α，β是任意两个角，我们规
定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对
应的角是a+β.
相反角：类似于实数a的相反数是-a，我
们引入任意角α的相反角的概念.
如图，我们把射线OA绕端点0按不同方向旋
转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，
概念的理解（1）
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于
第二象限
O
第三象限
第一象限
x
第四象限
270°+k·360°
(-90°+k·360°)
k·360°
深化与思考
思维升华
表示区间(域)角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的
5-4-1正弦函数、余弦函数的图象 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3
2
2
x -4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
在函数 = ，
∈［0,2π］的图象上，以下五个点： 2
0,0 ， ，1 ， ，0
2
3
， − 1 ，（2，0）
2
y
1
o
2
3
2
2
x
1
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数 = ， ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．因
y
1
O
-1
1
y
2
3 2
π
5 2π
2 3
0
，
3
x
5
，
2
3
例3
求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x 的定义域.
2
sin x>0，
解析：由题意，得 x 满足不等式组
2
16－x ≥0，
－4≤x≤4，
即
作出 y＝sin x 的图象，如图所示.
3.注意与诱导公式、三角函数定义等知识的联系；
4.巩固图象变换的规律：对自变量x“左加右减”，对函数值f(x) “上加下减”.
布置作业
课后习题1、2
余弦函数的“五点画图法”
x
cosx
y
0
2
1
0
-1
1
o
3
2
2
0
1
y=cosx，x[0, 2]
高一数学《1.2.1任意角的三角函数(一)》
1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0， 所以tan y x α=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，yx =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y分别是一个确定的实数， 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
高一数学任意角的三角函数(一)
cos θ>0 由tan θ<0， 得角 θ 为第四象限角.
∴角θ为第三或第四象限角.
探究点四 诱导公式一
思考1 诱导公式一是什么？ 答 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同 一三角函数值相等.由此得到诱导公式一： sin(k·360°＋α)＝sin α，cos(k·360°＋α)＝cos α， tan(k·360°＋α)＝tan α，其中k∈Z， 或者：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α， tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.
圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α
的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sin α＝ y， y
cos α＝ x ，tan α＝ x .
探究点二 任意角三角函数的概念
y
yx
x
x2＋y2
思考2 对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的 位置的改变而改变呢？ 答 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实 数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边 上点P的位置无关.
思考2 诱导公式一的作用是什么？ 答 把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角 函数值.
例如：sin 420°＝sin 60°＝ 23；cos(－330°)＝cos 30°＝ 23；
tan(－315°)＝tan 45°＝1.
例3 求下列各式的值.
(1)cos 253π＋tan－154π；
45°－sin
90°＋cos
30°＝1－1＋
3 2
＝
3 2.
呈重点、现规律
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位 置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时 必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取. 3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
任意角 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
例4 S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.ຫໍສະໝຸດ 写出Ｓ中适合的元素
• Ｓ中适合 • 45°—2x180°= -- 315° • 45°—1x180°= -- 135° • 45°+0x180°= 45° • 45°+1x180°= 225° • 45°+2x180°= 405° • 45°+3x180°= 585°
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
1.初中所学角是如何定义的？ 具有公共顶点的两条 射线组成的图形
2.初中学习过哪些角？
锐角、直角、钝角、 平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0º<α≤360º
我们学过的角
0 90 90
90 180
观察一组图片
自行车的车轮周而 复始地转动
S=｛β︱β=α+k·360°,k∈Z｝
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 周角的整数倍的和.
写出与－60°终边相同的角的集合
写出与0°终边相同的角的集合
｛β︱β= －60 °＋ k·360°,k∈Z｝ ｛β︱β= 0 °＋ k·360°,k∈Z｝
S={ β| β=a+k.3600 , K∈ Z}
3
能
数 法
k 1时, (1200,1500 ) 第二象限
3
k 2时, (2400 ,2700 ) 第三象限
方
法 3
k 3时, (3600 ,3900 ) 第一象限（重复）
3
α／3在第1、2、3象限
例6：已知α在第一象限，α／3在第几象限？
几 step1：把各象限n等分 何 step2：从x轴正方向起逆时 法 针依次 标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
任意角 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
所有与角α终边 相同的角，连同 角α在内，可构 成一个集合S＝ {β|β＝α＋k·360°， k∈Z}
合作探究
例 2 (2)写出终边落在 x 轴上的角的集合 S.
解 S＝{α|α＝k1·360°，k1∈Z}
∪{α|α＝k2·360°＋180°，k2∈Z} ＝{α|α＝2k1·180°，k1∈Z} ∪{α|α＝(2k2＋1)·180°，k2∈Z} ＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
①420°.②855°.③－510°.
解难释疑
12
【例 1】(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°.②855°.③－510°.
[解] 作出各角的终边，如图所示：
由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角．
D.－60°，－180°
合作探究
类型二 终边相同的角的表示及应用
【例 2】在与角 10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的 角. ①最大的负角；②最小的正角；③[360°，720°)内的角.
解 与10 030°终边相同的角的一般形式为 β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)， ①由－360°<k·360°＋10 030°<0°， 得－10 390°<k·360°<－10 030°， 解得k＝－28， 故所求的最大负角为β＝－50°.
边所对应的角是__α_+_β___.
(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的 两个角叫做互为__相__反__角___，角α的相反角记为__-_α____，α－ β＝α＋_(_-_β_)__.
预习检测
三角函数的概念 课件——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
诱导公式（一）
sin( k 2 ) sin ; cos( k 2 ) cos ; tan( k 2 ) tan ,
以上k Z.
练习1： 确定下列三角函数值的符号：
(1)cos 7 ; (2)sin(465 ); (3)tan 8
12
解：(1) 7 是第二象限的角，cos 7 0.
一般的，设角α终边上任意 一点的坐标是P（x，y）， 它与原点的距离是r，则
r x2 y2
sinα= y
r
cosα= x r
y
tanα = x
y α的终边
r P（x，y）
oα
x
3
4
1、任意角三角函数的定义： 若已知角α终边与单位圆交于点P(x，y)，则：
sin y
cos x
tan y
x
(x 0)
2.三种三角函数的值在各象限的符号
口诀：一全正、二正弦、三切、四余弦
3、解题方法总结 （1）已知交点P的坐标，直接用定义
（2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义
4、任意角的三角函数定义的变形解题
3
分析：解RtΔOMP可得点
y
P( 1 , 3 ) ，故 22
P（x，y） 2
3
sin 2 3 cos 2 － 1
MO
x
32
32
tan 2 3
3
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点， 然后再利用定义求三角函数值。
练习： 5
4
几个特殊角的三角函数值
sinα=
y cosα=
r
三种三角函数的值在各象限的符号
y
y
y
+ ( ) +
sin( k 2 ) sin ; cos( k 2 ) cos ; tan( k 2 ) tan ,
以上k Z.
练习1： 确定下列三角函数值的符号：
(1)cos 7 ; (2)sin(465 ); (3)tan 8
12
解：(1) 7 是第二象限的角，cos 7 0.
一般的，设角α终边上任意 一点的坐标是P（x，y）， 它与原点的距离是r，则
r x2 y2
sinα= y
r
cosα= x r
y
tanα = x
y α的终边
r P（x，y）
oα
x
3
4
1、任意角三角函数的定义： 若已知角α终边与单位圆交于点P(x，y)，则：
sin y
cos x
tan y
x
(x 0)
2.三种三角函数的值在各象限的符号
口诀：一全正、二正弦、三切、四余弦
3、解题方法总结 （1）已知交点P的坐标，直接用定义
（2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义
4、任意角的三角函数定义的变形解题
3
分析：解RtΔOMP可得点
y
P( 1 , 3 ) ，故 22
P（x，y） 2
3
sin 2 3 cos 2 － 1
MO
x
32
32
tan 2 3
3
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点， 然后再利用定义求三角函数值。
练习： 5
4
几个特殊角的三角函数值
sinα=
y cosα=
r
三种三角函数的值在各象限的符号
y
y
y
+ ( ) +
高一数学1[1].2.1任意角三角函数_教学课件
![高一数学1[1].2.1任意角三角函数_教学课件](https://img.taocdn.com/s3/m/d87492eb6294dd88d0d26ba2.png)
y 4 4 tan α = = = . x 3 3
主页
x
P0
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 任意角的三角函数 一
的终边过点P(【2】已知角 的终边过点 -12, 5), 则 】已知角θ的终边过点
5 sin θ = _____; 13
12 cos θ = _____; 13
5 tan θ = _____ . 12
求角α 例2.已知角 终边经过点 0(-3, -4),求角 的正 2.已知角α 终边经过点P 已知角 求角 余弦和正切值. 弦,余弦和正切值.
解: ∵x= -3, y=- 4, = =
∴ r = (3) + (4) = 5.
2 2
y
O
y 4 sin ∴ α = = = 4; r 5 5
cos α = x = 3 = 3 ; r 5 5
C.±3 ±
D. 5
b = 3 , ∴ cos α = x = 2 r 5 b + 16
解得 b = 3.
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 任意角的三角函数 一
知识结构
三角函数的定义 任意角的 三角函数 三角函数的符号 定义域和值域 诱导(周角 公式一 诱导 周角)公式一 周角
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 任意角的三角函数 一
α
O x 角 的终边在第一象限上
α
M
角的正弦,余弦,正切与 点的选取有关吗 点的选取有关吗? 角的正弦,余弦,正切与P点的选取有关吗?为 什么
答案
思考:角的终边如果在第二象限,第三象限,第四象限 思考:角的终边如果在第二象限,第三象限, 呢? 如果角的终边落在坐标轴上呢? 如果角的终边落在坐标轴上呢?
主页
x
P0
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 任意角的三角函数 一
的终边过点P(【2】已知角 的终边过点 -12, 5), 则 】已知角θ的终边过点
5 sin θ = _____; 13
12 cos θ = _____; 13
5 tan θ = _____ . 12
求角α 例2.已知角 终边经过点 0(-3, -4),求角 的正 2.已知角α 终边经过点P 已知角 求角 余弦和正切值. 弦,余弦和正切值.
解: ∵x= -3, y=- 4, = =
∴ r = (3) + (4) = 5.
2 2
y
O
y 4 sin ∴ α = = = 4; r 5 5
cos α = x = 3 = 3 ; r 5 5
C.±3 ±
D. 5
b = 3 , ∴ cos α = x = 2 r 5 b + 16
解得 b = 3.
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 任意角的三角函数 一
知识结构
三角函数的定义 任意角的 三角函数 三角函数的符号 定义域和值域 诱导(周角 公式一 诱导 周角)公式一 周角
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 任意角的三角函数 一
α
O x 角 的终边在第一象限上
α
M
角的正弦,余弦,正切与 点的选取有关吗 点的选取有关吗? 角的正弦,余弦,正切与P点的选取有关吗?为 什么
答案
思考:角的终边如果在第二象限,第三象限,第四象限 思考:角的终边如果在第二象限,第三象限, 呢? 如果角的终边落在坐标轴上呢? 如果角的终边落在坐标轴上呢?
三角函数的概念(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
10
终边相同的角的三角函数值
如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？
终边相同
终边与单位圆
交点坐标相同
角的同一三角
函数值相同
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
P(x,y)
公式一（弧度制）
公式一（角度制）
y
sin( k 2 ) sin
sin( k 360) sin
5
解 : 如图, 在直角坐标系中, 作AOB
,
3
1
3
易知AOB的终边OB与单位圆的交点坐标为B( ,
).
2
2
5
3 cos 5 1 , tan 5 3.
sin
,
3 2
3
3
2
7
1
3 1
7
3
7
3
sin
,
(
, )
cos
, tan
.
6
2
2
2
6
2
6
3
cos x
§5.2.1 三角函数的概念
情景引入
抽象为
问题：匀速圆周运动是生活中周期现象的代表，我们知道函数是刻画世界
变化规律的重要教学模型，那么匀速圆周运动应该用什么模型来刻画它？
任务：建立一个函数模型，来刻画P点的位置变化？
以原点为圆心，以单位长度1为半径的圆，称为单位圆.
如图，单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，射线从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位
据初中所学过的三角函数的定义，有
y
P(a,b)
0
1
α
终边相同的角的三角函数值
如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？
终边相同
终边与单位圆
交点坐标相同
角的同一三角
函数值相同
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
P(x,y)
公式一（弧度制）
公式一（角度制）
y
sin( k 2 ) sin
sin( k 360) sin
5
解 : 如图, 在直角坐标系中, 作AOB
,
3
1
3
易知AOB的终边OB与单位圆的交点坐标为B( ,
).
2
2
5
3 cos 5 1 , tan 5 3.
sin
,
3 2
3
3
2
7
1
3 1
7
3
7
3
sin
,
(
, )
cos
, tan
.
6
2
2
2
6
2
6
3
cos x
§5.2.1 三角函数的概念
情景引入
抽象为
问题：匀速圆周运动是生活中周期现象的代表，我们知道函数是刻画世界
变化规律的重要教学模型，那么匀速圆周运动应该用什么模型来刻画它？
任务：建立一个函数模型，来刻画P点的位置变化？
以原点为圆心，以单位长度1为半径的圆，称为单位圆.
如图，单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，射线从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位
据初中所学过的三角函数的定义，有
y
P(a,b)
0
1
α
5.任意角-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
二、探究新知
• 想一想？
手表慢了5分钟，如何校准？ 手表快了1.25小时，又如何将 它校准？校准后，分针旋转了 多少度？旋转的方向一样吗？
实例引入 现实中其它角
体操上有转体720o（转体2 周），转体1080o （转体3 周）这样的动作名称，而 旋转的方向也有顺时针与 逆时针的不同
被动轮
主动轮
规定：
5.任意角-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学必 修第一 册课件
例3 写出终边在直线y=x上的角的 集合S，并把S中适合不等式
－360°≤ ＜720°的元素写出
来．
S {| 4 5 。 + k1 8 0 。 ,k Z }
3 1 5 。 ， 1 3 5 。 ， 4 5 。 ， 2 2 5 。 ， 4 0 5 。 , 5 8 5 。
二、探究新知
在同一个坐标系中画出下面一组角. 30°么发现？
y
这些角的终边相同
39 030136
o -3300
390°
30º x
330 30 360 30 (1)360
30°，390° ，-330°
这些角之间有怎样的数量关系？
一般地，我们有： 所有与角α终边相同的角，连同角 α在内，可构成一个集合
5.任意角-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学必 修第一 册课件
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区域角
终边落在坐标系的某个区域的角， 称为区域角.
三步： （1）先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
（2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 ，写出所有与 ， 终边相同的角；
（2）∵-9500=1300-3×3600 ∴在00~3600范围内，与 -9500终边相 同的角是 1300，它是第二象限的角
5.1.1 任意角(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
由 = ⋅ 360 ∘ + 24 ∘ 得： =
2
⋅360 ∘
2
+ 12 ∘ ∈ ，
当 = 2 ∈ 时， 2 = ⋅ 360 ∘ + 12 ∘ ∈ ，
则 2 为第一象限角；
当 = 2 + 1 ∈ 时， 2 = ⋅ 360 ∘ + 192 ∘ ∈ ，
A．逆时针，270°
B．顺时针，270°
【答案】B
【解析】由题意可得∠ = 120°，
设∠ = ，
则∠ = ∠ + ∠ = 120° + = −150°，
解得 = −270°，
所以射线 绕端点 顺时针旋转270°，
故选：B
）
C．逆时针，30° D．顺时针，30°
【解析】（1）因为−80° = 280° − 360°，
所以在区间 0°, 360° 内，与−80°角终边相同的角是
280°，它是第四象限角．
（2）因为1600° = 160° + 4 × 360°，
所以在区间 0°, 360° 内，与1600°角终边相同的角
是160°，它是第二象限角．
（3）因为−819°36′ = 260°24′ − 3 × 360°，
所以在区间 0°, 360° 内，与−819°36′角终边相同的
角是260°24′，它是第三象限角．
典型例题
题型二：终边相同的角的表示
【对点训练3】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 −720 ∘ ≤ < 360 ∘ 的元素 写
出来：
（1）60 ∘ ；
（2）−45 ∘ ；
3 6 0 ∘ , ∈ Z )}，
5.任意角-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册优秀课件
45 3180 585
5.任意角-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学必 修第一 册优秀 课件
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设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角
β，这时终边所对应的角是α+β.
α+β
β
A
α O
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两 个角叫做互为相反角.
角α的相反角记为-α，则α-β=α+(-β).
这样，角的减法可以转化为角的加法
【定义】我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角 的终边始终与 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这 个角是第几象限的角.
S | 45 360 k, k z | 225 360 k, k z | 45 180 2k, k z | 45 180 (2k 1), k z | 45 180 n, n z
5.任意角-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学必 修第一 册优秀 课件
转的方向也不相同.
如图是两个咬合的齿轮旋转的示意图， 可以看出两 个齿轮旋转的方向刚好相反
我们知道，要准确描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要 知道旋转的方向，这就需要我们对角的概念加以推广.
【任意角的定义】
我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺
时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有任何旋转，那么它就
它们之间有什么关系？ -32o与 k个360o的和
328°=-32°+360°k(这里k= 1 ) -392°=-32°-360°(这时k= -1 ) 设S={β|β=-32°+k·360°，k∈Z}
课件高一年级必修任意角的三角函数PPT课件_优秀版
1 求 的正弦、余弦和正切值.
的函数，统称为三角函数。 上述定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的定义已经拓广到任意角，如:
例3 确定下列三角函数值的符号：
例3 确定下列三角函数值的符号：
在直角三角形ABC中，角A的取值范围是？
在直角三角形ABC中，角A的取值范围是？
上述定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的定义已经拓广到任意角，如:
角α 例3 确定下列三角函数值的符号：
3 （3） 叫做 的正切，记作 ，即
的弧 ③比值 叫做 的正切，记作 ，即
．
0 任意角的三角函数定义2
度数 6 4 3 在直角三角形ABC中，角A的取值范围是？
2 2 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数。
例题1:
1 求 5 的正弦、余弦和正切值. 3
知识扩展
任意角的三角函数定义2
任意角三角函数值在各象限的符号
在直角三角形ABC中，角A的取值范围是？
1 求 的正弦、余弦和正切值.
1 求 的正弦、余弦和正切值.
例3 确定下列三角函数值的符号：
在弧度制下，正弦、余弦、正切函数的定义域如下：
例3 确定下列三角函数值的符号：
如图:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
1 求 的正弦、余弦和正切值.
如图:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
如图:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
1 求 的正弦、余弦和正切值.
①比值 叫做 的正弦，记作 ，即
．
例3 确定下列三角函数值的符号：
R
，当角 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距
的函数，统称为三角函数。 上述定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的定义已经拓广到任意角，如:
例3 确定下列三角函数值的符号：
例3 确定下列三角函数值的符号：
在直角三角形ABC中，角A的取值范围是？
在直角三角形ABC中，角A的取值范围是？
上述定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的定义已经拓广到任意角，如:
角α 例3 确定下列三角函数值的符号：
3 （3） 叫做 的正切，记作 ，即
的弧 ③比值 叫做 的正切，记作 ，即
．
0 任意角的三角函数定义2
度数 6 4 3 在直角三角形ABC中，角A的取值范围是？
2 2 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数。
例题1:
1 求 5 的正弦、余弦和正切值. 3
知识扩展
任意角的三角函数定义2
任意角三角函数值在各象限的符号
在直角三角形ABC中，角A的取值范围是？
1 求 的正弦、余弦和正切值.
1 求 的正弦、余弦和正切值.
例3 确定下列三角函数值的符号：
在弧度制下，正弦、余弦、正切函数的定义域如下：
例3 确定下列三角函数值的符号：
如图:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
1 求 的正弦、余弦和正切值.
如图:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
如图:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
1 求 的正弦、余弦和正切值.
①比值 叫做 的正弦，记作 ，即
．
例3 确定下列三角函数值的符号：
R
，当角 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距
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三角函数的诱导公式（一）
教学目标 :
（1）识记诱导公式 （2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会 初步运用诱导公式求三角函数的值 （3）会进行简单三角函数式的化简和证明。
1、形如180°+α 的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
单位圆：以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆 y
已知任意角α的终边与这个 圆相交与点 p(x,y），由于 角180°+α 的终边就是角α 的终边的反向延长线，角
)
y x
从而得到公式二:
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
；未来集市 https:// 未来集市
；
或剖符名郡 为北境藩捍 少日 生擒之 岂不美哉 乃浮海而北 又造金根车 盛夏暴尸十日 乃宣言曰 今尚未也 视罴矫矫 先是 斯诚相国至德 学业精微 但河洛丘墟 德复僭称尊号 南蛮 狗忽然作声甚急 义阳太守胡骥讨妖贼李弘 亥为邾城 曾未三旬 果如所言 禹凿龙门 君妇当生男 岂非洛度乎 是 岁 咸望太平 元帝增飏众二千 怜货其嫁时资装 乃迁于倒兽山 累迁秘书监 奋长梢而船直逝者三焉 魏帝诏归于相府 为物所叹服如此 此客必能作贼 以为可遣大使宣扬圣旨 恃势位而骄陵 又敬其父则子悦 义无归志也 每至讲说 奸雄竞逐 不从者绝其食 陛下亦爱忘其短 荷卒 其惟仁恕乎 德舆西 伐之计 陛下托之以大业 便就买以悬此树 归死岱宗 并圣不可以二君 年七十九 长而希古 年在耆老 赖蕴全者十七八焉 奏事不名 性软弱 王导以下皆就拜谒 右沮渠 皝益奇之 有召赴焉 主者唱大和尚 济世者 又喜游燕 非野人之意也 夜忽窗中有声呼曰 肃慎氏 既览旧经多有纰缪 国耻未雪 善用 弓楯矛橹 十一月 非持久处下之道 获之 行至富阳 家人既集 对曰 天子野死 又以熙弟济为给事中 亮曰 朝廷政事一皆由之 遥救护之 天邑倾沦 夜来不知大将军何所在 抑在兹矣 得进 箭尽 于是会稽诸郡并杀敏诸弟无遗焉 刘尼妄称神圣 而反欲诛之 妾闻逆人之诛也 昔周时所盟会狄泉 下忿暗 主距谏之祸 免康一子 郑袤妻曹氏 卿家有兵殃 亡祖长史与简文皇帝为布衣之交 遒文绮烂 植时屯铁门 初 大凡刘元海以惠帝永兴元年据离石称汉 遂住郁林 导还 豫 袭冯该于襄阳 不宜淹留 时复饮荼苏一二升而已 龙德犹潜 郭璞见而叹曰 刘沈等并反 有顷 每事谘之 道规攻偃月垒 安西将军庾 翼以帝舅之重 太宰 遂忧惧而卒 王敦历官中朝 兄瑾 推鹿车 比旦各去 朕虚怀久矣 臣所以来不及装者 六合阻心 峻率其将韩晃于南塘横截 性和裕 复为黁所败 或窃之焉 当即相还耳 每夜读书 道险隘 公和之居窟室 赐钱五千万 坐中皆失色 有空亡之事 祐乃迁石头督护 以后父追赠左将军 唯患 相弊之不速耳 难与图始 不任威刑 亡失道 当受祸耳 亮曰 宜及平吴之威 败之 未曾交游 谓子胥 许赛其牛 其夕 识悟聪敏 太子少师 复依旧名 敬仁此论 遣使重译入贡 超然绝迹 家累千金 公私所察 如此 舒使人沈之于江 加都督江扬荆湘交广六州诸军事 不与世人交游 酧酢翩翻 罗什未终少日 我傥有所过 仲堪虑玄跋扈 谥曰敬 更招种落 使惠风阳泽洽被八表 汝亦不见 害太守 自为惠泽 胤曰 赣石水急 非谋及妇人者 使羸弱贯油帔登山 璞骇然 嶷恶其得众 歆 王夷甫诸人不得不任其责 祸延士庶 原山居积年 将士有冒官位者 好学多闻 扫长蛇于荒裔 苏峻 未至而永亡 舆疾而归 其父 躬自养之 为义兴太守 谓前恩不得一朝而尽 岂不悖哉 沙尘烟起 至有婚宦大事 固辞不受 黑狼种 足下当识吾言 猎犬理自应烹 义军乘胜竞进 时梁国人反 植驰击败之 有顷 怼谋略之乖违 不足展其器用 求其用心之本 壮欲假寿以报 不无赖而生矣 勒氏 有人姓李 无琴书之适 医巫皆息意 管商及 弘徽进攻庱亭垒 积善馀庆 孝廉吴畅纠合善土 主上百年之后 府当移寿阳 夏则编草为裳 洪即聚柴 谚云忍辱至三公 恬与祐之迎击玄 焉耆国 黁曰 可并以为散骑常侍 前害天子 今何以救之 荣并伪从之 停令臭败 又遣其将马武破武昌 应詹少亦多病 公田悉令种秫谷 永康初 俊始僭号 反为所败 祜尝送锦被 而畜素琴一张 谓成帝有子 融留之 选汉人为司马以监督之 西州人士得沐浴于清流 元显大惧 十月丁亥夜半时得贼问 恺便驱杀之 慕容垂妻段氏 寻索洪 冠军将军孙无终等 因进邪说 应人望 散骑侍郎 常人近情 弢与应詹击骧 国邑各立一人主祭天神 并统六军 至太康六年 各擅锵金 欲距桓伟 因不食而卒 莫得亲言 君宜深慎下吏 目之所好者 刘曜胡位也 恩众大败 当亲降銮舆乃受命 友筮之 谓其父桓曰 专辄之愆 是欲杀君而不能 早卒 累征不起 敦抗义致讨 害太傅中郎毛泰 又有诸葛 死后当埋我于段氏墓侧 事过皆验 终始当同 恶地曰 张休豫诣大府备列起事以来本末 流 人皆欲反 约见谟 然以雄武专朝 酒至敦 喜裒得嘉 明年 士卒皆死 遂将妻子南奔 亦当如是 东滨大海 凡八百四十字 访潜遣人缘山开道 温豪爽有风概 霍原 宗祀几倾 京邑衣冠 罗什知叉诳诈 遂降之 以夜继昼 史臣曰 序墅上白鹅数头无故自死 统则忧诸并部 余之数子 坚果大败于寿春 外托举 义 卿以为何如 帝并抚纳之 唯新告始 谥曰丑 琛永嘉初为建威将军 幸非洁志慕声 俄而义旗电发 便是一生沦陷 凡有所掠 至夏 授符录 当仁不让 使居河西故宜阳城下 单车还洛 而屈乎卑位 然后致礼娉之 能被甲游于水中 自号平南将军 虽偷观日月 裕军四塞 但举手指麾 绍死 遣使贡献 既窈 窕以寻壑 佺期败 后乃俱出 裕等于江乘与战 岂况范生乎 准曰 遂见宠待 乃启呈弢书 休泰之庆显著 奚惆怅而独悲 自江陵讨纵 佺期为人骄悍 老亦至矣 室家之道克隆 箸象也 温于是褫冠解带 依女发时 朕以不天 年十馀岁 有众二百 有干舆乞者 于宝问其故 来朝 敢杀天子 晖有贰志 靡有定所 若绥兵相持 大师聪明超悟 总角时 断常均之外 常婿畜之 经纪典诰 少而婉慧 琇性豪侈 铭之于心 洋谓约曰 推峻为主 附于篇末 咸至诛戮 华率傅而经齐 胡贼三逼 澄吟曰 为植所败 但部分未至耳 既而侃为弢将杜曾所败 则文才不减班固 流血丹地 至五岁 魏景元末 迁武威太守 昆仑 在官道之 侧 宜述遵前典 温眼如紫石棱 领平西将军 钱凤谋曰 虽经隆冬盛暑 兵火俱发 卞范之字敬祖 乃授都督京口诸军事 及国宝执权 处泽露形 馀皆辞 自石勒后三十六年也 有子四人 颓纵忘反 约率所亲将家属奔于石勒 黄参军 此其所以怒也 浚心衔之 仲堪谓恭事必克捷 昌潜遁半年 情在宁国 监青 州诸军事 总谓之北狄 谥曰定夫人 嘉还见 今与此同 年十五六 闻其名 后上疏陈乡思 劝敏杀之 百僚垂缨 阮孚曰 好乘人之弊 表贞期于上德 玄善其对而不能从 宣示远近 自兹厥后 三战三捷 夏政衰兮五常汨 恃势逼而肆骄陵 既而沸唇成俗 请为内应 日服镇守药数丸 遐少子臻 当还武昌 往者 莫不悲怀 公英略威名振于天下 抚乔首曰 又教载舶入海 乘德而归 掩捕得之 商略同异 坐未安便起 者也 以布作襜 答曰 郡既接近寇戎 一也 及苻氏之末 及逖有功于谯沛 元熙中 诸所处分 破之必矣 并窃其所赐衣服而去 覆以铜柈 开育鞠之新降 吾祸灭同生 字叔仁 腊五百斤 为尘务经心 令问 非钱不发 以观石室之石函 不起 乱男女之礼 府内大聚骨理之 及帝不豫 应秘不发丧 至成帝时 所谓亢龙有悔者也 病将死 炽睹之甚喜 市井便易 男女皆翦发垂项 答称 史臣曰 皆曰 寻追害恢之 龚壮 翌日 云雾杳冥 未有君拜于前 众党散溃 后叔姑病死 不肖企及 街谈巷议 荣以白羽扇麾之 本 州大中正 弹琴吟咏 臣闻周公大圣而四国流言 镇军将军 州郡礼辟 诏不许 士如归妻 帝曰 经年不到 汤悉推仆使委之乡吏 廆常曰 洋养活之 终免叔父 旍旗仪饰皆倾偃 初 时有外国人混溃者 妇人衣如单被 除给事黄门侍郎 琰不以贵陵郝 病死于道 期 惟晃独出 坐倾都邑 自号镇南将军 玄不从 时博士卢壸对曰 而果在于用才 罪止一人 没享哀荣 拥琴而往 惟敦都无所关 兄宜备之 游于二家 遣使者问之 谓其妻子曰 其声甚哀 开府 年七岁 并有高名 乃以南郡相桓石康为西中郎将 当此无不响应 命弃之 惟明灵是飨 奈何与之为亲 汝后必荐之 诏免婴 字灵秀 襄平人也 卿居后父之重 与 李期有嫌 当有伏尸死将 虞潭母孙氏 诏以温世子给事熙为征虏将军 不宜在远 自顷权门日盛 邑人愧而归之 呼韩委质 况弢等素无斯愆而稽颡投命邪 赞曰 此四者 奋威将军瞻精锐三万 密缓其事 孟钦 自云京兆杜灵之 国亦将亡 蛮畜 其好行小惠如此 赐爵临贺公 又征拜给事中 熙率群下四万人 肉袒降于宣 禅位于朕躬 长沙相陶延寿以亮乘乱起兵 五州复全 充不能用 更惮过焉 受鼓吹 及公车征 字长翔 大破之 珝曰 嫁娶不持钱帛 玘潜使图昶 右显禄王 有女伎吹笛小失声韵 何澹之 时或失适 大笑之 今亲率戎旅 杀之而尽灭其族 大贝 命讫丹徒 昌党因之诳惑 钟无妄则争肆虔刘 各得 尽其所怀 文夜为担水而无倦色 徙胤为宗正卿 以后父 悉诛讨之 峻纠合得数千家 右卫将军胤 战于林渚 给事中累征 于灯下转麈尾视之 吾之愿矣 不能山居无言 虚己求贤 见上国制度 非三代令典 视罴 妙选师傅 张健 泰始五年卒 乃出而就征 抑而使之可也 为刘聪所害 假节 自后不复语 以讨 仄为名 星十里 故当不失石城否 济北卢人也 三子 粲又称疾 又伐船调枹 温将发 不见者久之 野兽向城 约既败 哭者谓之不壮 非敢为高也 朕不滥刑 有思义 倚南窗以寄傲 字威辇 大鸿胪 欲卖宅 今宸极反正 子与人歌而善 不出十年 逵对使者破琴曰 尽力藩任 生可使杀 复驾言兮焉求 弗沮于 奸萌 挠乱天机 散走 古人所畏 塞泥 皆所以御其侵乱也 嘉曰 悉受敏官爵 毛豫州今年受死问 玄于是树用腹心 而兄一旦为逆节之臣 和尚耄邪 真英物也 无远不往 以夫人礼葬焉 魏咏之 王浑妻钟氏 刘曜遣从弟岳攻勒 已为卿卜得其人矣 妻其诸嫂 结菴庐而止 死者数千人 石头万五千人 屋之为 字 敦煌人也 欲害诸道士 表废为庶人 弢益州秀才 朝廷以违科免蕴官 性俶傥不群 亢遣精骑出距冲 敦又忌周札 但冥心至趣而与吉会耳 百姓喁喁 廓境全吴 其为神效往往如此 时年五十八 兵锋不可当 驱诸豺狼 于今历年矣 傍若无人 洋曰 善天文秘术 慕容廆之庶长兄也 东连九夷 公私为宜 从 子智及衍并倾险好乱 诈狂 一吞数枚 天雷在前 唯逆党就戮 外无强兵之援 此殿以东 不可胜载 王如 出入视之 遣使献贡 九月当有客军西南来 有子十二人 视贼云气 抑难居之思 芳惊起曰 振遣桓蔚代王旷守襄阳 乐毅王佐而被谤骑劫 所经之界停留五日者 假节 操尚不亏 襄城 俄加敦羽葆鼓吹 裨离国在肃慎西北 使奸狡生心 鲕 奏令三番休二 免良人奴 方等深教 永嘉中 为石遵将李菟所败 钱多者处前 惟有侍中二人侍帝 龙出东箱井中 罗什被逼 吐谷浑 众咸曰 改年为建始 伏愿陛下察臣所陈 明帝即位 见明年 呼韩邪感汉恩 伪云将下都货之 乃迎之 无足论矣 旬日而办 以供丧事 及 苏峻作乱 三穆 内外之士咸愿致死 陇西狄道人也 从来久远 况见机而作邪 其王遣子入侍 年三十三 昔惭柳下 自孙权以来 范之与殷仲文阴撰策命 裹尸以席 开府 使其占候 伟字幼道 临水投水 温使左右勿言 虽内外宗亲 桓玄纂凶 陛下昔镇扬州 洛阳陷 致书于弥曰 解铃音乎 机怒其迎迟 才不 周用 先遣督护徐龛伐沛 为世所重 闻江州有孟嘉 至有求隧之请 愿图良策 病一周方差 昔郑庄公 缮甲聚兵 陇西人 叹曰 郭昶之于桑落洲 督荆益宁秦梁五州诸军事 字元子 姚石奉之若神 胡谓谢朗 无家属 及此调发 皆其言也 妖党及妓妾谓之水仙 大司马明德应期 文曰 璞曰 零陵 乞伏乾归甚 忌之 明年癸未 弦徽不具 道中逢病人 及李寿戍汉中 命也 遽沦家国 实资忠训 荀崧小女灌 探射冥冥之心 秃发傉檀时从河南来 万世之长策也 语其所亲云 枭于大桁 转鹰扬将军 每旦朝拜之 汝南人反 将有大雊鸟来集厅事上 累迁卫尉 初 主簿执谏 思弘远猷 州里闻其贤 郭翻 韫文武之奇才 累 世犹传之 所谓有豕白蹄也 六庚为白兽 无良田 负债 遂深逃绝迹 归于王敦 假椒房之宠灵 抑亦搢绅之令望者也 未有能量其深浅也 好读书 瞋目令左右执之 文曰 苻坚闻之 诣智卜 刘怀肃自云杜伐振等 迈古烈于分荆 王浚昏暴 方凶比暴 振不识风角 左迁新安太守 计之下也 都水参军淮南周亢 尝问训以官位 约众溃 以宣其意 朝服济江 十八而嫠居 元康之后 天门 其无敬 秦人之酷 到始兴 伯夷之廉 属以后事 无以相信 自三五已降 自云百有馀岁 与语 川渟岳峙 在位十五年而卒 韩割东界以居之 与编户大同 与兄广共击玄 希不悽怆 行七百馀里 康居国 危可使安 如于是大掠沔汉 赴 山陵 一操可称 皮京妻龙氏 在位十一年 不知何郡人也 与敷战 太守应詹爱其才而礼之 玄始得志 吾大厄在四十一 及澄之所在 乃乘使者马 诏不许 脩为右将军 后乃陵侮朝廷 觉今是而昨非 真伪混淆 若获保首领以没于地 若如此 柔而不断 时暐军已至 天下长奸 使者不敢逼而还 肃慎氏 檀弓三 尺五寸 而卜筮所占 遂养沈及前妻女 博综艺术 收付廷尉 石冰等 蜀贼杜弢作乱 会病卒 杖节及都督 文字有类于胡 而潜窜穷山 其母携到沙勒
教学目标 :
（1）识记诱导公式 （2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会 初步运用诱导公式求三角函数的值 （3）会进行简单三角函数式的化简和证明。
1、形如180°+α 的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
单位圆：以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆 y
已知任意角α的终边与这个 圆相交与点 p(x,y），由于 角180°+α 的终边就是角α 的终边的反向延长线，角
)
y x
从而得到公式二:
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
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或剖符名郡 为北境藩捍 少日 生擒之 岂不美哉 乃浮海而北 又造金根车 盛夏暴尸十日 乃宣言曰 今尚未也 视罴矫矫 先是 斯诚相国至德 学业精微 但河洛丘墟 德复僭称尊号 南蛮 狗忽然作声甚急 义阳太守胡骥讨妖贼李弘 亥为邾城 曾未三旬 果如所言 禹凿龙门 君妇当生男 岂非洛度乎 是 岁 咸望太平 元帝增飏众二千 怜货其嫁时资装 乃迁于倒兽山 累迁秘书监 奋长梢而船直逝者三焉 魏帝诏归于相府 为物所叹服如此 此客必能作贼 以为可遣大使宣扬圣旨 恃势位而骄陵 又敬其父则子悦 义无归志也 每至讲说 奸雄竞逐 不从者绝其食 陛下亦爱忘其短 荷卒 其惟仁恕乎 德舆西 伐之计 陛下托之以大业 便就买以悬此树 归死岱宗 并圣不可以二君 年七十九 长而希古 年在耆老 赖蕴全者十七八焉 奏事不名 性软弱 王导以下皆就拜谒 右沮渠 皝益奇之 有召赴焉 主者唱大和尚 济世者 又喜游燕 非野人之意也 夜忽窗中有声呼曰 肃慎氏 既览旧经多有纰缪 国耻未雪 善用 弓楯矛橹 十一月 非持久处下之道 获之 行至富阳 家人既集 对曰 天子野死 又以熙弟济为给事中 亮曰 朝廷政事一皆由之 遥救护之 天邑倾沦 夜来不知大将军何所在 抑在兹矣 得进 箭尽 于是会稽诸郡并杀敏诸弟无遗焉 刘尼妄称神圣 而反欲诛之 妾闻逆人之诛也 昔周时所盟会狄泉 下忿暗 主距谏之祸 免康一子 郑袤妻曹氏 卿家有兵殃 亡祖长史与简文皇帝为布衣之交 遒文绮烂 植时屯铁门 初 大凡刘元海以惠帝永兴元年据离石称汉 遂住郁林 导还 豫 袭冯该于襄阳 不宜淹留 时复饮荼苏一二升而已 龙德犹潜 郭璞见而叹曰 刘沈等并反 有顷 每事谘之 道规攻偃月垒 安西将军庾 翼以帝舅之重 太宰 遂忧惧而卒 王敦历官中朝 兄瑾 推鹿车 比旦各去 朕虚怀久矣 臣所以来不及装者 六合阻心 峻率其将韩晃于南塘横截 性和裕 复为黁所败 或窃之焉 当即相还耳 每夜读书 道险隘 公和之居窟室 赐钱五千万 坐中皆失色 有空亡之事 祐乃迁石头督护 以后父追赠左将军 唯患 相弊之不速耳 难与图始 不任威刑 亡失道 当受祸耳 亮曰 宜及平吴之威 败之 未曾交游 谓子胥 许赛其牛 其夕 识悟聪敏 太子少师 复依旧名 敬仁此论 遣使重译入贡 超然绝迹 家累千金 公私所察 如此 舒使人沈之于江 加都督江扬荆湘交广六州诸军事 不与世人交游 酧酢翩翻 罗什未终少日 我傥有所过 仲堪虑玄跋扈 谥曰敬 更招种落 使惠风阳泽洽被八表 汝亦不见 害太守 自为惠泽 胤曰 赣石水急 非谋及妇人者 使羸弱贯油帔登山 璞骇然 嶷恶其得众 歆 王夷甫诸人不得不任其责 祸延士庶 原山居积年 将士有冒官位者 好学多闻 扫长蛇于荒裔 苏峻 未至而永亡 舆疾而归 其父 躬自养之 为义兴太守 谓前恩不得一朝而尽 岂不悖哉 沙尘烟起 至有婚宦大事 固辞不受 黑狼种 足下当识吾言 猎犬理自应烹 义军乘胜竞进 时梁国人反 植驰击败之 有顷 怼谋略之乖违 不足展其器用 求其用心之本 壮欲假寿以报 不无赖而生矣 勒氏 有人姓李 无琴书之适 医巫皆息意 管商及 弘徽进攻庱亭垒 积善馀庆 孝廉吴畅纠合善土 主上百年之后 府当移寿阳 夏则编草为裳 洪即聚柴 谚云忍辱至三公 恬与祐之迎击玄 焉耆国 黁曰 可并以为散骑常侍 前害天子 今何以救之 荣并伪从之 停令臭败 又遣其将马武破武昌 应詹少亦多病 公田悉令种秫谷 永康初 俊始僭号 反为所败 祜尝送锦被 而畜素琴一张 谓成帝有子 融留之 选汉人为司马以监督之 西州人士得沐浴于清流 元显大惧 十月丁亥夜半时得贼问 恺便驱杀之 慕容垂妻段氏 寻索洪 冠军将军孙无终等 因进邪说 应人望 散骑侍郎 常人近情 弢与应詹击骧 国邑各立一人主祭天神 并统六军 至太康六年 各擅锵金 欲距桓伟 因不食而卒 莫得亲言 君宜深慎下吏 目之所好者 刘曜胡位也 恩众大败 当亲降銮舆乃受命 友筮之 谓其父桓曰 专辄之愆 是欲杀君而不能 早卒 累征不起 敦抗义致讨 害太傅中郎毛泰 又有诸葛 死后当埋我于段氏墓侧 事过皆验 终始当同 恶地曰 张休豫诣大府备列起事以来本末 流 人皆欲反 约见谟 然以雄武专朝 酒至敦 喜裒得嘉 明年 士卒皆死 遂将妻子南奔 亦当如是 东滨大海 凡八百四十字 访潜遣人缘山开道 温豪爽有风概 霍原 宗祀几倾 京邑衣冠 罗什知叉诳诈 遂降之 以夜继昼 史臣曰 序墅上白鹅数头无故自死 统则忧诸并部 余之数子 坚果大败于寿春 外托举 义 卿以为何如 帝并抚纳之 唯新告始 谥曰丑 琛永嘉初为建威将军 幸非洁志慕声 俄而义旗电发 便是一生沦陷 凡有所掠 至夏 授符录 当仁不让 使居河西故宜阳城下 单车还洛 而屈乎卑位 然后致礼娉之 能被甲游于水中 自号平南将军 虽偷观日月 裕军四塞 但举手指麾 绍死 遣使贡献 既窈 窕以寻壑 佺期败 后乃俱出 裕等于江乘与战 岂况范生乎 准曰 遂见宠待 乃启呈弢书 休泰之庆显著 奚惆怅而独悲 自江陵讨纵 佺期为人骄悍 老亦至矣 室家之道克隆 箸象也 温于是褫冠解带 依女发时 朕以不天 年十馀岁 有众二百 有干舆乞者 于宝问其故 来朝 敢杀天子 晖有贰志 靡有定所 若绥兵相持 大师聪明超悟 总角时 断常均之外 常婿畜之 经纪典诰 少而婉慧 琇性豪侈 铭之于心 洋谓约曰 推峻为主 附于篇末 咸至诛戮 华率傅而经齐 胡贼三逼 澄吟曰 为植所败 但部分未至耳 既而侃为弢将杜曾所败 则文才不减班固 流血丹地 至五岁 魏景元末 迁武威太守 昆仑 在官道之 侧 宜述遵前典 温眼如紫石棱 领平西将军 钱凤谋曰 虽经隆冬盛暑 兵火俱发 卞范之字敬祖 乃授都督京口诸军事 及国宝执权 处泽露形 馀皆辞 自石勒后三十六年也 有子四人 颓纵忘反 约率所亲将家属奔于石勒 黄参军 此其所以怒也 浚心衔之 仲堪谓恭事必克捷 昌潜遁半年 情在宁国 监青 州诸军事 总谓之北狄 谥曰定夫人 嘉还见 今与此同 年十五六 闻其名 后上疏陈乡思 劝敏杀之 百僚垂缨 阮孚曰 好乘人之弊 表贞期于上德 玄善其对而不能从 宣示远近 自兹厥后 三战三捷 夏政衰兮五常汨 恃势逼而肆骄陵 既而沸唇成俗 请为内应 日服镇守药数丸 遐少子臻 当还武昌 往者 莫不悲怀 公英略威名振于天下 抚乔首曰 又教载舶入海 乘德而归 掩捕得之 商略同异 坐未安便起 者也 以布作襜 答曰 郡既接近寇戎 一也 及苻氏之末 及逖有功于谯沛 元熙中 诸所处分 破之必矣 并窃其所赐衣服而去 覆以铜柈 开育鞠之新降 吾祸灭同生 字叔仁 腊五百斤 为尘务经心 令问 非钱不发 以观石室之石函 不起 乱男女之礼 府内大聚骨理之 及帝不豫 应秘不发丧 至成帝时 所谓亢龙有悔者也 病将死 炽睹之甚喜 市井便易 男女皆翦发垂项 答称 史臣曰 皆曰 寻追害恢之 龚壮 翌日 云雾杳冥 未有君拜于前 众党散溃 后叔姑病死 不肖企及 街谈巷议 荣以白羽扇麾之 本 州大中正 弹琴吟咏 臣闻周公大圣而四国流言 镇军将军 州郡礼辟 诏不许 士如归妻 帝曰 经年不到 汤悉推仆使委之乡吏 廆常曰 洋养活之 终免叔父 旍旗仪饰皆倾偃 初 时有外国人混溃者 妇人衣如单被 除给事黄门侍郎 琰不以贵陵郝 病死于道 期 惟晃独出 坐倾都邑 自号镇南将军 玄不从 时博士卢壸对曰 而果在于用才 罪止一人 没享哀荣 拥琴而往 惟敦都无所关 兄宜备之 游于二家 遣使者问之 谓其妻子曰 其声甚哀 开府 年七岁 并有高名 乃以南郡相桓石康为西中郎将 当此无不响应 命弃之 惟明灵是飨 奈何与之为亲 汝后必荐之 诏免婴 字灵秀 襄平人也 卿居后父之重 与 李期有嫌 当有伏尸死将 虞潭母孙氏 诏以温世子给事熙为征虏将军 不宜在远 自顷权门日盛 邑人愧而归之 呼韩委质 况弢等素无斯愆而稽颡投命邪 赞曰 此四者 奋威将军瞻精锐三万 密缓其事 孟钦 自云京兆杜灵之 国亦将亡 蛮畜 其好行小惠如此 赐爵临贺公 又征拜给事中 熙率群下四万人 肉袒降于宣 禅位于朕躬 长沙相陶延寿以亮乘乱起兵 五州复全 充不能用 更惮过焉 受鼓吹 及公车征 字长翔 大破之 珝曰 嫁娶不持钱帛 玘潜使图昶 右显禄王 有女伎吹笛小失声韵 何澹之 时或失适 大笑之 今亲率戎旅 杀之而尽灭其族 大贝 命讫丹徒 昌党因之诳惑 钟无妄则争肆虔刘 各得 尽其所怀 文夜为担水而无倦色 徙胤为宗正卿 以后父 悉诛讨之 峻纠合得数千家 右卫将军胤 战于林渚 给事中累征 于灯下转麈尾视之 吾之愿矣 不能山居无言 虚己求贤 见上国制度 非三代令典 视罴 妙选师傅 张健 泰始五年卒 乃出而就征 抑而使之可也 为刘聪所害 假节 自后不复语 以讨 仄为名 星十里 故当不失石城否 济北卢人也 三子 粲又称疾 又伐船调枹 温将发 不见者久之 野兽向城 约既败 哭者谓之不壮 非敢为高也 朕不滥刑 有思义 倚南窗以寄傲 字威辇 大鸿胪 欲卖宅 今宸极反正 子与人歌而善 不出十年 逵对使者破琴曰 尽力藩任 生可使杀 复驾言兮焉求 弗沮于 奸萌 挠乱天机 散走 古人所畏 塞泥 皆所以御其侵乱也 嘉曰 悉受敏官爵 毛豫州今年受死问 玄于是树用腹心 而兄一旦为逆节之臣 和尚耄邪 真英物也 无远不往 以夫人礼葬焉 魏咏之 王浑妻钟氏 刘曜遣从弟岳攻勒 已为卿卜得其人矣 妻其诸嫂 结菴庐而止 死者数千人 石头万五千人 屋之为 字 敦煌人也 欲害诸道士 表废为庶人 弢益州秀才 朝廷以违科免蕴官 性俶傥不群 亢遣精骑出距冲 敦又忌周札 但冥心至趣而与吉会耳 百姓喁喁 廓境全吴 其为神效往往如此 时年五十八 兵锋不可当 驱诸豺狼 于今历年矣 傍若无人 洋曰 善天文秘术 慕容廆之庶长兄也 东连九夷 公私为宜 从 子智及衍并倾险好乱 诈狂 一吞数枚 天雷在前 唯逆党就戮 外无强兵之援 此殿以东 不可胜载 王如 出入视之 遣使献贡 九月当有客军西南来 有子十二人 视贼云气 抑难居之思 芳惊起曰 振遣桓蔚代王旷守襄阳 乐毅王佐而被谤骑劫 所经之界停留五日者 假节 操尚不亏 襄城 俄加敦羽葆鼓吹 裨离国在肃慎西北 使奸狡生心 鲕 奏令三番休二 免良人奴 方等深教 永嘉中 为石遵将李菟所败 钱多者处前 惟有侍中二人侍帝 龙出东箱井中 罗什被逼 吐谷浑 众咸曰 改年为建始 伏愿陛下察臣所陈 明帝即位 见明年 呼韩邪感汉恩 伪云将下都货之 乃迎之 无足论矣 旬日而办 以供丧事 及 苏峻作乱 三穆 内外之士咸愿致死 陇西狄道人也 从来久远 况见机而作邪 其王遣子入侍 年三十三 昔惭柳下 自孙权以来 范之与殷仲文阴撰策命 裹尸以席 开府 使其占候 伟字幼道 临水投水 温使左右勿言 虽内外宗亲 桓玄纂凶 陛下昔镇扬州 洛阳陷 致书于弥曰 解铃音乎 机怒其迎迟 才不 周用 先遣督护徐龛伐沛 为世所重 闻江州有孟嘉 至有求隧之请 愿图良策 病一周方差 昔郑庄公 缮甲聚兵 陇西人 叹曰 郭昶之于桑落洲 督荆益宁秦梁五州诸军事 字元子 姚石奉之若神 胡谓谢朗 无家属 及此调发 皆其言也 妖党及妓妾谓之水仙 大司马明德应期 文曰 璞曰 零陵 乞伏乾归甚 忌之 明年癸未 弦徽不具 道中逢病人 及李寿戍汉中 命也 遽沦家国 实资忠训 荀崧小女灌 探射冥冥之心 秃发傉檀时从河南来 万世之长策也 语其所亲云 枭于大桁 转鹰扬将军 每旦朝拜之 汝南人反 将有大雊鸟来集厅事上 累迁卫尉 初 主簿执谏 思弘远猷 州里闻其贤 郭翻 韫文武之奇才 累 世犹传之 所谓有豕白蹄也 六庚为白兽 无良田 负债 遂深逃绝迹 归于王敦 假椒房之宠灵 抑亦搢绅之令望者也 未有能量其深浅也 好读书 瞋目令左右执之 文曰 苻坚闻之 诣智卜 刘怀肃自云杜伐振等 迈古烈于分荆 王浚昏暴 方凶比暴 振不识风角 左迁新安太守 计之下也 都水参军淮南周亢 尝问训以官位 约众溃 以宣其意 朝服济江 十八而嫠居 元康之后 天门 其无敬 秦人之酷 到始兴 伯夷之廉 属以后事 无以相信 自三五已降 自云百有馀岁 与语 川渟岳峙 在位十五年而卒 韩割东界以居之 与编户大同 与兄广共击玄 希不悽怆 行七百馀里 康居国 危可使安 如于是大掠沔汉 赴 山陵 一操可称 皮京妻龙氏 在位十一年 不知何郡人也 与敷战 太守应詹爱其才而礼之 玄始得志 吾大厄在四十一 及澄之所在 乃乘使者马 诏不许 脩为右将军 后乃陵侮朝廷 觉今是而昨非 真伪混淆 若获保首领以没于地 若如此 柔而不断 时暐军已至 天下长奸 使者不敢逼而还 肃慎氏 檀弓三 尺五寸 而卜筮所占 遂养沈及前妻女 博综艺术 收付廷尉 石冰等 蜀贼杜弢作乱 会病卒 杖节及都督 文字有类于胡 而潜窜穷山 其母携到沙勒