鸡兔同笼教师版

鸡兔同笼第一部分：知识介绍鸡兔同笼这个问题，是我国古代着名趣题之一．大约在1500 年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94 只脚．求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？解鸡兔同笼的基本步骤1.砍足法（金鸡独立）：解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。

这样，鸡和兔的脚的总数就由94 只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。

因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47 35 12（只）．显然，鸡的只数就是35 12 23 （只）了。

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。

除此之外，还有“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”。

2.假设法：假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数X鸡兔总数-实际脚数）十（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数 -鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数）十（每只兔子脚数 -每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数 -兔数3.鸡兔关系：当头数一样时，脚的关系：兔是鸡的 2 倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的 2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。

第二部分：例题精讲【例 1 】鸡兔同笼，头共46，足共128 ，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼【解析】假设46只都是兔，一共应有 4 46 184 （只）脚，这和已知的128只脚相比多了184 128 56（只）脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4 2 2（只）脚，那么56只脚是我们把56 2 28（只）鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是46 28 18（只）答案】鸡 28 只，兔 18 只例 2 】动物园里有一群鸵鸟和大象 ,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？考点】鸡兔同笼解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象总数为：36 2 18（只），假设鸵鸟和大象一样也有4只脚，则应该有 4 18 72（只）脚，多了72 52 20（只）脚，由假设引起的差值： 4 2 2（只），则鸵鸟数为20 2 10（只），大象数为18 10 8（头）。

答案】鸵鸟 10 只，大象 8 头例 3 】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20 只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？考点】鸡兔同笼解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20 只的脚数得：208 20 2 168 （只）。

这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数（注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同）脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是： 2 4 6（只），所以梅花鹿的只数是：168 6 28 （只），从而鸵鸟的只数是：28 20 48（只）．答案】鸵鸟 48 只，梅花鹿 28 只例 4 】一个养殖园内，鸡比兔多 36 只，共有脚 792只，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼【解析】已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有2 36 72 （只）脚，可知现在剩下792 72 720 （只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有720 6 120 （只），鸡有120 36 156 （只）.【答案】兔120只，鸡156只【例5】鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：107 4 428 （只），而鸡的脚数为零。

这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：428 56 372 （只）。

现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少 4 只, 鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少 4 2 6 （只）。

鸡的只数：372 6 62 （只），兔的只数：107 62 45 （只）。

【答案】兔45只，鸡62只【例6】每只完整的螃蟹有2只鳌、8只脚。

现有一批螃蟹，共有25只鳌，120只脚。

其中可能有多少缺鳌少脚的，但每只螃蟹至少保留1只鳌、4只脚。

这批螃蟹最多有______ 只，至少有__________ 只。

【考点】鸡兔同笼【解析】若要螃蟹尽量多，那么螃蟹的鳌和脚要尽量少，光看鳌的话，鳌最少为1,螃蟹最多为25只，只看脚的话，脚最少为4,螃蟹最多为120 4 30 （只），所以螃蟹最多为25只，同理若要螃蟹尽量少，那么螃蟹的鳌和脚要尽量多，光看鳌的话，鳌最多为2,螃蟹最少为12 1 13 （只），只看脚的话，脚最多为8,螃蟹最少为120 8 15 （只），所以螃蟹最少为13只。

【答案】螃蟹最多有25只，至少有13只【例7】在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？【考点】鸡兔同笼【解析】假设都是三轮摩托车，应有 3 41 123（个）轮子，少了127 123 4 （个）轮子。

每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少 4 3 1（个）轮子•汽车有4 1 4（辆）；从而求出三轮摩托车有41 4 37（辆），或者假设都是汽车，应有4 41 164（个）轮子，多了164 127 37（个）轮子；所以摩托车有37 （4 3） 37（辆）.【答案】摩托车有37辆。

【例8】（10年上外口试题）一张数学试卷，只有25道选择题•做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分。

若小明得了78分，那么他做对 ___ 题，做错—题，没做—题。

考点】鸡兔同笼【解析】这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索。

小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分。

78 4 19 ，所以可以知道小明至少做对20道题目，否则一定低于 4 19 76（分）；再假设他做对21题，发现即使另外四题都错，小明仍然有 4 21 1 4 80（分），超过了78分，所以小明至多做对20道题目；综上，可以断定小明做对了20道题。

至此本题转化为简单鸡兔同笼问题。

假设剩下 5 题全部没做，那么小明应得 4 20 80 （分）。

但是只得了78分，说明又倒扣了2分，说明错了2道题，3道题没做。

所以小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题。

【答案】小明做对了20 道题，做错了2道题，没做3道题。

【例 9 】大、小猴共35 只，它们一起去采摘水蜜桃。

猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15 千克，一只小猴子一小时可摘11千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克。

一天，采摘了8 小时，其中第一小时和最后一小时猴王在监督，结果共采摘了4400 千克水蜜桃。

在猴群中，共有小猴子多少只？考点】鸡兔同笼解析】其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔。

但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消失。

一天中，猴王监视了 2 小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采12 千克，那样猴群只能采摘4400 35 2 12 3560 （千克）；这是一天也就是8小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采3560 8 445（千克）；假设都是大猴子，应该每小时采摘15 35 525（千克），比实际多采了525 445 80（千克）。

而每只小猴子被假设成大猴子，会多采15 11 4（千克）。

因此可以求出小猴子有：80 4 20（只）。

答案】小猴子有 20 只例 10 】箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7 只白球、15只红球．如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球．那么箱子里原有红球多少只？考点】鸡兔同笼解析】假设每次一起取7只白球和21只红球，由于每次拿得红球都是白球的3倍，所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的3倍多2。

由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是 3 个。

按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即 3 3 2 11 （只）。

但是实际上最后剩了53只红球，比假设多剩42 只，因为每一次实际取得与假设相比少6只，所以可以知道一共取了42 6 7（次）。

所以可以知道原来有红球7 15 53 158（只）。

答案】红球有 158 只例 11 】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18只，共有腿 118条，翅膀 20对（蜘蛛 8条腿；蜓 6 条腿，两对翅膀；蝉 6 条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？考点】鸡兔同笼解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题。

观察数字特点，蜻蜓、蝉都是 6 条腿，只有蜘蛛 8 条腿。

因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数。

我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6 18 108（条），所差118 108 10 （条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的。

所以，应有（118 108）（8 6） 5 （只）蜘蛛。

这样剩下的18 5 13（只）便是蜻蜓和蝉的只数。

再从翅膀数入手，假设 13只都是蝉，则总翅膀数1 13 13 （对），比实际数少20 13 n 7 （对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7 （2 1） 7（只）。

答案】蜻蜓有 7 只例 12 】从甲地至乙地全长 45 千米 , 有上坡路、平路、下坡路。

李强上坡速度是每小时 3 千米 , 平路上速度是每小时 5 千米 , 下坡速度是每小时 6 千米 . 从甲地到乙地,李强行走了 10 小时;从乙地到甲地 ,李强行走了 11小时.问从甲地到乙地, 各种路段分别是多少千米？考点】鸡兔同笼【解析】把来回路程 45 X 2=90（千米）算作全程。

去时上坡,回来是下坡；去时下坡回来时上坡。

把上坡和下坡合并成 "一种"路程,平均速度是每小时 4千米。

现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼"问题。

因此平路所用时间是（90-4 X 21）宁(5-4)=6( 小时 )单程平路行走时间是6十2=3（小时）。

从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是45-5 X 3=30（千米）。

又是一个"鸡兔同笼"问题。

从甲地至乙地,上坡行走的时间是（6 X 7-30） - （6-3）=4（小时）。