鸡兔同笼教师版

鸡兔同笼

第一部分：知识介绍

鸡兔同笼这个问题，是我国古代着名趣题之一．大约在1500 年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94 只脚．求笼中各有几只鸡和兔？

你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？

解鸡兔同笼的基本步骤

1.砍足法（金鸡独立）：

解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就由94 只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47 35 12（只）．显然，鸡的只数就是35 12 23 （只）了。

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。除此之外，还有“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”。

2.假设法：

假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

如果假设全是兔，那么则有：

鸡数=（每只兔子脚数X鸡兔总数-实际脚数）十（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔

数=鸡兔总数 -鸡数

如果假设全是鸡，那么就有：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数）十（每只兔子脚数 -每只鸡的脚数）鸡数

=鸡兔总数 -兔数

3.鸡兔关系：

当头数一样时，脚的关系：兔是鸡的 2 倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的 2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工

程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。

第二部分：例题精讲

【例 1 】鸡兔同笼，头共46，足共128 ，鸡兔各几只？

【考点】鸡兔同笼

【解析】假设46只都是兔，一共应有 4 46 184 （只）脚，这和已知的128只脚相比多了

184 128 56（只）脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实

际多4 2 2（只）脚，那么56只脚是我们把56 2 28（只）鸡当成了兔子，所以鸡的只数

就是28，兔的只数是46 28 18（只）答案】鸡 28 只，兔 18 只

例 2 】动物园里有一群鸵鸟和大象 ,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？

考点】鸡兔同笼

解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象总数为：36 2 18（只），假设鸵鸟和大象一样也有4只脚，则应该有 4 18 72（只）脚，多了72 52 20（只）脚，由假设引起的差值： 4 2 2（只），则鸵鸟数为20 2 10（只），大象数为18 10 8

（头）。

答案】鸵鸟 10 只，大象 8 头

例 3 】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20 只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？

考点】鸡兔同笼

解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20 只的脚数得：208 20 2 168 （只）。这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数（注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同）脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是： 2 4 6（只），所以梅花鹿的只数是：168 6 28 （只），从而鸵鸟的只数是：28 20 48（只）．

答案】鸵鸟 48 只，梅花鹿 28 只例 4 】一个养殖园内，鸡比兔多 36 只，共有脚 792只，鸡兔各几只？

【考点】鸡兔同笼

【解析】已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走

的36只鸡有2 36 72 （只）脚，可知现在剩下792 72 720 （只）脚，一只鸡与一只

兔有6只脚，那么兔有720 6 120 （只），鸡有120 36 156 （只）.

【答案】兔120只，鸡156只

【例5】鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼

【解析】不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：107 4 428 （只），而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的

数比实际上多：428 56 372 （只）。现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少 4 只, 鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少 4 2 6 （只）。

鸡的只数：372 6 62 （只），兔的只数：107 62 45 （只）。

【答案】兔45只，鸡62只

【例6】每只完整的螃蟹有2只鳌、8只脚。现有一批螃蟹，共有25只鳌，120只脚。其中可能有多少缺鳌少脚的，但每只螃蟹至少保留1只鳌、4只脚。这批螃蟹最多有

______ 只，至少有__________ 只。

【考点】鸡兔同笼

【解析】若要螃蟹尽量多，那么螃蟹的鳌和脚要尽量少，光看鳌的话，鳌最少为1,螃蟹最多为25只，只看脚的话，脚最少为4,螃蟹最多为120 4 30 （只），所以螃蟹

最多为25只，同理若要螃蟹尽量少，那么螃蟹的鳌和脚要尽量多，

光看鳌的话，鳌最多为2,螃蟹最少为12 1 13 （只），

只看脚的话，脚最多为8,螃蟹最少为120 8 15 （只），所以螃蟹最少为13只。

【答案】螃蟹最多有25只，至少有13只

【例7】在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？

【考点】鸡兔同笼

【解析】假设都是三轮摩托车，应有 3 41 123（个）轮子，少了127 123 4 （个）轮子。

每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少 4 3 1（个）轮子•汽车有4 1 4（辆）；从而求出三轮摩托车有41 4 37（辆），或者假设都是汽车，应有4 41 164（个）轮子，多了164 127 37（个）轮子；所以摩托车有37 （4 3） 37（辆）.

【答案】摩托车有37辆。

【例8】（10年上外口试题）一张数学试卷，只有25道选择题•做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分。若小明得了78分，那么他做对 ___ 题，做错—题，没做—题。

考点】鸡兔同笼【解析】这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索。

小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分。78 4 19 ，所以可以知道小明至少

做对20道题目，否则一定低于 4 19 76（分）；再假设他做对21题，发现即使另