IIR数字带通滤波器设计

课 程 设 计 报 告

课程名称： 数字带通滤波器设计 学生姓名： 学 号： 专业班级： 指导教师： 完成时间：

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IIR 数字带通滤波器的设计

1课程设计目的

1掌握冲激响应不变法IIR 低通滤波器的设计。

2 通过对常用数字滤波器的设计和实现，掌握数字信号处理的工作原理及设计方法；熟悉用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器的原理与方法，掌握利用数字滤波器对信号进行滤波的方法，掌握数字滤波器的计算机仿真方法，并能够对设计结果加以分析。

2.课程设计要求

采用双线性变换法设计一IIR 数字带通滤波器，抽样频率为

1s f kH z

=，性能

要求为：通带范围从250Hz 到400Hz ，在此两频率处衰减不大于3dB , 在150Hz 和480Hz 频率处衰减不小于20dB ，采用巴特沃思型滤波器

3.设计原理

3.1用双线性变换法设计IIR 数字滤波器

脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S 平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T ～π/T 之间，再用st

e

z

=转

换到Z 平面上。也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S 1平面的-π/T ～π/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z =e s 1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3所示。

图1双线性变换的映射关系 为了将s 平面的整个虚轴

Ω

j 压缩到1s 平面1Ωj 轴上的-π/T 到π/T 段上，

Z 平面

S 1

平面

S 平面

可以通过以下的正切变换实现

（1-5）

式中,T 仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个j Ω轴。将式（1-5）写成

将此关系解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j Ω=s ，j Ω1=s1，则得

再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面 z=e s 1T ,从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为：

（1-6）

（1-7）

式（1-6）与式（1-7）是S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换

式（1-5）与式（1-6）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先,把z =e j ω，可得

（1-8）

即S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆。 其次，将s =σ+j Ω代入式（1-8），得 因此

由此看出，当σ<0时，|z |<1；当σ>0时，|z |>1。也就是说，S 平面的左

⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=

Ω2tan 2

1T T 2

/2

/2

/2/11112T j T j T j T j e

e

e e T j Ω-ΩΩΩ+-⋅=

ΩT

s T

s T s T s T s T s e

e T T s T e

e

e e T

s 1111111122tanh 2

2

12

/2

/2/2/----+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-⋅

=

1

1112--+-=

z

z T s s

T s T s

T s T z -+=-

+

=

22

2121Ω=⎪⎭⎫

⎝⎛=+-=

--j T j

e

e T s j j 2tan 2

112ωω

ωΩ

--Ω++=j T

j T

z σσ2

222

22

22||Ω+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Ω+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

σσT T z

半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

4.设计思路

4.1 设计步骤

（1）按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；

（2）根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器；

（3）根据双线性不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器；

（4）如果要设计的滤波器是高通、带通或带阻滤波器，则首先把它们的技术指标转化为模拟低通滤波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频率转换的方法来得到所要的滤波器。

程序流程框图：

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

图2程序流程框图

4.2设计过程

(1)根据任务,确定性能指标:在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要

确定滤波器的技术指标:

带通滤波器的阻带边界频率关于中心频率0

wp几何对称，因此ws1=wp0- ()π3.0

ws通带范围从z H

2=

-wp

250到z H

400，在此两频率处衰减不大于3dB, 在150Hz和480Hz频率处衰减不小于20dB

(2)用Ω=2/T*tan(w/2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变，得到带

通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率ωp1,ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。

为了计算简便，对双线性变换法一般T=2s

通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2)=tan(0.4π/2)=0.7265

wc2=(2/T)*tan(wp2/2)=tan(0.6π/2)=1.3764 阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)=tan(0.3π/2)=0.5095

wr2=(2/T)*tan(ws2/2)=tan(0.7π/2)=1.9626

(3)运用低通到带通频率变换公式λ=(((Ω^2)-(Ω0^2))/(B*Ω))将模拟带通滤

波器指标转换为模拟低通滤波器指标。

B=wc2-wc1=0.6499

normwr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(B*wr1))=2.236

normwr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(B*wr2))=2.236

normwc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(B*wc1))=1

normwc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(B*wc2))=1

得出，normwc=1，normwr=2.236

模拟低通滤波器指标：normwc=1，normwr=2.236，αp=3dB，αs=20dB (4)设计模拟低通原型滤波器。用模拟低通滤波器设计方法得到模拟低通滤波器的传输函数()p

G;借助巴特沃斯滤波器。

此时三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数为