届高三理科数学第一轮复习排列与组合PPT课件
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高三一轮数学(理)复习第64讲排列与组合综合应用问题省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
7
4．过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面
直线有( D )
A．18 对
B．24 对
C．30 对
D．36 对
8
解析：以三棱柱 6 个顶点中 4 个顶点为顶点的三棱锥共 C46－3＝12 个．每个三棱锥含三组对棱是三对异面直线，故 共有 36 对异面直线，选 D.
9
5．用 0,1,2，…，9 十个数字组成五位数，其中含 3 个
3
2．(2012·重庆七区第二次联考)现有 6 人分乘两辆不同
的出租车，每辆车最多乘 4 人，则不同的乘车方案数为( C )
A．70
B．60
C．50
D．40
4
解析：先将六人分成两组，有两种情况：(4,2)，(3,3)， 然后再分配到两辆车上共有 C46A22＋C36＝50 种，故选 C.
5
3．从 A、B、C、D、E 五名学生中，选出四名学生参
(方法三)若对甲没有限制条件共有 A66种站法，甲在两 端共有 2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数， 即得所求的站法数，共有 A66－2A55＝480 种站法．
22
(2)(方法一)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人， 有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种站法，根椐 分步计数原理，共有 A55·A22＝240 种站法．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)的基础上， 还应考虑再分配问题，分配方式共有 C16·C25·C33·A33＝360 种．
13
(3)先分三步，则应是 C62·C42·C22种方法，但是这里面出现 了重复，不妨设六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步 取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为 (AB，CD，EF)，则 C26·C42·C22种方法中还有(AB，EF，CD)， (CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF， AB，CD)，共 A33种情况，而且这 A33种情况仅是 AB，CD， EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有 C26·AC2433·C22＝15 种．
4．过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面
直线有( D )
A．18 对
B．24 对
C．30 对
D．36 对
8
解析：以三棱柱 6 个顶点中 4 个顶点为顶点的三棱锥共 C46－3＝12 个．每个三棱锥含三组对棱是三对异面直线，故 共有 36 对异面直线，选 D.
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5．用 0,1,2，…，9 十个数字组成五位数，其中含 3 个
3
2．(2012·重庆七区第二次联考)现有 6 人分乘两辆不同
的出租车，每辆车最多乘 4 人，则不同的乘车方案数为( C )
A．70
B．60
C．50
D．40
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解析：先将六人分成两组，有两种情况：(4,2)，(3,3)， 然后再分配到两辆车上共有 C46A22＋C36＝50 种，故选 C.
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3．从 A、B、C、D、E 五名学生中，选出四名学生参
(方法三)若对甲没有限制条件共有 A66种站法，甲在两 端共有 2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数， 即得所求的站法数，共有 A66－2A55＝480 种站法．
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(2)(方法一)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人， 有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种站法，根椐 分步计数原理，共有 A55·A22＝240 种站法．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)的基础上， 还应考虑再分配问题，分配方式共有 C16·C25·C33·A33＝360 种．
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(3)先分三步，则应是 C62·C42·C22种方法，但是这里面出现 了重复，不妨设六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步 取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为 (AB，CD，EF)，则 C26·C42·C22种方法中还有(AB，EF，CD)， (CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF， AB，CD)，共 A33种情况，而且这 A33种情况仅是 AB，CD， EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有 C26·AC2433·C22＝15 种．
2025高考数学一轮复习-10.2-排列与组合【课件】
排列
组合
排列与顺序有关 组合与顺序无关
两个排列相同，当且 两个组合相同，当且
仅当这两个排列的 仅当这两个组合的
元素及其排列顺序 元素完全相同
完全相同
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ ) (3)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立．( × ) (4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情 况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( √ )
易错易混 5．某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》和《老人与海》4 本不同 的名著中选出 3 本，分给 3 名同学去读，其中必选《红楼梦》，则不同的分配方法共有 (C ) A．6 种 B．12 种 C．18 种 D．24 种
【解析】 可分为两步：第一步：先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》3 本书 中选择 2 本，共有 C23种选法；第二步：将选出的 2 本书与《红楼梦》，共 3 本书进行全排 列，对应分给 3 名同学，有 A33种排法．根据分步乘法计数原理，可知不同的分配方法共 有 C23A33＝18(种)．故选 C.
(5)(插空法)先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安 排男生，有 A53种方法，共有 A44·A53＝1440(种)．
易错点睛：(1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关． (2)解决排列与组合问题时，注意与分类、分步计数原理结合，分类要清楚，分步要准 确．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
高三理科数学第一轮复习§12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
解析
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第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合源自解析解析解析
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
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第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
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第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
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第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
高考理科第一轮复习课件(10.2排列与组合)
(B)48种
【解析】选C.分步完成这件事.第一步排最后位置一个奥运宣 传广告有2种不同的方法；第二步排另一个奥运宣传广告，有3 个位置可选，共有3种方法；第三步排3个商业广告，共有 A 3 3 种不同的方法.由分步乘法计数原理可知：共有2×3× A 3 ＝ 3 36(种)不同的播放方式.
3.某班级有一个7人小组，现任选3人相互交换座位，其余4人座 位不变，则不同的调整方式有( (A)12种 (B)70种 ) (D)105种
【提醒】区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于
是否与顺序有关.
【变式训练】(2012·广州模拟)如图，∠MON的边OM上有四点
A1,A2,A3,A4，ON上有三点B1,B2,B3,则以O，A1,A2,A3,A4，B1,B2,
B3为顶点的三角形个数为(
)
(A)30
(B)42
(C)54
(D)56
2 2 入到9个空中，有 A 9 种排法，因此共有 A8 A9 种排法． 8
(2)选C．分步完成，先将每家“绑在一起”，看成3个元素，全
排列，共有 A 3 ＝3!(种)坐法；然后每家3口人，再各自全排 3 列，则有 A 3 A 3 A 3 ＝(3!)3(种)坐法； 3 3 3 据分步乘法计数原理，共有 A 3 A 3 A 3 A 3 ＝(3!)4(种)坐法. 3 3 3 3 (3)选D.左边有几个数，顺序数就为几，故8一定在从左面起第 三个位置；而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大.6可能
3 4 4 C6 A5 种；若含有两个字母A，则有 C3 A5 种；若含有三个字母 6 2 2 4 4 3 2 2 A，则有 C6 A5 种.综上所述，共有 A5 C6 A5 C3 A5 C6 A5 6 6
排列组合课件-高三数学一轮复习
源于探索外太空的渴望，航天事业在 21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件， 宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负 责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也 不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有
√ A.18种 B.36种 C.72种 D.108种
先排甲、乙，有 A24种排法，再排丙，有 A14种排法，其余 5 人有 A55种排 法，故不同的排法共有 A24A14A55＝5 760(种).
题型二 组合问题
从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的 有 A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法
如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的 8 人中再选 2 人即 可，有 C28＝28(种)，故 C 正确；
在 10 人中任选 4 人，有 C410＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有 C48 ＝70(种)， 故 男 生 中 的 甲 和 女 生 中 的 乙 至 少 要 有 1 人 在 内 的 选 法 有 210 － 70 ＝ 140(种)，故D正确.
第一步，先从 4 名学生中任取两人组成一组，与剩下 2 人分成三组， 有 C24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三 地，则有 A33＝6(种)不同的方法.故共有 6×6＝36(种)不同的安排方案.
题型一 排列问题
中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍
将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活 动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有_1__6_8_0_ 种.(用数字作答)
《高三排列组合复习》课件
3... times m}$
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序，组合不考虑顺 序；
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序，而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序；
在实际应用中，排列和组合各 有其适用场景，需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法，如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习，我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法，对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法，根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中，有时需要特别注意元素的顺序。例如，有5个不同的书和4 个不同的笔，要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”，则只要使用分组法，将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序，组合不考虑顺 序；
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序，而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序；
在实际应用中，排列和组合各 有其适用场景，需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法，如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习，我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法，对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法，根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中，有时需要特别注意元素的顺序。例如，有5个不同的书和4 个不同的笔，要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”，则只要使用分组法，将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点
高考数学一轮总复习 10.2排列与组合课件
解析 先排甲、乙之外的 3 人，有 A33种排法，然后将甲、乙 两人插入形成的 4 个空中，有 A24种排法，故共有 A33·A24＝72(种)排 法．
答案 72
知识点二 组合 4.若 C220x－7＝Cx20，则 x＝________. 解析 由 2x－7＝x 或 2x－7＋x＝20，得 x＝7 或 x＝9.
第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布(理) 概率(文)
第二节 排列与组合(理)
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
高考明方向
1.理解排列、组合的概念． 2.理解排列数公式、组合数公式． 3.能利用公式解决一些简单的实际问题.
备考知考情
多以选择题、填空题的形式出现，重点考查排列与组合的概 念及简单的实际应用，常与两个计数原理交汇命题．
知识点一 排列
1.不等式 Ax8<6×Ax8－2的解来自为( )A．[2,8]
B．[2,6]
C．(7,12)
D．{8}
解析 8－8！x！<6×108－！x！， ∴x2－19x＋84<0，解得 7<x<12. 又 x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N*，即 x＝8.
答案 D
2．从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为
答案 7 或 9
5．“2 012”含有数字 0,1,2，且有两个数字 2，则含有数字 0,1,2， 且有两个相同数字的四位数的个数为( )
A．18 B．24 C．27 D．36
解析 依题意，就所含的两个相同数字是否为 0 进行分类计 数：第一类，所含的两个相同数字是 0，则满足题意的四位数的个 数为 C32A22＝6；第二类，所含的两个相同数字不是 0，则满足题意 的四位数的个数为 C21·C13·C13＝18.由分类加法计数原理得，满足题 意的四位数的个数为 6＋18＝24，故选 B.
答案 72
知识点二 组合 4.若 C220x－7＝Cx20，则 x＝________. 解析 由 2x－7＝x 或 2x－7＋x＝20，得 x＝7 或 x＝9.
第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布(理) 概率(文)
第二节 排列与组合(理)
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
高考明方向
1.理解排列、组合的概念． 2.理解排列数公式、组合数公式． 3.能利用公式解决一些简单的实际问题.
备考知考情
多以选择题、填空题的形式出现，重点考查排列与组合的概 念及简单的实际应用，常与两个计数原理交汇命题．
知识点一 排列
1.不等式 Ax8<6×Ax8－2的解来自为( )A．[2,8]
B．[2,6]
C．(7,12)
D．{8}
解析 8－8！x！<6×108－！x！， ∴x2－19x＋84<0，解得 7<x<12. 又 x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N*，即 x＝8.
答案 D
2．从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为
答案 7 或 9
5．“2 012”含有数字 0,1,2，且有两个数字 2，则含有数字 0,1,2， 且有两个相同数字的四位数的个数为( )
A．18 B．24 C．27 D．36
解析 依题意，就所含的两个相同数字是否为 0 进行分类计 数：第一类，所含的两个相同数字是 0，则满足题意的四位数的个 数为 C32A22＝6；第二类，所含的两个相同数字不是 0，则满足题意 的四位数的个数为 C21·C13·C13＝18.由分类加法计数原理得，满足题 意的四位数的个数为 6＋18＝24，故选 B.
届高三理科数学第一轮复习 排列与组合.ppt
(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是 C62C42C22种方法， 但是这里出现了重复．不妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F， 若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种 分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)、 (CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB， CD)，共 A33种情况，而这 A33种情况仅是 AB、CD、EF 的顺序 不同，因此只能作为一种分法．故分配方式有C26AC2433C22＝15(种)．
中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有( )
A．36种
B．30种
2 5
种排法，再排其
余位置有A44种排法，共有A25·A44＝480种排法． [答案] C
[题后悟道] 解决排列组合问题最基本的方法是位 置分析法和元素分析法，若以位置为主，需首先满足特 殊位置的要求，再处理其他位置；若以元素为主，需先 满足特殊元素的要求，再处理其他元素．
2．捆绑法、插空法
[典例2] (2012·绥化一模)有5盆各不相同的菊花，其
[答案] B [题后悟道] 插空法一般是先排没有限制条件的 元素，再按要求将不相邻的元素插入排好的元素之间； 对于捆绑法，一般是将必须相邻的元素看作一个“大元 素”，然后再与其余“普通元素”全排列，但不要忘记对 “大元素”内的元素进行排列．
3．正难则反排除法
[典例3] (2012·北京崇文一模)从6名男生和2名女生
2．(2012·济南模拟)如图所示，使电路接通，开关不同的
开闭方式有
()
A．11种 C．21种
B．20种 D．12种
解析：当第一组开关有一个接通时，电路接通为C
高考数学一轮总复习课件：排列与组合
其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600(种)．
方法二：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的 6 个 人中选 2 个排列，有 A26种方法，中间 5 个位置由余下 4 人和甲进 行全排列，有 A55种方法，共有 A26×A55＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全 排列，有 A44种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法， 故共有 A44×A44＝576(种)．
再除以定序元素的全排列 正难则反，等价转化的方法
思考题 1 (1)(2019·上海春季高考题)某校组队参加辩 论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其 中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 ___1_8_0___(结果用数值表示)．
【解析】 先安排甲，有 3 种情况，再从剩下的 5 名学生中选 3 人排列，有 A35种情况，
∴共有 3A35＝180 种方法．
(2)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，
其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时
必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( C )
A．34 种
B．48 种
C．96 种
D．144 种
【解析】 程序 A 有 A12＝2(种)，将程序 B 和 C 看作一个整体 与除 A 外的元素排列，有 A22A44＝48(种)，所以由分步乘法计数原理， 实验顺序的编排方法共有 2×48＝96(种)．故选 C.
(5)分三步进行： 第一步：选 1 男 1 女分别担任两个职务为 C17C15种； 第二步：选 2 男 1 女补足 5 人有 C26C14种； 第三步：为这 3 人安排工作有 A33种． 由分步乘法计数原理共有 C17C15C26C14A33＝12 600 种选法． 【答案】 (1)120 (2)252 (3)672 (4)596 (5)12 600
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房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2
天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出的不同值班
表有
()
A．90种
B．89种
C．60种
D．59种
[自主解答] (1)分三种情况：恰好打 3 局，有 2 种
情形；恰好打 4 局(一人前 3 局中赢 2 局，输 1 局，第 4
局赢)，共有 2C23＝6 种情形；恰好打 5 局(一人前 4 局中 赢 2 局，输 2 局，第 5 局赢)，共有 2C24＝12 种情形．所 有可能出现的情形共有 2＋6＋12＝20(种)．
组合问题的两种主要类型 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先 将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向 思维，用间接法处理．
(2)甲、乙、丙3个同学在课余时间负责一个计算机
数，其中个位数字小于十位数字的共有
(B )
A．210个 B．300个 C．464个 D．600个
练习2、所求的6位数中，有多少个偶数？
解：若个位排0，则有A
5 5
பைடு நூலகம்
个偶数；若个位排
2，则十位可从3,4,5中任选1个，有C
1 3
C
1 3
A
3 3
个偶
数；若个位排4，则十位只能排5，有C
1 3
A
3 3
个偶
数，由分类加法计数原理得偶数的个数为A
一、排列与排列数 1．排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，__按__照__一__定_ 的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列． 2．排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所__有__不__同__排___ 列__的__个__数__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数， 记为Amn .
若每位选手从中有放回地随机选出1道题进行说题，则恰
二、组合与组合数 1．组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 合成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所__有__不__同__组__合_ 的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 符号 Cmn 表示．
三、排列数、组合数公式及性质
(2)特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考 虑甲，分步完成：①从除周一外的 5 天中任取 2 天安排甲， 有 C25种；②从剩下的 4 天中选 2 天安排乙，有 C24种；③ 仅剩 2 天安排丙，有 C22种．由分步乘法计数原理，可得一 共有 C25·C24·C22＝60(种)．
[答案] (1)C (2)C
题型二 组合应用题
例 2 从 7 名男生 5 名女生中选取 5 人当班干部，分别求符 合下列条件的选法总数有多少种．
(1)A，B 必须当选； (2)A，B 必不当选； (3)A，B 不全当选； (4)至少有 2 名女生当选； (5)选取 3 名男生和 2 名女生分别担任班长、体育委员等 5 种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生 担任．
1．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须在A的 右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有 ( B )
A．24种 B．60种 C．90种 D．120种
2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，
则不同的照明方法有
(D )
A．63种 B．31种 C．8种 D．7种
3．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交 流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会， 会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的 种数为____1_6___．
种方式．
答案： C
排列组合的综合应用
[例3] (1)三位数中，如果十位上的数字比百位上
的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如
524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三
位凹数有
()
A．72个
B．120个
C．240个
D．360个
(2)现有4位教师参加说题比赛，共有4道备选题目，
4．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中 选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员 中至少有1名老队员，且1、2号 中至少有1名新队员的排法 有__4_8_____种．(以数字作答)
解析： ①只有 1 名老队员的排法有 C12·C23·A33＝36(种)； ②有 2 名老队员的排法有 C22·C13·C21·A22＝12(种)， 所以共 48 种．
公 式
排列数公式 Amn ＝_nn_！(_n_－__1_)_…__(n_－__m__＋__1_)_
组合数公式 Cnm＝AAmnmm ＝ nn－1…n－m＋1
m！
＝_n__－__m__！_
＝
n！
m！n－m！
性 (1)Ann＝ n！； 质 (2)0！＝ 1
备 注
(1)C0n＝ 1 ； (2)Cmn ＝Cnn－m ； (3)Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1 n、m∈N*且 m≤n
2．(2012·济南模拟)如图所示，使电路接通，开关不同的
开闭方式有
()
A．11种 C．21种
B．20种 D．12种
解析：当第一组开关有一个接通时，电路接通为C
1 2
(C
1 3
＋C
2 3
＋C
3 3
)＝14种方式；当第一组有两个接通时，电路
接通有C22(C13＋C23＋C33)＝7种方式．所以共有14＋7＝21
5 5
＋C
1 3
C31A33＋C13A33＝192.
求排列应用题的主要方法 (1)对无限制条件的问题——直接法； (2)对有限制条件的问题，对于不同题型可采取直接 法或间接法，具体如下： ①每个元素都有附加条件——列表法或树图法； ②有特殊元素或特殊位置——优先排列法； ③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法； ④有不相邻元素(间隔排列)——插空法．
题型一 排列应用题
例 1 有 5 个同学排队照相，求： (1)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙、丙 3 个同学互不相邻的排法有多少种？ (3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？ (4)甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？
练习1、 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位