陈凯《量子信息物理学》2013年考题
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ψ = α 0 + β 1 , EPR = 1 2
( 00
+ 11
)。
推导写出 Teleportation 的原理和具体物理过程。
1
5. (10 分) 写出量子密钥分发协议 BB84 协议的通信过程。给出 Error Correction,
Privacy Amplification 分 别 与 纠 缠 可 提 纯 协 议 (EDP: Entanglement Distillation Protocol)的哪些过程具有对应关系。
2
( 01
± 10 , φ ± =
)
1 2
( 00
± 11 的量
)
2
6. (13 分)（i）写出量子态 ψ −
EPR
=
1 2
( 01
− 10
)所对应的两个独立的
Stablizer
S0,S1。也即作用到该量子态后仍然保持量子态不变的两个线性算子，并且可以唯一 完全确定该量子态。(5 分) （ii）对于
ψ
GHZ
=
1 2
( 010
ψ'
− 101
= 1
)，写出其相应的 Stablizers
8. (16 分) (i) 写出 CNOT(Controlled-X)门的矩阵表示形式以及在量子态
00 , 01 , 10 , 11 上的作用方式；(5 分)
(ii) 利用 CNOT 门来构造一个 SWAP 门，也即完成交换 1,2 量子比特的任务；(5 分) (iii) 设计量子线路使得能够做完全的 Bell 态测量，也即通过在 0 , 1 基矢下做投 影测量就可以完全区分 4 个 Bell 态 ψ ± = 1 子线路实现。(6 分)
2012~2013《量子信息物理学》冬季学期期末考卷 (任课老师：陈凯) 姓名: 学号: 所在系所:
1. (16 分)考虑 Hilbert 空间上的一个密度矩阵
ρ(n ) :=
其中 n
1 2
I +
i =1
∑nσ
i
3
i
Hale Waihona Puke Baidu
2 2 := (n 1 ,n 2 ,n 3 )是一个实的单位矢量，满足 n12 + n 2 + n3 = 1 。这里
φ + = ( 00 + 11 / 2 ), ψ + = ( 01 + 10 / 2 ) 。写出其矩阵表示，并利用 PPT 纠缠判
据来判定 x=0.3 时，该量子态是否仍然纠缠。(8 分)
4. (10 分)量子隐形传态 (Quantum Teleportation)可以利用纠缠资源把一个未知
量子态的信息传输到另一个地方。若初始的量子态分别为
求出 ρ
2
2 并简化，以及 Tr( ρ )的值。(8 分)
i =1
∑t σ
i
3
i
⊗ σ i ) / 4 ，t 为实数，
3. (12 分)（i）给出两体纯态量子态为可分离态的充分必要条件。(4 分)
(ii)对于密度矩阵 ρ = x * φ + φ + + (1 − x ) ψ + ψ + , 0 ≤ x ≤ 1,其中
1 0 0 − i 0 1 σ1 = 为 Pauli 矩阵。 , σ 3 = , σ 2 = 0 - 1 i 0 1 0
(i) 求出 ρ(n ) ,Tr( ρ(n )), ρ(n ) ,Tr( ρ(n ) )；(7 分)
2 2
( 100
+ 011
S0,S1,S2。若该量子
0 1 2
态经过噪声信道后变为 的本征值。(8 分)
GHZ
2
)，给出前述 Stablizer S ,S ,S 变化了
7. (15 分)对于 9 位量子 Shor 码，已知其逻辑比特的编码为
(i) 写下其全部 Stablizers g1,g2,…g8；(5 分) (ii) 给出 9 位量子 Shor 码的编码过程量子线路图；(5 分) (iii) 对应于第 7 个量子比特上的一个 Z 类型的错误，分析给出错误检测过程，以 及错误纠正过程。(5 分)
+
(ii)
已知量子态 ψ = e cos θ ，求出其密度矩阵 ρ ，并给出其对应的 sin θ
iφ
n := (n 1 ,n 2 ,n 3 )。Pauli 矩阵的性质有 Tr(σ iσ j ) = 2δ ij ,i ,j = 0, 1, 2, 3 。(9
分)
2. （8 分）已知 4 维密度矩阵 ρ = (I 2 ⊗ I 2 +
( 00
+ 11
)。
推导写出 Teleportation 的原理和具体物理过程。
1
5. (10 分) 写出量子密钥分发协议 BB84 协议的通信过程。给出 Error Correction,
Privacy Amplification 分 别 与 纠 缠 可 提 纯 协 议 (EDP: Entanglement Distillation Protocol)的哪些过程具有对应关系。
2
( 01
± 10 , φ ± =
)
1 2
( 00
± 11 的量
)
2
6. (13 分)（i）写出量子态 ψ −
EPR
=
1 2
( 01
− 10
)所对应的两个独立的
Stablizer
S0,S1。也即作用到该量子态后仍然保持量子态不变的两个线性算子，并且可以唯一 完全确定该量子态。(5 分) （ii）对于
ψ
GHZ
=
1 2
( 010
ψ'
− 101
= 1
)，写出其相应的 Stablizers
8. (16 分) (i) 写出 CNOT(Controlled-X)门的矩阵表示形式以及在量子态
00 , 01 , 10 , 11 上的作用方式；(5 分)
(ii) 利用 CNOT 门来构造一个 SWAP 门，也即完成交换 1,2 量子比特的任务；(5 分) (iii) 设计量子线路使得能够做完全的 Bell 态测量，也即通过在 0 , 1 基矢下做投 影测量就可以完全区分 4 个 Bell 态 ψ ± = 1 子线路实现。(6 分)
2012~2013《量子信息物理学》冬季学期期末考卷 (任课老师：陈凯) 姓名: 学号: 所在系所:
1. (16 分)考虑 Hilbert 空间上的一个密度矩阵
ρ(n ) :=
其中 n
1 2
I +
i =1
∑nσ
i
3
i
Hale Waihona Puke Baidu
2 2 := (n 1 ,n 2 ,n 3 )是一个实的单位矢量，满足 n12 + n 2 + n3 = 1 。这里
φ + = ( 00 + 11 / 2 ), ψ + = ( 01 + 10 / 2 ) 。写出其矩阵表示，并利用 PPT 纠缠判
据来判定 x=0.3 时，该量子态是否仍然纠缠。(8 分)
4. (10 分)量子隐形传态 (Quantum Teleportation)可以利用纠缠资源把一个未知
量子态的信息传输到另一个地方。若初始的量子态分别为
求出 ρ
2
2 并简化，以及 Tr( ρ )的值。(8 分)
i =1
∑t σ
i
3
i
⊗ σ i ) / 4 ，t 为实数，
3. (12 分)（i）给出两体纯态量子态为可分离态的充分必要条件。(4 分)
(ii)对于密度矩阵 ρ = x * φ + φ + + (1 − x ) ψ + ψ + , 0 ≤ x ≤ 1,其中
1 0 0 − i 0 1 σ1 = 为 Pauli 矩阵。 , σ 3 = , σ 2 = 0 - 1 i 0 1 0
(i) 求出 ρ(n ) ,Tr( ρ(n )), ρ(n ) ,Tr( ρ(n ) )；(7 分)
2 2
( 100
+ 011
S0,S1,S2。若该量子
0 1 2
态经过噪声信道后变为 的本征值。(8 分)
GHZ
2
)，给出前述 Stablizer S ,S ,S 变化了
7. (15 分)对于 9 位量子 Shor 码，已知其逻辑比特的编码为
(i) 写下其全部 Stablizers g1,g2,…g8；(5 分) (ii) 给出 9 位量子 Shor 码的编码过程量子线路图；(5 分) (iii) 对应于第 7 个量子比特上的一个 Z 类型的错误，分析给出错误检测过程，以 及错误纠正过程。(5 分)
+
(ii)
已知量子态 ψ = e cos θ ，求出其密度矩阵 ρ ，并给出其对应的 sin θ
iφ
n := (n 1 ,n 2 ,n 3 )。Pauli 矩阵的性质有 Tr(σ iσ j ) = 2δ ij ,i ,j = 0, 1, 2, 3 。(9
分)
2. （8 分）已知 4 维密度矩阵 ρ = (I 2 ⊗ I 2 +