简单的线性规划问题第2课时

简单的线性规划问题（2）
y
o
x
一、复习概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条 件。
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最
多，为252万元。
例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料
x 2y 400 2x y 500
500
Y
可得M（200，100）
Z 的最大值Z ＝
3x＋2y＝800
故生产甲产品200件， 乙产品100件，收入 最大，为80万元。
200 O
整理课件
M 250 400 X
9
四、作业
习题3.3 B组：2、3
整理课件
10
各多少车皮，能够产生最大的利润？
解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
4 x ＋ y 10
18x ＋ 15y 66
x
0
y 0
x
o
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产 生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：
把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为 －2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做
这个问题的最优解。
二、例题分析
例1、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。 对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格 （以班级为单位）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
学段 初中 高中
硬件建设
班级学生数 配备教师数 万元
设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收 入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是
x ＋ 2 y 400
2 x ＋ y 500
x
0
y 0
整理课件
8
Z＝ 3x＋2y
它表示斜率为
变3 形的为直线y系，Z与23 这x条2z直线的截距有关。
2
当直线经过点M时，截距最大，Z最大。
解方程组
而由于资金限制，26x＋54y＋2×y2x＋2×3y≤1200
另外，开设的班级不能为负，则x≥0，y≥0。
把上面四个不等式合在一起， 得到
20 x ＋ y 30 30
x ＋ 2y 4 0
x
0
20
y 0
o
20
30
40 x
设收取的学费总额为Z万元，则目标函数
Z＝0.16×45x＋0.27×40y＝7.2x＋10.8y。
45
2
26／班
40
3
54／班
教师年薪 万元
2／人 2／人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若 根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元， 高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高 中班多少个？每年收费的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以 20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
Z＝7.2x＋10.8y变形为 y 2 x 5z
它表示斜率为
2
3 54
的直线系，Z与这条直线的截距有关。
3
y
由图可以看出，当直 30
线Z＝7.2x＋10.8y经过
可行域上的点M时，截
距最大，即Z最大。
20
M
易求得M（20，10），则
Zmax＝ 7.2x＋10.8y ＝252 o
20
30
40 x
由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。
y
容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmin＝3
故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。
M x
o
三、练习题
某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分 别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种 设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为 1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h 和500h。如何安排生产可使收入最大？