线性时变周期系统的能控性分析
线性系统的能控性判据分析
线性系统的能控性判据分析摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。
本文主要讨论线性系统的能控性判据。
其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。
一：问题的提出设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。
因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。
能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。
现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。
1. 能控性定义 能控性的直观讨论从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。
能控性主要看其状态是否可由输入影响。
每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。
具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。
二：问题的解决我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。
设线性定常系统状态方程为：能控性判据：1.格拉姆矩阵判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆（Gram ）矩阵其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。
2.秩判据线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是3.PBH 秩判据.,,,,)1(0,)0(,0常阵为维输入向量为维状态向量为p n n n B A p u n t x x Bu A ⨯⨯≥=+=x x x01>t 为非奇异⎰--=tt A T At c dte BB e t W T],0[.][,][11阵称为系统的能控性判别的维数为矩阵其中B A AB B Q A n nB A AB B rank n c n --==线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A 的所有特征值4. PBH 特征向量判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A 不能有与B 的所有列相正交的非零左特征向量。
能控性的定义1连续系统的能控性（Controllability）定义
能控性的定义1.连续系统的能控性(Controllability)定义：对于线性（定常、时变）连续系（常）系统，若对状态空间中的任意状态和另一状态存在一个有限的时间)(0t x，存在一个有限的时间和一个分段连续输入，能在)(1t x),(1tt)(tu),(1tt 内使状态转移到，则称此状态是能控的否则称为不能控的)(1t x能控的，否则称为不能控的PnP 0若系统所有状态都是能控的，则称此系态完全能控的简称系系统是状态完全能控的，简称系统是能控的能控的。
2离散系统的能控性2.离散系统的能控性在有限采样间隔[0T]内若存在无约在有限采样间隔[0，nT]内，若存在无约束的阶梯控制序列，能)1(,),0( n u u 使系统从任意初态转移到任意终则称该系统是状态完全能控的)0(x 态，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。
)(n x不失一般性，可以把终端状态规定为状态空间不失般性，可以把终端状态规定为状态空间中的原点。
也可以把初始状态规定为状态空间常中的原点，第二种情况通常称为系统的能达性。
对于线性定常（连续离散）系统能对于线性定常（连续、离散）系统，能控性和能达性是等价的能控性判别准则线性定常（连续离散）系统{A B}状线性定常（连续、离散）系统{A，B}状态完全能控的充分必要条件是，由A，B构成的满秩。
即21n c rankS rank B AB A B A B n -⎡⎤== ⎣⎦⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡-0221 ux x ⎥⎥⎦⎢⎢⎣+⎥⎥⎦⎢⎢⎣--=10331020⎤⎡-820B A 解:[]⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣-==11310002AB B Sc 23c rankS n =<=所以，系统不（完全）能控。
所，系不（）能控⎤⎡⎤⎡0010 u x x ⎥⎥⎥⎢⎢⎢+⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢---=106116100解⎦⎣⎣⎤⎡100解:⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣--=2561610cS ==nrankS c 3所以系统状态完全能控所以，系统状态完全能控。
4.4线性时变系统的能控性和能观性
n
M
N
n1
(t1
)
N0(t) C(t)
N k 1 (t )
Nk
(t ) A(t )
d dt
Nk
(t)
(k 0,1,2,L ,n 1)
第四章 线性系统的能控性与能观性
例 4.4.2.（2）已知线性时变连续系统为
x1 t 1 0 x1
x2
0
2t
0
x2
Td [0, 2], t0 0.5, t f 2
解：首先计算 0
M0 (t ) B(t ) 1
1
1
M1(t)
A(t )M0 (t )
d dt
M0 (t )
2t
t t 2
3t
M2 (t )
A(t )M1(t )
d dt
M1(t)
4t 2 2
(t 2 t )2 2t 1
进而，可以找到 t1 1，[0使,3有]
第四章 线性系统的能控性与能观性
t
t 2
第四章 线性系统的能控性与能观性
2t 0 2t
M
2
(t
)
A(t)M1(t)
d dt
M 1 (t )
t t
2 4
1
2t
t
2
1
t4 2t
M0(t) M1(t) M2(t) 秩为3，所以系统是完全能控
第四章 线性系统的能控性与能观性
推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)在时间区间
N1 ( t )
t 2 1 4t 2 3t 2 (t 2 t )2 (2t 1)
N0 (t1 )
1 1 1
于是
rank
(k 1, 2,L , n 1)
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
系统的能控性能观测性稳定性分析
系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。
如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。
对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。
控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。
如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。
能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。
当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。
2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。
一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。
对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。
观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。
如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。
能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。
当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。
3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。
对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。
零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。
有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。
无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。
线性系统能控性能控性与能观性
时变系统
能达性定义及判据 能观性定义及判据
①Gram 判据 ①Gram 矩阵非奇异
离散时间线性
能控性判据 ①Gram 判据②秩判据
rank H GH G n 1 H n
时不变系统
能达性判据 能观性判据 ①Gram 判据②秩判据 ①Gram 判据②秩判据
三、连续时间线性时不变系统的结构分解
* * 于物理构成，问题的提法；取输出反馈控制律 u Fy v ，对任意给定期望极点组 1 , * 2 , n ，确定
一个反馈矩阵 F ，使导出的输出反馈闭环系统
x A BFC x Bv y Cx
的所有特征值实现期望的配置，即有 i A BFC * i ， i 1,2, , n 。 输出反馈局限性： （1）对完全能控连续时间线性时不变受控系统，输出反馈一般不能任意配置系 统全部极点。 （2）对完全能控 n 维 SISO-LTIC 受控系统，输出反馈只能使闭环极点配置到根轨迹上。 扩大输出反馈配置功能的一个途径是采用动态输出反馈， 即在采用输出反馈同时附加引入补偿器。 可以证明，通过合理选取补偿器机构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意配置。 4.2 状态反馈镇定问题 4.2.1 所谓的镇定问题就是，对给定的线性时不变受控系统，确定状态反馈控制律 u Kx v ，使 导出的状态反馈闭环系统 x A BK x Bv 为渐进稳定，即闭环系统特征值均具有负实部。 镇定问题实质上属于极点区域配置问题，对于镇定问题，系统闭环极点的综合目标，并不要求配 置于任意指定期望位置，而只要求配置于复平面的左半开平面上。 4.2.2 可镇定条件
4.1.2 极点配置问题的算法 [极点配置定理] 对 n 维连续时间线性时不变系统，系统可通过状态反馈任意配置全部 n 个极点 即特征值的充分必要条件是 A, B完全能控。 [多输入状态反馈阵算法] 给定 n 维多输入连续时间时不变受控系统 A, B 和一组任意的期望闭
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。
当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。
这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。
并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。
还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。
能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。
状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。
系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。
可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。
下面来进行一般分析。
设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。
初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。
单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。
第三章线性控制系统的能控性和能观性
1
1
1
1 1
0
0
1
m
1
0 1
m m m1
0
0 0
0 0 0 n
(m-l)个1重根, l个m重根，其余为互异根。
13
b b1 b2 bn
T
为简明起见，下面举三个具有上述类型的二 阶系统，对能控性加以剖析。
1
在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重 要的概念，是卡尔曼 (Kalman) 在 1960 年首先提出 来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。
现代控制理论是建立在用状态空间描述的基 础上的。状态方程描述了输入 u(t) 引起状态 x(t) 的 变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的 输出y(t)的变化。 能控性和能观性正是分别分析 u(t) 对状态 x(t) 的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力。
3
§3-1 能控性的定义
能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控 制下，状态矢量 x(t) 的转移情况，与输出 y(t) 无关， 所以只需从系统的状态方程研究出发即可。
4
一、线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统
x Ax Bu
如果存在一个分段连续的输入 u(t) ，能在有 限时间区间[t0, tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)， 转移到指定的任一终端状态 x(tf)，则称此状态是 能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此 系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。
可以看出，系统中某一状态的能控和系统的 状态完全能控在含义上性定常系统中，为简便计，可以假定初始 时刻 t0=0 ，初始状态为 x(0) ，而任意终端状态就 指定为零状态，即 x(t f ) 0 2) 也可以假定 x(t0)=0，而 x(tf)为任意终端状态， 换句话说，若存在一个无约束控制作用 u(t) ，在 有限时间 [t0, tf]能将 x(t)由零状态驱动到任意 x(tf) 。 在这种情况下，称为状态的能达性。
线性系统能观性能控性判定
rank[ λi I − A ⋮ B ] = n ( i = 1, 2 , ⋯ , n ) 证明略） （证明略）
（10） ）
定理3 互异， 定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 λ i 互异， ）
( i = 1, 2 , ⋯ , n ) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
0 λ1 λ2 x + Bu （11） ） ɺ x= ⋱ 0 λn 中不包含元素全为零的行。 则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中不包含元素全为零的行。
y 电路如下图所示。 为输入量， 为输出量， 例3-3 电路如下图所示。选取 u (t ) 为输入量， (t )为输出量，两个电 感上的电流分别作为状态变量， 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为
- 2 1 1 ɺ x = Ax + Bu = x + u 1 - 2 0
y = Cx = [0 1]x
系统状态转移矩阵为
0 x (0) = 如果初始状态为 0
e At
1 e −t + e −3t = − t − 3t 2 e − e
e −t − e −3t −t − 3t e +e
系统状态方程的解为 1 t −(t − τ ) x(t ) = ∫ e u(τ ) d τ 0 1 可见， 可见，不论加入什么样的 输入信号， 输入信号，总是有 x1 = x2
对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与 既无直接关系， 对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系， 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C，还与A 有关。 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于 ，还与 有关。
3.2 能控性及其判据
线性系统理论第4章 线性系统的能控性和能观测性
满秩，即rankQ o=n
结论5
n 维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：
SI A rank n S C C
或
i I A 为系统特征值 rank n , 1 , 2 ,n C
Wc [0, t1 ] e At BBe A t dt
T
t1
0
为非奇异。
结论3：n 维连续时间线性时变系统 x A(t ) x B(t )u x(t 0 ) x0
设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义
t, t0 J
M 0 (t ) B (t ) d M 0 (t ) dt d M 2 (t ) A(t ) M 1 (t ) M 1 (t ) dt d M n 1 (t ) A(t ) M n 2 (t ) M n 2 (t ) dt M 1 (t ) A(t ) M 0 (t )
6/8,9/45
1 L QC [b, Ab] 0
R3 R4 1 R1 R2 2 L R1 R2 R3 R4 1 R2 R4 LC R1 R2 R3 R4
(完整word版)线性时变周期系统的能控性分析
线性时变周期系统的能控性分析摘要:本文讨论了线性时变系统研究现状及研究意义，介绍了线性时变周期系统的概念，并举出了几种应用实例。
从线性时不变系统能控性的两个充要条件入手，分别提出了两种类似线性时不变系统能控性的判定时变周期系统能控性的必要条件的假设并加以证明。
该判别条件的优点是不必计算系统的状态转移矩阵, 使判别时变周期系统能控性与能观性简单、高效、易于实现。
并对两个判定线性时变系统的能控性的必要条件的应用进行讨论。
关键词: 时变周期系统; 能控性; 状态转移矩阵;必要条件Problem on controllability and stabilizability of linear time-varying periodic systemAbstract: The present research situation and research significance of linear time-varying periodic system are discussed. The basic application instances are introduced. Two necessary conditions to judge the controllability of time-varying periodic systems are hypothesized from two necessary and sufficient conditions to judge the controllability of linear time invariant system. The determinant condition has such a merit of not calculating the system state transition matrix that it is simple and easy to judge the controllability and observability of time-varying periodic system. And application of the two necessary conditions to judge the controllability and observability of time-varying periodic systems are discussed.Keywords: time-varying periodic system; controllability; state transition matrix; necessary conditions1 引言线性时变系统也称为线性变系数系统，其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或差分方程中,至少包含一个参数为随时间变化的函数。
线性系统理论4能控性和能观性
如果存在某个时刻 t1 t0，使得rankQ O (t1 ) n
t0 为不能观测的。
定义 4.1.6 对于线性时变系统
x A(t)x
, x(t0 ) x0 , t0 , t J
y C(t)x
如果状态空间中所有状态都是时刻 t0(t0 J )
的能观测状态,则称系统在时刻 t0 是完全能
观测的。如果对于任何 t0 [T1,T2] 系统均是在
t0 时刻为能观测的，则称系统在 [T1,T2 ]
在 t0 , t1 上行线性独立，即对任意 n
维非零向量 z 都有
zT (t1 , )B( ) 0, t0 t1
4.2.3 基于系统参数矩阵的判据
定理 4.2.3 假设系统
x A(t)x B(t)u, t J
中的 A(t) 和 B(t) 的每个元分别是 n 2和
n 1 一次连续可微函数，记 B1(t) B(t)
那么它能控的充分必要条件是:
det b Ab An1b 0
4.3.3 PBH判据
定理4.3.2 定常线性系统
x Ax Bu, x(t0 ) x0 , t t0
能控的充分必要条件是，对每个 (A)
都有 rank A In B n 其中， ( A)
表示 A 的特征值集合。
推论 4.3.3 定常线性系统
2
dt
x0T T
(t1 , t0 )Wc1(t1 , t0 )(t1 , t0
)x0
4.2.2 基于状态转移矩阵的判据
定理 4.2.2 假设 A(t) 和 B(t) 都是 t
的连续函数矩阵，则系统
x A(t)x B(t)u, t J
在t0 时刻能控的充分必要条件是存在某
线性系统的能控性和能观性
例3.4 判断下列系统的能控性
(1)、A
2
0
0 1 1, B 0
(2)、A
2
0
0 1 1, B 1
(3)、A
1
0
01B
1 1
3 1 0 0 0
(4)、A
0
3 0, B 2 1
0 0 1 0 3
4 1 0 0
(5)、A
0
4
0 , B 1
0 0 4 2
所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块 对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控， 可算出rank[M]<3.
,t0)
tf t0
(
t
f
, )B()u()d
x(t0 )
tf t0
(
t
0
,
)B()u
()d
意义：系统状态x(t0)能控，即[t0,tf]区间上受 u(t)控制。
（三）能控性判据 [定理3.1]系统∑(A(t),B(t),C(t))在t0时刻或[t0,tf]
完全能控的充要条件是矩阵Φ(t0,t)*B(t)是行 线性无关的（满秩的、非奇异的）
例：x
1
0
-
-
02x 10u, y 1 1x
分析： 1、x1与输入u无关，不能 控，x2能控， x1, x2不完 全能控。 2、y= x1+ x2 , x1或x2 都能对y产生影响，通 过y能确定x1或x2 ，能 观测。
3、能控能观是最优制和 最优估计的设计基础。
3.1 线性连续系统的能控性
)d
x(t f ) (t f )x(0) 0t f (t f )B( )u( )d x(0) 0t f ( )Bu( )d
现代控制理论线性控制系统的能控与能观性
判断线性控制系统稳定性的方法有多 种，如劳斯判据、赫尔维茨判据等。
03
能控性与能观性概念
能控性概念
能控性是指对于一个线性控制系统，如果存在一个控 制输入，使得状态变量从任意初始状态能够被驱动到
任意目标状态，则称该系统是能控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩阵，如果该矩阵 非奇异，则系统是能控的，否则系统不能控。
线性控制系统是控制系统的一种重要 类型，其能控性和能观性是评价系统 性能的重要指标。
研究意义
能控性和能观性是现代控制理论中的基本概念，对线性控制系统的分析和设计具有重要意义。
研究线性控制系统的能控性和能观性有助于深入了解系统的动态行为，为优化控制策略和控制系统的 稳定性提供理论支持。
02
线性控制系统基础
04
线性控制系统的能控性分析
能控性的判断方法
矩阵判据
通过判断线性系统的状态矩阵是否满足能控性矩阵的 条件，从而判断系统的能控性。
传递函数判据
根据线性系统的传递函数，通过分析其极点和零点， 判断系统的能控性。
状态方程判据
通过分析线性系统的状态方程，判断其是否具有能控 性。
能控性的改善方法
增加控制输入
能观性分析
能观性分析在智能交通系统中同样重要，它 有助于确定交通系统的状态是否能被其传感 器完全监测。这涉及到对传感器精度、道路 条件以及传感器布局等因素的考虑。
07
结论与展望
研究结论
1
线性控制系统能控性与能观性是现代控制理论中 的重要概念，对于系统的分析和设计具有重要意 义。
2
通过研究线性控制系统的能控性和能观性，可以 深入了解系统的动态特性和行为，为控制系统设 计和优化提供理论支持。
线性系统的能控性和能观性
3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应 的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所 对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问 （1）仅用一个调节阀，应放在何处？ （2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S
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1
引
言
线性时变系统也称为线性变系数系统，其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或 差分方程中,至少包含一个参数为随时间变化的函数。在现实世界中，由于系统外部和内部的 原因，参数的变化是不可避免的，因此严格地说几乎所有系统都属于时变系统的范畴。相比 于线性时不变系统，时变系统的研究分析和综合方法比线性时不变系统要复杂的多。然而， 在物理和工程技术中, 存在许多具有一定规律性的问题。许多问题最终都能导致具有周期系 数的线性微分方程组，大量的工业过程和社会系统的数学模型可归结为周期时变线性系统。 例如弹性力系统的动力学稳定性、卫星姿态控制、直升飞机传动系统、 生态系统和经济系统 中周期环境的竞争平衡等。又如在机械故障诊断中, 齿轮等零件周期性旋转而产生的振动信 号的模型；由于人体规律性作息，一天内不同时刻对相同刺激产生不同脑电信号的模型等。 这类常见而又特殊的系统一般称为时变周期系统。若系统还是线性的 , 则称为线性时变周期 ( linear time-varying periodic, LTVP)系统。为了研究用非线性微分方程描述的周期运动 的特性, 不少实际方法都是围绕研究带有周期系数的线性微分方程组而进行探索。 系统的能控性和能观性是线性系统理论中最基本的概念，两者之间已有了熟知的对偶关 系。线性定常系统经过半个多世纪的发展,系统能控性、能测性和能稳定性等基本问题已经有 相当完善的结果, 但与时变系统的对应结论一直欠缺。时变系统是一类重要而又研究较少的
线性时变周期系统的能控性分析
摘要: 本文讨论了线性时变系统研究现状及研究意义，介绍了线性时变周期系统的概念，并举出了 几种应用实例。 从线性时不变系统能控性的两个充要条件入手， 分别提出了两种类似线性时不变系 统能控性的判定时变周期系统能控性的必要条件的假设并加以证明。 该判别条件的优点是不必计算 系统的状态转移矩阵, 使判别时变周期系统能控性与能观性简单、 高效、 易于实现。并对两个判 定线性时变系统的能控性的必要条件的应用进行讨论。 关键词: 时变周期系统; 能控性; 状态转移矩阵;必要条件 Problem on controllability and stabilizability of linear time-varying periodic system Abstract: The present research situation and research significance of linear time-varying periodic system are discussed. The basic application instances are introduced. Two necessary conditions to judge the controllability of time-varying periodic systems are hypothesized from two necessary and sufficient conditions to judge the controllability of linear time invariant system. The determinant condition has such a merit of not calculating the system state transition matrix that it is simple and easy to judge the controllability and observability of time-varying periodic system. And application of the two necessary conditions to judge the controllability and observability of time-varying periodic systems are discussed. Keywords: time-varying periodic system; controllability; state transition matrix; necessary conditions
+
������ ������ ������(������0 , ������1 )A(������1 ) d������1 A(������)d������ ������ 0 ������ 0
+
������ ������ A(������1 ) d������1 A(������)d������ ������ 0 ������ 0
3
线性时变周期系统能控性的两个必要条件的引出及证明
[3]
3.1 线性时变系统的状态方程、状态转移矩阵 线性时变系统的状态方程描述为：
A x t x B t u
t ,t0 A t t ,t0 ,
x t0 x 0
t t0 ,t
(I)
+
−
+· · ·
证明 由线性时变系统状态转移矩阵的性质（2） ，有
d t 0 ,t t0 ,t A t dt
对方程两端同时在������0 到������上求积分，可得 ������(������0 , t) = ������ −
������ ������ (������0 , t)A(������)d������· · · · · · · ① ������ 0
t
0
0
t, 0 t
用反证法证明，假设存在行向量������ ≠ 0，使得������[������I-A(t),B(t)] = 0， 即������������ =������A(t),������B(t) =0 ∀������ ∈ ������ , t ∈ [0, ������1 ]，������1 >0 成立，则有： ������ ������ ������ = = =
式中，K( )表示系统的刚度矩阵，具有周期性；D 表示系统的阻尼矩阵；M 表示系统的质量矩 阵；f 表示系统施加的主动力矩阵；di 表示对系统的干扰；u( )表示主动施加力；x( )表示 系统的状态变量；y( )表示测量系统的位移。 实例 2 卫星姿态控制问题[2] 1976 年，Sticher 提出了卫星姿态控制问题。利用位于卫星上传感器的三维磁力计测量地 球磁场的相互作用原理，卫星绕地球轨道运动的姿态稳定性常常通过磁转矩来实现。由于沿 飞机所在位置的轨道地球场磁力的相互作用产生了周期性，因此这类问题在数学领域的适当 模型为周期模型，即 ������( t ) = A( t ) ������( t ) + B( t ) u( t ) , ������ ( t ) = C( t )������( t ) 式中, A( t )、B( t )、C ( t ) 分别为连续的周期函数矩阵。 这些实例从不同侧面反映了周期系统的稳定性分析和控制问题的研究是非常重要的实际 研究课题之一。
t A t t ,
3.3 线性时不变系统能控性的两个等价条件
0 I
许多控制理论教材都介绍了如下线性时不变系统能控性的判别结论。 引理 1（PBH 判据） 连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件是，对矩阵 A 的 所有特征值λ i(i=1,2,……n)，有： rank[������������ I-A,B] = n (i=1,2,……n) 均成立。 [4] 引理 2 线性时不变系统������(t)=A������(t)+Bu(t)能控的充要条件是矩阵方程 A������ − ������A = 0 ������B = 0 只有零解
应用逐次逼近法，即将式①代入自身的������(������0 , t)中去， 第一次迭代后，得������ (������0 , t) = ������ − 反复迭代可得： ������ (������0 , t) = ������ −
������ A(������)d������ ������ 0 ������ A(������)d������ ������ 0
系统。 对时变系统来说, 由于系统矩阵中状态转移矩阵计算的复杂性， 在研究时变系统时， 纯 代数方法较少，到目前为止,没有关于利用特征多项式或矩阵代数方程判别系统能控性、 能 观性的判据。时变系统的能控性、能观性、能稳定性、镇定问题在理论上有一些基本结论， 但这些结果往往依赖于系统的状态转移矩阵，由于状态转移矩阵计算是十分困难和繁杂的 , 因而实际应用还并不现实。本文对周期时变系统进行讨论,从线性时不变系统能控性的两个充 要条件入手，提出了两种类似线性时不变系统能控性的判定时变周期系统能控性的必要条件。
3.4 线性时变周期系统能控性的的两个必要条件的引出及证明 先证明以下引理 3 结论。 引理 3[5] 对于时变系统（I） ，其状态转移矩阵为������(������, ������������ )，则 ������(������������ , ������) = ������ −
������ ������(������)d������ ������������ ������ ������ ������(������������ ) ������������������ ������(������)d������ ������������ ������������ ������ ������ ������������ ������(������������ ) ������������������ ������(������������ ) ������������������ ������(������)d������ ������������ ������������ ������������
2
时变周期系统的应用实例
这里列举几个线性时变周期系统的实例。 [1] 实例 1 直升飞机传动系统的振动衰减问题 直升飞机的传动系统由复杂的齿轮组成, 它的振动是典型的周期振动问题, 其振动衰减 研究是非常有意义的。振动的衰减可通过主动控制方法来解决,这一问题可由下述线性周期系 统模型来描述 D K(t) x1 x1 M 0 f = x2 + 0 u 0 K(t) x2 −K(t) 0 y= d 0 0 x1 + 1 u d2 0 I x2