二次根式的性质 公开课
二次根式的性质 公开课 PPT
复习提问
二次根式的概念
探究一:二次根式的双重非负性:
4 2.
1 9
1 3
.
0.0001 0.01 .
0 0.
二次根式的性质1：
a ≥0 (a≥0)——双重非负性
已 知 2 a |3 b 1 | 0 ,求 a、 b的 值 .
如果几个非负数（a2 、|a|、 a (a 0) ）的和为0， 那么每一个非负数都是0.
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
A
做一做
3、计算：
(1) (7)2 ( 7)2 (2) (1)12 (1)32
(3)(5)21 6(2)2 (4) ( 2)2 0.12 1
5
4
(5)( a)2 a2(a0) (6) (41)2 (41)2
72 7
(7) 3( 31) 3
2
解：（1）（3） 2=3； 22
（2）（3 5） 2=32（5） 2=95=45.
究三:利用算术平方根的意义填空:
2 2 _ 2_ _ ,
| 2 | _2_ _ ;
5 2 _5_ _ ,
| 5 | _5_ _ ;
0 2 _0_ _ ,
| 0 | _0_ _ .
请比较左右两边的式子,想一想:
a （1）
≥0 (a≥0)——双重非负性
2
（2） a a,(a0)
a ( a >0 )
（3） a 2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)02(33)2
10 (3)2( 3)2 10 27 17
2.若 (1x)2 x-1,则x的取值范围为 ( )
公开课课件二次根式
2 当x0且x1，1- x 有意义 4由题意可知： x-5 0 解得x5且x6
x6
当x 5且 6x时， x-+5x-6 0有意义
13
尝试与交流
22=4,（ 即4）2= 4
32=9,（ 即9）2= 9
同样地（，2）2= 2 （ 5）2= 5 你还能给出类似的例子吗？试试看 你有什么发现
当a0时(,a)2=a .
在实数范围内,负数没有平方根
11
例题讲解
例1 x为何值时, 下列各式在实数范围内有意义。
(1) 13x (2) 1x 3x (3) (x5)2
解: （1）由1-3x≥0得x≤
1
1
3
当x 3 时， 1-3x有意义
1+x 0
2 由题意可知：
解不等式组得到： -1x3
3-x 0
当 -x13时， 1+-x3-有 x 意义
斜边长为____a_2___2__5_0_0__米。
6
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S,
S 则半径为____________.
7
b-3
如图示的值表示正方形的面积, 则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
b3
表示一些正数的算术平方根.
一般地,式子a (a0) 叫做二次根式,
a称为是被开方数
3由于 x+520, 当x取一切实数 x+时 52有意义
12
挑战求自x为我何值时, 下列各式在实数范围内有意义。
3 1 2x-1
2
2
2 1-x
3 1-
x
4 x-5 + x-6 0
解：1由2x-1＞0得x＞12当x＞ 12
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
浙教版八年级数学下册第一章《 二次根式的性质(1)》公开课课件
一般地,二次根式有下面的性质:
性质二:
a ( a ≥0 ) a 2 | a | a ( a <0 )
1
12 ___1__,2
22 5
2
___5___,3
2
3
__3 ___,
4
1132_1__13 __,5
42 __4 __,6 22
3
___8_.
(7) 数 a 在数轴上的位置如图,则 a2 ___a__.
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/302021/7/30July 30, 2021
a
y
-2 -1 0 1
(8)如图, P 5, 2 是直角坐标系
2
P 5,2
中一点,求点P到原点的距离. 3
0
5
x
例1计算：
1 10 2
2
15 ;
2
2
7
25
9 ;
3
2
2
2
22
2.
例2 计算：
1
3 5
2 3
2
|
4 5
2 3
|;
2
2 7
3 2 5
4 5
3 7
2
.
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/302021/7/30Friday, July 30, 2021
二次根式的性质 公开课获奖教案
第2课时 二次根式的性质1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点) 2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点) 一、情境导入 a 2等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a 2的值，看看有什么规律．22＝4＝2；（－2）2＝4＝2； 32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；…你能概括一下a 2的值吗？二、合作探究探究点一：二次根式的性质【类型一】行计算化简： (1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2.解析：根据二次根式的性质进行计算即可．解：(1)(5)2＝5；(2)52＝5；(3)（－5）2＝5；(4)(－5)2＝5.方法总结：利用a 2＝|a |进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．【类型二】 在实数范围内分解因式．(1)a 2－13；(2)4a 2－5；(3)x 4－4x 2＋4. 解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式． 解：(1)a 2－13＝a 2－(13)2＝(a ＋13)(a －13)；(2)4a 2－5＝(2a )2－(5)2＝(2a ＋5)(2a－5)；(3)x 4－4x 2＋4＝(x 2－2)2＝[(x ＋2)(x－2)]2＝(x ＋2)2(x －2)2. 方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式． 探究点二：二次根式性质的综合应用【类型一】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：（a ＋1）2＋2（b －1）2－|a －b |.解析：根据数轴确定a 和b 的取值范围，进而确定a ＋1、b －1和a －b 的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．解：从数轴上a ，b 的位置关系可知－2＜a ＜－1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0.原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3.方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．【类型二】 二次根式的化简与三角形三边关系的综合已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简（a ＋b ＋c ）2－（b ＋c －a ）2＋（c －b －a ）2. 解析：根据三角形的三边关系得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．【类型三】利用分类讨论的思想对二次根式进行化简已知x为实数时，化简x2－2x＋1＋x2.解析：根据a2＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答．解：x2－2x＋1＋x2＝（x－1）2＋x2＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；当0＜x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x＋x＝1；当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子a2＝|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．【类型四】二次根式的规律探究性问题细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．(1)2＋1＝2，S1＝12，(2)2＋1＝3，S2＝22，(3)2＋1＝4，S3＝32.(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出S21＋S22＋S23＋…＋S210的值．解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n个三角形的一直角边长就是n，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得．解：(1)(n)2＋1＝n＋1，S n＝n2(n是正整数)；(2)∵OA1＝1，OA2＝2，OA3＝3，…∴OA10＝10；(3)S21＋S22＋S23＋…＋S210＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫322＋…＋⎝⎛⎭⎫1022＝14(1＋2＋3＋ (10)＝554.方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想．探究点三：代数式的定义及简单应用按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是____________．n→立方→＋n→÷n→－n→答案解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，根据程序所给的运算可得输出的代数式为n3＋nn－n.故答案为n3＋nn－n.方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．三、板书设计1．二次根式的性质1：(a)2＝a(a≥0)；2．二次根式的性质2：a2＝a(a≥0)．3．代数式的定义用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和生活．17．1勾股定理第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝12c2＋12(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即12b2＋12ab＝12c2＋12a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．三、板书设计1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．。
二次根式第一课时教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
二次根式第一课时教案教学目标：1.了解二次根式的概念和特点；2.掌握二次根式的运算规则；3.能够应用二次根式解决实际问题。
教学重点：1.理解二次根式的概念；2.掌握二次根式的运算规则。
教学难点：1.灵活运用二次根式的运算规则解决实际问题。
教学准备：教师：教材、黑板、粉笔、计算器学生：教材、笔记本、铅笔、直尺、三角板教学步骤：Step 1 热身导入（5分钟）教师可以通过出示一道与二次根式相关的问题引导学生思考，如：如果一个正方形的面积是16平方厘米，那么它的边长是多少？并提醒学生思考如何计算。
Step 2 引入新知（10分钟）教师通过引导学生观察并分析计算正方形边长的方法，引出二次根式的概念。
然后，教师给出二次根式的定义：若a是一个正数且n是一个正整数，则a的n次方根，记作√a，其中根指数n为奇数，被开方数a大于等于零。
Step 3 二次根式的性质和运算规则（20分钟）3.1 二次根式的性质教师通过教材内容介绍二次根式的性质，包括：（1）若a≥0则√a ≥ 0；（2）若a≥0则√a²=a；（3）若a≥0则√a×√a=a；（4）若a≥0，b≥0，则√a±√b不能进行合并成一个根号；（5）若a≥0，b≥0，则√(a×b)=√a×√b。
3.2 二次根式的运算规则教师通过具体的计算例子介绍二次根式的运算规则，包括：（1）同类项的加减运算：根指数、底数相同的二次根式可以进行加减运算，但不能合并成一个根号；（2）乘法运算：根指数相同的二次根式可以进行乘法运算，结果的根指数不变，底数相乘；（3）除法运算：根指数相同的二次根式可以进行除法运算，结果的根指数不变，底数相除；（4）化简运算：对二次根式进行化简，尽量把二次根式的底数写成素数的乘积。
Step 4 练习与讲评（15分钟）教师布置一些二次根式的练习题，要求学生独立完成，并在规定时间内交卷。
然后教师对练习题进行讲评，解释正确答案的求解思路和方法，并指出容易出错的地方。
人教版八年级数学下册第十六章《 二次根式的概念》公开课课件
第1课时 二次根式的概念
知识管理
知识管理
1．二次根式 定 义：一般地，我们把形如____a___(a≥0)的式子叫做二次
根式，符号“ ”称为__二___次__根__号____．
注 意：二次根式应满足以下两个条件：
(1)形式上必须是“ a”的形式；
(2)被开方数a必须是__非__负____数．
2022/5/42022/5/4 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/42022/5/42022/5/45/4/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
数学
人教版八年级下册
【点悟】 (1)二次根式的被开方数大于或等于零；(2)如果含有 分式时，分式的分母不能等于零；(3)如果含有零指数幂，负整数 指数幂时，它们的底数不能等于零．
类型之三 二次根式在实际生活中的应用 如图16－1－1所示的Rt△ABC中，∠B＝90°，点P从
点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点 B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的 面积为35平方厘米？
(2) －（x－3）2；
(4)y＝
x＋2 3x .
【解析】 利用二次根式有意义的条件，可把每一个问题转化 为解相应的不等式或不等式组．
解：(1)由题意，得 5－2x≥0，解得 x≤52，
所以当 x≤52时， 5－2x有意义； (2)由题意，得－(x－3)2≥0，即(x－3)2≤0，解得 x＝3， 所以当 x＝3 时， －（x－3）2有意义； (3)由题意，得8x－＋x8≥≥00，，解得－8≤x≤8， 所以当－8≤x≤8 时， x＋8＋ 8－x有意义； (4)由题意，得3x＋ x≠20≥，0，解得 x≥－2 且 x≠0， 所以当 x≥－2 且 x≠0 时，y＝ x3＋x 2有意义．
二次根式的性质课件
求解$sqrt{2x + 1} + sqrt{x - 2} leq 5$。同样先确定定 义域，再利用二次根式的性质和不等式的解法进行求解。
实践操作
给出一些具体的一元二次不等式问题，让学生尝试利用二 次根式的性质进行求解，并引导学生总结求解过程中的注 意事项和技巧。
05
二次根式在函数图像和性质中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
• 二次根式的定义：$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个二次根式 ，其中$a$是被开方数，$\sqrt{}$是根号。
关键知识点总结回顾
二次根式的性质 $sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）
$(sqrt{a})^2 = a$（$a geq 0$）
04
解
$sqrt{12} + sqrt{27} = sqrt{4 times 3} + sqrt{9 times 3} = 2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$。
06
解
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = [(sqrt{3} + 1) + (sqrt{3} - 1)][(sqrt{3} + 1) - (sqrt{3} - 1)] = (2sqrt{3})(2) = 4sqrt{3}$。
二次函数图像和性质回顾
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
数学八年级下册二次根式的性质PPT公开课
新知小结
计算 a 2 一般有两个步骤：①去掉根号及被开方数
的指数，写成绝对值的形式，即 a 2 ＝|a|；②去掉绝对
值符号，根据绝对值的意义进行化简，即|a|＝
a
a
a
0 a＜
0
,
.
巩固新知
1 说出下列各式的值：
(1) 0 . 3 2 ；
(2)
1 7
2
；
(3) π 2 ； (4) 1 0 2 .
＝3－4＋6× ＋1 1 计算：(1)( )2; (2)( 3 )2.
3 化简|a－3|＋(
)2的结果为( )
1 说出下列各式的值：
＝3－4＋4＋1 C．a>
D．a≥
1 计算：(1)( )2; (2)( 3 )2.
1 计算：(1)( )2; (2)( 3 )2.
＝4 可以得到
(x≥－2)
=2，
，
B．5a＋8＝7
新知小结
( a )2=a(a≥0)这一性质也可以反过来用，即a =
(
a
)2(a≥0)，如3=(
3
)2，3 5
=
3 5
2
等．
巩固新知
1 计算：(1)( 3 )2; (2)( 3 2 )2.
解：(1)( 3 )2=3; (2)( 3 2 )2=32×( 2 )2=9×2=18.
2 下列计算正确的是( A )
解：(1) 0.320.3；(2) 1 721 721 7;
(3) π2 π2 π;
(4) 102
1 2 10
1 10
.
2 【 中考·广州】下列运算正确的是( D )
A. 3a＋b ＝ a＋b
6
二次根式的性质教案市公开课一等奖省优质课获奖课件
4.化简： (x 3)2 -（ 2 x ）2．
分析：本题是化简，说明题中每一个二次根式均在有意义 范围内，本题有一个隐条件，即2-x≥0,x≤2.
解 2 x 0, x 2,原式 3 x 2 x 1
5.设等式 a(x a) a( y a) x a a y
在实数范围内成立，其中a, x, y 是两两不等实数，求
我们才能灵活地去处理相关二次根式问题。
2.处理二次根式类问题时尤其注意条件，有时 还得挖掘隐条件。
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巩固提升：
1.分别求以下二次根式中字母取值范围
（1）( 3 2x )2 （2） (1 x)2 （3） x 3
(1).3 2x 0 x 3 2
x2
(2).x为全体实数
探索发觉一：
(1).( 3)2 _3____ . (2).( 0.6)2 _0_._6_
(
3 )2 8
3 __8___ .
( 17.9)2 _1_7_.9__ .
于是我们得到,二次根式有下面性质:
2
a aa 0
探索发觉二：
22 _2__,
52 _5__,
02 _0__,
| 2 | _2__; | 5 | _5__; | 0 | _0__ .
(5)(5) (1 2)2 ( 2 1)2
解原式 2 1 2 1 2 2
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共同探索： 1．计算： (1 2)2 + ( 2 3)2 +
( 3 4)2 +…+
( 2010 2011)2
解原式 2 1 3 2 4 3 ... 2011 2010 2011 1
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八年级下册数学二次根式的性质PPT公开课
精彩一题
16. 先阅读，然后回答问题： 化简： x2－6x＋9＋ x2＋4x＋4. 由于题中没有给出 x 的取值范围，因此要分类讨论. x2－6x＋9＋ x2＋4x＋4 ＝ （x－3）2＋ （x＋2）2 ＝|x－3|＋|x＋2|.
精彩一题 令 x－3＝0，x＋2＝0，分别求出 x＝3，x＝－2(称 3，－2 分 别为 （x－3）2， （x＋2）2的零点值)，然后在数轴上标出 表示 3 和－2 的点，如图所示，数轴被分成三段，即 x<－2， －2≤x<3，x≥3.
(第16题)
精彩一题 当 x<－2 时，原式＝－(x－3)－(x＋2)＝－x＋3－x－2＝ －2x＋1； 当－2≤x<3 时，原式＝－(x－3)＋(x＋2)＝－x＋3＋x＋2＝5； 当 x≥3 时，原式＝(x－3)＋(x＋2)＝x－3＋x＋2＝2x－1. (1)分别求出 （x＋1）2和 （x－2）2的零点值；
解：空白部分的面积为ab－a－b＋1
课堂导练
6. (2019·凉山州)下列各式正确的是( B )
A. 2a2＋3a2＝5a4
B. a2·a＝a3
C. (a2)3＝a5
D. a2＝a
课堂导练
解提：示当 ：7a点＝.击3(，2b0＝进22入时0习，·题攀枝花)实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简
解解：：当 当5aa.＝＝(33中，，bb＝＝考22时时·，，无锡)下列等式正确的是( A )
解：当a＝3，b＝2时，
提示：点击 进入习题
A. 3 2＝3 解第：2课当时a＝二3，次b根＝式2时的，性质
解：空白部分的面积为ab－a－b＋1
B. －32＝－3
提示：点击 进入习题
C. 3 ＝3 解：空白部分的面积为3ab－a－b＋1
中小幼16.1.2二次根式的性质公开课教案教学设计课件【一等奖】
km/h，逆水行驶的速度是(v 2.5k) m/h．
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 x
所S ,
15
以它的长为 5 S . 15
探究新知 归纳总结
列代数式的要点： ①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间 的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、 分、倒数、相反数等； ②理清语句层次明确运算顺序； ③牢记一些概念和公式．
解（：1）4x2 5 (2x 5)(2x 5)
（2）m4 6m2 9 (m2 3)2 (m 3)2 (m 3)2
总结：本题逆用了 ( a)2 aa≥0在实数范围内分解因式.
巩固练习8.下ຫໍສະໝຸດ 式子是代数式的有 ( C ) ①a2+b2 ; ② ab ; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）;
2
(3) 2 3 12
(5) x
2
xy x3y
(2) ( 3)2 3 (4) 3( 2 )2 -2
3 (6) ( 5 2)( 5 2) 3
二 二次根式的性质2
问题2 化简：（1） 16 ;
（2） (5)2 ;
(1) 16 42 4
(2) （-5）2 52 5
通过计算你发现什么？
则 a2 4ab 4b2 a b
=|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b．
a0
课堂检测
拓广探索题
已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
a b c2 b c a2 c b a2 .
分析： 利用三角形
三边关系
三边长均为正数，a+b+c＞0
两边之和大于第三边，b+c-a ＞0，c-b-a＜0
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2.若 (1 x)2 x -1,则x的取值范围为 ( )
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
A
做一做
3、计算：
(1) (7)2 ( 7)2 (2) ( 11)2 (13)2
(3) ( 5)2 16 (2)2 (4) ( 2 )2 0.12 1
5
4
(5) ( a)2 a2 (a 0) (6) ( 4 1 )2 ( 4 1)2
( 4)2 4 ( 0.01)2 0.01
1 ( 1 )2 3
3
( 0)2 0
二次根式性质2：
2 a a (a≥0)
口答：
(1)( 1 )2 3
1 3
.
(2)(3 7 )2 63 .
计算：（1）（ 3）2；（2）（3 5）2. 2
解：（1）（ 3）2 = 3； 22
（2）（3 5）2 =32 （ 5）2 =95=45.
___5___,3
2
3 _____,
4 4
11 3
2
11 __3___,
5
42 ____,6
22
3 ___8_.
性质再探究
问题3 回顾我们学过的式子，如 5，a，a+2b， ab，s ， x3， 3， a（a≥0），这些式子有哪些共同
t 特征？
（1）含有表示数的字母； （2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．
16.1.2二次根式的性质
复习提问
二次根式的概念
4 2 .
1 9
1 3
.
二次根式的性质1：
0.0001 0.01 .
0 0.
a ≥0 (a≥0)——双重非负性
已知 2 a | 3b 1| 0,求a 、b 的值.
如果几个非负数（a2 、|a|、 a (a 0) ）的和为0， 那么每一个非负数都是0.
( a)2与 a2有区别吗?
1:从运算顺序来看, 2.从取值范围来看,
a 2先开方,后平方
a 2 a≥0
a2 先平方,后开方 a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣=
-a (a＜0)
做一做
2
1 3 1
12 _____,2
2 2 5
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得 到的式子叫代数式．
小结
二次根式的性质及它们的应用:
（1） a ≥0 (a≥0)——双重非负性
2
（2） a a, (a 0)
a ( a >0 )
（3） a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
Байду номын сангаас
计算： ( 10 )2 (3 3)2
解： ( 10 )2 (3 3)2 10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
22 _2__,
52 _5__,
| 2 | _2__; | 5 | _5__;
02 _0__,
| 0 | _0__ .
请比较左右两边的式子,想一想:
1、a2 与 | a有| 什么关系?
2、
当 时a , 0
a2 __a__;
当a 时0 ,
a2 __a__.
二次根式的性质三
0
2
2
3
3
a2 |a|
72
7
(7) 3( 3 1) 3