§5.函数的凹凸性与拐点解读

§5. 函数的凹凸性与拐点

教学内容：函数的凹凸性与拐点的定义以及判断。

教学目的：清楚函数凸性与拐点的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸

性证明某些有关的命题。

教学重点：利用导数研究函数的凸性。 教学难点：利用凸性证明相关命题。 教学方法：讲授与练习。 教学学时：2学时。

引言：

前面我们已经讨论了函数的单调性与极值及最值，这对函数性态的了解是有很大作用的。为了更深入和较精确地掌握函数的性态，本节再讲述一下有关函数凸性与拐点的概念及判断与求解方法。

一、函数凹、凸性的定义：

在讨论函数图象时，我们经常会遇到具有以下两种特性的函数： y y

B A

B A

o 1x x 2x x o 1x x 2x x 凸函数 凹函数

特点⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪

⎨⎧---+≥∈∀⎪⎩⎪⎨⎧---+≤∈∀)

()()()()(),()()()()()(),(1

121212*********x x x x x f x f x f x f x x x AB AB x x x x x f x f x f x f x x x AB AB ，总有的上方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凹函数，总有的下方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧

凸函数 ， 而)1,0(,)1(10),(211

2221∈-+=⇔<--=

<⇔∈∀λλλλx x x x x x

x x x x

便于我们研究应用，对凸函数与凹函数作如下定义：

定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有：

（1）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数； （2）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数。 以上不等式严格成立时，则分别称为严格凸函数与严格凹函数。

二、函数凹、凸性的性质及判定：

由定义易见，如果函数f 为区间I 上的凸函数，那么函数f -就为区间I 上的凹函数，也就是说，凹函数的性质及判定可通过凸函数的性质及判定完成，所以以下我们只需讨论凸函数的性质及判定即可。

1．引理 f 为区间I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<，总有：32212132

()()

()()f x f x f x f x x x x x --≤

--。 证明：[必要性]f 为区间I 上的凸函数，

∴对I x x ∈∀31,及)1,0(∈∀λ，总有())()1()()1(3131x f x f x x f λλλλ-+≤-+，

而123x x x <<，所以101

32

3<--<

x x x x ，所以

)()(3131

2113233131211323x f x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f --+--≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--， )()()(31

31

2113232x f x x x x x f x x x x x f --+--≤

，

)()()()()()(312123213x f x x x f x x x f x x -+-≤-

)()()()()()()()(312123212223x f x x x f x x x f x x x f x x -+-≤-+-，

故得

32212132

()()

()()f x f x f x f x x x x x --≤

--. [充分性] 对I x x ∈∀31,及)1,0(∈∀λ，令312)1(x x x λλ-+=，则321x x x <<， 于是，

()()313313131131)1()1()()1()()1(x x x x x f x f x x x x f x x f λλλλλλλλ----+-≤--+--+， ()())

()1()())(1()()1(1331313131x x x x f x f x x x f x x f --+-≤----+λλλλλλ， ()()313131)1()1()()1()()1(x x f x f x f x x f λλλλλλλλ-+---≤--+，

())()1()()1(3131x f x f x x f λλλλ-+≤-+.

故f 为区间I 上的凸函数。

此定理的几何意义：qr pq k k ≤. y

r

q p

o 1x 2x 3x x

从图象上可以看到：.qr pr pq k k k ≤≤

亦有：f 为区间I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<，总有：

.)

()()()()()(2

32313131212x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--

2．定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价：

（1）f 为I 上的凸函数； （2）f '为I 上的增函数；

（3）对I 上的任意两点12,x x 总有：21121()()()()f x f x f x x x '≥+-。

证明：（1）⇒（2）：任取I x x x ∈21,,，且21x x x <<，由引理知

.)

()()()(2211x

x x f x f x x x f x f --≤--

由于f 在区间I 上可导，所以在上式分别令-

+

→→21,x x x x ，由函数极限保不等式，

有：,)()()()(lim )()(lim )()(121222111'

1'

1

1

x x x f x f x x x f x f x x x f x f x f x f x x x x --=--≤--==++

→→+

).()()()(lim )()(lim )()(2'2'

2211121222x f x f x

x x f x f x x x f x f x x x f x f x x x x ==--≤--=---→→-- （2）⇒（3）：不妨设I x x ∈∀21,且21x x <，

对f 在[]21,x x 上应用拉格朗日中值定理和f '在I 上的递增性有，21x x <<∃ξ，

使得))(())(()()(121'

12'

12x x x f x x f x f x f -≥-=-ξ， 即有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-。

（3）⇒（1）：任取I x x x ∈321,,且321x x x <<，由条件易知：

⇒⎪⎪

⎭

⎪

⎪

⎬⎫

≥--⇒-+≥≤--⇒

-+≥)()()())(()()()()()())(()()(2'

2323232'232'1212212'21x f x x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x f x x x f x f x f

.)

()()()(2

3231212x x x f x f x x x f x f --≤--

由引理便知f 为I 上的凸函数。