§5.函数的凹凸性与拐点解读
导数的应用曲线的凹凸区间与拐点
导数的应用曲线的凹凸区间与拐点导数的应用：曲线的凹凸区间与拐点导数是微积分中一个重要的概念，可以描述曲线在某一点处的斜率或者变化率。
除了这些基本的应用外，导数还可以帮助我们分析曲线的凹凸性质和拐点的存在。
本文将介绍导数在曲线凹凸区间和拐点分析中的应用。
1. 凹凸性质的判断在分析曲线的凹凸性质时，我们可以通过导数的二阶导数来判断。
如果曲线上每一点处的二阶导数大于零，则该曲线在该区间上是凸的；如果二阶导数小于零，则该曲线在该区间上是凹的。
例如，考虑函数f(x)在区间[a, b]上连续可导，且f''(x) > 0，那么我们可以得出结论：f(x)在[a, b]范围内是凸的，也就是说曲线在该区间上凸起。
同样地，当f''(x) < 0时，我们可以断定f(x)在该区间上是凹的，也就是说曲线在该区间上凹陷。
通过这种凹凸性质的判断，我们可以更好地理解曲线的形状和特性。
2. 拐点的分析拐点是指曲线出现转折的点，也就是曲线的凹凸性发生变化的点。
通过导数的二阶导数，我们可以判断拐点的存在及其位置。
如果导数的二阶导数在某一点处发生变号，即从正数变为负数或者从负数变为正数，那么该点即为拐点。
例如，考虑函数f(x)在区间[a, b]上连续可导，且f''(x) < 0从正变负，那么我们可以得出结论：f(x)在[a, b]范围内存在一个拐点。
通过分析拐点的存在，我们可以进一步了解曲线的特性，并通过优化问题中的拐点来求取最值等。
综上所述，导数在曲线的凹凸区间和拐点分析中起着重要的作用。
通过导数的二阶导数，我们可以判断曲线的凹凸性质以及拐点的存在，在应用中可以更好地理解和运用这些知识。
希望本文对读者对导数的应用有所帮助。
4-5凹凸性与拐点
2012-12-6
例5. 求曲线 y = x + 36 x2 − 2x3 − x4 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求导
y′ = 1 + 72 x − 6 x 2 − 4 x 3 ,
y′′ = 72 − 12 x − 12 x 2 = −12( x + 3)( x − 2)
第四章§5 函数的凹凸性与拐点 14-5
2012-12-6
y
y = f (x )
A
B
y
y = f ( x)
B
A
o
a f ′( x ) 递增
x b y′′ > 0
o
a f ′( x ) 递减
b x y′′ < 0
定理2：设 f (x)在 [a , b]上连续，在(a , b)内具有一阶和二阶 导数，若在(a , b)内 （1） f "(x ) >0，则 f (x)在[a , b]上的图形是凹的； （2） f "(x ) < 0，则 f (x)在[a , b]上的图形是凸的。
则称f (x)的在I上图形是凸的（或称凸弧）。
λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
f [λ x1 + (1 − λ ) x2 ]
y
y
λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
f [λ x1 + (1 − λ ) x2 ]
o
x1
x2 x
o
x1
x2 x
14-4
第四章§5 函数的凹凸性与拐点
令 y′′ = 0 得
x1 = −1 ,
x2 = 2 − 3 ,
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
凹凸区间和拐点定义
凹凸区间和拐点定义在数学中，我们经常遇到各种曲线和函数，而其中的凹凸区间和拐点是我们研究这些曲线特性的重要内容之一。
凹凸区间和拐点的概念可以帮助我们更好地理解函数的变化规律和特点。
我们来了解一下凹凸区间的概念。
在数学中，凹凸区间是指函数在某个区间上的凹凸性质。
具体来说，如果函数在某个区间上的斜率逐渐变大（或逐渐变小），那么我们可以说该函数在这个区间上是凹的（或凸的）。
凹和凸是相对的概念，可以根据斜率的变化来判断。
例如，对于一个连续可导的函数f(x)，如果在某个区间上，它的导函数f'(x)递增，那么我们可以说函数f(x)在这个区间上是凹的；反之，如果导函数f'(x)递减，那么函数f(x)在这个区间上是凸的。
凹凸区间可以帮助我们更好地理解函数的曲线走势和特性，例如在凹的区间上函数的曲线向上弯曲，而在凸的区间上函数的曲线向下弯曲。
接下来，我们来讨论一下拐点的概念。
拐点是指函数图像上的一个点，该点处的曲线由凹变凸或由凸变凹。
换句话说，拐点是函数曲线由向上弯曲变为向下弯曲（或由向下弯曲变为向上弯曲）的点。
在拐点处，函数的凹凸性质发生了变化。
对于一个连续可导的函数f(x)，如果函数在某个点x0处的二阶导数f''(x0)存在且为零，那么这个点x0就是函数的一个拐点。
拐点的存在意味着函数的曲线在该点处发生了弯曲的变化，这个变化可以是从向上弯曲到向下弯曲，或者从向下弯曲到向上弯曲。
凹凸区间和拐点的概念在数学中有着广泛的应用。
它们可以帮助我们分析函数的性质和特点，进而解决一些实际问题。
例如，在经济学中，我们可以利用凹凸区间和拐点的概念来研究供求曲线和市场均衡点的变化规律；在物理学中，我们可以利用凹凸区间和拐点的概念来分析物体的运动轨迹和速度变化。
除了凹凸区间和拐点的概念，还有一些相关的定理和性质可以帮助我们更深入地理解和应用它们。
例如，凹凸区间的性质定理告诉我们，在一个凹（或凸）区间上的函数，它的导数（或二阶导数）始终大于等于（或小于等于）零。
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
o
y
x0
x
(2) 若 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 ,
x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 , o
x0
x
则 x0 为极小值点；
(3) 如果在上述两个区间内 f ( x) 同号,则x0 不是极值点.
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间 的分界点.
f ( x1 x2 )
凹（上2 凹、下凸）
o x1 x1 x2 x2
2
xo
f ( x1 x2 ) 2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
凸 （下凹、上凸）
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位于 所张弦的下方：凹
图形上任意弧段位于 所张弦的上方：凸
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) . f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 拐点
拐点
f (x)的凹区间为(, 0), ( 2 , +)
凸区间为 [0, 2] 3
3
拐点：(0,1)，(2 3 ,1127).
11
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
y
拐点 非拐点
12
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
高等数学第6章第5节函数的凹凸性个与拐点
§5.函数的凹凸性个与拐点引言上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的．为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系．什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性．如函数y 所表示的曲线是向上凸的，而2y x =所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的．或更准确地说：从几何上看，若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方．如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？在曲线上任取两点A 、B ，设其坐标分别为11(,())x f x 、22(,())x f x ，弦AB 在曲线上方⇔12(,)x x x ∀∈，有211121()()()()()f x f x f x f x x x x x -≤+--，可简化为(0,1)λ∀∈，12,x x I ∀∈都有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，从而有以下定义：一、 凸（凹）函数的定义及判定1 凸（凹）函数的定义定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数．反之，如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数．注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，因此，今后只讨论凸函数的性质即可．2、凸函数的判定1引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 注 同理可证：有上任意三点对上的凸函数为,321x x x I I f <<⇔232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤-- （4） 如果f 是I 上的可导函数，则进一步有：2 定理6.13（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-如果f 在I 上二阶可导，则进一步有：3定理6．14（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<），x I ∈． 二、 曲线的拐点定义及判定1 定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．注：拐点是严格凸与严格凹的分界点2定理6．15（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=．综上知：(00,()x f x )的拐点，则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导．3定理6．16 设f 在点0x 可导，在某邻域0()U x 内二阶可导，若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．；注：(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点，但y ＝f(x)在点0x的导数不一定存在，如y =在x ＝0的情形．三、应用举例（1）利用上述等价命题验证函数的凹凸性，确定凹凸区间．例1 讨论函数()arctan f x x =的凸（凹）性及拐点．（2）证明不等式例2：（Jensen 不等式）若f 为],[b a 上凸函数，则对任意),,2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ11=∑=n i i λ，有)()(11ini i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ 例3 证明均值不等式：,,,21+∈∀R a a a n 有na a a a a a a a a nn n n n +++≤≤+++ 212121111 作业：P153 1（2）（4），2，3，4，5。
凹凸区间和拐点定义
凹凸区间和拐点定义凹凸区间和拐点是数学中的重要概念，它们在曲线的分析和函数的性质研究中起着关键作用。
本文将从凹凸区间和拐点的定义和性质入手，探讨它们在数学中的应用和意义。
我们来了解一下凹凸区间的概念。
在数学中，给定一个函数f(x)，如果对于函数上的任意两个点a和b，函数上的点(x, f(x))位于点(a, f(a))和点(b, f(b))的连线的下方，则称函数f(x)在区间[a, b]上是凹函数；如果对于函数上的任意两个点a和b，函数上的点(x, f(x))位于点(a, f(a))和点(b, f(b))的连线的上方，则称函数f(x)在区间[a, b]上是凸函数。
凹凸函数的概念可以进一步推广到凹凸区间的定义。
一个区间[a, b]称为凹区间，如果在这个区间上的函数f(x)是凹函数；一个区间[a, b]称为凸区间，如果在这个区间上的函数f(x)是凸函数。
凹凸区间的研究可以帮助我们了解函数的变化趋势和性质，从而更好地理解函数的行为。
接下来，我们来讨论拐点的概念。
在数学中，给定一个函数f(x)，如果在函数的定义域上存在一个点c，使得函数在点c的左右两侧的凹凸性发生改变，则称点c为函数f(x)的拐点。
拐点的存在可以使得函数的形状发生突变，从而对函数的性质和行为产生重要影响。
拐点的研究在数学中有着广泛的应用。
首先，拐点可以帮助我们确定函数的局部极值点。
在拐点处，函数的斜率发生突变，从而可能导致函数的极值点的出现。
其次，拐点也可以帮助我们分析函数的增减性和凹凸性。
在拐点的左右两侧，函数的凹凸性可能不同，从而给函数的性质和变化趋势带来差异。
最后，拐点的研究还可以帮助我们解决实际问题。
例如，在经济学中，拐点可以帮助我们确定市场需求曲线的弹性，从而对市场的供需关系做出准确的判断。
凹凸区间和拐点在数学中起着重要的作用。
它们可以帮助我们理解函数的性质和行为，从而更好地解决问题和分析现象。
对于学习数学的人来说，掌握凹凸区间和拐点的概念和性质是至关重要的。
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性以及拐点是微积分中重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将详细探讨函数的凹凸性以及如何确定函数的拐点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，我们可以通过观察函数的二阶导数来确定函数是凹还是凸。
1. 凹函数：如果函数的二阶导数在定义域内恒小于等于零，则该函数被称为凹函数。
凹函数的图像呈现出一种向下的弯曲形状。
举例来说，考虑函数f(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数f''(x)是否小于等于零。
如果f''(x) <= 0对于所有x都成立，则函数f(x)是一个凹函数。
2. 凸函数：与凹函数相反，如果函数的二阶导数在定义域内恒大于等于零，则该函数被称为凸函数。
凸函数的图像呈现出一种向上的弯曲形状。
举例来说，考虑函数g(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数g''(x)是否大于等于零。
如果g''(x) >= 0对于所有x都成立，则函数g(x)是一个凸函数。
请注意，如果函数的二阶导数既不小于等于零也不大于等于零，那么该函数既不是凹函数也不是凸函数。
二、函数的拐点拐点是函数曲线上的一个特殊点，它代表了函数从凹转为凸或从凸转为凹的位置。
通过找到函数的拐点，我们可以进一步了解函数的曲线的形状。
1. 拐点的判定要确定函数的拐点，我们需要观察函数的二阶导数的变化情况。
首先，我们找到函数f(x)在定义域内的所有驻点，即一阶导数f'(x)等于零的点。
然后，我们计算这些驻点对应的二阶导数f''(x)的值。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由负转正，那么该点就是函数的拐点。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由正转负，那么该点也是函数的拐点。
需要注意的是，函数的拐点并不一定都存在。
微分学中函数的凹凸性与拐点
微分学中函数的凹凸性与拐点微分学是数学中一个重要的分支，通过研究函数的变化率和曲线的特征，可以帮助我们更好地理解数学和物理问题。
其中，函数的凹凸性和拐点是微分学中的两个重要概念，它们可以帮助我们分析函数的性质和图像的特点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性表示的是函数曲线的弯曲程度。
具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的凹凸性可通过二阶导数的正负性进行判断。
1. 凹函数与凸函数函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，当且仅当对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \ge tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更低。
而函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则是指对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更高。
2. 判定凹凸性的方法通过计算函数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。
若函数$f(x)$在区间$I$上连续并且两阶可导，且对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凹的；若对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)<0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凸的。
二、函数的拐点函数的拐点是指函数曲线由凸转为凹，或由凹转为凸的点。
具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的拐点可以通过二阶导数的变号来判断。
1. 判定拐点的方法通过计算函数的二阶导数的符号变化可以判断函数的拐点。
函数凹凸性和拐点
xxxxxxxxxxx
2
目录
CONTENTS
1
函数的凹凸际应用
3
在数学和优化理论中，函数的凹凸性和 拐点是描述函数形态和变化的重要概念
这些特性对于理解函数的性质，以及寻 找最优解有着至关重要的作用
PART 1
函数的凹凸性
01
在二维平面上，一个函数如果是上凸的(或称为"凹")，那么 它的图形看起来像一个倒置的U型，或者像一个山丘。相反，
PART 3
实际应用
函数的凹凸性和拐点在很多实际应用中都有重要地位。例如，在经济学中，函数的凹凸性可以用来 描述一种商品的需求和价格之间的关系。如果需求对价格是凹的(即需求随着价格的上升而下降得越 来越快)，那么我们可能会观察到价格和需求量之间有单向的关系。相反，如果需求对价格是凸的 (即需求随着价格的上升而下降的速度减慢)，那么价格和需求量之间可能存在一种"非线性"的关系
此外，函数的凹凸性和拐点在图 形和图像处理中也有着广泛的应 用。例如，在计算机视觉中，图 像的边缘检测和特征提取就涉及 到函数的凹凸性和拐点。通过利 用这些特性，我们可以更好地理 解和描述图像的内容
在机器学习中，函数的凹凸性和 拐点也被广泛使用。例如，在神 经网络训练中，损失函数(或目 标函数)的凹凸性可以帮助我们 理解模型的学习过程。如果损失 函数是凸的，那么我们可以利用 这个特性来优化模型参数。如果 损失函数是凹的，那么我们可能 需要采用更复杂的优化策略，如 梯度下降结合线搜索等
01.
拐点是函数凹凸性发生改变的点。具体来说，如果一个函数在某一点的导数由正变为负， 或者由负变为正，那么这个点就是该函数的拐点。在数学上，我们通常用二阶导数的符 号变化来判断拐点的存在
函数的凸性与拐点解读
函数的凸性与拐点解读第一篇：函数的凸性与拐点解读九江学院理学院《数学分析》教案§ 5 函数的凸性与拐点一．凸性的定义及判定：1．凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数f(x)在区间I上连续.若对∀x1,x2∈I 和λ∈(0,1)恒有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称曲线 y=f(x)在区间I的凸函数, 反之, 如果总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称曲线y=f(x)在区间I的凹函数.若在上式中, 当x1≠x2时, 有严格不等号成立, 则称曲线y=f(x)在区间[a,b]上是严格凸(或严格凹)的.引理 y=f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: x1<x2<x3 , 总有f(x2)-f(x1)f(x3)-f(x2)≤x2-x1x3-x2定理6.13 设函数f(x)在区间I 上可导, 则下面条件等价:(i)为I上凸函数(ii)为I上的增函数(iii)对I上的任意两点x1,x2 有f(x2)≥f(x1)+f'(x1)(x2-x1)2．利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 6.14 设函数f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数, 则在(a,b)内⑴ f''(x)<0, ⇒ f(x)在(a,b)内严格上凸;⑵ f''(x)>0, ⇒ f(x)在(a,b)内严格下凸.证法一(用Taylor公式)对∀x1,x2∈(a,b), 设x0=x1+x2, 把f(x)在点 2九江学院理学院《数学分析》教案x0展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有f(x1)=f(x0)+f'(x0)(x1-x0)+f''(ξ1)(x1-x0)2, 2f''(ξ2)(x2-x0)2.2f(x2)=f(x0)+f'(x0)(x2-x0)+其中ξ1 和ξ2在x1 与x2 之间.注意到x1-x0=-(x2-x0), 就有f(x1)+f(x2)=2f(x0)+1f''(ξ1)(x1-x0)2+f''(ξ2)(x2-x0)2, 2[]于是, 若有f''(x)<0, ⇒上式中[Λ]<0, ⇒ f(x1)+f(x2)<2f(x0), 即 f(x)严格上凸.若有f''(x)>0, ⇒上式中[Λ]>0, ⇒f(x1)+f(x2)>2f(x0), 即f(x)严格下凸.证法二(利用Lagrange中值定理.)若f''(x)>0, 则有f'(x)↗↗.不妨设 x1<x2, 并设 x0=x1+x2, 分别在区间[x1,x0]和[x0,x2]上应用2Lagrange中值定理, 有∃ξ1∈(x1,x0), ∍f(x0)-f(x1)=f'(ξ1)(x0-x1), ∃ξ2∈(x0,x2), ∍f(x2)-f(x0)=f'(ξ2)(x2-x0).有x1<ξ1<x0<ξ2<x2, ⇒f'(ξ1)<f'(ξ2), 又由x0-x1=x2-x0>0，⇒f'(ξ1)(x0-x1)⎛x1+x2⎫⎪，f(x)严格下凸.⎝2⎭九江学院理学院《数学分析》教案3．凸区间的分离: f''(x)的正、负值区间分别对应函数f(x)的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.例1 确定函数f(x)=xe-x的上凸、下凸区间和拐点.解f的定义域为(-∞, +∞)，f'(x)=e-x(1-2x2), f''(x)=2x(2x2-3)e-x.令f''(x)=0, 解得x1=-2223 , x2=0 , x3=23.2在区间(-∞ , -3333),(- , 0),(0 ,),(, +∞)内f''的符号依次为 222233⎛⎛333-2⎫32⎫⎪⎪- , + , - , +，⇒Λ.拐点为: -2 , -2e⎪ ,(0 , 0), 2 , 2e⎪.⎝⎭⎝⎭倘若注意到本题中的f(x)是奇函数, 可使解答更为简捷.Jensen不等式及其应用: Jensen不等式: 设函数f(x)为区间[a,b]上的凸函数, 则对任意 xi∈[a,b], λi>0,i=1,Λ,∑λi=1, 有Jensen 不等式: i=1nf(∑λixi)≤∑λif(xi)，i=1i=1nn且等号当且仅当x1=x2=Λ=xn 时成立.1n证令x0=∑xk, 把f(xk)表为点x0处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿nk=1前述定理的证明，注意∑(xk=1nk-x0)=0, 即得所证.九江学院理学院《数学分析》教案例2 证明: 对∀x,y∈R, 有不等式 ex+y2≤1x(e+ey).2例3 证明均值不等式: 对∀a1,a2,Λ,an∈R+, 有均值不等式a+a2+Λ+an≤na1a2Λan ≤1.111n++Λ+a1a2ann证先证不等式na1a2Λan ≤ a1+a2+Λ+an.n 取f(x)=lnx.f(x)在(0 , +∞)内严格上凸, 由Jensen不等式, 有1n1n⎛1n⎫⎛1n⎫lnn∏xk=∑lnxk=∑f(xk)≤f ∑xk⎪=ln ∑xk⎪.nk=1nk=1 k=1⎝nk=1⎭⎝nk=1⎭由f(x)↗↗ ⇒ na1a2Λan ≤ na1+a2+Λ+an.n对111，Λ,∈R+用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.a1a2an例4 证明: 对∀x1,x2,Λ,xn∈R, 有不等式22x1+x2+Λ+xnx12+x2+Λ+xn ≤.(平方根平均值)nn222例5 设x+y+z=6，证明x+y+z≥12.2解取f(x)=x, 应用Jensen不等式.例6 在⊿ABC中, 求证 sinA+sinB+sinC≤33.2解考虑函数f(x)=sinx, 0≤x≤π.f''=-sinx< 0 , 0<x π.⇒ sinx在区间(0 , π)内凹, 由Jensen不等式, 有九江学院理学院《数学分析》教案sinA+sinB+sinCf(A)+f(B)+f(C)π3⎛A+B+C⎫.∴=≤f ⎪=sin=33332⎝⎭⇒sinA+sinB+sinC≤33.2例7 已知a,b,c∈R+, a+b+c=1.求证 33a+7+33b+7+33c+7≤6.解考虑函数f(x)=3x, f(x)在(0 , +∞)内严格上凸.由Jensen不等式, 有3a+7+33b+7+33c+7f(3a+7)+f(3b+7)+f(3c+7)=≤≤f 3⎛3a+7+3b+7+3c+7⎫⎪=f(a+b+c+7)=f(8)=38=2.⇒3⎝⎭ 33a+7+33b+7+33c+7≤6.例8 已知α>0 , β>0 , α3+β3≤2.求证α+β≤2.(解函数f(x)=x在(0 , +∞)内严格下凸.由Jensen不等式, 有33332(α+β)3⎛α+β⎫⎛α+β⎫f(α)+f(β)α+β≤=1, ⇒==f≤=⎪⎪2282⎝2⎭⎝2⎭(α+β)3≤8 , ⇒α+β≤2.)第二篇：二阶导数与函数凹凸性证明证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f“(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
曲线的凹凸与拐点概述课件
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
导数的应用函数的凹凸性与拐点分析
导数的应用函数的凹凸性与拐点分析在微积分中，导数是一种用于研究函数变化率的工具。
除了求取函数在某点的斜率，导数还能提供函数的凹凸性与拐点信息。
而理解函数的凹凸性与拐点的特征对于解决实际问题具有重要意义。
本文将对导数的应用、函数的凹凸性与拐点进行详细论述。
1. 导数及其意义导数可以被定义为函数在某一点的斜率或者变化率。
在函数图像中，导数表示曲线在该点的切线斜率。
我们用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
导数的应用十分广泛，其中之一就是用来探究函数的凹凸性与拐点。
2. 凹凸性的定义与判断方法函数的凹凸性描述了函数曲线的形状，也反映了函数增长或减少速度的变化。
当函数曲线在某一区间上呈现向上凹（concave up）的形状时，我们称之为凹函数。
相反地，当函数曲线在某一区间上呈现向下凹（concave down）的形状时，我们称之为凸函数。
判断函数的凹凸性可以通过使用二阶导数，即f''(x)。
若函数f(x)在某一区间上的二阶导数f''(x)大于零，则函数为凹函数；若f''(x)小于零，则函数为凸函数。
3. 拐点的定义与判断方法拐点是函数曲线由凹转为凸或由凸转为凹的点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生改变。
要判断函数是否存在拐点，我们可以通过二阶导数f''(x)的性质来进行分析。
若函数f(x)在某一点上的二阶导数f''(x)存在不连续点，即f''(x)由正变负或由负变正，那么该点即为函数的拐点。
4. 凹凸性与拐点的应用举例（这里可以通过举例子来说明凹凸性与拐点的应用，但为了避免无法自行验证，我在此略去具体例子）5. 总结与结论通过对导数的应用，我们能够研究函数的凹凸性与拐点，并从中得出有关函数曲线形状的重要信息。
在判断函数的凹凸性时，使用二阶导数进行分析，若f''(x)大于零，则函数为凹函数；若f''(x)小于零，则函数为凸函数。
导数与函数的凹凸性与拐点
导数与函数的凹凸性与拐点在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
通过导数的概念，我们不仅可以得到函数在某一点的斜率，更可以推测函数的凹凸性和拐点。
本文将介绍导数与函数的凹凸性以及拐点的相关概念和性质。
1. 导数的定义在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化速率。
设函数f(x)在某一点x处可导，则其导数f'(x)的定义如下：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x)) / h]2. 凹凸性与导数在导数的基础上，我们可以通过二阶导数来判断函数的凹凸性。
二阶导数描述了函数的变化率的变化率，其计算公式为f''(x) = (f'(x))'。
当函数f(x)的二阶导数f''(x)大于0时，即f''(x) > 0，表示函数在该点上凸起，称为凸函数；当f''(x)小于0时，即f''(x) < 0，表示函数在该点上凹陷，称为凹函数。
凹凸性与导数之间的关系在微积分中经常被用于优化问题，例如求函数的最大值最小值的问题。
3. 拐点与导数拐点是函数曲线上的一个特殊点，该点处函数的凹凸性发生了变化。
通过导数来推测函数的拐点是常见的方法。
设函数f(x)在某一点x处二阶导数f''(x)存在，则x为函数的拐点的充分条件为f''(x) = 0或f''(x)不存在。
此外，对于使得f''(x) = 0的点，还需要进一步判断该点的左右邻域内二阶导数的符号。
若f''(x) > 0，则函数在x点左邻域内凹，右邻域内凸，此时x为拐点；若f''(x) < 0，则函数在x点左邻域内凸，右邻域内凹，此时x也为拐点。
4. 导数、凹凸性和拐点的应用举例考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，我们可以通过导数、二阶导数来分析其凹凸性和拐点。
高等数学曲线的凹凸性与拐点
高等数学曲线的凹凸性与拐点高等数学曲线中经常会遇到凹凸性和拐点，这两类现象事关重大，对于函数的图像分析有很重要的作用。
本文将对凹凸性和拐点做一个
详细的介绍，以帮助理解高等数学曲线的关系。
首先，对于凹凸性来说，简单来讲，就是指曲线在两端的作用力
的不同，借此来判断曲线的弯曲程度以及连接点的位置。
凹凸性可以
分为凸函数和凹函数，两种函数的特点都是当输入值增大的时候，输
出结果的变化的趋势是不断上升的，但是凹凸性不同，当曲线两边的
作用力不同时，就会有所不同，曲线的形状也会有不同的变化，凸函
数输入值增大时会出现上升的趋势，凹函数则会出现下降的趋势。
因此，凹凸性是指曲线有凹函数和凸函数之分，关系到它们的形状及其
连接处的位置。
其次是拐点。
简单来说，就是在曲线上出现可逆变化的点。
也就
是在曲线上某个特殊点，曲线两边的切线方向相反，就是拐点。
拐点
的判断有两个关键点，第一个是曲线的二阶导数，第二个是曲线的三
阶导数。
如果曲线的二阶导数是0，而且它的三阶导数也不是0或者小于0，那么它就是一个拐点，拐点处曲线切线方向就会发生变化。
以上就是高等数学曲线凹凸性和拐点的相关介绍，凹凸性和拐点都是非常重要的问题，影响着该曲线的分析与研究，这一点读者一定要引起足够的重视，同时还要多加研究，深入了解曲线的凹凸性和拐点，来进一步深入理解曲线的内在结构，对更好的进行数学分析有很大帮助。
函数导数的秘密：凸性、凹性与拐点
函数导数的秘密：凸性、凹性与拐点
函数的导数可以用来反映函数的凸性和凹性。
凸函数和凹函数是描述函数形状的重要概念，它们与函数的二阶导数（即导数的导数）密切相关。
1.
2.凹函数：
o如果函数的二阶导数在某个区间内始终大于零（$f''(x) > 0$），那么该函数在这个区间内是凹的。
凹函数的形状类似于一个开口向上的抛
物线，意味着函数在任何两个点之间的线段都位于函数图像的上方。
o在凹函数中，一阶导数（即函数的斜率）通常是增加的。
这意味着函数的增加速度随着时间的推移而加快，或者减少速度随着时间的推移
而减慢。
3.
4.凸函数：
o如果函数的二阶导数在某个区间内始终小于零（$f''(x) < 0$），那么该函数在这个区间内是凸的。
凸函数的形状类似于一个开口向下的抛
物线，意味着函数在任何两个点之间的线段都位于函数图像的下方。
o在凸函数中，一阶导数（即函数的斜率）通常是减少的。
这意味着函数的增加速度随着时间的推移而减慢，或者减少速度随着时间的推移
而加快。
函数的凸性和凹性对优化问题、概率论和统计学等多个领域都非常重要。
例如，在优化问题中，凸函数通常更容易处理，因为凸函数的局部最小值就是全局最小值。
此外，需要注意的是，一阶导数本身只能告诉我们函数是增加还是减少，而不能直接反映函数的凸性或凹性。
凸性和凹性的判断依赖于二阶导数。
如果函数的二阶导数在某点处为零，那么该点可能是凸性和凹性发生变化的点，即拐点。
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§5. 函数的凹凸性与拐点教学内容：函数的凹凸性与拐点的定义以及判断。
教学目的：清楚函数凸性与拐点的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。
教学重点：利用导数研究函数的凸性。
教学难点：利用凸性证明相关命题。
教学方法：讲授与练习。
教学学时：2学时。
引言：前面我们已经讨论了函数的单调性与极值及最值，这对函数性态的了解是有很大作用的。
为了更深入和较精确地掌握函数的性态，本节再讲述一下有关函数凸性与拐点的概念及判断与求解方法。
一、函数凹、凸性的定义：在讨论函数图象时，我们经常会遇到具有以下两种特性的函数： y yB AB Ao 1x x 2x x o 1x x 2x x 凸函数 凹函数特点⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧---+≥∈∀⎪⎩⎪⎨⎧---+≤∈∀)()()()()(),()()()()()(),(1121212*********x x x x x f x f x f x f x x x AB AB x x x x x f x f x f x f x x x AB AB ，总有的上方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凹函数，总有的下方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凸函数 ， 而)1,0(,)1(10),(2112221∈-+=⇔<--=<⇔∈∀λλλλx x x x x xx x x x便于我们研究应用，对凸函数与凹函数作如下定义：定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有：（1）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数； （2）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数。
以上不等式严格成立时，则分别称为严格凸函数与严格凹函数。
二、函数凹、凸性的性质及判定：由定义易见，如果函数f 为区间I 上的凸函数，那么函数f -就为区间I 上的凹函数，也就是说，凹函数的性质及判定可通过凸函数的性质及判定完成，所以以下我们只需讨论凸函数的性质及判定即可。
1．引理 f 为区间I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<，总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--。
证明：[必要性]f 为区间I 上的凸函数，∴对I x x ∈∀31,及)1,0(∈∀λ，总有())()1()()1(3131x f x f x x f λλλλ-+≤-+，而123x x x <<，所以101323<--<x x x x ，所以)()(31312113233131211323x f x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f --+--≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--， )()()(31312113232x f x x x x x f x x x x x f --+--≤，)()()()()()(312123213x f x x x f x x x f x x -+-≤-)()()()()()()()(312123212223x f x x x f x x x f x x x f x x -+-≤-+-，故得32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--. [充分性] 对I x x ∈∀31,及)1,0(∈∀λ，令312)1(x x x λλ-+=，则321x x x <<， 于是，()()313313131131)1()1()()1()()1(x x x x x f x f x x x x f x x f λλλλλλλλ----+-≤--+--+， ()())()1()())(1()()1(1331313131x x x x f x f x x x f x x f --+-≤----+λλλλλλ， ()()313131)1()1()()1()()1(x x f x f x f x x f λλλλλλλλ-+---≤--+，())()1()()1(3131x f x f x x f λλλλ-+≤-+.故f 为区间I 上的凸函数。
此定理的几何意义：qr pq k k ≤. yrq po 1x 2x 3x x从图象上可以看到：.qr pr pq k k k ≤≤亦有：f 为区间I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<，总有：.)()()()()()(232313131212x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--2．定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数； （2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有：21121()()()()f x f x f x x x '≥+-。
证明：（1）⇒（2）：任取I x x x ∈21,,，且21x x x <<，由引理知.)()()()(2211xx x f x f x x x f x f --≤--由于f 在区间I 上可导，所以在上式分别令-+→→21,x x x x ，由函数极限保不等式，有：,)()()()(lim )()(lim )()(121222111'1'11x x x f x f x x x f x f x x x f x f x f x f x x x x --=--≤--==++→→+).()()()(lim )()(lim )()(2'2'2211121222x f x f xx x f x f x x x f x f x x x f x f x x x x ==--≤--=---→→-- （2）⇒（3）：不妨设I x x ∈∀21,且21x x <，对f 在[]21,x x 上应用拉格朗日中值定理和f '在I 上的递增性有，21x x <<∃ξ，使得))(())(()()(121'12'12x x x f x x f x f x f -≥-=-ξ， 即有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-。
（3）⇒（1）：任取I x x x ∈321,,且321x x x <<，由条件易知：⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≥--⇒-+≥≤--⇒-+≥)()()())(()()()()()())(()()(2'2323232'232'1212212'21x f x x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x f x x x f x f x f.)()()()(23231212x x x f x f x x x f x f --≤--由引理便知f 为I 上的凸函数。
上面（3）的几何意义： yo 2x 1x xf 为I 上的凸函数⇔任取I x ∈1，函数在点())(,11x f x 处的切线方程为))(()(11'1x x x f x f y -+=，再对任意I x ∈2，函数)(x f 在点2x 处的函数值)(2x f 总大等于于切线在此点处的函数值))(()(121'1x x x f x f -+，即说明曲线)(x f y =总在它的任一点处切线的上方。
3．定理6.14 设f 为I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数⇔0)(''≥x f （0)(''≤x f ），x I ∈。
证明：f 为I 上的凸（凹）函数⇔'f 为I 上的增（减）函数⇔0)(''≥x f （0)(''≤x f ），x I ∈。
三、函数拐点的定义：定义2 设曲线)(x f y =在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线，且在此切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点(00,()x f x )为曲线)(x f y =的一个拐点。
说明：此处曲线)(x f y =在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线不能改为函数)(x f 在点0x 可导，即若(00,()x f x )是曲线)(x f y =的一个拐点，)(x f 在点0x 的导数不一定存在，如曲线y =在点0=x 的情形。
四、函数拐点的性质及判定：1．定理6.15 若f 在0x 二阶可导，则(00,()x f x )为曲线)(x f y =的拐点的必要条件是0()0f x ''=。
证明： 点(00,()x f x )为曲线)(x f y =的拐点，由拐点定义知在点0x 的左右近旁严格凸和严格凹，∴由定理6.14知在点0x 的左右近旁分别有'f 为严格增和严格减函数，故知点0x 为函数'f 的一个极值点，再由f 在0x 二阶可导性，便有0()0f x ''=。
说明：此定理的逆命题不一定成立，如曲线4x y =在点0=x 的情形。
2．定理6.16 设f 在点0x 可导，在某)(0x U内二阶可导，若在)(0x U+和)(0x U-上()f x ''的符号相反，则(00,()x f x )为曲线)(x f y =的拐点。
证明：此定理的证明直接利用拐点的定义容易得到。
例1．讨论函数x x f arctan )(=的凹凸性及拐点。
解：易见x x f arctan )(=在R 上二阶可导，且2'11)(x x f +=，22'')1(2)(x x x f +-=，由此 在]0,(-∞上，0)(''≥x f ，f 为凸函数； 在),0[+∞上，0)(''≤x f ，f 为凹函数；且在()0,∞-和()+∞,0上，)(''x f 异号，故点)0,0(为函数)(x f 的拐点。
例2．若函数f 为定义在开区间()b a ,内的可导凸（凹）函数，则()b a x ,0∈为f 的极小（大）值点⇔0x 为f 的稳定点，即.0)(0'=x f证明：这里只证明凸函数的情形，对于凹函数可类似给予证明。
[必要性] 由费马定理直接可得。
[充分性] 由定理6.13，任取()b a ,内的一点()0x x ≠，它与0x 一起有))(()()(00'0x x x f x f x f -+≥。