第五章线性参数的最小二乘法处理
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引题:求标准米尺线膨胀系数
设有一金属尺，在温度t时长度可表示为 yt=y0（1+t），其中，y0为温度零度时的精确长度。 为金属材料的线膨胀系数，求y0与的数值
l1= y0（1+t1） l2= y0（1+t2）
y0与
5-5
一、最小二乘法原理
求标准米尺线膨胀系数
设在t1，t2，t3……….tn温度条件下分别测得金属尺的长 度l1，l2，l3 ………. ln共n个结果，可列出方程组
线性参数的最小二乘原理的矩阵形式
实测值矩阵 估计值矩阵 残差矩阵 误差方程
l1
L
l2
l
n
误差方程
x1
X
x2
xt
v1
V
v2
vn
系数矩阵
a11, a12 ,, a1t
A
a 21 ,
a22 ,,
a2t
an1
,
an
2
,
,
ant
v1 l1 (a11x1 a12 x2 a1t xt )
一、最小二乘法原理
最小二乘原理:测量结果的最可信赖值应使残余 误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。
▪必须指出:上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正 态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服 从正态分布的情形下也常被使用。实际上，按误差或 残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。
5-12
讨论：
nt: nt:
直接求得 x1, x2,, xt 。
有利于减小随机误差，方程组 有冗余，采用最小二乘原理求 x1, x2,。, xt
最小二乘原理：
最可信赖值应使残余误差平方和最小。
5-8
一、最小二乘法原理
设直接测量量 Y1,Y2 Yn 的估计量分别为 y1, y2 yn
y1 f1 (x1, x2 ,, xt ) y2 f 2 (x1, x2 ,, xt )
2 1
2 1
2 2 2 2
2 n 2 n
最小
由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应为
引入权
v12 v22 vn2 最小
2 1
2 2
2 n
p1v12 p2v22 pnvn2 最小
(5 5)
等精度测量 ：v12 v22 vn2 最小 (5 6)
最小二 乘原理 的代5数-11
第一节 最小二乘法原理
二、线性参数的最小二乘法处理
线性参数的测量方程
Y1 a11 X 1 a12 X 2 a1t X t Y2 a21 X 1 a22 X 2 a2t X t
Yn an1 X 1 an2 X 2 ant X t
相应的估计值
y1 a11 x1 a12 x2 a1t xt y2 a21 x1 a22 x2 a2t xt
5-2
பைடு நூலகம்性参数的最小二乘法
第一节 最小二乘法原理 第二节 正规方程 第三节 精度估计 第四节 组合测量的最小二乘
法处理
5-3
大纲要求
❖ 掌握最小二乘原理。
❖ 掌握正规方程: 等精度测量线性参数的最小二乘处理 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
❖ 掌握最小二乘精度估计方法。
5-4
第一节 最小二乘法原理 一、最小二乘法原理
Pn
fn ( n )d n
n
1
2
e
2 n
2
2 n
dn
各误差相互独立，由概率乘法定理，各测量数据同时分别出现 在相应区域的概率应为：
p
p1,
p2 ,,
pn
1
1 2 n (
(
12
2
2 1
2 2
2
2 2
2 n
2
2 n
)
2 ) e d d d n
12
n
5-10
一、最小二乘法原理
测量值 l1,l2,,ln 已经出现，有理由认为这n个测量值 出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有
最小二乘法 v12 v22 vn2 最5小-6
一、最小二乘法原理
为确定t个不可直接测量的末知量 X1, X 2 ,, X t 的估计 量 x1, x2 ,, xt ，可对与该t个末知量有函数关系的直接测量量Y进
行n次测量，得测量数据 l1,l2 ,,ln （n>t）并设有如下函数关系：
待测量（难以直接测量）：X1, X 2,, Xt
第5章 线性参数的最小二乘法
5-1
最小二乘法（least square method）
➢1805年，勒让德（Legendre）应用“最小二乘法”， 确定了慧星的轨道和地球子午线段。 ➢1809年，高斯（Gauss）论证其解的最佳性。
➢经典最小二乘法（即代数最小二乘法）
➢现代最小二乘法（即矩阵最小二乘法）
直接测量量： Y1,Y2,,Yn
l1 Y1 f1( X1, X 2 ,, X t )
l2
Y2
f2
(
X
1,
X
2
,,
X
t
)
ln Yn fn ( X1, X 2 ,, X t )
测量方程
问题：如何根据 l1, 量的估计值
lx21,,x2,,ln和,测xt？量方程解得待测
5-7
一、最小二乘法原理
l1= y0（1+t1）
（1） 当n<2，方程有无 穷多个解。
l2= y0（1+t2） …… vv…12==…ll12--yy12 ，
（2） yn为最小二乘一估解计量。
当n=2，方程只有唯
ln= y…0（. …1+..tn）
（3） 当 n>2， 方 程组 无 解 。
vn= ln-yn
？
y0与最可 信赖 值
（5-2）
yn f n (x1, x2 ,, xt )
由此得测量数据l1 , l2 ,, ln 的残差为：
残差方程式 （误差方程式）
v1= l1-y1 v2= l2-y2 …. ….. （5-3）
vn= ln-yn
v1 l1 f1 (x1, x2 ,, xt )
v2 l2 f 2 (x1, x2 ,, xt )
即
vn ln f n (x1, x2 ,, xt )
（5-4）
5-9
一、最小二乘法原理
若测量数据 l1,l2 ,,ln ,不存在系统误差和粗大误 差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为 1,2, , n
则各测量结果l1 , l2 ,, ln 出现于相应真值附近 d1, d 2 , d d 3........ n 区 域内的概率分别为：
yn an1 x1 an2 x2 ant xt
其误差方程：
v1 l1 (a11x1 a12 x2 a1t xt ) v2 l2 (a21x1 a22 x2 a2t xt )
vn ln (an1x1 an2 x2 ant xt )
5-13
二、线性参数的最小二乘法处理
设有一金属尺，在温度t时长度可表示为 yt=y0（1+t），其中，y0为温度零度时的精确长度。 为金属材料的线膨胀系数，求y0与的数值
l1= y0（1+t1） l2= y0（1+t2）
y0与
5-5
一、最小二乘法原理
求标准米尺线膨胀系数
设在t1，t2，t3……….tn温度条件下分别测得金属尺的长 度l1，l2，l3 ………. ln共n个结果，可列出方程组
线性参数的最小二乘原理的矩阵形式
实测值矩阵 估计值矩阵 残差矩阵 误差方程
l1
L
l2
l
n
误差方程
x1
X
x2
xt
v1
V
v2
vn
系数矩阵
a11, a12 ,, a1t
A
a 21 ,
a22 ,,
a2t
an1
,
an
2
,
,
ant
v1 l1 (a11x1 a12 x2 a1t xt )
一、最小二乘法原理
最小二乘原理:测量结果的最可信赖值应使残余 误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。
▪必须指出:上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正 态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服 从正态分布的情形下也常被使用。实际上，按误差或 残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。
5-12
讨论：
nt: nt:
直接求得 x1, x2,, xt 。
有利于减小随机误差，方程组 有冗余，采用最小二乘原理求 x1, x2,。, xt
最小二乘原理：
最可信赖值应使残余误差平方和最小。
5-8
一、最小二乘法原理
设直接测量量 Y1,Y2 Yn 的估计量分别为 y1, y2 yn
y1 f1 (x1, x2 ,, xt ) y2 f 2 (x1, x2 ,, xt )
2 1
2 1
2 2 2 2
2 n 2 n
最小
由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应为
引入权
v12 v22 vn2 最小
2 1
2 2
2 n
p1v12 p2v22 pnvn2 最小
(5 5)
等精度测量 ：v12 v22 vn2 最小 (5 6)
最小二 乘原理 的代5数-11
第一节 最小二乘法原理
二、线性参数的最小二乘法处理
线性参数的测量方程
Y1 a11 X 1 a12 X 2 a1t X t Y2 a21 X 1 a22 X 2 a2t X t
Yn an1 X 1 an2 X 2 ant X t
相应的估计值
y1 a11 x1 a12 x2 a1t xt y2 a21 x1 a22 x2 a2t xt
5-2
பைடு நூலகம்性参数的最小二乘法
第一节 最小二乘法原理 第二节 正规方程 第三节 精度估计 第四节 组合测量的最小二乘
法处理
5-3
大纲要求
❖ 掌握最小二乘原理。
❖ 掌握正规方程: 等精度测量线性参数的最小二乘处理 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
❖ 掌握最小二乘精度估计方法。
5-4
第一节 最小二乘法原理 一、最小二乘法原理
Pn
fn ( n )d n
n
1
2
e
2 n
2
2 n
dn
各误差相互独立，由概率乘法定理，各测量数据同时分别出现 在相应区域的概率应为：
p
p1,
p2 ,,
pn
1
1 2 n (
(
12
2
2 1
2 2
2
2 2
2 n
2
2 n
)
2 ) e d d d n
12
n
5-10
一、最小二乘法原理
测量值 l1,l2,,ln 已经出现，有理由认为这n个测量值 出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有
最小二乘法 v12 v22 vn2 最5小-6
一、最小二乘法原理
为确定t个不可直接测量的末知量 X1, X 2 ,, X t 的估计 量 x1, x2 ,, xt ，可对与该t个末知量有函数关系的直接测量量Y进
行n次测量，得测量数据 l1,l2 ,,ln （n>t）并设有如下函数关系：
待测量（难以直接测量）：X1, X 2,, Xt
第5章 线性参数的最小二乘法
5-1
最小二乘法（least square method）
➢1805年，勒让德（Legendre）应用“最小二乘法”， 确定了慧星的轨道和地球子午线段。 ➢1809年，高斯（Gauss）论证其解的最佳性。
➢经典最小二乘法（即代数最小二乘法）
➢现代最小二乘法（即矩阵最小二乘法）
直接测量量： Y1,Y2,,Yn
l1 Y1 f1( X1, X 2 ,, X t )
l2
Y2
f2
(
X
1,
X
2
,,
X
t
)
ln Yn fn ( X1, X 2 ,, X t )
测量方程
问题：如何根据 l1, 量的估计值
lx21,,x2,,ln和,测xt？量方程解得待测
5-7
一、最小二乘法原理
l1= y0（1+t1）
（1） 当n<2，方程有无 穷多个解。
l2= y0（1+t2） …… vv…12==…ll12--yy12 ，
（2） yn为最小二乘一估解计量。
当n=2，方程只有唯
ln= y…0（. …1+..tn）
（3） 当 n>2， 方 程组 无 解 。
vn= ln-yn
？
y0与最可 信赖 值
（5-2）
yn f n (x1, x2 ,, xt )
由此得测量数据l1 , l2 ,, ln 的残差为：
残差方程式 （误差方程式）
v1= l1-y1 v2= l2-y2 …. ….. （5-3）
vn= ln-yn
v1 l1 f1 (x1, x2 ,, xt )
v2 l2 f 2 (x1, x2 ,, xt )
即
vn ln f n (x1, x2 ,, xt )
（5-4）
5-9
一、最小二乘法原理
若测量数据 l1,l2 ,,ln ,不存在系统误差和粗大误 差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为 1,2, , n
则各测量结果l1 , l2 ,, ln 出现于相应真值附近 d1, d 2 , d d 3........ n 区 域内的概率分别为：
yn an1 x1 an2 x2 ant xt
其误差方程：
v1 l1 (a11x1 a12 x2 a1t xt ) v2 l2 (a21x1 a22 x2 a2t xt )
vn ln (an1x1 an2 x2 ant xt )
5-13
二、线性参数的最小二乘法处理