行(列)满秩矩阵的性质及其应用

摘要本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。

关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组AbstractThis article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible.Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; TheSystem of linear equations.目录1 引言 (1)2 预备知识 (2)3 可逆矩阵的性质及其应用 (3)4 行（列）满秩矩阵的性质 (5)5 行（列）满秩矩阵的若干应用 (11)5.1 在矩阵秩的证明中的应用 (11)5.2 在齐次线性方程组中的应用 (12)5.3 在非齐次线性方程组中的应用 (15)5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 (17)参考文献 (20)行（列）满秩矩阵的性质及其应用1 引言矩阵是高等代数研究的一个重要内容，用矩阵来表述问题，并通过矩阵的运算解决相关问题的方法，通常叫做矩阵方法。

矩阵理论及其方法已然成为现今众多科学领域中不能缺少的工具。

例如在模糊识别、密码通讯、分子结构的稳定性分析、机器人位移、导航、观测等众多领域的应用。

矩阵的现代观点是在十九世纪时慢慢形成的。

德国著名数学家高斯（F.Gauss,1777-1855）在1801年时，就把一个线性变换中的所有系数当成一个整体。

而在1844年时，德国的另一位著名数学家爱森斯坦（F.Eissenstenin,1823-1852）根据“变换矩阵”和其乘积进行讨论。

不过“矩阵”这一词的由来却是来自英国的数学家西尔维斯特（Sylvester,1814-1897），这是他于1850年首先提出并对其进行了研究，以便之后的英国数学家凯莱（A.Gayley,1821-1895）为创立矩阵理论做出重大的贡献。

从而，经过西尔维斯特、凯莱等众多数学家们的不懈努力，使得矩阵理论得到很大的发展，并被广泛应用。

如矩阵的特征根和特征向量、正交矩阵、酉矩阵、可逆矩阵……而在矩阵的理论和应用中，可逆矩阵（或者满秩矩阵）却是占据了重要的地位。

它的应用是多方面的，如在矩阵秩的证明、解方程组、特殊矩阵分解等问题中可逆矩阵比一般的矩阵更容易处理，这就要归功于逆的作用。

但当人们在使用可逆矩阵解决问题时发现，首先，它必须是一个方阵，而且矩阵的秩还必得与矩阵的阶数相同。

因此，人们经由数学家的不断探索，把满秩矩阵推广成行（列）满秩矩阵，使它不受方阵的正方性所限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几，能够更广泛地使用矩阵这一工具来解决相关问题。

本文是将他人的研究成果进行收集整理，并在此基础上，将行（列）满秩矩阵的性质及其相关的应用与可逆矩阵（即满秩矩阵）的性质及其相关应用进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、相关矩阵的秩的证明及矩阵的分解等方面的应用。

2 预备知识设()ij A a =是一个s t ⨯的矩阵，如若将A 的每一行都看成t 维的一个行向量，则12s A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，这里边()12i i i it αααα=是A 的第i 行，1,2,,.i s =同理，若将A 的每一列都看成一个s 维的列向量，则()12,,,t A βββ=，其中12j j j sj a a a β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是A 的第j 列，1,2,,j t =.则称，向量组12s ααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是A 的行向量组。

定义2.1 矩阵行向量组的秩，叫做矩阵的行秩；矩阵列向量组的秩，则叫做矩阵的列秩。

例1 设101021003A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,我们可知A 的行秩为3，而其列秩也为3. 定义2.2 如果矩阵A 中不等于零的子式的最大阶数为r ，则r 叫做矩阵A 的秩，可记为()rank A r =.例2 求矩阵243312111233A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩。

解： 因为位于矩阵A 中的第1，2行和矩阵中的第2，3列的二阶子式里432021D ==-≠,A 中包含D 的三阶子式只有两个，且都为0，即2434331210,2110123233==，所以()2R A =.3 可逆矩阵的性质及其应用定义3.1 设A 是数域F 上的n n ⨯阶矩阵，I 是n 阶的单位矩阵。

如果存在F 上的一个n 阶方阵B ,使得AB BA I ==，则我们就说A 是可逆矩阵（或者满秩矩阵）， B 成为A 的逆矩阵。

引理1 对任意矩阵,m n n p A B ⨯⨯恒有：秩()AB ≤秩A ，秩()AB ≤秩B .性质3.1 对可逆矩阵,m m n n P Q ⨯⨯以及任意的m n A ⨯，恒有：秩PA =秩AQ =秩A . 证明：根据性质3.1可知，()()()()1R A R P PA R PA R A -=≤≤,所以，有()()R PA R A =.因此，我们也可证得()()()()1R A R AQQ R AQ R A -=≤≤,所以有()()R AQ R A =.证毕。

性质 3.2 设P 是n 阶的可逆矩阵，Q 是m 阶的可逆矩阵，如果存在着000000r sI I Q P ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则r s =. 证明：将m 阶方阵Q 进行分块，即1234Q Q Q Q Q ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中1r rQ F ⨯∈.也将n 阶方阵1P -进行分块，即12134P P P P P -⎛⎫=⎪⎝⎭,其中1s sP F ⨯∈.于是，按上式得 11230000Q P P Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()1' 如果r s ≠，不妨设r s <，则20P =.但11340P P P P -⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，所以1P 可逆。

将1P 再进行分块，即()11112P P P =,其中()1112,s s r s tP F P F ⨯-⨯∈∈，再比较()1'，得120P =.这与1P可逆相矛盾，所以r s <不成立。

同理可证s r <也不成立，所以r s =.定义3.2 设A 是数域F 上m n ⨯阶非零矩阵，若是存在m 阶、n 阶的可逆矩阵,Q P ,使得000rIQAP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则我们就称矩阵A 的秩为r ，记为()rank A r =.若是0A =,规定()0rank A =.性质3.3 对于任意的n 阶方阵,A B ,设0AB =,若A 是可逆矩阵，则有0B =. 证明：由题意可知，因为A 是可逆矩阵，所以存在1A -,即，令0AB =两端同时左乘1A -,则有10A AB -=,所以0B =得证。

性质 3.4 设,B C 都是不为零的方阵，且A 为可逆矩阵，若有AB AC =,则B C =.证明：因为A 是可逆矩阵，则存在1A -,所以令AB AC =两边同时左乘1A -,有11A AB A AC --=,所以B C =.性质3.5 设,A B 都是n 阶不为零的方阵，且0AB =,则()R A n <.证明：因为0AB =,所以()()R A R B n +≤.又因为B 是不为零的，所以()1R B ≥,所以()R A n <.性质3.6 设,A B 都是数域K 上n 阶的矩阵，如果AB I =,那么A 与B 都是可逆矩阵，并且1A B -=,1B A -=.证明：由于AB I =,则AB I =,因此A B I =,所以有0,0A B ≠≠,即,A B 都为可逆矩阵。

令AB I =的两端同时左乘1A -,即11A AB A I --=,由此得出1B A -=,同理有11ABB IB --=,即1A B -=.命题1 如果P 是m 阶的可逆矩阵，那么，线性方程组AX B =和PAX PB =有相同的解。

证明：若令1X 为AX B =的解，即1AX B =,则两边左乘P 可得1PAX PB =,所以1X 也为PAX PB =的解。

反之，若1X 为PAX PB =的解，即1PAX PB =，则两边左乘1P -可得1AX B =，所以1X 也是AX B =的解，所以，AX B =与PAX PB =同解可证。

命题2 设A 为n 阶可逆矩阵，则n 元的齐次线性方程组0AX =仅有唯一零解。

证明：因为A 为可逆矩阵，所以存在1A -，令0AX =等式两端同时乘以1A -，则有10A AX -=，即0X =，所以，命题得证。

命题3 证明()()()rank A B rank A rank B +≤+. 证明：设()()1212,n n A A A A B B B B ==，则()()1122,,,n n A B A B A B A B +=+++，若11,,i i in A A A 与12,,,j j jn B B B 分别是A 与B的列向量的极大线性无关组，则有()112211221,2,,t i i i i in int j j j j jn jnA k A k A k A t nB l B l B l B =+++⎧=⎨=+++⎩于是()1111,1,2,t t i i in in j j jn jn A B k A k A l B l B i j n +=+++++=，即A B +的列向量组可由12,,,A i i in A A 与12,,,j j jn B B B 线性表示，所以，()()()rank A B rank A rank B +≤+.命题4 若n 阶矩阵,A B 的秩分别是,r s ，则()rank AB r s n ≥+-。

证明：依题意可知，只需证()()()n rank AB rank A rank B +≥+. 因为()()00A rank rank A rank B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()00nI n rank AB rank AB ⎛⎫+=⎪⎝⎭,做分块矩阵的初等变换，则000000nnn nn I I I B I B B I AB AAB A AA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为初等变换不改变矩阵的秩，且()()0A C rank rank A rank B B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭,则()()000nn I B I rank rank rank B rank A AB A ⎛⎫⎛⎫=≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()rank AB r s n ≥+-. 4 行（列）满秩矩阵的性质定义4.1 如果在m n ⨯阶的矩阵A 中，n 个列向量线性无关，则我们就称该矩阵A 为列满秩矩阵；如果矩阵的m 个行向量线性无关，则称该矩阵为行满秩矩阵。