分母有理化试题
分母有理化、二次根式化简 练习题
分母有理化、二次根式化简 班级： 姓名：一、选择题 1.计算631254129⨯÷之值为（ ）A 、123B 、63C 、33D 、4332.下列计算准确的是（ ）A 、=﹣3B 、（）2=3C 、=±3D 、+=3.. 对任意实数a ，则下列等式一定成立的是（ ）A 、a =aB 、2a =－aC 、2a =±aD 、2a ＝a4.下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ）A 、3B 、6C 、2﹣1D 、3+35. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则24a-（）+211a-（）化简后为（ ） A ．7 B ．﹣7 C ．2a ﹣15 D ．无法确定 6. 下列计算准确的是（ ）A 、3)3(2-=-B 、91)31(2=- C 、（﹣a 2）3=a 6D 、a 6÷（21a 2）=2a 47. 计算122﹣613+8的结果是（ ）A 、32﹣23B 、5﹣2C 、5﹣3D 、228. 下列运算准确的是（ ） A ．525±= B ．12734=- C ．9218=÷D ．62324=⋅9. 下面计算准确的是( )．A ．3333+=B 、2733+=C ． 235⋅=D ．2(2)2-=-10. 下列等式不成立的是（ ）A.62366⋅=B.824÷=C.333= D.822-= 11. 下列计算准确的是（ ）A ． 822-=B ．235-=C ．236⨯= D ．824÷=二、填空题1. 计算（2+1）（2﹣2）= ；2. 分解因式：﹣x 3+2x 2﹣x= ；3. 计算：= ；4. 计算(508)2-÷的结果是 ；5. 计算：218⨯＝ ； 6. 182-＝ ； 7. 化简二次根式：1232127---= ；．三、解答题1.11181222-⎛⎫⎪⎝⎭2. 计算：（-3）0—27+21-+321+．3.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += .4.计算26)1(30--+-π．5.化简：6.先化简，再求值，其中x=．12. 化简求值：，其中a=。
初二数学分母有理化题练习题
初二数学分母有理化题练习题解答：1. 将分数的分母有理化为整数：a) 将 $\frac{3}{5}$ 的分母有理化为10：$$\frac{3}{5} = \frac{3}{5}\times\frac{2}{2} = \frac{6}{10} $$b) 将 $\frac{2}{3}$ 的分母有理化为6：$$\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\times\frac{2}{2} = \frac{4}{6} $$c) 将 $\frac{4}{7}$ 的分母有理化为35：$$\frac{4}{7} = \frac{4}{7}\times\frac{5}{5} = \frac{20}{35} $$2. 化简分式：a) 化简 $\frac{12}{18}$：首先，将12和18都除以它们的最大公约数6，得到\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$b) 化简 $\frac{24}{36}$：首先，将24和36都除以它们的最大公约数12，得到 $$\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$$c) 化简 $\frac{16}{40}$：首先，将16和40都除以它们的最大公约数8，得到 $$\frac{16}{40} = \frac{2}{5}$$3. 求两个分数的和的结果：a) 计算 $\frac{3}{5}+\frac{2}{5}$：分子相加，分母保持不变，得到$$\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1b) 计算 $\frac{4}{7}+\frac{5}{7}$：分子相加，分母保持不变，得到$$\frac{4}{7} + \frac{5}{7} = \frac{9}{7}$$4. 求两个分数的差的结果：a) 计算 $\frac{5}{6}-\frac{2}{6}$：分子相减，分母保持不变，得到$$\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$b) 计算 $\frac{9}{10}-\frac{3}{10}$：分子相减，分母保持不变，得到$$\frac{9}{10} - \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$5. 求两个分数的乘积的结果：a) 计算 $\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}$：分子相乘，分母相乘，得到$$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5} = \frac{8}{15}$$b) 计算 $\frac{3}{4}\times\frac{5}{8}$：分子相乘，分母相乘，得到$$\frac{3}{4}\times\frac{5}{8} = \frac{15}{32}$$6. 求两个分数的商的结果：a) 计算 $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5}$：将除法转换为乘法，即 $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3}\times\frac{5}{4}$，然后进行相乘，得到 $$\frac{2}{3}\div\frac{4}{5} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} $$b) 计算 $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$：将除法转换为乘法，即 $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3} =\frac{5}{6}\times\frac{3}{2}$，然后进行相乘，得到$$\frac{5}{6}\div\frac{2}{3} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$$在初二数学中，我们经常会遇到需要将分数的分母有理化为整数、化简分式、进行分数的加减乘除等操作。
(完整版)知识点094分母有理化(填空题),推荐文档
解答：解：∵，，，…∴原式=（=（+…+）（））（）一、填空题（共82 小题）1、（2009•上海）分母有理化：=．考点：分母有理化。
分析：根据分母有理化的方法，分子、分母同乘以．解答：解：==．点评：本题比较容易，考查分母有理化的方法．2、（2008•上海）化简：= 2+．考点：分母有理化。
分析：本题只需将原式分母有理化即可．解答：解：==2+ ．点评：本题考查的是二次根式的分母有理化，找出分母的有理化因式是解答此类问题的关键．3、（2008•贵港）观察下列等式：，，，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：= 2006 ．考点：分母有理化。
专题：规律型。
分析：所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：+…+=，然后利用平方差公式计算．=2008﹣2=2006．故本题答案为：2006．点评：解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律．4、（2007•厦门）计算考点：分母有理化。
专题：计算题。
分析：运用二次根式的乘法法则，将分子的二次根式化为积的形式，约分，比较简便．解答：解：原式== ．点评：主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算法则．= ．﹣ 注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 5、（2006•厦门）计算：（ ）0+•（ ）﹣1=2 ． 考点：分母有理化；零指数幂；负整数指数幂。
分析：按照实数的运算法则依次计算，注意（ ）0=1，（ ）﹣1=．考查知识点：负指数幂、零指数幂、二次根式的化简． 解答：解：（ ）0+•（ ）﹣1=1+•=1+1=2．点评：传统的小杂烩计算题，涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于 1；二次根式的化简． 6、（2006•黄冈）化简： =．考点：分母有理化。
专题：计算题。
分析：根据最简二次根式的方法求解即可． 解答：解：==，故填．点评：本题主要考查了二次根式的化简方法． 7、（2004•郑州）计算：考点：分母有理化；负整数指数幂。
二次根式的运算之分母有理化(人教版)(含答案)
算
9.已知 ， ， ，…，则 ( )
A.2011 B.2012
C.2013 D.2014
答案：B
解题思路：
故选B
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
10.计算： ( )
A. B.16
C. D.1
答案：D
解题思路：
故选D
试题难度：三颗星知识点：二次根式的非负性
6.已知 的整数部分是a，小数部分是b，则 的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
故选B
试题难度：三颗星知识点：无理数的整数部分、小数部分
7.计算 的结果为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
故选D
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
8.若 ，则a+b+ab的值为( )
A. B.
C.-5 D.5
二次根式的运算之分母有理化（人教版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知 ，则a和b的关系是( )
A.a=b B.ab=1
C.a=-b D.ab=-1
答案：A
解题思路：
故选A
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
2.计算 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
故选C
试题难度：三颗星知识点：二次根式除法运算
3. 的倒数是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
故选B
试题难度：三颗星知识点：无理数的倒数
4.计算： ( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
故选C
分母有理化试题(优质参考)
分母有理化试题1．将它分母有理化：1————————-√￣2+√￣3+√￣6分两步做，第1步分子分母同乘√2+√3-√6，得原式=（√2+√3-√6）/（2√6-1），第1步分子分母同乘2√6+1，得原式=（√2+√3-√6）（2√6-1）/23=（7√2+5√3-√6-12）/23.2.化简:2/(√5-√3)解：原式=2（√5+√3)/(√5+√3)(√5-√3)=2(√5+√3)/[(√5)²-(√3)²]=2(√5+√3)/(5-3)=2(√5+√3)/2=√5+√3这里用了(a+b)(a-b)=a²-b²的公式，明白了吗？因为在2/根号5减根号3分母有理化的过程中，需分子、分母同乘根号5加根号3，原来分母为根号5减根号3根号5减根号3*根号5加根号3＝根号5平方-根号3平方＝5-3＝2。
这里应用的是平方差公式a^2-b^2=（a+b)*(a-b)分母有理化的一种巧解把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化有如下两种基本类型：A ： a a b a a a b a b=•= 或 b a b a c b a b a b a c b a c ±±=±•±±•=±B ：b a b a c b a b a b a c b a c±=±•=±2)())(()( 或ba b a c b a b a b a c b a c-=±•=±)())(()( 举例：1.552555252=••= 2.b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a -+=--•-=-•--•-=--)()()(222222 3.b a b a b a b a b a b a ba -=-•+-•-=+-)()()()( 法二：b a b a b a b a b a b a b a ba -=++-=+-=+-))(()()(22 4.5233631829318)223()223()223(6322363-=--=-•+-•=+上述1、2两道例题属于A 种基本类型，解题比较容易。
二次根式分母有理化综合训练
二次根式分母有理化综合训练分母有理化： 在进行二次根式的运算时，如遇到132+这样的式子，还需要进一步的化简： ()()()1313)13213)1321313)13213222-=--=--=-+-=+（（（，这种化去分母中根号的运算叫分母有理化.笔记：分母有理化的方法把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含_____________.1、按要求填空： （1）把21分母有理化,分子分母应同时乘以_______,得到________;（2）把531+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （3）把1541+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （4）把2371+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________;注意：()()b a b a b a -=-+2、分母中含有根号的二次根式分母有理化：（1）121 （2）231 （3）541（4）52（5） 812（6）3273、较为复杂的分母有理化练习：（1）321+ （2）23321- （3）32347++（4）3211-+ （5）ab ab b a - （6）b a b a --4、计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．7、观察以下各式：343412323112121-=+-=+-=+，，利用以上规律计算：()12019201820191341231121+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++ 7、阅读下面问题：12)12)(12()121211-=-+-⨯=+（2323)(23(23231-=-+-=+）252)52)(5(25251-=-+-=+试求：（1）n n ++11（n 为正整数）的值.（2）利用上面所揭示的规律计算：201620151201520141431321211++++++++++8、阅读下面问题： 12)12)(12()12(1121-=-+-⨯=+；;23)23)(23(23231-=-+-=+34)34)(34(34341-=-+-=+.……试求：（1）671+的值；（2）17231+的值；（3）n n ++11（n 为正整数）的值.。
初二数学分母有理化练习题
初二数学分母有理化练习题除法中出现的分数的分母有理化是数学中一个重要的概念。
在初二数学学习中，理解和掌握分母有理化的方法和技巧对学生来说非常重要。
本文将提供一些初二数学分母有理化练习题，以帮助学生巩固知识和提高解题能力。
1. 分母有理化练习题1）已知一个分数的分母是√3 + √2，试将该分数的分母有理化。
解析：根据分母有理化的原理，我们将分母的有理化公式乘以该分数的共轭形式即可。
即：(√3 - √2) * (√3 + √2) = 3 - 2 = 1所以，该分数的分母有理化后为1。
2）将分数1/ (√2 - √5) 的分母有理化。
解析：同样地，根据公式乘以共轭形式。
(√2 + √5) * (√2 - √5) = 2 - 5*(-1) = 2 + 5 = 7所以，该分数的分母有理化后为7。
3）分母有理化练习题：a) 将分数1/ (√3 - √7) 的分母有理化。
b) 将分数1/ (√5 + √6) 的分母有理化。
c) 将分数1/ (√6 - 2√2) 的分母有理化。
2. 总结与归纳通过以上练习题的训练，我们可以总结出分母有理化的方法和技巧：a) 分母有理化的关键是通过乘以共轭形式，消去分母中的根式。
b) 共轭形式是指将分母中的加号变为减号，或将减号变为加号。
c) 其中，乘以共轭形式之后，分子将会出现两个数的积，且分母会化为一个有理数。
3. 实际应用分母有理化不仅仅是数学理论知识，它在实际应用中也有很多用途。
例如，在物理学中，分母有理化可以帮助我们计算电阻、电容等相关问题，从而解决实际的电路问题。
4. 总结本文提供了初二数学分母有理化的练习题，通过这些练习题的训练，可以帮助学生巩固分母有理化的方法和技巧。
同时，分母有理化也是一个重要的数学概念，在物理学等实际应用中具有很大的意义。
希望本文对初二数学学习有所帮助，并能够提高学生的解题能力和数学思维能力。
分母有理化-初中数学习题集含答案
分母有理化（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4小题）1．（2009春•东城区期末）由于，，，则A ．2007B ．2008C ．2009 D ．20102．（2002A ．B ． CD3．（2019ABCD4．（2010的结果为 A ．B ．C ．D ．二．填空题（共6小题）5．（2019秋•昌平区校级期中）观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：第3个等式：4个等式：，按上述规律，计算 6．（2015秋•昌平区期末）观察规律： ； 的整数）； ． 7．（2009的关系是 ．1=-=-=⋯1)(++=)()1+1-()()22-2-+2--11a ==-2a ==-32a ==42a ==-⋯⋯123900a a a a +++⋯⋯+=1=======-==(1n …1)++⋯+=8．（1997的结果是 ．9．（2009秋•北京校级期中）的倒数是 ．10．（2008 ．三．解答题（共3小题）11．（2019秋•昌平区校级期末）（1（2）解方程组12．（2018春•海淀区期末）已知，求：的值．13．（2015春•东城区期末）的化简：①．②．③以上化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．④（1）参照③（2）参照④．12=011(3)(2|2π---+---230,32512,247;x y zx y zx y z-+=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩2x=-2y=22x xy y++====1===-1====-=⋯+分母有理化（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2009春•东城区期末）由于，，，则A ．2007B ．2008 C．2009 D ．2010【分析】此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算． 【解答】解：．故选：．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子． 2．（2002A ．B ． CD【分析】将所给的式子进行分母有理化即可． 【解答】解：原式；故选． 【点评】此题主要考查的是二次根式的分母有理化，正确的找出分母的有理化因式是解答此类题目的关键． 3．（2019ABCD【分析】，化简即可得到结果． 【解答】，1=-=-=⋯1)(++=)1)⋯++11)=-+++1)=+20091=-2008=B ()1+1-===D ()==故选：．【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 4．（2010的结果为 A ．B ．C ．D ．【分析】分子和分母都乘以，再求出即可．【解答】解：原式．故选：．【点评】本题考查了分母有理化，关键是找出二．填空题（共6小题）5．（2019秋•昌平区校级期中）观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：第3个等式：4个等式：，按上述规律，计算【分析】先根据等式的规律推导出为正整数），再代入到，计算化简． 【解答】解：根据等式的规律可得，为正整数）， ，， ．．【点评】本题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是找出等式的规律． 6．（2015秋•昌平区期末）观察规律： A()22-2-+2--2+==2=+A 211a ==-2a ==-32a ==42a ==-⋯⋯123900a a a a +++⋯⋯+1-n a n =123900a a a a +++⋯⋯+n a n =-123900a a a a ∴+++⋯⋯+1=--⋯+1=1-1=== 的整数）； ．【分析】仿照上述计算过程将原式变形，化简即可得到结果；原式括号中分母有理化后，利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解原式，；2015【点评】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．7．（2009的关系是 相等 ．【分析】【解答】解：的关系是相等．【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．8．（1997的结果是 ．【分析】原式分子分母乘以有理化因式，计算即可得到结果．【解答】解：原式．故答案为：【点评】此题考查了分母有理化，找出分母的有理化因式是解本题的关键．9．（2009秋•北京校级期中） ．【分析】根据互为倒数的定义，解答出即可；====-=(1n…1)++⋯+===-==-11)1)201612015=-⋯+-+=-+=-=-++Q=+∴+22==+212【解答】；．【点评】本题主要考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式．10．（2008【分析】根据二次根式的性质化简． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查了二次根式的化简，注意要化简成最简二次根式．三．解答题（共3小题）11．（2019秋•昌平区校级期末）（1（2）解方程组【分析】（1）根据分母有理化、零指数幂、负整数指数幂进行计算即可；（2）根据三元一次方程组的解题步骤进行消元，先化为二元一次方程组再化为一元方程进行计算即可． 【解答】解：（1）原式；（2）①②得，④ ②③得，⑤④⑤得， 解得，把代入④得，， 把，代入①得，， 所以原方程组的解为：==-===011(3)(2|2π---+---230,32512,247;x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩122=---+-1=--23032512247x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩①②③+4812x z +=2⨯+8917x z +=2⨯-77z =1z =1z =1x =1x =1z =2y =121x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【点评】本题考查了分母有理化、零指数幂、负整数指数幂、解三元一次方程组，解决本题的关键是利用上述知识准确计算．12．（2018春•海淀区期末）已知，求：的值．【分析】将变形为，得到原式，再把代入计算即可求解．【解答】解：，．【点评】考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解答问题的关键． 13．（2015春•东城区期末）的化简：① ．② ．③以上化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：．④（1）参照③2x =-2y =22x xy y ++22x xy y ++222x xy y xy ++-2()x y xy =+-2x =-2y =+2x =Q 2y =+22x xy y ∴++222x xy y xy =++-2()x y xy =+-2(22(2=--1643=-+15=====1===-1====-=（2）参照④． 【分析】（Ⅰ）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（Ⅱ）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况． 【解答】解：（1）参照③．（2）参照④式化简．故答案是：（Ⅱ）原式． 【点评】本题考查了分母有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．⋯+=======-12=+⋯+11)2=-+-+-+⋯+11)2=-。
分母有理化专项练习题
分母有理化专项练习题
1、【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1-的有理化因式是
1+．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
【知识运用】
（1）填空：2的有理化因式是______ ；a+的有理化因式是______ ；--的有理化因式是______ ．
（2）把下列各式的分母有理化：
①；②．
2、阅读下列材料，然后解答问题：在化简二次根式时，有时会碰到形如、这一类式子，通常可以这样进行化简
方法一：==
===-1．这种化简步骤叫分母有理化．
方法二：还可以用下面方法化简====-1．
请用上面的两种方法化简．
3、观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：====-1．
例2：=-，=-，=-
利用以上结论解答以下问题：
（1）= ______
（2）应用上面的结论，求下列式子的值．+++…+
（3）拓展提高，求下列式子的值．+++…+．
4、观察下列运算
①由（）（）=1，得=；
②由（）（）=1，得=；
③由（）（）=1，得=；
④由（）（）=1，得=；
…
（1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来．
（2）利用你发现的规律，计算：
+…+．
5、观察下列等式：
①==-1；
②==；
③==-；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律：化简：= ______ ；
（2）计算：+++…+．。
数学初中分母有理化练习题
数学初中分母有理化练习题数学是初中阶段非常重要的一门学科，其中分母有理化是解决分式问题的关键技巧之一。
以下是一些分母有理化的基础练习题，帮助同学们巩固和提高这方面的能力。
1. 将分式 \( \frac{3}{4+\sqrt{2}} \) 有理化分母。
解题思路：首先找到分母的共轭式，即 \( 4-\sqrt{2} \)，然后将分子和分母同时乘以这个共轭式。
2. 化简下列表达式：\( \frac{1}{\sqrt{3}-1} \)。
解题方法：将分子和分母同时乘以 \( \sqrt{3}+1 \)，然后进行化简。
3. 计算 \( \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \) 的值。
解题步骤：首先将分子乘以分母的共轭式 \( \sqrt{2}-1 \)，然后进行化简。
4. 求 \( \frac{1}{\sqrt{5}+2} + \frac{1}{\sqrt{5}-2} \) 的和。
解题技巧：分别对两个分式进行有理化分母，然后合并同类项。
5. 解决实际问题：一块长方形地的长是宽的 \( \sqrt{2} \) 倍，如果宽是 10 米，求这块地的面积。
解题过程：首先根据题意写出面积公式，然后进行分母有理化，最后代入数值求解。
通过以上练习题，同学们可以逐步掌握分母有理化的方法和技巧，提高解题能力。
在解决实际问题时，要注意审题，理解题目要求，然后运用适当的数学知识进行解答。
最后，希望同学们能够通过不断的练习，提高自己的数学素养，为今后的学习打下坚实的基础。
记住，数学是一门需要不断练习和思考的学科，只有通过不断的努力，才能取得进步。
分母有理化组卷
2016年02月01日王俊燕的初中数学组卷一．选择题（共3小题）1．（2005春?涪陵区校级期中）把分母有理化得（）A．B．C．D．12．（2002?金华）把分母有理化的结果是（）A．B．C．1﹣D．﹣1﹣3．（1997?河北）化简的结果是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣二．填空题（共13小题）4．（2013秋?上海校级期中）分母有理化=．5．（2013秋?新沂市期中）化去分母中的根号：=．6．（2012秋?甘井子区期末）化简：=．7．（2012?南京）计算的结果是．8．（2010秋?柳南区校级期中）计算：=，=，=．9．（2010秋?建阳市校级月考）化简的结果是．10．（2007?厦门）计算=．11．（2007秋?招远市期末）观察下列等式：；…请用含有自然数n（n≥1）的式子将你发现的规律表示出来．12．将分母中的根号去掉：（1）=，（2）=．13．计算：==；==；==．按照以上的规律，写出接下来的一个式子，并计算：．14．计算：=．15．写出一个无理数，使它与3的积是有理数．16．分母有理化：=；=（a＞0）．三．解答题（共14小题）17．（2015春?崆峒区期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请直接写出=；（2）根据上面的解法，请化简：．18．（2015春?泰兴市期末）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（1）请用其中一种方法化简；（2）化简：．19．（2015春?东城区期末）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简：==．①==．②===﹣1．③以上化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1．④（Ⅰ）请用不同的方法化简（1）参照③式化简=（2）参照④式化简（Ⅱ）化简：+++…+．20．（2015春?新泰市期中）阅读下面的问题：==；==；==2﹣…（1）求的值；（2）已知m是正整数，求的值；（3）计算++…++．21．（2015秋?泗县期中）观察下列一组等式的化简．然后解答后面的问题：==；==；==2﹣…（1）在计算结果中找出规律=（n表示大于0的自然数）（2）通过上述化简过程，可知（天“＞”、“＜”或“=”）；（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：（…+）（）22．（2013秋?古田县校级期末）先阅读，后解答：像上述解题过程中，相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，（1）的有理化因式是；的有理化因式是．（2）将下列式子进行分母有理化：（1）=；（2）=．（3）已知，比较a与b的大小关系．23．（2014春?袁州区校级期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（）2+（）2=m，?=，那么便有==±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m=7，n=12；由于4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，?=，∴===2+由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．24．（2013秋?涉县校级月考）学完“二次根式”这一章后，老师给茗茗布置了一道题，你帮帮茗茗做一下．（1）根据以前学过的知识我们知道，两个有理数的积是1，则你这两个有理数互为倒数．同样，当两个实数a+与a﹣的积是1时，我们仍然称这两个实验数互为倒数．计算下列各式，并判断哪些式中的实数是互为倒数的．①（2+）（2﹣）；②（2+）（2﹣）；③（3+2）（3﹣2）④（4+）（4﹣）⑤（5+）（5﹣）（2）根据（1）中的计算和判断，请你用发现的规律，写出当实数a+与a﹣互为倒数时，a与b之间的数量关系；（3）若x=8+3，y=8﹣3，则（xy）2003的值是多少？25．（2014春?赵县期末）（1）（2）（3）．26．（2014春?孝义市期末）（1）计算：?（÷）；（2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值．27．（2012春?西城区校级期中）①②．28．（2010秋?浦东新区期中）计算：÷×（a＞0）．29．（2010秋?宿豫区期中）计算：．30．（2009秋?信州区校级期中）计算：①（+）×②（4﹣3）÷2③（+）（﹣）④（5+2）2．2016年02月01日王俊燕的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）【点评】本题考查的是分母有理化的计算方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式．【点评】此题主要考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．【点评】本题考查了分母有理化的知识，一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．二．填空题（共13小题）4．（2013秋?上海校级期中）分母有理化=．【考点】分母有理化．【分析】根据分母有理化的定义先分子、分母同乘以，去掉分母中的根号，从而得出答案．【解答】解：==；故答案为：．【点评】此题考查了分母有理化，分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．完成分母有理化，常要用到平方差公式．5．（2013秋?新沂市期中）化去分母中的根号：=．【考点】分母有理化．【分析】分子分母同时乘以即可得出结论．【解答】解：原式==．【点评】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解答此题的关键．6．（2012秋?甘井子区期末）化简：=．【考点】分母有理化．【分析】分子、分母同乘，计算即可求出结果．【解答】解：==．故答案为．【点评】本题考查了二次根式的分母有理化，一般地，将分子、分母同乘分母的有理化因式，可将分母中的根号化去．本题还可将分子写成（）2，再约分即可．7．（2012?南京）计算的结果是+1．【考点】分母有理化．【专题】计算题．【分析】分子分母同时乘以即可进行分母有理化．【解答】解：原式===+1．故答案为：+1．【点评】此题考查了分母有理化的知识，属于基础题，注意掌握分母有理化的法则．8．（2010秋?柳南区校级期中）计算：=2，=，=||．【考点】分母有理化．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：===2，=，=||．故答案为：2，，||．【点评】考查了分母有理化和二次根式的性质，是基础题型，比较简单．9．（2010秋?建阳市校级月考）化简的结果是﹣．【考点】分母有理化．【专题】常规题型．【分析】分子、分母同乘以有理化因式，即可分母有理化使式子最简．【解答】解；=﹣．【点评】此题考查分母有理化，关键是确定有理化因式．10．（2007?厦门）计算=．【考点】分母有理化．【专题】计算题．【分析】运用二次根式的乘法法则，将分子的二次根式化为积的形式，约分，比较简便．【解答】解：原式==．故答案为：．【点评】主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算法则．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．【点评】本题考查了分母有理化的知识，发现规律是解题的关键．12．将分母中的根号去掉：（1）=，（2）=．【考点】分母有理化．【分析】（1）分子分母都乘以，可分母有理化；（2）分子分母都乘以，可分母有理化．【解答】解：（1）原式==；（2）原式===2，故答案为：，2．【点评】本题考查了分母有理化，利用了二次根式的乘法．13．计算：==﹣；==2﹣；==﹣2．按照以上的规律，写出接下来的一个式子，并计算：﹣3．【考点】分母有理化．【分析】根据分子分母同乘以有理化因式进行分析整理．【解答】解：===﹣；===2﹣；===﹣2．===﹣3．故答案是：﹣；2﹣；﹣2；﹣3．【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．14．计算：=．【考点】分母有理化．【分析】分子分母同乘以，再化简即可．【解答】解：==．故答案为：．【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化是解题的关键．15．写出一个无理数，使它与3的积是有理数．【考点】分母有理化．【专题】开放型．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合条件的数即可．【解答】解：如：，∵×3=6，∴故答案为：．【点评】本题考查了分母有理数的应用，注意：3的有理化因式是n（n为非零整数）．16．分母有理化：=；=（a＞0）．【考点】分母有理化．【分析】利用二次根式的性质，即可将各二次根式化简，注意分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．【解答】解：==；=．故答案为：，．【点评】此题考查了分母有理化的知识．此题比较简单，注意将各二次根式化为最简二次根式是解此题的关键．三．解答题（共14小题）17．（2015春?崆峒区期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请直接写出=﹣；（2）根据上面的解法，请化简：．【考点】分母有理化． 【专题】计算题．【分析】（1）根据题目提供的信息，最后结果等于分母的有理化因式； （2）先把每一项都分母有理化，然后相加减即可得解．【解答】解：（1）=﹣；（2）+++…++，=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，=﹣1，=10﹣1，=9．故答案为：（1）﹣，（2）9．【点评】本题考查了分母有理化，读懂题目信息，得出每一个分式化简的最后结果等于分母的有理化因式是解题的关键．18．（2015春?泰兴市期末）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（1）请用其中一种方法化简；（2）化简：．【考点】分母有理化． 【专题】阅读型．【分析】（1）运用第二种方法求解，（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案，【解答】解：（1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．19．（2015春?东城区期末）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简：==．①==．②===﹣1．③以上化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1．④（Ⅰ）请用不同的方法化简（1）参照③式化简=﹣（2）参照④式化简=﹣（Ⅱ）化简：+++…+．【考点】分母有理化．【专题】阅读型．【分析】（Ⅰ）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（Ⅱ）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）参照③式化简==﹣．故答案是：﹣．（2）参照④式化简====﹣．故答案是：=﹣．（Ⅱ）原式=（+++…+）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣1）．【点评】本题考查了分母有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．【点评】本题主要考查了利用分母有理化，利用平方差公式，找出有理化因式是解答此题的关键． 21．（2015秋?泗县期中）观察下列一组等式的化简．然后解答后面的 问题：==；==；==2﹣…（1）在计算结果中找出规律= ﹣ （n 表示大于0的自然数）（2）通过上述化简过程，可知 ＞ （天“＞”、“＜”或“=”）；（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：（…+）（）【考点】分母有理化． 【专题】阅读型．【分析】（1）根据平方差公式，可得答案； （2）根据分母有理化，可得答案；（3）根据分母有理化，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．【解答】解：（1）=﹣；（2）﹣=，﹣=，﹣＞﹣；（3）原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=2016﹣1 =2015．【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键． 22．（2013秋?古田县校级期末）先阅读，后解答：像上述解题过程中，相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，（1）的有理化因式是；的有理化因式是﹣2．（2）将下列式子进行分母有理化：（1）=；（2）=3﹣．（3）已知，比较a与b的大小关系．【考点】分母有理化．【专题】计算题．【分析】（1）的有理化因式是它本身，的有理化因式符合平方差公式的特点的式子．据此作答；（2）①分子、分母同乘以最简公分母即可；②分子、分母同乘以最简公分母3﹣，再化简即可；（3）把a的值通过分母有理化化简，再比较．【解答】解：（1）的有理化因式是；的有理化因式是﹣2．（2）（1）==；（2）==3﹣；（3）∵a=，b=2﹣，∴a=b．【点评】此题考查二次根式的分母有理化，确定最简公分母是关键．23．（2014春?袁州区校级期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（）2+（）2=m，?=，那么便有==±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m=7，n=12；由于4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，?=，∴===2+由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．【考点】分母有理化．【专题】计算题．【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．【解答】解：（1）==﹣；（2）===﹣；（3）==．【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．24．（2013秋?涉县校级月考）学完“二次根式”这一章后，老师给茗茗布置了一道题，你帮帮茗茗做一下．（1）根据以前学过的知识我们知道，两个有理数的积是1，则你这两个有理数互为倒数．同样，当两个实数a+与a﹣的积是1时，我们仍然称这两个实验数互为倒数．计算下列各式，并判断哪些式中的实数是互为倒数的．①（2+）（2﹣）；②（2+）（2﹣）；③（3+2）（3﹣2）④（4+）（4﹣）⑤（5+）（5﹣）（2）根据（1）中的计算和判断，请你用发现的规律，写出当实数a+与a﹣互为倒数时，a与b之间的数量关系；（3）若x=8+3，y=8﹣3，则（xy）2003的值是多少？【考点】分母有理化．【专题】阅读型．【分析】（1）先计算，再根据定义判定哪些式中的实数是互为倒数，（2）由实数是互为倒数的定义求解即可，（3）先求出xy，再求（xy）2003的值即可．【解答】解：（1）①（2+）?（2﹣）=1；②（2+）?（2﹣）=﹣1；③（3+2）?（3﹣2）=1；④（4+）?（4﹣）=1；⑤（5+）?（5﹣）=﹣1；所以①③④中的实数是互为倒数的．（2）由（a+）?（a﹣）=a2﹣b，可得a2﹣b=1时，实数a+与a﹣互为倒数．（3）∵x=8+3，y=8﹣3，∴xy=1∴（xy）2003=1．【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是理解题中的概念．25．（2014春?赵县期末）（1）（2）（3）．【考点】二次根式的乘除法；完全平方公式．【专题】计算题．【分析】（1）先将各二次根式化为最简，再运用乘法分配律进行运算，然后再进行二次根式的加减．（2）运用平方差公式进行计算即可．（3）直接进行开方运算即可得出答案．【解答】解：（1）原式=6×（3﹣5﹣2）=18﹣60﹣12，=6﹣60，=12﹣60；（2）原式=﹣，=18﹣75，=﹣57；（3）==．【点评】本题考查二次根式的乘除运算，难度不大，注意在运算时公式的运用，更要细心．26．（2014春?孝义市期末）（1）计算：?（÷）；（2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值．【考点】二次根式的乘除法；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【专题】计算题．【分析】（1）利用二次根式的乘除法法则求解；（2）利用算术平方根和一个数的平方等于0求出x，y，再求的值．【解答】解：（1）?（÷）=?===；（2）由+（y﹣）2=0，可知，=0且（y﹣）2=0，即，解得．所以==．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，非负数的性质及算术平方根，解题的关键是利用算术平方根和一个数的平方等于0求解．27．（2012春?西城区校级期中）①②．【考点】二次根式的乘除法．【分析】①把根号外的因式和被开方数分别相乘、相除，再求出即可； ②把被开方数相乘，再求出即可．【解答】解：①原式=（×4×）=2× =3；②原式==．【点评】本题考查了二次根式的乘除法的应用，主要考查学生的计算能力．28．（2010秋?浦东新区期中）计算：÷×（a ＞0）．【考点】二次根式的乘除法．【分析】首先利用二次根式除法以及乘法法则转化成一个二次根式，然后对二次根式进行化简即可．【解答】解：原式=…（2分）=…（2分）=…（1分）【点评】本题考查了二次根式的乘除运算，正确理解法则，正确化简二次根式是关键．29．（2010秋?宿豫区期中）计算：．【考点】二次根式的乘除法． 【专题】计算题．【分析】先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘除运算．【解答】解：原式===．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简． 30．（2009秋?信州区校级期中）计算：①（+）×②（4﹣3）÷2③（+）（﹣）④（5+2）2．【考点】二次根式的乘除法． 【专题】计算题．【分析】①运用乘法分配律进行计算，然后将二次根式化为最简即可．②先将括号里面的各项分别除以2，然后在合并同类二次根式即可．③运用平方差公式进行计算．④根据完全平方公式进行展开运算，然后合并即可．【解答】解：①原式=+=4+3；②原式=2﹣；③原式=﹣=5﹣3=2．④原式=75+20+20=95+20．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的乘除法则及二次根式的化简．。
分母有理化(人教版)(含答案)
A. B.
C. D.5
答案：B
解题思路：
故选B．
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
7.计算 的结果为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
故选D．
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
8.若 ，则a+b+ab的值为( )
A. B.
C.-5 D.5
答案：C
解题思路：∵
故选C．
分母有理化（人教版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1. 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
故选D．
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
2.已知 ，则a和b的关系是( )
A.a=b B.ab=1
C.a=-b D.ab=-1
答案：A
解题思路：
∴a=b
故选A．
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
9.已知 ， ， ，……，则 ( )
A.2011 B.2012
C.2013 D.2014
答案：B
解题思路：
故选B．
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
10.计算 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
故选A．
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
3.计算 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
故选C．
试题难度：三颗星知识点：二次根式除法运算
4. 的倒数是( )
A. B.
C. D.
答案：B
分母有理化、二次根式化简 练习题
分母有理化、二次根式化简 班级： 姓名：一、选择题 1.计算631254129⨯÷之值为（ ）A 、123B 、63C 、33D 、4332.下列计算准确的是（ ）A 、=﹣3B 、（）2=3C 、=±3D 、+=3.. 对任意实数a ，则下列等式一定成立的是（ ）A 、a =aB 、2a =－aC 、2a =±aD 、2a ＝a4.下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ）A 、3B 、6C 、2﹣1D 、3+35. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则24a-（）+211a-（）化简后为（ ） A ．7 B ．﹣7 C ．2a ﹣15 D ．无法确定 6. 下列计算准确的是（ ）A 、3)3(2-=-B 、91)31(2=- C 、（﹣a 2）3=a 6D 、a 6÷（21a 2）=2a 47. 计算122﹣613+8的结果是（ ）A 、32﹣23B 、5﹣2C 、5﹣3D 、228. 下列运算准确的是（ ） A ．525±= B ．12734=- C ．9218=÷D ．62324=⋅9. 下面计算准确的是( )．A ．3333+=B 、2733+=C ． 235⋅=D ．2(2)2-=-10. 下列等式不成立的是（ ）A.62366⋅=B.824÷=C.333= D.822-= 11. 下列计算准确的是（ ）A ． 822-=B ．235-=C ．236⨯= D ．824÷=二、填空题1. 计算（2+1）（2﹣2）= ；2. 分解因式：﹣x 3+2x 2﹣x= ；3. 计算：= ；4. 计算(508)2-÷的结果是 ；5. 计算：218⨯＝ ； 6. 182-＝ ； 7. 化简二次根式：1232127---= ；．三、解答题1.11181222-⎛⎫⎪⎝⎭2. 计算：（-3）0—27+21-+321+．3.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += .4.计算26)1(30--+-π．5.化简：6.先化简，再求值，其中x=．12. 化简求值：，其中a=。
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分母有理化试题
1．将它分母有理化：
1
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√￣2+√￣3+√￣6
分两步做，第1步分子分母同乘√2+√3-√6，得
原式=（√2+√3-√6）/（2√6-1），
第1步分子分母同乘2√6+1，得
原式=（√2+√3-√6）（2√6-1）/23
=（7√2+5√3-√6-12）/23.
2.化简:2/(√5-√3)
解：原式=2（√5+√3)/(√5+√3)(√5-√3)
=2(√5+√3)/[(√5)²-(√3)²]
=2(√5+√3)/(5-3)
=2(√5+√3)/2
=√5+√3
这里用了(a+b)(a-b)=a²-b²的公式，明白了吗？
因为在2/根号5减根号3分母有理化的过程中，需分子、分母同乘根号5加根号3，原来分母为根号5减根号3
根号5减根号3*根号5加根号3＝根号5平方-根号3平方＝5-3＝2。
这里应用的是平方差公式
a^2-b^2=（a+b)*(a-b)
分母有理化的一种巧解
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化有如下两种基本类型：
A ：
a
a
b a
a a
b a
b =
•=
或
b
a b a c b
a b a b a c b
a c ±±=
±•±±•=
±
B ：
b
a b a c b a b a b a c b
a c ±=
±•=
±2)()
)(()( 或
b
a b a c b a b a b a c b
a c -=
±•=
±)
()
)(()( 举例：1.
5
525
5525
2=
••=
2.
b
a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b
a b a -+=--•-=-•--•-=
--)()()(222222
3.
b a b a b a b a b a b
a b a -=-•+-•-=
+-)
()()()(
法二：
b a b
a b a b a b
a b a b
a b a -=++-=
+-=
+-)
)(()()(2
2
4.
5
2
33631829318)
223()223()223(632
2363-=
--=
-•+-•=
+
上述1、2两道例题属于A 种基本类型，解题比较容易。
而3、4两道例题属于B 种基本类型，计算起来有点难度。
下面我们来探求对B 种基本类型的分母有理化的一种解法。
先来看一下有理化因式的概念，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。
如
)23)(23(+-=1，或)23)(23(---=-1，2
3+和23--都是23-的
有理化因式，故有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜。
显然，a ±b 与a b ，a ±b 与a b ，a ±b 与a b 都是互为有理化因式。
下面来再来看几道B 种基本类型的分母有理化题目：
121
1
2)
12()12()12(11
21+=+=
+•-+•=
- (
1
211
21-=
-)
231
2
3)
23()23()23(12
31--=--=
--•+---•=
+-
251
2
5)
25()25()25(12
51-=-=
-•+-•=
+ (
4
512
51+=
+)
通过观察，不难发现，上述三道题目符合
n
n ±+11或
n
n ±+-11形式的分
母有理化。
其分子为1，两个被开方数也相差1，且前一个较大。
而有理化的结果为n n 1+或-n n 1+，即为原式分母的一个有理化因式，相比只是第二个根式前的“±”变“ ” 。
以后碰到诸如：
3
21+、
3
221-此类的化简，应该是不在话下的。
321+=(341+=)32-
3
221-=
223)898
91(
2
231--=--=+-=+-
（上述解题中，小括号内的无需写出，注意把-9当作一个整体，同时要放在8前面）
我们同时也注意到：
13132+=-，
222
22--=+- 25253-=+，36363+=-
151
54+-=--，
535
34+=-
符合
n
m n m ±+=n m n +或
n
m n m ±+-= -n m n +(m 、n ∈N +)的形式。
化简前代数式的分母与化简结果互为有理化因式，它们的乘积的值恰好等于化简前代数式的分子。
因其证明简单，这里就不再给出。
如果我们能熟练运用
n
m n m ±+=n m n +或
n
m n m ±+-=
-n m n +(m 、n ∈N +)，那么将会大大提高相关类型的分母有理化的速度与准确率。
36
3)3696
9331(633316
31+=+=-•=-•=
-
6
6
7186
)
3223)(223()12
186
6223(3223662233
2232232
332223--=
--+=
+-•+=+-•+=
+-+=
-+。