分母有理化试题
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分母有理化试题
1．将它分母有理化：
1
————————-
√￣2+√￣3+√￣6
分两步做，第1步分子分母同乘√2+√3-√6，得
原式=（√2+√3-√6）/（2√6-1），
第1步分子分母同乘2√6+1，得
原式=（√2+√3-√6）（2√6-1）/23
=（7√2+5√3-√6-12）/23.
2.化简:2/(√5-√3)
解：原式=2（√5+√3)/(√5+√3)(√5-√3)
=2(√5+√3)/[(√5)²-(√3)²]
=2(√5+√3)/(5-3)
=2(√5+√3)/2
=√5+√3
这里用了(a+b)(a-b)=a²-b²的公式，明白了吗？
因为在2/根号5减根号3分母有理化的过程中，需分子、分母同乘根号5加根号3，原来分母为根号5减根号3
根号5减根号3*根号5加根号3＝根号5平方-根号3平方＝5-3＝2。这里应用的是平方差公式
a^2-b^2=（a+b)*(a-b)
分母有理化的一种巧解
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化有如下两种基本类型：
A ：
a
a
b a
a a
b a
b =
•=
或
b
a b a c b
a b a b a c b
a c ±±=
±•±±•=
±
B ：
b
a b a c b a b a b a c b
a c ±=
±•=
±2)()
)(()( 或
b
a b a c b a b a b a c b
a c -=
±•=
±)
()
)(()( 举例：1.
5
525
5525
2=
••=
2.
b
a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b
a b a -+=--•-=-•--•-=
--)()()(222222
3.
b a b a b a b a b a b
a b a -=-•+-•-=
+-)
()()()(
法二：
b a b
a b a b a b
a b a b
a b a -=++-=
+-=
+-)
)(()()(2
2
4.
5
2
33631829318)
223()223()223(632
2363-=
--=
-•+-•=
+
上述1、2两道例题属于A 种基本类型，解题比较容易。而3、4两道例题属于B 种基本类型，计算起来有点难度。下面我们来探求对B 种基本类型的分母有理化的一种解法。
先来看一下有理化因式的概念，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。如
)23)(23(+-=1，或)23)(23(---=-1，2
3+和23--都是23-的
有理化因式，故有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜。显然，a ±b 与a b ，a ±b 与a b ，a ±b 与a b 都是互为有理化因式。
下面来再来看几道B 种基本类型的分母有理化题目：
121
1
2)
12()12()12(11
21+=+=
+•-+•=
- (
1
211
21-=
-)
231
2
3)
23()23()23(12
31--=--=
--•+---•=
+-
251
2
5)
25()25()25(12
51-=-=
-•+-•=
+ (
4
512
51+=
+)
通过观察，不难发现，上述三道题目符合
n
n ±+11或
n
n ±+-11形式的分
母有理化。其分子为1，两个被开方数也相差1，且前一个较大。而有理化的结果为n n 1+或-n n 1+，即为原式分母的一个有理化因式，相比只是第二个根式前的“±”变“ ” 。 以后碰到诸如：
3
21+、
3
221-此类的化简，应该是不在话下的。
321+=(341+=)32-
3
221-=
223)898
91(
2
231--=--=+-=+-
（上述解题中，小括号内的无需写出，注意把-9当作一个整体，同时要放在8前面）
我们同时也注意到：
13132+=-，
222
22--=+- 25253-=+，36363+=-
151
54+-=--，
535
34+=-
符合
n
m n m ±+=n m n +或
n
m n m ±+-= -n m n +(m 、n ∈N +)的形式。
化简前代数式的分母与化简结果互为有理化因式，它们的乘积的值恰好等于化简前代数式的分子。因其证明简单，这里就不再给出。 如果我们能熟练运用
n
m n m ±+=n m n +或
n
m n m ±+-=
-n m n +(m 、n ∈N +)，那么将会大大提高相关类型的分母有理化的速度与准确率。
36
3)3696
9331(633316
31+=+=-•=-•=
-
6
6
7186
)
3223)(223()12
186
6223(3223662233
2232232
332223--=
--+=
+-•+=+-•+=
+-+=
-+