数学竞赛中的代数式求值经典问题

数学竞赛中的代数式求值经典问题

题型一、代数式恒等变形

1.若1,则

111

a b c

ab a bc b ca c ++++++++的值是( )

A ．1．

B ．0．

C ．-1．

D ．-2． 解析：1，则a ，b ，c 均不为0．

选A ．

2．若x 33=1000，且x 22496，则(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)．

解析：由于x 33

=1000，且x 22

496，因此要把(x 33

)+(42

-2x 2

y)-2(23

)分组、凑项表示为含x 33

及x 22

的形式，以便代入求值，为此有

(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)33+22-2x 2(x 33)-2(x 22)=1000-2(-496)=1992

3．若m ＋n －p ＝0，则⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛n m p p m n p n m 11

1111－－－＋－的值等于． 解析：3-，

111111()()()

()()()

111 3m n p n p m p m n m m n n n p

n p m p m n m p n p m n

n n m m p p

-+--+=-+---

=-+--+=---=-提示：

4．若2，x 22=4，则x 19921992的值是

( )

A ．4

B ．19922

C ．21992

D ．41992

解析：由2 ①

平方得x 2

-22

=4 ②

又已知x 22=4 ③

所以x ，y 中至少有一个为0，但x 22=4．因此，x ，y 中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有

x 19921992=01992+(±2)1992=21992，选C ． 5．在等式2中,当1时2,当1时20,则9b 2． 解析：以12代入2得2 ① 以120代入2得20 ②

①-②,222，所以11．因此9．于是 9b 2()+9b 2=(-11)×(9)+9×112=990．

6．已知a ＋b ＝－3，a 2b ＋2＝－30，则a 2－＋b 2＋11＝50．

7．已知a

a 1+

2，则441a a += 2 ； 441

a a -= 0 .

8．如果m －

m

1＝－3，那么m 3－31

m ＝．

解析：36-，提示：32232

211111()(1)()[()3] (3)[(3)3]36

m m m m m m m m m m

-

=-++=--+=-⨯-+= 9．三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式,又可表示为0

b a

, 的形式,则a 19921993

. 解析：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1

，

下，只能是1．于是1．

所以，a19921993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．

10．如图6，D点在△的直角边上上，且2，3，若，，那么22

m n

= .

解析:勾股定理：m222=522 n222=322 可得：m2 - n2 =16

11．已知7，22=49，33=133，44=406，试求1995()+617

2

( )的值.

分析：已知7，22=49，33=133，44=406．形式很对称，很容易诱使你将7两边平方，再减去22=49，…想利用乘法公式算出，但一试发现此路不通．由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以致最后陷入死胡同．事实上，平方后必出现a2x2与b2y2，而22中，a，b都不是平方，这一特点已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通．应及时转向，通过一项一项表示，往一起凑这个最基本的方式去做．

解：显然

2=492，2=492

3=492，3=492y

相加得

13333=49()()

即

49()-7133

7()19 ①

同理3=1333，3=1333 4=1333，4=1333y

相加得

40644=133()(22)

即133()-49406

19()-758 ②

由①、②联立，设，

得719

19758,解得 2.5，1.5

即 2.5，1.5

由7，7

得2=7，2=7

相加得4922=7()()

所以 1.5()=49-7×2.5 ∴21

此时即可求得

=4987.5-9-178.5=4800

说明：本题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力与观察综合能力，并且计算也要很细心，因此本题属于对学生数学素质综合检查的题目．本题改编自下面的问题“已知8，22=22，33=62，44=178，试求1995()+6之值”．有兴趣的读者不防解一解看．答案是10011．再想一想，满足题设条件的a 与b 两数之和等于多少？你能独立地求出之值吗？(答3)

题型二、多项式的带余除法

1．设m 2＋m －1＝0，则m 3＋2m 2＋1997＝． 解析：原式＝m 3

＋m 2

－m ＋m 2

＋m －1＋1998

＝m （m 2

＋m －1）＋（m 2

＋m －1）＋1998 ＝（m 2＋m －1）（m ＋1）＋1998 由于m 2＋m －1＝0，∴ 原式＝1998． 2.如果x 2

－1=0，则x 3

+2x 2

+3= 4 ． 3.若=+++=-+1855,0132

3

2

x x x x x 则20

4．如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+=18。

5．已知322a a +=-，则64323121224a a a a a +-+--= 。 6．若522++x x 是q px x ++2

4的一个因式，则pq 的值是 150 ． 题型三、多项式展开式

1.若2365432

0123456(21)x x a x a x a x a x a x a x a --=++++++，则135a a a ++= -4

2．如果

()

6

23456

012345621x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，那么

0123456a a a a a a a ++++++= 1 ；0246a a a a +++= 365 .