复变函数的映射共38页文档
复变函数的映射
. arg z(t0 )
z0
0
x
相交于一点的两条曲线 C1与 C2正向之间 的夹角 ,
就是
C1与
C
在交点处的两条切线正
2
向之间的夹角.
设 ： C1 : z z1(t ), C2 : z z2 (t ); arg z2 (t0 )
C2 .
z0
argz2 (t0 ) argz1 (t0 ) arg z1 (t0 )
完全含于 的G一条曲线.
从而， 仿照柯西积分定理
的古萨证明的第三步，
可以找到一条联结
w1、w2 ,
内接于 且完全含于 的折线G ,
1 于是 是G连通的.
因此，G f ( D) 是区域 .
推论 7.2 设 w f (z) 在区域 D 内单叶解析 ，则 D 的像
G f ( D) 也是一个区域 . 因 f(z)不为常数
§1 解析变换的特性
1、解析变换的保域性 2、解析变换的保角性—导数的几何意义 3、单叶解析变换的共形性
1、解析变换的保域性
要探讨解析变换的几何特性，首先要弄清楚复平面上的一个点集 (曲线或区域)与它的像集之间的对应关系.
定理 7.1( 保域定理 ) 设 w f (z) 在区域 D 内解析
且不恒为常数 , 则 D 的像 G f ( D) 也是一个区域 .
第七章 共 形 映 射
从第二章开始，利用分析的方法，即通过微分、积分和级数分别 探讨了解析函数的性质和应用 . 在这一章中，我们将从几何的角度对 解析函数的性质和应用进行讨论 .
在第一章中已经介绍过，一个复变函数 在几何上可w以看f作(把z) z 平面上的一个点集变到 w平面上的一个点集的映射(或变换). 对解析 函数来说，由它所构成的变换（简称解析变换）还需作进一步的研究 .
复变函数课件6-2分式线性映射
够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。
复变函数-共性映射
8
y
z0
(z)
v
(w)
w0
O
x
O
u
通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每 一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲 线在w0点都转动了一个角度Arg f '(z0).
9
y
(z) C2 z0
v
(w)
Γ2
α
C1 w0
Γ1
O O x u 相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹 角, 在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射 后C1与C2对应的曲线Γ1与Γ2之间的夹角, 所 以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不 变的性质.这种性质称为保角性
29
因此, 映射w=1/z将方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0 变为方程 d(u2+v2)+bu−cv+a=0 当然, 可能是将圆周映射为圆周(当a≠0,d≠0); 圆周映射成直线(当a≠0,d=0); 直线映射成圆周 (当a=0,d≠0)以及直线映射成直线(当a=0,d=0). 这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者 说, 映射w=1/z具有保圆性.
13
2. 共形映射的概念 定义 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一对应 的, 在z0具有保角性和伸缩率不变性, 则称映 射w=f(z)在z0是共形的, 或称w=f(z)在z0是共形 映射. 如果映射w=f(z)在D内的每一点都是共 形的, 就称w=f(z)是区域D内的共形映射.
14
定理二 如果函数w=f(z)在z0解析, 且f '(z0)≠0, 则映射w=f(z)在z0是共形的, 而且Arg f '(z0)表 示这个映射在z0的转动角, |f '(z0)|表示伸缩率. 如果解析函数w=f(z)在D内处处有f '(z)≠0, 则映 射w=f(z)是D内的共形映射 z0
复变函数与积分变换第6章共形映射
定义6.4 设单位圆周C:|z|=1，如果p与p′同时位于以圆心为起点的射线上
，且满足：|op|·|op′|=12，则称p与p′为关于单位圆周的对称点.规定： 无穷远点∞与圆心O是关于单位圆周的对称点.
设p在圆周C内，则过点p作Op的垂线交圆周C于A，再过A作圆周C的切线交射
线Op于p′，那么p与p′即互为对称点（图6.7(a)）.
不少实际问题要求将一个指定的区域共形映射成另一个区域
予以处理，由定理6.3和定理6.5可知，一个单叶解析函数能 够将其单叶性区域共形映射成另一个区域.相反地，在扩充复
平面上任意给定两个单连通区域D与G，是否存在一个单叶解
析函数，使D共形映射成G？下述的黎曼存在与唯一性定理和 边界对应定理（证明从略）肯定地回答了此问题.
的切线与u轴正方向的夹角.于是有
故
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退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
其中α ′－α 是C和C′在点z0的夹角（经过z0的两条有向曲线C与C′的切线
方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角）（反时针方向为正），β ′－ β 是Γ 和Γ ′在点w0=f(z0)的夹角（反时针方向为正）．式(6.2)表明映射 w=f(z)在点z0既保持了夹角的大小，又保持夹角的方向（图6.2）. 这种性质 称为映射的保角性.
w=z称为关于实轴的对称变换.
图6.7
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退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
6.2.2分式线性映射的性质 (1)保角性
首先讨论映射
由于
因此映射在z≠0与
z≠∞的各处是共形的，从而具有保角性。至于在z=0与z=∞ 处映射是否保角就需要先对两曲线在无穷远点处的夹角进行定义.
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复变函数教程 §6-2 分式线性映射
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质
1. 分式线性映射的定义
定义 映射w az b (ad bc 0) (1) cz d
称为分 ~~~式~~线 ~~~性~~映~~~射,其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1) w' (cz d )2
w
w1
1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图
z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作 出 点w1关 于 实 轴 对 称 的 点 即 得w(见 图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
出一般分式线性映射的性质.
(1)保角性
对于(iii)w 1 的情况 z
z 1 w 1 z 1 w 1
z 1 w 1;
若arg z , arg w
因此映射w 1 通常称为反演变换
w f (z)
z
w f (z)
z 0 w ; z w 0(见第一章§2)
v y u2 v2
C : a( x2 y2 ) bx cy d 0
w1z : d (u2 v 2 ) bu cv a 0
a,d 0 a 0, d 0 a 0, d 0 a 0, d 0
圆 周C 圆 周 圆 周C 直 线 直 线C 圆 周 直 线C 直 线
cz d
cw a
则,逆映射仍为分式线性的,
《复变函数》课件-共形映射
14
分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二
圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区 域.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二 圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域.
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
15
5. 几个初等函数所构成的映射
1) 幂函数 w zn(n 2). 映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原 点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
(z)
0
0
w zn zn w
(w)
n 0
0
16
在 z平面上任意给定三个相异的点z1, z2, z3,
在 w 平面上也任意给定三 个相异的点w1, w2, w3, 那么就存在唯一的分式线性映射, 将 zk (k 1,2,3) 依次映射成 wk (k 1,2,3).
即w az b (ad bc 0)可由下式给出: cz d
w w1 : w3 w1 z z1 : z3 z1 . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.
11
4）分式线性映射具有保对称性. 设点 z1, z2 是关于圆周C的一对对称点, 那么
在分式线性映射下, 它们的象点w1, w2也是关于 C的象曲线 的一对对称点. 这一性质称为保对称性.
12
4.唯一决定分式线性映射的条件
复变函数第6章
第六章 共形映射1. 共形映射的概念（1）夹角：如图6.1所示，过z 0点的两条曲线C 1,C 2，它们在交点z 0处的切线分别为T 1，T 2，我们把从T 1到T 2按逆时针方向旋转所得的夹角定义为这两条曲线在交点z 0处 从C 1到C 2的夹角.对于两条曲线的夹角不仅要指出角度的大小，还要指出角的旋转方向.因此在z 0处从C 2到C 1的夹角不等于从C 1到C 2的夹角.图6.1（1）保角映射：若在映射w =f (z )的作用下，过点z 0的任意两条光滑曲线的夹角的大小与旋转方向都是保持不变的，则称这种映射在z 0处是保角的.（2）伸缩率的不变性：若极限00limz z w w z z →--000limz z w w z z →--存在且不等于零，则这个极限称为映射w =f (z )在z 0处的伸缩率.并称w =f (z )在z 0具有伸缩率的不变性.（3）共形映射：定义6.1 设函数w =f (z )在z 0的邻域内是一一的，在z 0具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射w =f (z )在z 0是共形的，或称w =f (z )在z 0是共形映射.如果映射w =f (z )在区域D 内的每一点都是共形的，那么称w =f (z )是区域D 内的共形映射. 2.解析函数与共形映射定理6.1 如果函数w =f (z )在z 0解析，且f '(z 0)≠0，那么映射w =f (z )在z 0是共形的，而且Arg f '(z 0)表示这个映射在z 0的转动角，|f '(z 0)|表示伸缩率.如果解析函数w =f (z )在区域D 内处处有f '(z )≠0,那么 映射w =f (z )是D 内的共形映射.3.分式线性变换（1）定义：形如 , (0).az bw ad bc cz d+=-≠+ (6.3) 的映射称为分式线性变换，其中a ,b ,c ,d 为复常数. （2）逆变换：d , (()()0),w bz a d cb cw a-+=---≠- (6.5)（3）复合：两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换.事实上，(0),(0).z w z αξβαβαδγβξαδβγγξδγδ''++''''=-≠=-≠''++把后式代入前式得az b w cz d+=+ 其中()()0.ad bc αδγβαδβγ''''-=--≠（4）分解：根据这个事实，我们可以把一个一般形式的分式线性变换分解成一些简单映射的复合.不妨设c ≠0，于是.()az b a bc adw cz d c c cz d +-==+++令,a bc adA B c c-==则上式变为 .Bw A cz d=++ 它由下列三个变换复合而成;1;,z cz d z z w A Bz '=+''='''=+ (6.5) 其中(6.5)中的第一和第三式为整线性变换. 4.分式线性变换性质1° 共形性定理6.2 分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的，且是共形的. 2°保圆性定理6.3 分式线性变换将扩充z 平面上的圆映射成扩充w 平面上的圆，即具有保圆性. 在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周.推论6.1 在分式线性变换下，圆C 映射成圆C '.如果在C 内任取一点z 0，而点z 0的象在C '的内部，那么C 的内部就是映射到C '的内部；如果z 0的象在C '的外部，那么C 的内部就映射成C '的外部.3° 保对称性先引进对称点的概念.定义6.2 设C 为以z 0点为中心，R 为半径的圆周.如果点z ,z *在从z 0出发的射线上，且满足|z -z 0|·|z *-z 0|=R 2, (6.6)则称z ,z *关于圆周C 是对称的.如果C 是直线，则当以z 和z *为端点的线段被C 平分时，称z ,z *关于直线C 为对称的.我们规定： 无穷远点关于圆周的对称点是圆心.定理6.4 设点z ,z *是关于圆周C 的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的象点w 及w *也是关于C 的像曲线C '的一对对称点.5. 确定分式线性变换的条件定理6.5 在z 平面上任意给定三个不同点z 1,z 2,z 3，在w 平面上也任意给定三个不同点w 1,w 2,w 3，那么就存在分式线性变换，将z k 依次映射成w k (k =1,2,3)，且这种变换是唯一的.推论6.2 z 1,z 2,z 3所在的圆C 的象C ′是w 1,w 2,w 3所在的圆.且如果C 依z 1→z 2→z 3 的绕向与C ′依w 1→w 2→w 3的绕向相同时，则C 的内部就映射成C ′的内部（相反时，C 的内部就映射成C ′的外部）图6.8例6.1 求将上半平面映射为单位圆，且将上半平面的定点z 0映射为圆心w =0的分式线性变换.所求映射的一般形式为00, Im 0.i z z w e z z z θ-=>- (6.8) 例6.2 求将单位圆|z |<1映射为单位圆|w |<1的分式线性变换. 所求映射的一般形式为00 (1)1i z z w e z z zθ-=<-. 6. 几个初等函数所构成的映射（1） 幂函数：w =zn(n ≥2)作用： 1° 圆|z |=r 映射成|w |=r n ，即在以原点为中心的圆有保圆性.2°射线0θθ=映射成射线0n ϕθ=，特别地，正实轴θ=0映成正实轴ϕ=0； 3°将角形域02π0()nθθ<<<映射成角形域00n ϕθ<<.(a) 公式图6.10（2）指数函数：w =e z作用： 1° 平面上的直线x =常数，被映射成w 平面上的圆周ρ=常数；而y =常数，被映射成射线ϕ=常数.2° 把水平带形域0Im (2π)z a a <<≤映射成角形域0arg w a <<.（如图6.12(a)） 3° 带形域0Im 2πz <<映射成沿正实轴剪开的w 平面：0arg 2πw <<(如图6.12(b)).3.求2w z =在z =i 处的伸缩率和旋转角，问：2w z =将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面 上哪一个方向？并作图.例6.5 求将|z |<1,Im z >0映为|w |>1的一个共形映射.。
复变函数课件6-2分式线性映射
思考题
已知映射w 3z 4 , 试将其分解为简单 iz 1
变换的复合.
27
思考题答案
z1
z
i, z2
1 z1
, z3
(3
4i)z2, w
z3
3i.
放映结束，按Esc退出.
28
默比乌斯资料 ◇
August Möbius
Born: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony
关键: 在几何上如何由 z w1 ?
8
对称点的定义: 设C为以原点为中心, r为半径的圆周. 在以
圆心为起点的一条半直线上, 如果有两点 P与 P 满足关系式
OP OP r 2 , 那末就称这两点为关于这圆周的对称点. 规定: 无穷远点的对称点是圆心O.
9
作图: 设P在C外, 从P作C的切线PT, 由T作OP的垂
事实上, 设 z rei ,a ei 那末 w rei( ) ,
因此, 把z先转一个角度
再将 z 伸长(缩短)到 倍后, 就得到 w.
(z) (w)
w
z o
7
3. w 1 反演变换 z
此映射可进一步分解为
w1
1 z
,
w w1
欲由点z作出点w, 可考虑如下作图次序:
z z w1 w 关于横轴对称
(1) 考察 w 1 z
因
w
1 z2
，所以除去z
0与z
,映射是共形的.
若规定: 两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处 的交角, 等于它们在映射 w 1 下所映成的通过
z 原点的两条象曲线的交角. 那么映射 w 1在 z 处是共形的.
z
13
1-3复变函数与整线性映射
w = − x + ix
11
2
设在复平面上已给点集D 定义：设在复平面上已给点集D，如果存在一个法 使得对于每点z=x+yi D,都有确定的复数 则 f 使得对于每点z=x+yi ∈D,都有确定的复数 w=u+vi与之对应,则称在D 上确定一个复变函数， w=u+vi与之对应,则称在D 上确定一个复变函数， 与之对应 复变函数 记作: 记作: w= f (z) 若依 f 对于z ∈D 只有一个确定的w与之对应，则 对于z 只有一个确定的w与之对应， 单值函数．否则， 多值函数． 称 f 为单值函数．否则，称 f 为多值函数．
§1-3 复变函数与整线性映射
一Δ、复变函数的概念 二、复映射—复变函数的几何意义 三、整线性映射及其保圆性
1
一Δ 、复变函数的概念
复变函数这门课程研究的对象是解析函数， 复变函数这门课程研究的对象是解析函数，而解 研究的对象是解析函数 析函数是一种特殊的复变函数，因此， 析函数是一种特殊的复变函数，因此，在讨论了 复数集后，我们还需要讨论复变函数的有关概念， 复数集后，我们还需要讨论复变函数的有关概念， 进而为研究解析函数作好准备． 进而为研究解析函数作好准备．
3
例如， 例如，
为单值函数， 为单值函数， 为多值函数． 为多值函数．
若无特殊声明， 若无特殊声明，则我们讨论的函数均为单值函数
4
同实变函数一样，在上述定义中， 同实变函数一样，在上述定义中，我们称 为函数的定义域 定义域， 集合 为函数的定义域，称D的子集 为函数的值域， 为函数的值域，z 与 ω 分别称为函数的 值域 自变量与 自变量与因变量
函数f也称为映射 集合E所在的复平面称为Z 映射。 函数f也称为映射。 集合E所在的复平面称为Z 平面,把函数值ω所在的复平面称为ω平面. 平面,把函数值ω所在的复平面称为ω平面.
复变函数与积分变换第06章 共形映射
C : z z(t) t [ , ] 取t0 ( , ) z0 z(t0 ) z'(t0 ) 0 则
w f (z)
z平面上C : z z(t) w平面上 : w f [z(t)]
~~~~~~~~~~
(2)补 充 定 义 使 分 式 线 性 函数 在 整 个 扩 充 平 面
上 有 定 义: 当c 0时，w a / c
z d / c z
当c 0时， 在z 时 ， 定 义w .
(3)w az b z dw b (d )(a) bc 0
由(1)式 仅与映射w f (z)及点 z0的值有关。
② 转动角的大小及方向与曲线C的形状与
方向无关，这种性质称为映射具有转动角
~~~~~~~~~~~
的不变性.
~~~~~~~~~~~~~
设Ci (i 1,2)在 点z0的 夹 角 为 , Ci (i 1,2)
在 变 换w f (z)下 映 射 为 相 交 于 点w0 f (z0 )
(ii)w az
设z re i a ei ,则w rei( )
把z先转一个角度再将z 伸长(或缩短) a
倍后就得w, w az是旋转和伸缩合成的映射.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
名词介绍: 关于圆的对称点(见图） y
o
x
割线方向p0 p的极限位置：
z'(t0
)
lim
t 0
z(t0
t ) t
z(t0
)
—曲线C在p0处的切向量且方向与C正向一致.
复变函数教程 §6-2 分式线性映射
例 映射w i 把区域：Re( z) 0,0 Im( z) 1映射成什么？
z
解 设z x iy, w u iv
由w
u iv
i z
iz zz
i( x iy) 得 x2 y2
u
x2
y
y2
,v
x2
x
y2
,故
y
u2
u v2
,x
u2
v v2
Re(z) 0,0 Im(z) 1
w
w1
1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图
z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作 出 点w1关 于 实 轴 对 称 的 点 即 得w(见 图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
故又称w az b 为双线性映射. cz d ~~~~~~~~~~
分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊 映射的复合：
(i) w z b (ii) w az(a 0) (iii)w 1 z
称为： 平移
整线性
反演
事实上，
( A, B复 常 数)
当c 0时，w az b w a z b Az B
(z 0)
适当规定处夹角的定义后,映射w 1
z
在扩充复平面上处处共形的,即为一共形映射.
~~~~~~~~~
（详见P195）
对(i), (ii)的复合映射w az b(a 0)
w' (az b)' a 0 是共形映射.
由于分式线性映射是由三种特殊映射复合
复变函数西安交大 第四版第三讲PPT课件
第18页/共46页
§2.3 初等函数
1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数
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内容简介
本节将实变函数的一些常用的初等 函数推广到复变函数情形，研究这些初等 函数的性质，并说明它的解析性。
第22页/共46页
u 2x u 2 y v 0 v 0
x
y
x
y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 2 仅在z 0处可导，但处处不解析。
第16页/共46页
例2 求证函数
w
u( x, y) iv( x,
y)
x2
x
y2
i
x2
y
y2
1 z
在z x iy 0处 解 析 ， 并 求dw . dz
e zi e zi cosz
(3)
2i
2
称 为z的 正 弦 与 余 弦 函 数
第27页/共46页
正弦与余弦函数的性质
1)sinz及cosz是T 2 周期函数
[cos(z 2 ) ei(z2 ) ei(z2 )
eize2i eize2i
2
2
eiz eiz
cos z]
sin( z 2 ) sin z
u v v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来.
利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
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使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，
(因为u(x,y),v(x,y)具有一阶连续偏导数可推出它们可 微)
复变函数的映射
C2
则有 arg w 2 ( t 0 ) arg w1 ( t 0 ) arg z2 ( t 0 ) arg z1 ( t 0 )
1 与 2 在 w0 的夹角
C1 与 C2 在 z0 的夹角
结论: 相交于点 z0 的任意两条曲线C1与 C2之间
的夹角 在其大小和方向上都等同于经过 w f ( z )
—符合定理条件的解析函数w = f (z)将z0的一个 充分小邻域变成w0 =f (z0)的一个曲边邻域.
w e z 在区域 a Im z a 2 (a为一实数)内单叶解析
2、解析变换的保角性—导数的几何意义
设 w f ( z ) 于区域 D 内解析 , z0 D , 在点 z0 有 在数学分析中我们知道，导数用来刻画因变量 相对于自变量的变化情况，且具有相当明显的几何 导数 f ( z0 ) 0 . 过 z0 任意引一条有向光滑曲 线 意义. 那么，一个复变函数的导数将会刻画怎样的 关系呢？又有什么样的几何意义呢？ C : z z ( t ) ( t0 t t1 )
点 w0 重合 ， x 轴与 u 轴平行 , 则 C 在点 z0 的切线与
在点 w0 的切线所夹的角就是arg f ( z0 ) . 因此可
以认为曲线 C 在 z0 的切线通过变换以后绕 着点 z0转
动了一个角度arg f ( z0 ) ， 它称为变换 w f ( z ) 在 z0
意义 . 点的旋转角 . 这就是导数辐角的几何
点 w 及在 C 上的点 z 有
| f ( z ) w0 | | w0 w | 0,
| f ( z ) w0 | | w0 w | 0
因此由儒歇定理知， 在 C 的内部
复变函数映射
显然w 有 f[(w)] wG*
当反函数 z单 [f(值 z)] 时 zG(一z般 [f(z)])
当函(映 数射 )w f(z)和其反(函 逆数 映)射
z(w)都是单值的，(则 映称 射 )w函 f(数 z)
是 一 一 的 。 也 G与 称集 集G合 合 是 一 一 对 应 的
(limg(z) 0)
A
zz0 g(z) lim g(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1 证明 wx2 yi(xy2)在平面上处处. x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2 求 f(z)zzzz在 z0时的.极限 f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3 证明 f(z)Rezz在z0时的极限.不
（）,当0 （0)
zz0
时,有f(z)A,
则
称 A为f(z)当zz0时
的
极
限
， lim 记f(z作 )A zz0
或当 zz0时， f(z)A
几何意义:
y
(z)当变点z一旦进v(w)入z0 的充分小去
w f(z)
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
A
一个预先给定的
u ε邻域中
(1) 意义中 z 的方z0式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
z
G* w
o
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.
复变函数
A
B
z1 2 3i
x
C
A
v
w2 1 2i
o
B
C
o
z 2 1 2i
u
w1 2 3i
z1 w1 , z2 w2 ,
ABC ABC .
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
且是全同图形.
(2) 函数 w z 2 构成的映射.
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中 同一个长方形.
y y
o
x
o
x
(2) 函数 w z 2 构成的映射.
直线 x 的象的参数方程为 : u 2 y 2 , v 2y. ( y 为参数)
消去参数 y 得 : v 2 42 (2 u),
今后不再区别函数与映射.
三、典型例题
例1 在映射 w z 2 下求下列平面点集在w 平面
上的象 :
π (1) 线段 0 r 2, ; 4 y 解 设 z re i ,
w e ,
i
还是线段.
v
o x o u
wz2
则 r , 2 ,
2
π π 故线段 0 r 2, 映射为 0 4, , 4 2
2 2
v o
4
2
o
2
u
平行于 v 轴的直线.
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
ห้องสมุดไป่ตู้
π ( 3) 扇形域 0 , 0 r 2. 4 解 设 z re i , w e i , 则 r 2 , 2 ,
6-1复变函数共形映射
1 : w w1 (t ), w0 w1 (t0 ) ) 2 : w w2 (t ), w0 w2 (t0
) C2 : z z2 (t ), z0 z2 (t0
w f ( z)
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) Argz1 (t0 ) Argz2 (t0
分析：
=
) Argw1 (t0 ) Argw2 (t0
1 w 的几何作图 z 1 z w1 r 1, z与w1在同一射线上; r
z, w1关于 z 1对称.
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y,v 1 w 1 o z
w
x,u
(1)作出点z关于圆周 z 1的对称点w1. (2)作出点w1关于实轴对称的点即得w.
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2. 分式线性映射的性质
设有圆周 z a R, 若有两点z1与z2 均在同一条始于圆心a的射线上， 且 z1 a z2 a R , 则称z1与z2关于
2
R
O P'
P
x
圆周 z a R对称.
规定无穷远点的对称点为圆心O
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如何由P找到关于圆周 z a R的对称点P呢 ?
设P在圆外, 从P作圆周的 切线PT , 连接OP,由T 作OP 的垂线TP, 与OP交于P, 那么P与P '即互为对称点.
O T P
P'
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1 1 令 w1 , w w1 ( iii)w z z i 设z re r (cos i sin )
z re i r (cos i sin ) 1 1 i w1 e w w1 1 e i，因此通常称为反演变换 z r r
复变函数的调和函数与共形映射
复变函数的调和函数与共形映射复变函数（也称为“复数函数”）是指自复数集合到复数集合的函数，即定义域和值域都是复数。
复变函数在数学、物理学和工程学等领域都有着广泛的应用。
其中复变函数的调和函数和共形映射是复变函数理论中的两个重要概念。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的实值函数，而拉普拉斯方程是指函数的二阶混合偏微分方程的零解。
对于复变函数来说，调和函数可以通过其实部来定义。
给定复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别是f(z)的实部和虚部。
如果u(x,y)满足拉普拉斯方程▽²u = 0，则称u(x,y)为f(z)的调和函数。
调和函数的一个重要性质是当一个区域内的平均值等于其边界上的值时，该函数在整个区域内都保持不变。
调和函数在电场和流体力学等领域中有着重要的应用。
在电场中，调和函数可以表示电势分布；在流体力学中，调和函数可以表示流速场。
共形映射是复变函数理论中的另一个重要概念。
共形映射是指保持角度不变的映射，即在映射前后两个曲线的夹角保持相等。
共形映射在几何学和物理学中都有重要的应用。
一个简单的例子是复平面上的保角映射，即将一个区域映射到另一个区域，并且保持两个区域内所有点的夹角不变。
这个映射可以用复变函数来表示。
常见的共形映射包括平面映射、圆盘映射和上半平面映射等。
这些映射在复变函数的研究中起着至关重要的作用。
值得一提的是，复变函数的调和函数和共形映射之间存在着紧密的联系。
在某些特定条件下，可以通过调和函数的变换来获得共形映射，并且通过共形映射可以将一个调和函数转换为另一个调和函数。
总之，复变函数的调和函数和共形映射是复变函数理论中的两个重要概念。
调和函数描述了函数的调和性质和区域内部的均匀性，而共形映射描述了保持角度不变的映射。
两者的研究为理解复变函数的性质和解决实际问题提供了基础。