一次函数模型的方案设计题
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册一、利用一次函数模型解决实际问题例1.实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？变式1.如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：x/个1234y/cm68.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？变式2.某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．二、利用一次函数解决行程问题例2.小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．变式1.在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A 地路程s（米）之间的函数图象．（1）a＝，乐乐去A地的速度为；（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间．变式2.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s （km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为km/h，C点的坐标为．（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．变式3.某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．三、利用一次函数解决最低费用和最高利润问题例3.某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．（1）两种棋的单价分别是多少？（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？变式1.眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？变式 2.近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价（元/件）8090销售价（元/件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？变式3.某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A 种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．（1）求A，B两种花卉的单价．（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．变式4.A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见如表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．（1）求a、b的值；（2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A 种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．变式5.成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A 种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．变式6.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？变式7.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？四、利用一次函数解决含参数的最高利润问题例4.在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．（1）求m、n的值；（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．变式1.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：甲乙运动鞋价格进价（元/双）m m﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？变式2.为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．变式3.为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙m m﹣10进价（元/件）260180售价（元/件）若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？五、利用一次函数解决方案问题例5.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．变式1.某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时，它们的利润和为1500元，求a的值．。
《12.4一次函数模型的应用》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级上册
《一次函数模型的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过一次函数模型的应用学习，使学生能够：1. 理解一次函数的概念及其图像特征；2. 掌握一次函数在实际问题中的建模与应用；3. 提升解决实际问题的能力和数学思维。
二、作业内容本次作业内容主要围绕一次函数模型的应用展开，具体包括以下部分：1. 基础知识点复习：要求学生回顾一次函数的概念、性质及图像，理解自变量和因变量之间的关系。
2. 建模实践：选择生活中常见的实际问题，如路程、速度与时间的关系，水费、用电量与费用等，引导学生建立一次函数模型，并解释模型的合理性。
3. 函数图像绘制：通过具体数值，绘制一次函数的图像，并观察图像特征，加深对一次函数性质的理解。
4. 实际问题解决：设计几个与一次函数相关的实际问题，要求学生运用所学知识进行分析和解答。
5. 拓展延伸：提供一些更具挑战性的问题，鼓励学生进行思考和探索，培养其创新思维。
三、作业要求为保证作业的质量和效果，提出以下要求：1. 按时完成：学生需在规定时间内完成作业，以保证学习进度。
2. 独立完成：作业需学生独立思考完成，不得抄袭他人答案。
3. 准确规范：答案需准确无误，步骤需规范完整，体现解题思路。
4. 清晰整洁：书写需清晰易读，作业整洁，不乱涂乱画。
5. 及时反馈：学生需对自身解题过程进行反思，总结经验教训，为下一步学习做好准备。
四、作业评价教师将对作业进行批改和评价，主要从以下几个方面进行：1. 知识掌握情况：评价学生对一次函数概念及性质的掌握程度。
2. 应用能力：评价学生将一次函数模型应用于实际问题中的能力。
3. 解题思路：评价学生的解题思路是否清晰、规范。
4. 作业态度：评价学生的作业态度是否认真、整洁。
五、作业反馈作业反馈是本次作业设计的重要环节，教师将根据学生的作业情况，进行以下反馈：1. 对全体学生的共性问题进行讲解和指导，帮助学生查漏补缺。
2. 对个别学生的问题进行单独辅导和解答，帮助其解决问题。
一次函数与方案设计问题含答案
《一次函数与方案设计问题》试题精选及解析一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有着密切联系，在实际生活、生产中有广泛的应用，尤其是利用一次函数的增减性及其有关的知识可以为某些经济活动中的方案设计和选择做出最佳的决策．下面以近几年来全国各地的中考题为例说明一次函数在方案设计中的重大作用．一、生产方案的设计例1（镇江市）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务．要求在８天之内（含８天）生产Ａ型和Ｂ型两种型号的口罩共５万只，其中Ａ型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产Ａ型口罩每天能生产0.6万只，若生产Ｂ型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只Ａ型口罩可获利0.5元，生产一只Ｂ型口罩可获利0.3元．设该厂在这次任务中生产了Ａ型口罩x万只．问：（１）该厂生产Ａ型口罩可获利润_____万元，生产Ｂ型口罩可获利润_____万元；（２）设该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（３）如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下，你如何安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数?最短时间是多少？分析：（１）0.5x，0.3（5－x）；（２）y＝0.5x＋0.3（5－x）＝0.2x＋1.5，首先，1.8≤x≤５，但由于生产能力的限制，不可能在８天之内全部生产Ａ型口罩，假设最多用t天生产Ａ型，则（８－t）天生产Ｂ型，依题意，得0.6t＋0.8（８－t）＝５，解得t＝７，故x最大值只能是0.6×7＝4.2，所以x的取值范围是1.8（万只）≤x≤4.2（万只）；（３）○1要使y取得最大值，由于y＝0.2x＋1.5是一次函数，且y随x增大而增大，故当x取最大值4.2时，y取最大值0.2×4.2＋1.5＝2.32（万元），即按排生产Ａ型4.2万只，Ｂ型0.8万只，获得的总利润最大，为2.32万元；○2若要在最短时间完成任务，全部生产Ｂ型所用时间最短，但要求生产Ａ型1.8万只，因此，除了生产Ａ型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产Ｂ型．所需最短时间为1.8÷0.6＋3.2÷0.8＝７（天）．二、营销方案的设计例２（湖北）一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份１元，卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社．在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同．若以报亭每天从报社订购的份数为自变量x，每月所获得的利润为函数y．（１）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（２）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？分析：（１）由已知，得x应满足60≤x≤100，因此，报亭每月向报社订购报纸30x份，销售（20x＋60×10）份，可得利润0.3（20x＋60×10）＝6x＋180（元）；退回报社10（x－60）份，亏本0.5×10（x －60）＝5x －300（元），故所获利润为y ＝（6x ＋180）－（5x －300）＝x ＋480，即y ＝x ＋480．自变量x 的取值范围是60≤x ≤100，且x 为整数．（２）因为y 是x 的一次函数，且y 随x 增大而增大，故当x 取最大值100时，y 最大值为100＋480＝580（元）．三、优惠方案的设计例３（南通市） 某果品公司急需将一批不易存放的水果从Ａ市运到Ｂ市销售．现有三家运输（１）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的２倍，求Ａ，Ｂ两市的距离（精确到个位）； （２）如果Ａ，Ｂ两市的距离为s 千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元／小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？分析：（１）设Ａ，Ｂ两市的距离为x 千米，则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是：甲公司为（6x ＋1500）元，乙公司为（8x ＋1000）元，丙公司为（10x ＋700）元，依题意，得（8x ＋1000）＋（10x ＋700）＝２×（6x ＋1500），解得x ＝21632≈217（千米）； （２）设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为1y ，2y ，3y （单位：元），则三家运输公司包装及运输所需的时间分别为：甲（60s ＋４）小时；乙（50s ＋２）小时；丙（100s ＋３）小时．从而1y ＝6s ＋1500＋（60s ＋４）×300＝11s ＋2700， 2y ＝8s ＋1000＋（50s ＋２）×300＝14s ＋1600， 3y ＝10ｓ＋700＋（100s ＋３）×300＝13ｓ＋1600， 现在要选择费用最少的公司，关键是比较1y ，2y ，3y 的大小．∵s ＞０，∴2y ＞3y 总是成立的，也就是说在乙、丙两家公司中只能选择丙公司；在甲和丙两家中，究竟应选哪一家，关键在于比较1y 和3y 的大小，而1y 与3y 的大小与Ａ，Ｂ两市的距离s 的大小有关，要一一进行比较．当1y ＞3y 时，11s ＋2700＞13s ＋1600，解得s ＜550，此时表明：当两市距离小于550千米时，选择丙公司较好；当1y ＝3y 时，s ＝550，此时表明：当两市距离等于550千米时，选择甲或丙公司都一样； 当1y ＜3y 时，s ＞550，此时表明：当两市的距离大于550千米时，选择甲公司较好．四．调运方案的设计例４ Ａ城有化肥200吨，Ｂ城有化肥300吨，现要把化肥运往Ｃ，Ｄ两农村，如果从Ａ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是20元／吨与25元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是15元／吨与22元／吨，现已知Ｃ地需要220吨，Ｄ地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最小?分析：根据需求，库存在Ａ，Ｂ两城的化肥需全部运出，运输的方案决定于从某城运往某地的吨数．也就是说．如果设从Ａ城运往Ｃ地x 吨，则余下的运输方案便就随之确定，此时所需的运费y （元）也只与x （吨）的值有关．因此问题求解的关键在于建立y 与x 之间的函数关系．解：设从Ａ城运往x 吨到Ｃ地，所需总运费为y 元，则Ａ城余下的（200－x ）吨应运往Ｄ地，其次，Ｃ地尚欠的（220－x ）吨应从Ｂ城运往，即从Ｂ城运往Ｃ地（220－x ）吨，Ｂ城余下的300－（220－x ）＝15（220－x ）＋22（80＋x ），即y ＝２x ＋10060，因为y 随x 增大而增大，故当x 取最小值时，y 的值最小．而０≤x ≤200，故当x ＝０时，y 最小值＝10060（元）．因此，运费最小的调运方案是将Ａ城的200吨全部运往Ｄ地，Ｂ城220吨运往Ｃ地，余下的80吨运往Ｄ地．练习题：１．(河北)某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品，共50件．已知生产一件A 种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．(1)要求安排A ，B 两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；(2)生产A ，B 两种产品获总利润是y (元)，其中一种的生产件数是x ，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?２． 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台．求：(1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台?(2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案?(3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?３． 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元．由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润情况如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为x (万元)、y (万元)、z (万元)( x,y,z都是整数)．(1) 请用含x的代数式分别表示y和z；(2) 若商场预计每日的总利润为C(万元)，且C满足C1919.7，问这个商场应怎样分配日≤≤营业额给三个经营部?各部应分别安排多少名售货员?４．某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠．５．某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利润30元．设生产L型号的童装套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y (元)．(1)写出y (元)关于x (套)的函数解析式；并求出自变量x的取值范围；(2)该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?６．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润．某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙(1)若用8辆?(2)公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售(每种蔬菜不少于一车)，如何安排装运，可使公司获得最大利润?最大利润是多少?4．有批货物，若年初出售可获利2000元，然后将本利一起存入银行．银行利息为10%，若年末出售，可获利2620元，但要支付120元仓库保管费，问这批货物是年初还是年末出售为好?。
数学人教版八年级下册一次函数——方案问题
课题学习选择方案类型一: 利用函数值的大小选择方案题型1 选择销售方案例1 、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获得15%的利润，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付存储费700元，请根据商场的资金情况，判断一下选择哪种销售方式获利较多，并说明商场投资25000元时，哪种销售方式获利较多。
题型2 选择购买方案例2 甲乙两家体育器材商店出售同样地乒乓球拍和乒乓球，球拍每幅定价60元，乒乓求每盒定价10元。
今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买1副乒乓球拍赠2盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠。
某校乒乓球队需要2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）设该校要买乒乓求x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需要用y2元。
（1）请分别写出y1、y2与之间的函数解析式（不注明自变量x的取值范围）；（2）对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜；（3）若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案。
例3、商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价为5元，该店制定了两种优惠办法：(1)买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款。
某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若设购买茶杯数为x（只），付款数为y(元)，试分别写出两种优惠办法中y(元)与x（只）之间的函数解析式，并讨论两种办法中哪种更省钱。
题型4 选择生产方案问题例5、某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为1万元，其原材料成本价（含其他损耗）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产出，为达到国家环保要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元。
一次函数方案设计专题练习
25．本题12分某汽车租赁公司共有30辆出租汽车，其中甲型汽车20辆，乙型汽车10辆．现将这30辆汽车租赁给A 、B 两地的旅游公司，其中20辆派往A 地，10辆派往B 地，两地旅游公司（1）设派往A 地的乙型汽车x 辆，租赁公司这30辆汽车一天共获得的租金为y （元），求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26800元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案． 25．解：（1）y ＝1000(20－x )＋900x ＋800x ＋600(10－x )＝26000＋100x （0≤x ≤10）………………………………………4分（2）依题意得：2680010026000≥+x ，又因为100≤≤x ………………6分 ∴108≤≤x ，因为x 是整数 ∴x =8，9，10，方案有3种…………7分方案1：A 地派甲型车12辆，乙型车8辆；B 地派甲型车8辆，乙型车2辆； 方案2：A 地派甲型车11辆，乙型车9辆；B 地派甲型车9辆，乙型车1辆； 方案3：A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆。
......8分 （3）∵x y 10026000+=是一次函数，且100=k ﹥0，..................9分 ∴y 随x 的增大而增大，∴当x =10时，这30辆车每天获得的租金最多...11分 ∴合理的分配方案是A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆 (12)1、我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%． （1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？ （2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？ （3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用解：（1）设购买甲种树苗x 株，乙种树苗y 株，则列方程组⎩⎨⎧x +y =80024x +30y =21000解得：⎩⎨⎧x =500y =300，答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株．（2）设购买甲种树苗z 株，乙种树苗（800－z ）株，则列不等式85%＋90%（800－z ）≥88%×800 解得：z ≤320（3）设甲种树苗m 株，购买树苗的费用为W 元，则W ＝24m ＋30（800－m ）＝－6m ＋2400 ∵－6＜0∴W 随m 的增大而减小， ∵0＜m ≤320∴当m ＝320时，W 有最小值 W 最小值＝24000－6×320＝22080元答：当选购甲种树苗320株，乙种树苗480株时，总费用最低为22080元．2、（2011山东日照，22，9分）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：y （元）． （1）求y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a 元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？【答案】 (1)根据题意知,调配给甲连锁店电冰箱(70-x )台,调配给乙连锁店空调机(40-x )台,电冰箱(x -10)台， 则y =200x +170(70-x )+160(40-x )+150(x -10)，即y =20x +16800．∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≥-≥,010,040,070,0x x x x∴10≤x ≤40． ∴y =20x +168009 (10≤x ≤40);(2)按题意知：y =（200-a ）x +170(70-x )+160(40-x )+150（x -10）， 即y =（20-a ）x +16800． ∵200-a ＞170，∴a ＜30．当0＜a ＜20时，x =40，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；当a =20时，x 的取值在10≤x ≤40内的所有方案利润相同；当20＜a ＜30时，x =10，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台；3、9. （2011福建泉州，24，9分）某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13℅的政府补贴。
初二八年级数学下册《解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题》(附答案演示)【人教版适用】
解：(2)∵B种树苗的数量不超过
35棵，但不少于A种树苗的数量， ∴ ∴22.5≤x≤35.
设总费用为W元，则W＝6.4x＋
32＋7(45－x)＝－0.6x＋347. ∵k＝－0.6<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝35，45－x＝10时，总费用最低，即购买B种 树苗35棵，A种树苗10棵时，总费用最低，W最低＝ －0.6×35＋347＝326(元)．
5．A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向 而行，甲先出发，图中l1，l2
表示两人离A地的距离s(km)
与时间t(h)的关系，请结合图 象解答下列问题：
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是
(填l1
或l2)；甲的速度是 30 km/h，乙的速度是 20 km/h；
解析：由题意可知，乙的函数
kg将亏损6元，以x(单位：kg，2000≤x≤3000)表示A
酒店本月对这种水果的需求量，y(元)表示水果店销售
这批水果所获得的利润． (1)求y关于x的函数表达式；
解：(1)当2000≤x≤2600时，y＝10x－6(2600－x)＝16x
－15600；当2600＜x≤3000时，y＝2600×10＝26000，
பைடு நூலகம்
四、分类讨论思想
4．江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两 “龙虾节”期间，甲、乙两家商店 都让利酬宾，付款金额y甲，y乙
家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，
(单位：元)与原价x(单位：元)之
间的函数关系如图所示：
(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式； 解：(1)y甲＝0.8x，y乙＝
∴y＝
(2)当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店
建立函数模型,解决实际问题
建立函数模型，解决实际问题建立函数模型解决实际决策型问题是实践性，创新性很强的命题亮点，其解题步骤一般如下：由实际问题⋅⋅−−−−−→分析抽象转化数学模型（如函数等）−−−→−推理演算解答数学问题−−→−校验回归实际问题。
一、建立一次函数模型例1．鞋子的“鞋码”y 与鞋长x （cm ）存在一次函数的关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值： 鞋长（cm ） 16 19 24 27 鞋码22 28 38 44 （1）请根据表格中的数值，求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果你需要的鞋长为26cm ，那么应该买多大码的鞋？【命题意图】本题旨在考查根据表格提供的数据，利用待定系数法建立一次函数（模型）关系，然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】可先设一次函数解析式为：y ＝k x ＋b ，根据表中所提供的数据，取两组值分别代入解析式中的x 与y 得到方程组，解方程组即可求出函数解析式解：（1）设y ＝k x ＋b ，则由题意，得⎩⎨⎧+=+=b k b k 19281622，解得：⎩⎨⎧-==102b k ， ∴ y ＝2x －10；（2）当x ＝26时，y ＝2×26－10＝42答：应该买42码的鞋。
二、建立反比例函数模型例2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气球体积V （米3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不少于多少立方米？【命题意图】本题旨在考查根据图象（点的坐标），利用待定系数法确定反比例函数关系（模型），然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】由图象中A 点的坐标求得反比例函数解析式；对于（3），可利用反比例函数的性质，先求出气压是144千帕时对应的体积，再分析出气球的体积应不小于多少．解：（1）设此反比例函数为)0(≠=k V k p ． 由图象知反比例函数的图象经过点A （1.5，64），∴5.164k =，∴k=96． 故此函数的解析式为Vp 96=； （2）当V=0．8时，1208.09696===V p （千帕）；（3）当p=144时，V96144=， ∴3214496==V （3米）． 由图象可知，该反比例函数p 随V 的增大而减小，故为安全起见，气球的体积应不小于332m ． 【解题心得】在解题时，要充分利用图象、表格中信息和文字信息，把实际问题转化为数学问题，进一步体会数与形的统一．。
一次函数模型的实际应用
一次函数模型的实际应用1.购买方案问题(中考·临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/m2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120m2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1)请写出售价y(元/m2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数关系式；(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．跟踪训练1．(中考·孝感)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．(1)求A种，B种树木每棵各多少元．(2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.2．(中考·包头)甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3 000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%.设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．(1)分别求出y1，y2与x之间的关系式．(2)当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？(3)当所买商品为5件时，选择哪个商场更优惠？请说明理由．2.利润方案问题(中考·济宁)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．(1)若购进这100件服装的费用不得超过7 500元，则甲种服装最多购进多少件？(2)在(1)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0＜a＜20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？跟踪训练“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车2017年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份2与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.(1)求今年A型车每辆销售价为多少元(用列方程的方法解答)；(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？3.租车方案问题(中考·广安)为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：(1)求这15辆车中大小货车各多少辆？(2)现安排其中的10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A，B两村总费用为y 元，试求出y与x的函数表达式．(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少总费用．跟踪训练(中考·甘孜州)某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A ，B 型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：经测算，租用A ，B 型客车共13辆较为合理，设租用A 型客车x 辆，根据要求回答下列问题：(1)用含x 的代数式填写下表：(2)采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？4.合理决策问题现从A ，B 两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A ，B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A 蔬菜市场到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B 蔬菜市场到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨．(1)设A 蔬菜市场向甲地运送蔬菜x 吨，请完成下表：(2)设总运费为W 元，请写出W 与x 的函数关系式；(3)怎样调运蔬菜才能使总运费最少？跟踪训练(中考·阜新)随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车．两种轿车的进价和售价如下表：(1)请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？(2)如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润．(注：其他费用不计，利润＝售价－进价)5.选择方案问题(中考·黄冈)我市某风景区门票价格 如图所示．黄冈赤壁旅游公司有甲、 乙两个旅行团队，计划在五一小黄金 周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x 人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W 元．(1)求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱；(3)五一小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a 元；人数超过100人时，每张门票降价2a 元．在(2)的条件下，若甲、乙两个旅行团队五一小黄金周之后去游玩，最多可节约3 400元，求a 的值．跟踪训练某区人畜饮用水紧张．每天需从社区外调运饮用水120吨，有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨．从两水厂运水到该社区供水点的路程和运费如下表：(1)若某天调运水的总运费为26 700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？(2)设从甲厂调运饮用水x 吨，总运费为W 元．试写出W 关于x 的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？。
构造一次函数模型解方案设计应用题
甲公 司 乙公 司 丙公 司 ６ ０ ５ ０ １ｏ ０ ６ ８ １ ０ ４ ２ ３ １０ ５ｏ １０ Ｏ０ ７ｏ ０
解 答下列 问题 ： （ 若乙 １ ） 丙两家公 司的包装与装卸及运输 的费用总和恰好是 甲公 司的２ ， 、两市的 倍 求Ａ Ｂ
距离（ 精确到个位） ； （ 如果Ａ、两市 的距离为ｓ ２ ） 曰 千米 ， 且这批水 果在包装与装卸以及运输过程中的损耗 为３０ ０ 元／、 那么要使公 司支付的总费用（ ／ 时， Ｊ 包装与装 卸费用 、 运输 费用及损耗三项之 和） 最小 ， 应选 择哪家运输公司？ 解析： 这是一道结合实际设计的应用题． 其 背景是我们熟悉的运输问题 ， 所涉及的数据用 表格给ｍ， 同学们只要仔细看懂表格 ， 运用所收 集的数据建立一次函数模型，再根据一次函数 的增减性及函数 自变量的取值范围， 就能够解
ｙｚ ８＋００ ［ ＋） ３０ １ｓ１０， ＝ｓ１０＋ ｓ ２ ］× ０＝４＋６０
：Ｏ＋ ０ ｌｓ７ ｏ
加工的水产品全部出售 ， 那么如何安排生产可 使一天所获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 解析： 本题要求最大利润， 只要建立起一次 ３ × ０＝３＋ ６０－ ｏ． ， ） ３ｏ ｌ １０・ ］ ｓ ・ ，） ．２ ・ 函数模型， 根据增减性即可求解．
时’ 一， ＿ ｌ Ｊ ２・＝ ＋， ｝ ． ＝ ．
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一次函数与方案设计问题
一次函数与方案设计问题一、一次函数的最值一次函数y=kx+b 在n ≤x ≤m 时可取得最值。
何时取得最大值，何时取得最小值，与比例系数k 的符号有关，可分下面几种情况。
○1当k ＞0时，⎩⎨⎧==时，取得最小值时，取得最大值n x m x如：y=2x-6（2≤x ≤5）当x= 时取得最大值 ，当x= 时取得最小值 .○2当k ＜0时，⎩⎨⎧==时，取得最小值时，取得最大值m x n x 如：y=-2x-6（2≤x ≤5）当x= 时取得最大值 ，当x= 时取得最小值 . 二、最优化问题的解法(一)调运方案设计在商品经济领域，人们要考虑降低生产成本和追求最大利润，有时需要考虑合理调配人力和物力来达到这一目的，下面就如何减少运费和分配劳动力来达到最优化的问题来领会一次函数的作用。
例1、A 市和B 市分别库存机器12台和6台，现在决定支援给C 县10台，D 县8台。
已知从A 市调走一台机器到C 县、D 县的运费分别为400元和800元，从B 市调走一台机器到C 县、D 县的运费分别为300元和500元。
指出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？分析：设 表○1调运机器台数 收地C 县收地D 县总计 运地A 市 运地B 市 总计表○2运费 收地C 县收地D 县运地A 市 运地B 市由上表可以看出：总运费 化简得要想运输方案能够实施，调运机器台数解决这类问题可分三步：1、用表格分析数量关系，列出一次函数解析式。
2、根据实际数据都是非负数列不等式组求出自变量的取值范围。
3、写出最大值或最小值。
练习：1、现从A、B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A、B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地的运费为每吨50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B到甲地的运费为每吨60元/吨，到乙地的运费为45元/吨。
⑴、设从A到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表．甲地乙地总计A xB总计⑵、总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式．⑶、怎样调运蔬菜才能使总运费最少、（二）生产方案设计例2、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。
一次函数方案设计问题
一次函数方案设计问题引言一次函数是指形如 y = ax + b 的函数，其中 a 和 b 是常数。
在实际应用中，设计一次函数方案能够解决很多实际问题，比如线性拟合、趋势预测等。
本文将探讨一次函数方案设计问题，包括相关的数学知识和实际应用案例。
一次函数概述一次函数，也称为一次方程或直线函数，是指函数的最高项次数为 1 的函数。
一次函数的一般形式为 y = ax + b，其中 a 表示直线的斜率，决定了直线的倾斜程度，b 表示直线的纵截距，表示直线与 y 轴的交点。
一次函数的特点包括： - 函数的图像是一条直线； - 直线的斜率决定了直线的倾斜程度，正斜率表示上升的趋势，负斜率表示下降的趋势； - 直线的纵截距表示直线与 y 轴的交点的 y 值； - 直线的横截距表示直线与 x 轴的交点的 x 值。
一次函数的设计问题在实际应用中，一次函数的设计问题涉及到如何通过已知的数据点来确定函数中的参数 a 和 b，从而最佳地拟合数据。
常见的设计问题包括：1. 线性拟合线性拟合是一次函数最常见的应用之一，通过已知的数据点，使用一次函数来拟合这些数据，从而得到一个最佳的线性模型。
线性拟合可以用于： - 数据趋势分析，比如预测未来的趋势； - 数据预测，比如根据过去的趋势预测未来的值。
线性拟合的过程可以用最小二乘法来计算，即找到使得拟合误差最小的参数 a 和 b。
2. 数据平滑一次函数也可以用于数据平滑，即通过已知的数据点来消除数据中的噪声和波动。
数据平滑可以用于： - 滤波，去除数据中的高频噪声； - 提取数据的趋势，去除数据的低频噪声。
一次函数可以通过最小二乘法来计算，找到使得拟合误差最小的参数 a 和 b。
3. 系统建模在系统建模中，一次函数可以用于描述系统的输入与输出之间的关系。
通过已知的输入输出数据点，可以使用一次函数来建立系统的数学模型，从而分析系统的行为和性能。
系统建模可以应用于： - 自动控制系统设计，根据输入信号和输出信号建立控制模型； - 信号处理系统设计，根据输入信号和输出信号建立滤波模型。
一次函数模型的实际应用
一次函数模型的实际应用1. 购买方案问题(中考临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售. 某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/m2,从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120m2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送 a 元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1) 请写出售价y(元/m2)与楼层x(1叹w 23 x取整数)之间的函数关系式；(2) 老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．跟踪训练1.(中考孝感)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升.某校计划购进A, B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380 元.(1) 求A种，B种树木每棵各多少元.(2) 因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素),实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用.2 .仲考包头)甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3 000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件是：每件优惠25%.设所买商品为x件时, 甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元.(1) 分别求出y1, y2与X之间的关系式.(2) 当甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为多少件？(3) 当所买商品为5 件时,选择哪个商场更优惠？请说明理由.2. 利润方案问题(中考 济宁)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题： 服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价 80元，售价120元；乙种每件进价 60元，售价90元.计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于 65件.(1)若购进这100件服装的费用不得超过 7 500元，则甲种服装最多购进多少件？ ⑵在⑴的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠 a(0 v a v 20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变， 那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？跟踪训练“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继 投放市场，顺风车行经营的 A 型车2017年6月份销售总额为 3.2万元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份2与去年6月份卖出的A 型车数量相同，则今年 6 月份A 型车销售总额将比去年 6月份销售总额增加 25%.(1)求今年A 型车每辆销售价为多少元(用列方程的方法解答);B 型车共50辆，且B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何3. 租车方案问题(中考广安)为了贯彻落实市委市政府提出的 精准扶贫”精神.某校特制定了一系列关于帮扶A ,B 两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A , B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗•已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A , B 两村的运费如下表：(1) 求这15辆车中大小货车各多少辆？(2) 现安排其中的10辆货车前往A 村，其余货车前往 B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A , B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数表达式.⑶在(2)的条件下，若运往 A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少总费用.(2)该车行计划7月份新进一批A 型车和 进货才能使这批车获利最多？A 、B 两种型号车的进货和销售价格如下表：跟踪训练（中考 甘孜州）某学校计划组织 500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有 A , B 型两种客车,它们的载客量和租金如下表所示：经测算，租用 A , B 型客车共13辆较为合理，设租用 A 型客车x 辆，根据要求回答下列问题: （1）用含x 的代数式填写下表：⑵采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？跟踪训练（中考 阜新）随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加.某汽车经销 商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车.两种轿车的进价和售价如下表： （1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？⑵如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润.（注：其他费用不计，利润=售价-进价 ）4. 合理决策问题现从A, B 两个蔬菜市场向甲、 乙两地运送蔬菜, 乙地需要蔬菜13吨，从A 蔬菜市场到甲地的运费为 运费为60元/吨，到乙地的运费为 45元/吨.A ,B 两个蔬菜市场各有蔬菜 14吨，其中甲地需要蔬菜 15吨, 50元/吨，到乙地的运费为 30元/吨；从B 蔬菜市场到甲地的（1） 设A 蔬菜市场向甲地运送蔬菜 x 吨，请完成下表:（2） 设总运费为 W 元，请写出 W 与x （3）怎样调运蔬菜才能使总运费最少?5. 选择方案问题(中考 黄冈)我市某风景区门票价格如图所示•黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅行团队，计划在五一小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为 120人，乙团队人数不超过 50人•设甲团队人数为 x 人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W 元.(1)求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；⑵若甲团队人数不超过 100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱; (3) 五一小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过 人但不超过100人时，每张门票降价 a 元；人数超过100人时，每张门票降价 个旅行团队五一小黄金周之后去游玩，最多可节约呂屮 ----70 ------ 勺 -- •--------- -； ------ 9-跟踪训练某区人畜饮用水紧张.每天需从社区外调运饮用水120吨，有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出 80吨，乙厂每天最多可调出 90吨.从两水厂运水到该社区供水点的路程和运费如下 表：(1) 若某天调运水的总运费为 26 700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？(2) 设从甲厂调运饮用水 x 吨，总运费为 W 元.试写出 W 关于x 的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天 的总运费最省？50人时，门票价格不变；人数超过 502a 元.在(2)的条件下，若甲、乙两3 400元，求a 的值.。
一次函数的实际应用专题(四个常考模型)【精品】
解：(1)y甲＝477x，y乙＝ 530x（0≤x≤3） 424x＋318（x＞3）
(2)当477x＝424x＋318时，解得x＝6. 即当x＝6时，到甲、乙两个商店购买所需费用相同； 当477x<424x＋318时，解得x<6， 又x≥4，于是，当4≤x＜6时，到甲商店购买合算； 当477x>424x＋318时，解得x>6， 又x≤10，于是，当6＜x≤10时，到乙商店购买合算．
(3)如果购进两种饮料的总费用不超过2 100元，那么该商场如何进货才能获利最多？ 并求出最大利润．
果汁饮料 碳酸饮料
进价/(元/箱)
40
25
售价/(元/箱)
52
32
解：(1)y与x的函数解析式为y＝60－x. (2)总利润w关于x的函数解析式为 w＝(52－40)x＋(32－25)(60－x)＝5x＋420. (3)由题意，得40x＋25(60－x)≤2 100，解得x≤40. ∵w＝5x＋420，w随x的增大而增大， ∴当x＝40时，w最大＝5×40＋420＝620，
此时购进碳酸饮料60－40＝20(箱)． ∴该商场购进两种饮料分别为40箱和20箱时，能获得最大利润620元．
2．有A，B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电， A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少发1800度电． (1)求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度？ (2)A，B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾 的两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．
解：(1)设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，B发电厂发电b度，根据题意，得 30b－20a＝1800， a－b＝40，
解得 a＝300 b＝260
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，B发电厂发电260度． (2)设A发电厂焚烧x吨垃圾，B发电厂焚烧(90－x)吨垃圾，总发电量为y度，则 y＝300x＋260(90－x)＝40x＋23400， ∵x≤2(90－x)， ∴x≤60. ∵y随x的增大而增大， ∴当x＝60时，y有最大值，此时y＝40×60＋23400＝25800. 答：A厂和B厂总发电量的最大值是25800度．
一次函数模型的方案设计题
空调
彩电
进价 (元/台 )
售价 (元/台 )
设商场计划购进空调 x台 9空 调和彩 电全部销售后商场获得的利润为 。
`元 (1)试 写出冫关于 丌的函数关系式; (2)商 场有哪几种进货方案可供选择? (3)选择哪种进货方案,商 场获利最大?最大利润是多少元?
第 6页
1200-450=750
答 :商 场购 进 甲型节 能灯 450只 ,乙 型节 能 灯 750只 时获 利 最 多,且 增 大 利 润 为 13500氐、
例 3.深 圳某 科技 公 司在 甲地 、 乙地分 别生产 了 17台 、15台 同一种 型 号 的检测
设备,全 部运往 大运赛 场 厶B两馆,其 中运往 Ⅱ 馆 18台 ,运 往 ￡馆 14台 。运往
土特产种类
甲
乙
丙
每辆汽车的运载量 (吨 )
8
6
5
解 每吨土特产获利 (百 元 冫 辆
12
16
10
舢车
椭大
⒛
不少于 辆
(
· 〓
解
· 〓 ∴ ∴
甲
方案-
3辆
方案二
4辆
方案三
5辆
(3)设 此次销售获利为 〃元,则 有:
乙
11彐俩
8辆 5辆
丙
6辆 8辆 10辆
〃 〓〓8艿 × 12」卜600-3艿 )× 16十 5⒓ 0-ˉ 艿 -(20-3艿 )]× 10=-92丌 十 1920
一次 函数 模 型 的方案 设计题
在实际问题 中常会运用函数知识建立函数模型,即 先列出符合题意的函数关
系式,然 后根据函数的性质综合方程 (组 )、 不等式 (组 )及其图象求解.其 中建
专题21 用一次函数解决实际问题压轴题五种模型全攻略(原卷版)
专题21用一次函数解决实际问题压轴题五种模型全攻略考点一用一次函数解决分配方案问题考点二用一次函数解决最大利润问题考点三用一次函数解决行程问题考点四用一次函数解决几何问题考点五用一次函数解决其他问题考点一用一次函数解决分配方案问题例题：（2022·全国·八年级单元测试）旅游团一行60人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅游团共住满了30间客房，问三种客房各住几间，共几种安排方案？怎样安排住宿消费最低，最低消费是多少？【变式训练】120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？考点二用一次函数解决最大利润问题【变式训练】(2)如果乙店按照A种文具3箱、B种文具7箱配货，可盈利118元；如果乙店按照A种文具8箱、B种文具2箱配货，可盈利98元．请求出乙店A、B两种文具每箱分别盈利多少元？(3)在甲、乙两店各配货10箱，且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使小刚的爸爸盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？考点三用一次函数解决行程问题例题：（2021·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶，已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．(1)张师傅开车行驶____小时后开始加油，本次加油____升．(2)求加油前Q与t之间的函数关系式．(3)如果加油站距目的地320千米，汽车行驶速度为80千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．【变式训练】1．（2021·江苏·西安交大苏州附中八年级阶段练习）甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B 两地间的路程为20km，他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息回答下列问题：(1)甲的速度是km/h，乙比甲晚出发h；(2)分别求出甲、乙两人前进的路程s与甲出发后的时间t之间的函数关系式；(3)甲经过多长时间被乙追上？此时两人距离B地还有多远？2．（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离1y（单位：km），2y（单位：km）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：(1)甲车的行驶速度为km/h，乙车的行驶速度为km/h；t≤≤时，求乙车与C地的距离2y与甲车行驶时间t之间的函数关系式；(2)当14(3)当乙车出发小时，两车相遇；考点四用一次函数解决几何问题再将AOB(1)点A的坐标为______；点B的坐标为______；【变式训练】(1)分别求点B，C的坐标；(1)请求出y与x之间的关系式；考点五用一次函数解决其他问题例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）五一节快到了，单位组织员工去旅游，参加人数估计为10至20人．甲，乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了优惠方案．甲旅行社的优惠方案是：买3张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠方案是：一律按6折优惠．已知两家旅行社的原价均为每人100元．(1)分别表示出甲旅行社收费y1，乙旅行社收费y2与旅游人数x的函数关系式；(2)随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？【变式训练】1．（2022·广东湛江·八年级期末）防疫期间，某药店销售一批外科口罩，如果一次性购买50个以上的外科口罩，超过50个部分按原价打8折优惠出售．上个月小王家一次性买了外科口罩90个，花了41元；小李家一次性买了外科口罩120个，花了53元．(1)求销售一个外科口罩的原价和优惠价分别是多少？(2)设一次性购买外科口罩x个，花费y元，写出y与x之间的函数关系式．(3)这个月学校一次性购买该外科口罩680个，花了多少钱？2．（2022·广东·八年级单元测试）2020年“中国移动”公司提供两种通讯收费方案供客户选择．方案一：按月收取座机费40元，此外每分钟的费用是0.1元；方案二：无座机费用，直接按通话时间计费，每分钟的费用是0.2元．根据以上信息，解答下列问题：(1)设通话时间为x分钟，方案一的通讯费用为1y元，方案二的通讯费用为2y元，则1y与x的函数关系式为，2y与x的函数关系式为．(2)当通话时间为多少分钟时，两种方案费用相同？(3)小明的爸爸每月的通话时间约为500分钟，则他选择哪种通讯收费方案更合算？一、选择题1．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，某电信公司手机的收费标准有A B，两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示，当通话时间为50分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（）A．30元B．20元C．15元D．10元2．（2022·江苏·盛泽一中八年级阶段练习）某市为了改善生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上一年增加一万亩，以植树时间年数x（年）为自变量，植树总数y（万亩）是x的一次函数．此函数的图象为（）A．B．C．D．3．（2022·重庆南开中学九年级开学考试）东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，东东和爸爸在整个运动过程中离家的距离1y（米），2y（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（）A．两人前行过程中的速度为180米/分B．m的值是15，n的值是27008．（2022·河南·郑州市第七十三中学八年级期中）甲、乙两名大学生去距学校36km的某乡镇进行社会调查，他们从学校出发，骑电动车行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行向前走，乙骑电动车按原路返回，取到相机后马上骑电动车追甲，在距乡镇13.5km处追上甲并同车前往乡镇，若电动车速度始终不变，设甲与学校相距y甲km，乙与学校相距y乙km，甲离开学校的时间为x min，y甲，y乙与x之间的函数图象如图，则下列结论：①电动车的速度为0.9km/min；②甲步行所用的时间为45min；③甲步行的速度为0.15 km/min．其中正确的是___________（只填序号）．三、解答题9．（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学八年级期中）在暑假来临之际，某班准备组织学生到某园区进行户外活动，经了解该园区有甲、乙两种收费方案，设入园人数为x时所需费用为y元，y与x的函数关系如图所示：(1)分别求出甲、乙两种收费方案所需费用y（单位：元）与入园人数x（单位：人）之间的函数关系；(2)如果你是组织者，你认为应选择哪种方案？请说明理由．10．（2022·全国·八年级专题练习）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元．B 型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．若设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．(1)则购进B型电脑_______台；（用含有x的代数式表示）(2)直接写出y关于x的函数关系式_______；(3)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？11．（2022·四川达州·八年级期中）已知在平面直角坐标系中，直线()11140y k x k =+≠与直线()2220y k x k =≠交于点()6,12C ，直线1y 分别与x 轴，y 轴交于点A 和点B ．(1)求直线1y 与2y 的表达式及点A ，点B 的坐标；(2)x 轴上是否存在点P ，使ACP △的面积为24，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)点P 是x 轴上一动点，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点E ，交直线OC 于点F ，求出当EF 长为4时点P 的坐标．12．（2022·福建三明·八年级期中）某羽毛球馆有两种消费方式：A 种是办理会员卡，但需按月缴纳一定的会员费；B 种是不办会员卡直接按打球时间付费两种消费方式每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：(1)A 种方式要求客户每月支付的会员费是___________元，B 种方式每小时打球付费是___________元； (2)写出办会员卡打球的月费用1y (元)与打球时间x (小时)之间的关系式___________； (3)小王每月打球时间为10小时，他选用哪种方式更合算？13．（2022·全国·八年级专题练习）A 城有肥料200t ，B 城有肥料300t ，现要把这些肥料全部运往C 、D 两乡，从A 城往C 、D 两乡运肥料的费元用分别为20元/t 和25元/t ；从B 城往C 、D 两乡运肥料分别为15元/t 和24元/t ．现C 乡需要肥料240t ，D 乡需要肥料260t ，设A 城运往C 乡的肥料为x 吨，运往C 乡肥料的总运费为1y ，运往D 乡肥料的总运费为2y ；(1)写出1y 关于x 的函数关系式以及2y 关于x 的函数关系式并指出自变量的取值范围；(2)怎么样调度使得该过程的总运费最少并求出最少的运输费以及最少的运输方案；(3)由于从B 城到D 乡开辟了一条新的公路，使B 城到D 乡的运输费每吨减少了a (28)a ≤≤元，如何调度才能使总运费最少？最少运输费是多少？（用含a 的式子表达）14．（2022·河南·郑州外国语中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y x m =+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点()2,4C 为直线y x m =+上一点，直线y x b =-+过点C ．(1)求m 和b 的值；(2)直线y x b =-+与x 轴交于点D ，动点P 在x 轴上．①若ACP △的面积为8，求点P 坐标；②是否存在点P 使ACP △为等腰三角形，若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．。
初二数学_一次函数的方案设计问题试题精选及解析
利用一次函数选择最佳方案(1)根据自变量的取值范围选择最佳方案:A 、列出所有方案，写出每种方案的函数关系式；B 、画出函数的图象，求出交点坐标，利用图象来讨论自变量在哪个范围内取哪种方案最佳。
（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：A 、首先弄清最佳方案量与其他量之间的关系，设出最佳方案量和另外一个量，建立函数关系式。
B 、根据条件列出不等式组，求出自变量的取值范围。
C 、根据一次函数的增减性，确定最佳方案。
根据自变量的取值范围选择最佳方案:例1、某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。
印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。
两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x （份）之间的函数关系如图所示：（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是_______ ____。
乙种收费方式的函数关系式是_______ ____。
（2）该校某年级每次需印制100∽450（含100和450）份学案， 选择哪种印刷方式较合算。
例2、某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠，”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠，”已知全票价为240元，设学生人数为x ，甲旅行社的收费为甲y （元），乙旅行社的收费为乙y （元）。
（1）分别表示两家旅行社的收费甲y ，乙y 与x 的函数关系式； （2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠；（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：例3、博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润甲种图书乙种图书进价（元/本）16 28售价（元/本）26 40（1）有哪几种进书方案？（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？（3）博雅书店计划用（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？请你直接写出答案。
《12.4一次函数模型的应用》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级上册
《一次函数模型的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 让学生通过实际操作掌握一次函数模型的建立与运用。
2. 提高学生的逻辑推理和解决问题的能力。
3. 增强学生应用数学模型解决实际问题的能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要围绕一次函数模型的应用展开，具体包括：1. 理论学习：复习一次函数的概念、性质及其图像特征，理解函数模型在实际问题中的应用。
2. 模型建立：通过具体的生活实例，如路程、时间与速度的关系等，引导学生建立一次函数模型。
3. 问题解决：选择几个具有代表性的实际问题，让学生运用一次函数模型进行解决，包括但不限于购物找零、匀速运动等场景的问题。
4. 作业练习：提供一定量的练习题，包括选择题、填空题和解答题，让学生进行实践操作，巩固所学知识。
三、作业要求1. 学生需认真阅读教材，理解一次函数的基本概念和性质。
2. 在建立函数模型时，要准确把握问题中的关键信息，合理设定未知数和已知数。
3. 在解决问题时，要运用所学知识，按照逻辑顺序进行分析和推理。
4. 作业练习需独立完成，不得抄袭他人答案。
如有困难，可与同学讨论或请教老师。
5. 作业需按时提交，字迹工整，答案清晰。
四、作业评价1. 评价标准：正确性、逻辑性、创新性、解题速度及作业态度等。
2. 教师批改：教师需认真批改每一份作业，给出详细的评语和分数。
3. 同伴互评：鼓励学生之间进行互评，互相学习，取长补短。
4. 反馈方式：通过课堂讲解、个别辅导及作业评语等方式，及时向学生反馈作业情况。
五、作业反馈1. 对于普遍存在的问题，教师需在课堂中进行重点讲解，帮助学生解决疑惑。
2. 对于个别学生的问题，教师需进行个别辅导，帮助学生找到问题的症结所在，并给出解决方案。
3. 鼓励学生自我反思，总结本次作业的收获和不足，为今后的学习提供借鉴。
4. 教师需根据学生的作业情况，及时调整教学计划，确保教学进度与学生学习情况相匹配。
通过以上作业设计方案，旨在通过实际操作和练习，帮助学生更好地掌握一次函数模型的应用，提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。
一次函数——方案设计与决策型问题
一次函数——方案设计与决策型问题1．（2010江苏盐城）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？2．（2010辽宁丹东市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．3．（2010山东济宁）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.4．（2010四川眉山）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？5．（2010浙江嵊州市）为支持玉树搞震救灾，某市A、B、C三地现分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需全部运往玉树重灾地区D、E两县，根据灾区情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。
一次函数模型的应用
一次函数模型的应用1．（2013•荆门）为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个根据这个购房方案：（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m的取值范围．2．（2013•黔东南州）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？3．小明平时喜欢玩“QQ农场”游戏，本学期八年级数学备课组组织了几次数学反馈性测试，（1）以月份为x轴，成绩为y轴，根据上表提供的数据在下列直角坐标系中描点；（2）观察①中所描点的位置关系，照这样的发展趋势，猜想y与x之间的函数关系，并求出所猜想的函数表达式；（3）若小明继续沉溺于“QQ农场”游戏，照这样的发展趋势，请你估计元月份的期末考试中小明的数学成绩，并用一句话对小明提出一些建议．4．（2013•宁夏）如图1，在一直角边长为4米的等腰直角三角形地块的每一个正方形网格的格点（纵横直线的交点及三角形顶点）上都种植同种农作物，根据以往种植实验发现，每株农作物的产量y（单位：千克）受到与它周围直线距离不超过1米的同种农作物的株数x（单位：株）的影响情况统计如下表：求出函数关系式并加以验证；2所示的方式，在每个正方形网格的格点上都种植了与前面相同的农作物，共种植了16株，请你通过计算平均每平方米的产量，来比较那种种植方式更合理？5．（2012•黑河）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式．（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离．（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？6．（2002•荆州）一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以0.2元的价格退还给报社，在一个月内（以30天计算）有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购的报纸份数为自变量x，每月所获得的利润为函数y．（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸才能使每月获得的利润最大，最大利润是多少？。
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一次函数模型的方案设计题
在实际问题中常会运用函数知识建立函数模型,即先列出符合题意的函数关系式,然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及其图象求解.其中建立函数关系式是关键.
下面所选的题目是建立一次函数模型,利用一次函数的性质解决实际问题中
的最佳方案问题.
例1. 为了推进我州校园篮球运动的发展,2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办.在此期间,某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个,其进价与售价的关系如下表:
（1）该商店用4200元购进这批篮球和排球,求购进篮球和排球各多少个; （2）设商店所获利润为y （元）,购进篮球的个数为x （个）,请写出y 关于x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）;
（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内,且全部销售完后所获利润不低于1400元,请你列举出商店所有进货方案,并求最大利润是多少. 解:（1）设购进篮球m 个,则购进排球()m -60个,由题意可得:
4200)60(5080=-+m m
解之得:40=m ∴204060=-（个） 答:购进篮球40个,排球20个;
（这里设为m ,而不是设为x ,是为了不与第（2）问起冲突） （2）()()()x x y --+-=60507080105 ∴12005+=x y ; （3）由题意可知:
()()⎩
⎨
⎧≥-+≤-+14006020254300
605080x x x x 解之得:40≤x ≤3
1
43
∵x 为正整数 （这是实际问题,必须说明x 的属性） ∴=x 40或41=x 或42=x 或43=x ∴共有四种进货方案,如下表:
由（2）,∵05>=k ∴y 随x 的增大而增大
∴当43=x 时,y 取得最大值为14151200435=+⨯=y （元） 答:最大利润为1415元.
说明:这里借助于一次函数的性质快速获得了最大利润的条件和最大利润.
例 2. 目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:
（1）如何进货,进货款恰好为46000元?
（2）如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元?
解:（1）设商场购进甲型节能灯x 只,则购进乙型节能灯()x -1200只,由题意可得:
()4600012004525=-+x x
解之得:400=x
8004001200=-
答:商场应购进甲型节能灯400只,乙型节能灯800只,进货款恰好为46000元; （2）设商场购进甲型节能灯m 只,则购进乙型节能灯()m -1200只,商场获利为y 元,则有:
()()()m m y --+-=120045602530
整理得:1800010+-=m y
∵商场销售完节能灯时获利不超过进货价的30% ∴1800010+-m ≤()[]%3012004525⨯-+m m 解之得:m ≥450
∵1800010+-=m y ,010<-=k ∴y 随x 的增大而减小
∴当450=m 时,获利最多,为135001800045010=+⨯-=y
7504501200=-
答:商场购进甲型节能灯450只,乙型节能灯750只时获利最多,且增大利润为13500元.
例3. 深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备,全部运往大运赛场A ,B 两馆,其中运往A 馆18台,运往B 馆14台.运往A ,B 两馆的运费如下表:
（1）设甲地运往A 馆的设备有x 台,请填写下表,并求出总运费y （元）与x （台）的函数关系式;
（2）要使总运费不高于20200元,请你帮助该公司设计调配方案,并写出有哪几种方案;
（3）当x 为多少时,总运费最少?最小值是多少? 解:（1）如下表所示:
由题意可得:
()()()36001750018700800-+-+-+=x x x x y
整理得:19300200+=x y （3≤x ≤17） （2）∵要使总运费不高于20200元 ∴19300200+x ≤20200 解之得:x ≤
2
9
∵3≤x ≤17,且x 为正整数 ∴3≤x ≤
2
9 ∴3=x 或4=x
∴该公司的调配方案共有2种,具体如下: 方案一:
方案二:
（3）∵19300200+=x y ,0200>=k ∴y 随x 的增大而增大
∴当3=x 时,总运费最少,最小值为19900193003200=+⨯=y 答:当3=x 时,总运费最少,最小值为19900元.
例4. 某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种土特产,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:
（1）设装运甲种土特产的车辆数为x ,装运乙种土特产的车辆数为y ,求y 与x 之间的函数关系式;
（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案;
（3）若要使此次销售获利最大,应采用（2）中哪种安排方案?并求出最大利润. 解:（1）由题意可得:
()12020568=--++y x y x
整理得:x y 320-=;
（2）∵装运每种土特产的车辆都不少于3辆
∴()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥---≥-≥3320203
3203x x x x 解之得:3≤x ≤3
2
5
∵x 为正整数
∴x 可以取3 , 4 , 5
∴车辆的安排方案有三种,如下表:
（3）设此次销售获利为W 元,则有:
()()[]19209210320205163206128+-=⨯---+⨯-+⨯=x x x x x W
∵092<-=k ∴W 随x 的增大而减小
∴当3=x 时,16441920392=+⨯-=最大值W （百元）=16. 44（万元）
∴要使此次销售获利最大,应采用（2）中点的方案一,获得的最大利润为16. 44万元.
总结
做一件事情,有时有不同的实施方案.比较这些方案,从中选择最佳方案作为行动计划是非常必要的.解决这类问题时,要先弄清题意,根据题意构建恰当的方程模型或不等式模型,求出所求未知数的取值范围,然后结合实际问题确定所有的可行方案.此类题考查应用数学知识解决实际问题的能力,是各地市中考的热点.
习题. 某商场筹集资金12. 8万元,一次性购进空调、彩电共30台,根据市场的需要,这些空调、彩电可以全部销售,全部销售后利润不少于1. 5万元,其中空调、彩电的进价和售价见下表:
设商场计划购进空调x 台,空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y 元. （1）试写出y 关于x 的函数关系式; （2）商场有哪几种进货方案可供选择?
（3）选择哪种进货方案,商场获利最大?最大利润是多少元?。