一次函数模型的方案设计题

一次函数模型的方案设计题

在实际问题中常会运用函数知识建立函数模型,即先列出符合题意的函数关系式,然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及其图象求解.其中建立函数关系式是关键.

下面所选的题目是建立一次函数模型,利用一次函数的性质解决实际问题中

的最佳方案问题.

例1. 为了推进我州校园篮球运动的发展,2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办.在此期间,某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个,其进价与售价的关系如下表:

（1）该商店用4200元购进这批篮球和排球,求购进篮球和排球各多少个; （2）设商店所获利润为y （元）,购进篮球的个数为x （个）,请写出y 关于x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）;

（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内,且全部销售完后所获利润不低于1400元,请你列举出商店所有进货方案,并求最大利润是多少. 解:（1）设购进篮球m 个,则购进排球()m -60个,由题意可得:

4200)60(5080=-+m m

解之得:40=m ∴204060=-（个） 答:购进篮球40个,排球20个;

（这里设为m ,而不是设为x ,是为了不与第（2）问起冲突） （2）()()()x x y --+-=60507080105 ∴12005+=x y ; （3）由题意可知:

()()⎩

⎨

⎧≥-+≤-+14006020254300

605080x x x x 解之得:40≤x ≤3

1

43

∵x 为正整数 （这是实际问题,必须说明x 的属性） ∴=x 40或41=x 或42=x 或43=x ∴共有四种进货方案,如下表:

由（2）,∵05>=k ∴y 随x 的增大而增大

∴当43=x 时,y 取得最大值为14151200435=+⨯=y （元） 答:最大利润为1415元.

说明:这里借助于一次函数的性质快速获得了最大利润的条件和最大利润.

例 2. 目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:

（1）如何进货,进货款恰好为46000元?

（2）如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元?

解:（1）设商场购进甲型节能灯x 只,则购进乙型节能灯()x -1200只,由题意可得:

()4600012004525=-+x x

解之得:400=x

8004001200=-

答:商场应购进甲型节能灯400只,乙型节能灯800只,进货款恰好为46000元; （2）设商场购进甲型节能灯m 只,则购进乙型节能灯()m -1200只,商场获利为y 元,则有:

()()()m m y --+-=120045602530

整理得:1800010+-=m y

∵商场销售完节能灯时获利不超过进货价的30% ∴1800010+-m ≤()[]%3012004525⨯-+m m 解之得:m ≥450

∵1800010+-=m y ,010<-=k ∴y 随x 的增大而减小

∴当450=m 时,获利最多,为135001800045010=+⨯-=y

7504501200=-

答:商场购进甲型节能灯450只,乙型节能灯750只时获利最多,且增大利润为13500元.

例3. 深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备,全部运往大运赛场A ,B 两馆,其中运往A 馆18台,运往B 馆14台.运往A ,B 两馆的运费如下表:

（1）设甲地运往A 馆的设备有x 台,请填写下表,并求出总运费y （元）与x （台）的函数关系式;

（2）要使总运费不高于20200元,请你帮助该公司设计调配方案,并写出有哪几种方案;

（3）当x 为多少时,总运费最少?最小值是多少? 解:（1）如下表所示:

由题意可得:

()()()36001750018700800-+-+-+=x x x x y

整理得:19300200+=x y （3≤x ≤17） （2）∵要使总运费不高于20200元 ∴19300200+x ≤20200 解之得:x ≤

2

9

∵3≤x ≤17,且x 为正整数 ∴3≤x ≤

2

9 ∴3=x 或4=x

∴该公司的调配方案共有2种,具体如下: 方案一:

方案二:

（3）∵19300200+=x y ,0200>=k ∴y 随x 的增大而增大

∴当3=x 时,总运费最少,最小值为19900193003200=+⨯=y 答:当3=x 时,总运费最少,最小值为19900元.

例4. 某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种土特产,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:

（1）设装运甲种土特产的车辆数为x ,装运乙种土特产的车辆数为y ,求y 与x 之间的函数关系式;

（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案;

（3）若要使此次销售获利最大,应采用（2）中哪种安排方案?并求出最大利润. 解:（1）由题意可得:

()12020568=--++y x y x

整理得:x y 320-=;

（2）∵装运每种土特产的车辆都不少于3辆

∴()⎪⎩

⎪

⎨⎧≥---≥-≥3320203

3203x x x x 解之得:3≤x ≤3

2

5

∵x 为正整数

∴x 可以取3 , 4 , 5

∴车辆的安排方案有三种,如下表: