平面电磁波的波动方程
平面波的波动方程
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =
λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设
§1-4球面波和柱面波
E = Acos(k r ωt)
E = Aexp i(k r ωt)
4.平面简谐波的复振幅： 4.平面简谐波的复振幅：
[
]
~ E = Aex ik r ) p(
§1-3平面电磁波
5.平面波的性质 5.平面波的性质
（1）电磁波是横波： E = 0 k E = 0 1 （2）Ｅ和Ｂ互相垂直 k × E = ωB B = k × E ）Ｅ和Ｂ互相垂直 ω （3）Ｅ和Ｂ同相: ）Ｅ和Ｂ同相:
1 2
此即为球面波波函数的一般形式。 其中B 其中B1,B2为任意函数。
§1-4球面波和柱面波
显然，我们最关心简谐球面波这个特殊形 式。 则： A(r, t) = a cos[kr ωt +0 ] r 假定源点振动的初位相为零，对于电矢量 （此时可看作标量）即 （此时可看作标量）即0=0 则有： 写成复数形式： E = r exp[i(kr ωt)] 可以看出，球面波的振幅不再是常量，它 与离开波源的距离r 与离开波源的距离r成反比，其等相面为： r=常数的球面。 r=常数的球面。
§1-5光波的辐射
原子由带正电的原子核和带负电的绕核运 转的电子组成。 转的电子组成。 在外界能量的激发下， 在外界能量的激发下 ， 由于原子核和电子 的剧烈运动和相互作用， 的剧烈运动和相互作用 ， 原子的正电中心 和负电中心常不重合， 且正、 和负电中心常不重合 ， 且正 、 负 中心的距 离在不断的变化， 离在不断的变化 ， 从而形成一个振荡的电 偶极子。如图1 13所示： 偶极子。如图1-13所示： 该系统的电偶极距为
§1-5光波的辐射
2． E在P和r所在平面内振动， 所在平面内振动， B在与P和r所在平面相垂直的平面内振动， 在与P 所在平面相垂直的平面内振动， 同时 E和 B又都垂直于波的传播方向， 又都垂直于波的传播方向， E 、B 、K三者组成右旋系统， 三者组成右旋系统， 表明了其偏振性。 表明了其偏振性。
9. 平面波解析
的存在与否，将波分为三种类型 和H 根据 E
z
z
1.TEM 波
( Ez 0, H z 0,
Kc 0)
说明任一时刻，在xoy平面上场的分布与稳态场相同
0, H 0 ），亦称横电波 2.TE 波（ E
z z
3.TM 波（
z 0, H z 0 E
），亦称横磁波
(9 - 2 - 1)
图 9-1 均匀平面电磁波的传播
综上可见，可取：
E e x Ex ( z, t )
E x ( z, t ) 1 E x ( z, t ) 2 0 2 2 z t
2 2
(9-2-2)
此方程的通解为
Ex ( z, t ) f1 ( z t ) f 2 ( z t )
E E E 2 t t
2 2
（9-1-2）
类似的推导可得
H H H 2 t t
2 2
（9-1-3）
相量形式的波动方程：
E +k E 0
2 2 2
H +k H 0
2
（9-1-4）
其中：
k c
2
c j 1 j
Z(z)=A+ ez + A-ez
2 T E0 ( x, y )+K c 2 E0 ( x, y ) 0 2 T H0 ( x, y )+K c 2 H0 ( x, y ) 0
（9-1-5）
K c c +
2 2
2
（9-1-5）分成纵向成分和横向成分：
2 T E0T ( x, y )+Kc 2 E0T ( x, y ) 0 2 T H0T ( x, y )+Kc 2 H0T ( x, y ) 0 2 T E0z ( x, y )+Kc 2 E0z ( x, y ) 0 2 T H0z ( x, y )+Kc 2 H0z ( x, y ) 0
电磁波波动方程要点
真空中波长
主要产生方式
4
3 10 m — 3 10 m
3
无 线 电 波
中波
短波
200m — 3 10 m 10m — 200m
3
超短波 1m — 10m
微波
由线路 中电磁振荡 所激发的电 磁辐射
0.1m — 1m
电磁波谱
红外线
真空中波长
主要产生方式 由炽热 物体、气体 放电或其他 光源激发分 子或原子等 微观客体所 产生的电磁 辐射
（2） E、H 同相
可证：
E H 0 x t
x E E0 cos (t ) c
E0 1 E x x H dt cos (t ) H 0 cos (t ) 0 x 0c c c
E0 H0 0c
0 E0 0
c
1
0 0
§18.2 电磁波的性质
任一时刻t，空间任一 点x，满足
0 E0 0 H 0 0 E 0 H
E0 H 0 E H
沿x轴负向传播：
x H H 0 cos (t ) c x E E0 cos (t ) c
电磁波谱
电磁波谱
x E y E0 cos t u x H z H 0 cos t u
*电磁波波速与光矢量*
真空中
1 8m u 3 10 ——光速 c s 0 0
推测：光也是电磁波！
在介质中
u
1
c n r r
c
n r r
第 18 章 电磁波
§18.1 电磁波波动方程
§18.2 电磁波的性质 §18.4 振荡电偶极子的辐射 赫兹实验
电磁场与电磁波第8章 平面电磁波
Ex Hy
O
z
上图表示 t 0时刻，电场及磁场的空间变化特性。
电场强度与磁场强度之比称为电磁波的波阻抗，
以 Z 表示,
即
Z Ex Hy
实数
当平面波在真空中传播时，波阻抗以Z0表示，则
Z0
0 377 Ω 120π Ω 0
均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系
又可用矢量形式表示为
Ex
Ex Ex 0 ，则只要
x y
以 kc 代替 k 即可求得其解为
Ex
E e jkcz x0
因常数 kc 为复数，令 kc k jk
求得
k
2
1
2
1
k
2
1
2
1
电场强度可表示为
Ex
E e jkcz x0
Ex0ekze jkz
上式表明电场强度的振幅随 z 增加不断衰减，相位 逐渐滞后。
由上求得 式中
vp
1
f f 00
0 f
1
00
r r
0 r r
0
0 为平面波在真空中传播时的波长。
0 的现象称为波长缩短效应，或简称为缩波 效应。
由
Hy
j可E得x
z
Hy
Ex0e jkz
H y0e jkz
H y0 Ex0
可见，在理想介质中，电场与磁场相位相同，
且两者空间相位均与变量z有关，但振幅不会改变。
1. 波动方程 在无限大的各向同性均匀线性介质中，时变
电磁场的方程为
2
E
(r
,
t
)
2 E (r , t ) t 2
J (r,t) t
电磁波波动方程要点
§18.2 电磁波的性质
（1）电磁波是横波
Ey Ey 2 2 x t
2 2
E y
H z
Hz Hz 2 2 x t 由于 j k i 所以 E H // x 轴
2 2
u x
§18.2 电磁波的性质
— 折射率
n r
与物质作用的主要是
E
矢量,
E
通常被称为光矢量！
几点注意
（1）振动不是媒质体积元，是电场和磁场 （2）周期变化的不是质点位移，是 E、H 强度矢量
（3）伴随电磁波传播的有能量、动量和质 量的流动（引力波具有同样的性质） （4）电磁波是自持波，在真空或媒质中均 可传播
F pcS pc w 辐射压强： S S
c
F
S
偶极子的辐射
一、 电磁波的产生
赫兹实验
C P P0 cost I 1 P q l ， 0 0 L 2 LC
q
S EH
H
电磁波强度为
E
S
2 I S EH E
**坡因廷矢量举例**
•电阻
S
I
E
I
可以证明： 输入功率：
H
P S (2a l ) I R
2
S
电阻消耗的能量是通过坡因廷矢量输入的！
**坡因廷矢量举例**
•电容器充、放电 电容器充电过程 中，通过坡因廷 矢量输入能量！ 电容器放电过程 中，通过坡因廷 矢量输出能量！ 可以证明：
2 2
其中
2 2 2 x y z
平面电磁波
平面电磁波1 时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations 或wave equations 可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4 最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5 许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§ 波动方程1 电场波动方程：ερμμε∇+∂∂=∂∂-∇t J tE E ρρρ222 磁场波动方程 J t H H ρρρ⨯-∇=∂∂-∇222με 2 如果媒质导电（意味着损耗），有E J ρρσ=代入上面，则波动方程变为ερμεμσ∇=∂∂-∂∂-∇222tE t E E ρρρ 0222=∂∂-∂∂-∇tH t H H ρρρμεμσ 如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，则ερμεωωμσ&&ρ&ρ&ρ∇=+-∇E E j E 22 022=+-∇H H j H &ρ&ρ&ρμεωωμσ 采用复介电常数，εμωωεσμεωωμσμεω&222)1(=-=-j j ，上面也可写成 3 在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。
0222=∂∂-∇tE E ρρμε 0222=∂∂-∇t H H ρρμε 4在线性、均匀、各向同性、导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。
0222=∂∂-∂∂-∇tE t E E ρρρμεμσ 0222=∂∂-∂∂-∇tH t H H ρρρμεμσ 如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，并采用复介电常数，εμωωεσμεωωμσμεω&222)1(=-=-jj ，上面也可写成 022=+∇E E &ρ&&ρεμω 022=+∇H H &ρ&&ρεμω 注意，介电常数是复数代表有损耗。
波动方程及其解法
波动方程及其解法波动方程是常见的偏微分方程之一，它描述的是波的传播和变化。
而在实际问题中，如声波、光波、电磁波等的研究中，波动方程的解法是被广泛使用的。
本文将介绍波动方程的基本概念及其解法。
一、波动方程的基本概念波动方程最基本的形式是一维波动方程，其数学表达式如下：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示波的位移，$c$是波的速度。
可以看出，波动方程是一个描述时间和空间之间关系的方程。
在这个方程中，偏微分算子表达了波动的传播和变化的规律。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是解波动方程的最常见方法之一。
其主要思想是，将变量$x$和$t$分离出来，分别让它们满足不同的微分方程。
如一维波动方程可以假设其解为$u(x,t)=X(x)T(t)$，将其代入波动方程可得：$XT''=c^2X''T$进一步变形，可得：$\frac{T''}{c^2T}=\frac{X''}{X}$由此得到两个方程：$\frac{T''}{c^2T}=-\omega^2$$X''=-\omega^2X$其中，$\omega$为角频率，$-\omega^2$为分离出来的常数倍。
对于这两个微分方程，可以分别求解。
2. 叠加原理在叠加原理中，可以将波看做是多个波的叠加。
这种方法可以用于特定场合下的波动方程求解。
例如，在弹性绳的研究中，可以将弹性绳的振动看作是多个波的叠加。
在这种情况下，可以对不同的波求解，并把它们的解加起来成为最终的解。
3. 直接积分法直接积分法是一种基本的解微分方程的方法，同样也适用于波动方程的求解。
在直接积分法中，可以通过对波动方程进行积分，逐步求解出波的变化规律。
这种方法的实现需要考虑初值条件的限制，而条件的不同可能导致问题的复杂性。
平面波的波动方程
T
dx
t
2
m x
2
m
§17－6 波的能流密度和强度
一、机械波的能流密度
x
设 y A cos(t kx )
o
1 y 2 E k mx ( ) 2 t
y
1 2
u A
B
x
y x x y x 1 1 x 2 2 2 y 1 y E p T x 1 x Tx x x 2
点位移是各个波单独在该点引起的位移的矢量和。
振动叠加发生在单一质点上
波的叠加发生在波的相叠区域 波动方程的线性决定了波服从叠加原理 波的强度过大非线性波 叠加原理不成立 ★电磁波 麦可斯韦方程组的四个方程都是线性的 , 如果 D E和B mH 也是线性关系 ------
1. 演示： Zlcai
2.表达式 设
y1 A cost kx y2 A cost kx
y y1 y2 2 A cos kx cost
y y1 y2 2 A cos kx cost
３. 振幅
kx n
腹－腹
n 0,1,2
x
波腹
2
kx 2n 1
节－节 腹－节
2
n 0,1,2 波节
2
x
x
4
４.相位 作振幅为
2 A cos kx 的简谐振动
两相邻波节之间的质元相位相同
每一波节两侧各质元相位相反
５.能量 波节只有势能，波腹只有动能 当所有各点达到最大位移，全部能量为势能 当所有各点达到平衡位置，全部能量为动能 经1/4T，波节附近势能转化为波腹附近动能
平面电磁波及其性质
E＝f1(
z v
t)
B＝f1(
z v
t)
这是行波的表示式，表 示源点的振动经过一定 的时间推迟才传播到场 点。
（二）波动方程的平面简谐波解 (Simple Harmonic Wave)
A：电场振幅矢量
E＝Acos( z t) A'：磁场振幅矢量
v
：角频率
B＝A'cos( z t)
v
(
z v
t
)称为位相
E＝Acoskx cos y cos z cos t
平面波的复数形式：
E＝Aexp[i(k • r t)]
x
P(x,y,z)
k
复振幅：
r
E＝Aexp(ik • r) o
z
y
s=r k
复振幅：只关心光波在 空间的分布。
（三）平面电磁波的性质
1、横波特性：电矢量和磁矢量的方向均垂直波的传播
平面电磁波及其性质
（一）波动方程的平面波解
1、方程求解：
设光波沿z轴正向传播
y
＝x 0
x
y0
y
z0Leabharlann zz0zx
v
z
结果：2 E 1 2 E 0 v2 t 2
2E 1 2E 0 z 2 v2 t 2
令 ＝ z t, z t，代入上式则有
v
v
E＝f1
(
z v
t)
f
2
(
z v
t)
T E＝Acos(kz t)
（10－25） （10－26）
上式是一个具有单一频率、在时间和空间上 无限延伸的波。
说明2点：
在空间域中（时间轴为某
在时间域中（空间某点）
电磁场波动方程
定态波动方程
vv
2E k 2E 0
2
v B
k
2
v B
0
其中：
Helmhotz方程
▪ 定态情况下的电磁场方程可以写成：
vv 2E k2E 0
v
E 0
v B
i
v E
Helmhotz 方程
或者
vv 2B k2B 0
v B 0
v E
i
k2
v B
其中：
是定态下介质电磁特性参数
此处的 Ev、Bv 是电磁场的振幅，时间变化部分不包含在内
v B
0
v 2E
0 0
v 2E t 2
0
v
v 2B
0 0
2B t 2
0
在真空中电磁场满足 “波动方程”
▪ 真空中电、磁场形式上可以分离：
v 2E
1
v 2E
0
c2 t 2
v 2B
1
v 2B 0
c2 t 2
v E 0
v B 0
电波动方程＋横波条件 磁波动方程＋横波条件
其中
称为真空中光速
但不能替代麦克斯韦方程，还需要考虑电场与磁场的联系
二、时谐波（又称定态波）及其方程
▪
任一时域函数
v
Et
，可以视为由频域函数
v
E
叠加而成，反之亦
然。这就是富里叶（Fourier）变换：
v
E t
v E
eit
d
Ev
1
v E
t
eit
dt
2
正变换 逆变换
▪ 对电磁场作富里叶变换：
v
E
v X,t
第四章 电磁波的传播 §1. 平面电磁波§2. 电磁波在介质界面上的反射和折射§3. 有导体存在时电磁波的
知 H
E
较大，非铁磁
B
可取 = 0
(2) E k 在与 k 垂直平面上可将 E 分解成两个分量
(3) H k, 且 H E
(4)
nn ((EH22EH1)1
0 )0
即 Et E't E"t Ht H 't H"t
(5) ' ,
sin 2 sin " 1
(1 2 0 )
电磁波：迅变电磁场， 导体内 = ？
电流：J
E
电荷：
E
/
,
J
E
J
0
t
t
J
,
d dt,
t
0e
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减 t = 时，（ = / 特征时间） = 0 / e
导体内的自由电荷分布
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减
o
y
x
平面电磁波的特性： （证明 see next page）
(1) 电磁波是横波， E k ， B k
(2) E B ， E B 沿 k 方向
(3) E 和 B同相，振幅比 E / B = v
平面电磁波
证明平面电磁波的特性
E 0
E
E0
ei
(
k
xt
)
E0
ei
( k xt
)i(k
E"
2 1 cos
2sin "cos
E 1 cos 2 cos" sin( ")
振幅关系 Fresnel 公式
(2) E || 入射面： (Ht H )
电磁场波动方程亥姆霍兹方程和平面电磁波2
（2）波长与周期
波长
2
k
周期 T 1 2 f
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差：k(Rs Rs ) 2
Rs
Rs
2
k
波长、波 k k 2
v f
速、频率
v
2
间的关系 T 1 2
v
E
v X,t
v E
v
X ,
eit d
v
B
v X,t
v B
v X,t
eit d
v
D
v X,t
v D
v
X ,
eit d
v E
v
X ,
eit d
v
证明：
B
k
E
B
i
E
i
E0eikx
i
eikx
E0
k
E
几
a) B 与 E 同相位；
点
说 明
b)
EB
E, B, k
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
2
2
电场、磁场能量相等
▪ 平面电磁波能流密度：
v
v S
v E
v H
1
v E
v B
1
v E
均匀平面波的概念和波动方程
1, 均匀平面电磁波的概念
2, 时变电磁场的波动方程
3, 均匀平面波的特性
什么是电磁波?
在自由空间，麦克斯韦方程:
可见：
Jc=。，Pv =。
VxH = e — dt
V7百一渔
N xE = —//-dt
时变的电场可以产生时变的磁场，时变的磁场又可以产生时变的 磁电场， 同时在空间上向邻近点推移，这样就产生了以一定速度向前 传播的电磁波动。
(4)均匀平面电磁波：
任意时刻，如果在平面等相位面上，每一点的电场强度均相同, 这种电 磁波:
Vx H = J +亜 c dt
丿 V x E =--
<
dt
▽ . D = pN
i V.B = o
在自由空间：Jc=O/v=O (Vx H = 8 竺 dt
该电磁波动称为电磁波。
例如：水波
问题：一个点源所发射的电 磁 波的等相位面是什么样？
1 ,均匀平面电磁波的概念
(1) 等相位面：
在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面。 等相 位面又称为波阵面。
(2) 球面波：等相位面是球面的电磁波称为球面波。 (3) 平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。
可见：HZ与时间t无关，不属于时变场部分。Hz = 0 结论：磁场只有Hx和
Hy分量，说明磁场矢量也位于xOy平面上。
磁场强度可表示为：亘二jHx+ayH
结论: 对传播方向而言，电场和磁场只有横向分量，没有纵向分量,
这种平面电磁波称为横电磁波，简写为TEM波。
小结：
1、 均匀平面电磁波的概念 2、 时变电磁场的波动方程
D= 8E B=
平面电磁波的波动方程
p02 4 sin2 32 2r 2c
,
sin2 —方向因子
s
o
6.电磁波谱
电磁波谱:按照频率或波长的顺序把电磁波排列成图表。
电磁波谱
各种无线电波的范围及用途
名 称
长波
中波 中短波
波 30000长 3000m
3000200m
200-50m
频 率
10100kHz
1001500k Hz
1.5-6MHz
2H t 2
1
2xH2 （H
沿z方向）
的波动方程
平面电磁波的波动方程
电磁波的波速
u 1
真空中的波速
c 1 00 2.9979m/s
2.电磁波的性质
电磁波是横波。
沿 x轴正方向传播的平面余弦电磁波特解：
E
E0
cos t
x u
0
据 E 计算H 出H：
x
t
H 1
E d t E0
EdS 0
Ex
Ey
Ez
0
x y z
BdS
HdS 0
H x
H y
H z
0
x y z
平面电磁波的波动方程
Edl
B
d
S
t
Ez
y
EEzxy
Ey
z Ez x Ex
H x t H y
t H z
x y
t
Hdl
D t
dS
H z
y
H Hz
x y
H y
cos t
r c
H
H
2 p0 sin 4cr
cos t
r c
电磁波的辐射
第二章 波动方程和平面波解
kR
kI
之间的夹角为未知。 在半空间介质反折射情况需要通过边界条件才可确定。
若 kR // kI 例如平面波垂直于有耗介质表面入射时的透射波
kR2 kI2 2 2kR kI
《高等电磁场理论》
kR2
2
2
1
2
1
kI2
2
2
1
材料名称 电导率σ /(S/m) 趋肤深度δ /m
银
6.17×107
紫铜
5.8×107
铝
3.72×107
钠
2.1×107
黄铜
1.6×107
锡
0.87×107
石墨
0.01×107
《高等电磁场理论》
0.064 / f 0.066 / f 0.083/ f 0.11/ f 0.13/ f 0.17 / f 1.6 / f
vphase
k
0 0
k 0
vgroup
1 dk
d
dk 0
d 0
若波数k不是频率ω的线性函数，这时 vphase vgroup，且和
频率有关，这一类介质称为色散介质。 《高等电磁场理论》
y1
cos
1
t
z c
,
1
51
y2
cos 2
t
z c
,
2
49
《高等电磁场理论》
18
E
2
E0
cos
为电子浓度 为电子电量 为电子质量
《高等电磁场理论》
5000 1000
白天 夜间
F2
电离层电子密度的典型高度分布
F1
100
平面电磁波 第六章
• 解出 E 就可用Maxwell方程组求出 H ，故只须解 E 。
• 不失一般性，可作一些假设，使求解更方便： ˆ (1)设 E 只有x方向的分量，即 E r E x x ； ˆ (2)设 E 只随z 坐标变化，即 E r E x z x ； x • E x z 满足的常微分方程：
vp
6、从行波角度理解电磁波各参数的物理意义： 相速度 ( vp )：等相位面在一秒钟之内前进的距离 波长(λ)：等相位面在一个周期 T 之内前进的距离 2 2 v pT k k 周期(T )：等相位面前进一个波长所需的时间
vp T
频率( f )：等相位面在一秒钟之内前进的波长数 vp 1 f T
E:
H:
x y z
某时刻的三个 等相位面
• 均匀平面波每个等相位面上的场矢量处处相等。 • 任意固定时刻，空间中不同等相位面上的场值不同。 （除非两个等相位面间距为波长的整数倍）
5、Poynting矢量：
• 瞬时Poynting矢量： 1 2 ˆ S r , t Em cos2 t kz z
真空中： 0
0 120 377 0
• 波阻抗只是一个比值，单位与电阻相同，它并不意味 着存在能量损耗。 • 波阻抗仅由媒质参数决定，与场矢量值无关。 • 电场、磁场的互求公式：
ˆ z E H
1 ˆ zH E
ˆ z为 传 播 方 向
等相位面上的场分布情况 4、场结构：
m/s
v0 2 2 m k f
Hm Em 0 10 0
ˆ H 为 - x方 向
平面简谐波的波动方程三种形式
一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。
简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。
二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。
它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。
2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。
复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。
四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。
7.1 电磁波动方程和平面电磁波
7 平面电磁波的传播从基本方程的微分形式可以看出它们包含了产生电磁场的全部场源信息。
在电磁波中，变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场又产生变化的电场，伴随着电场和磁场的传播是能量的传输。
本章从电磁场的基本方程出发，首先介绍电磁波动方程，然后介绍了电磁波中最简单的形态--均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的情况。
7.1电磁波动方程和平面电磁波变化的电场和变化的磁场之间存在着耦合，这种耦合是以波动的形式存在于空间中。
这种变化的电磁场以波动的存在通常称为电磁波。
电磁波的存在，意味着在空间中有电磁场的变化和电磁能量的传播。
光波、无线电波等都是电磁波，它们在空间不需借助任何媒质就能传播。
7.1.1 一般电磁波动方程设空间为各向同性、线性、均匀媒质，考虑 0=f ρ，0=f J 。
则电磁场基本方程组可写为t∂∂+=⨯∇E E H εγ （7.1.1） t∂∂-=⨯∇H E μ （7.1.2） 0=⋅∇H （7.1.3）0=⋅∇E （7.1.4）对（7.1.1）式两端求旋度()H H H 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇()22t t t t ∂∂-∂∂-=⨯∇∂∂+⨯∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇H H E E E E μεγμεγεγ利用（7.1.3）有0222=∂∂-∂∂-∇tt H H H μεγμ （7.1.5） 同理由对（7.1.2）两边取旋度，再代入（7.1.3）、（7.1.2）式等，可推得0222=∂∂-∂∂-∇t t E E E μεγμ （7.1.6） 称上面两式为电磁波动方程（它们是一般性的波动方程）。
我们就是在各向同性、线性、均匀媒质中研究电磁波的基础问题。
H 和E 满足的方程在数学上属同一类方程。
对于电场E 或磁场H 的分量，若用统一的标量符号()t r ,ψ来表示，就可以将原问题转化成标量方程的求解问题0222=∂∂-∂∂-∇t t ψγεψγμψ （7.1.7） 7.1.2 平面电磁波及基本性质对于电磁波传播过程中的某一时刻t ，空间电磁场中E 或H 具有相同相位的点构成的面称为等相面，又称为波阵面。
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(I) E x 0, x
E x 0 t
2 E y 1 H z
t 2
t x
1
H z
1 2Ey
(II) (III)
H x 0, x
E y H z ,
x
t
H x 0 t
H z x
E
y
t
x t x2
2
H
2 z
1
2Hz
t 2 x2
(IV) Ez H y , H y Ez
x
t
x
D t
d S
H z
y
H Hz
x y
H y
z H z x H x
Ex t Ey
t Ez
x y
t
E x 0
x
t
t
Hz E y
x t
H y Ez
x
t
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x和时间 t 的函数。 前述方程组可简化为：
为1/2，平均辐射强度
与振幅平方成正比！
S E0H0 2
因c 1 以0及0
0 E，0 得 0 H0
S 0cE02 2
S 0cH02 2
4.电磁波的辐射
振荡偶极子：电流在直线形电路中往复振荡,两 端出现正负交替的等量异号电荷。
任何振动电荷或电荷系都是发射电磁波的波源， 如天线中振荡的电流、原子或分子中电荷的振动都 会在其周围空间产生电磁波。
dl—底面积为dA的小长方 体的高
小长方体中的电磁能量为w dAdl
P点处的辐射强度S ：
S wd Ad l wu d Adt
S wu u (E2 H 2 )
2
电磁波的能量
利用 E H, u 1 得
S 1 ( E H H E) EH 2
辐射能的传播方向、E 的方向及H 的方向三者相互垂 直，辐射强度用矢量式表示为：
(1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周围 的空间中
(2)提高辐射频率
振荡偶极子电矩：pe p0 cost
一条闭合 电场线的 形成过程
电磁波的辐射
振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡电 偶极子周围的电磁场线如下图示：
5.电磁波谱
电磁波谱:按照频率或波长的顺序把电磁波排列成图表。
电磁波谱
E H
电磁波的性质
平面简谐电磁波的传播
y u
E
z
H
x
电磁波的一般性质：
(1)电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向,三 者相互垂直,并构成右手螺旋关系。电磁波是横波。
电磁波的性质
(2)沿给定方向传播的电磁波,E 和H 分别在各自平面 内振动，这种特性称为偏振。
(3)E 和H 作周期性的变化，而且相位相同，同地 同时达到最大，同地同时减到最小。
各种无线电波的范围及用途
名 称
长波
中波 中短波
波 30000长 3000m
3000200m
200-50m
频 率
10100kHz
1001500k Hz
1.5-6MHz
主 越洋 要 长距 用 离通 途 信和
导航
无线 电报通 电广 信 播
短波 米波
微波
分米 波
厘米波 毫米波
50-10m 10-1m
1m10 10-
提高振荡电流辐射电磁场的方法
+q
C I
L -q
电磁波的辐射
赫兹在1888年采用振荡偶极子， 实现了发送和接收电磁波。采用下 图装置，证实了振荡偶极子能够发 射电磁波。
赫兹
播放视频：来自空中的能量
电磁波的辐射
电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量 与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求：
1cm cm
10.1cm
6-30MHz
无线电 广播、 电报通 信
300- 3000- 3000030-300MHz 3000 30000 300000
MHz MHz MHz
调频无线 电视、雷达、无 电广播、 线电导航及其他 电视广播、专门用途 无线电导 航
补充知识： 电磁波
变化的电场和变化的磁场不断地交替产生，由近及 远以有限的速度在空间传播，形成电磁波。最初由麦 克斯韦在理论上预言，1888年赫兹进行了实验证实。
1. 平面电磁波的波动方程
在无限大均匀绝缘介质(或真空)中，电荷密度=0，电
流密度=0，且介电常量 和磁导率 是常量。麦克斯韦
方程简化为：
x
t
x
t
表明变化电磁场
Ey
和Hz
是按波动形式传播。
场量E 和H在x方向的分量是常数。
平面电磁波的波动方程
2Ey t 2
1
2Ey x2
2
H
2 z
t 2
1
2Hz x2
去掉Ey 和Hz 的下标 y 和 z，得
2E
t 2
1
2E x2
（E沿y方向）
平面电磁波
2H t 2
1
2xH2 （H
沿z方向）
的波动方程
电场和磁场的能量体密度分别为
we E2 2, wm H 2 2
电磁场的总能量体密度：
w we wm (E2 H 2 ) 2
辐射能量的传播速度是电磁波的传播速度，辐射能的传 播方向是电磁波的传播方向。
电磁波的能量
空间某点辐射强度的计算
波速
dA
P
dl
dA—P 点处垂直于电磁波 传播方向的微小面积
S EH
辐射强度矢量S也称为坡印廷(J.H.Poynting)矢量。 E
H
S
电磁波的能量
考虑平面余弦电磁波的情形
E E0 cost x u 0 H H0 cost x u 0
据辐射强度计算公式，得
S E0H0 cos2t x u 0
取一个周期内的平均值， cos2t x的/时u间 平0 均值
(4)任一时刻、空间任一点,E 和H 在量值上满足
E H
(5)电磁波的传播速度 u 1
通常 和 与电磁波的频率有关，在介质中不同频
率的电磁波具有不同的传播速度，此即电磁波在介质 中的色散现象。
3.电磁波的能量
电磁波所携带的电磁能量，称为辐射能。单位时间内 通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能,称为能流密度 或辐射强度。
电磁波的波速
真空中的波速
u 1 c 1 00 2.9979m/s
2.电磁波的性质
沿 x轴正方向传播的平面余弦电磁波特解：
E
E0
cos
t
x u
0
据
E x
计算Ht 出H：
H
E0
u
cos
t
x u
0
H0
cos
t
x u
0
E0 H0
H 和E 有相同的频率,且两者同相位，二者满足：
DdS
EdS 0
Ex
Ey
Ez
0
x y z
BdS
HdS 0
H x
H y
H z
0
x y z
平面电磁波的波动方程
Edl
B
d
S
t
Ez
y
EEzxy
Ey
z Ez x Ex
H x
t
H y
t
H z
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x 和时间 t 的函数：
H x 0
t
Ez H y