九年级数学三角形和多边形综合(一)(教师版)

1、如图，将等边△ABC的边AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°）得到AB′、BC′、CA′，连接A′B′、B′C′、A′C′。当AB＝2时，△A′B′C′的周长的最大值为_________。

2、如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，若AP＝3，BP＝5，CP＝7，则△ABC的面积为_________。 29

【例题精讲一】三角形中的计算与证明

例1.1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AC于点D。

（1）把Rt△DBC绕点D顺时针旋转45°，点C的对称点为E，点B的对称点为F，请画出△EDF，连接AE、BE，并写出∠AEB的度数；

（2）如图2，把Rt△DBC绕点D顺时针旋转α度（0＜α＜90°），点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接CE、CD，求出∠AEC的度数，并写出线段AE、BE与CE之间的数量关系，并证明；

＋，α＝60°，求AG的值。

（3）在（2）的条件下，连接CD交AE于点G，若BC＝226

2、已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD。

（1）如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，则∠BFC的度数为；（2）如图2，∠ABC＝α，∠ACD＝β，BC＝6，BD＝8

①若α＝30°，β＝60°，则AB的长为；

②若改变α、β的大小，但α＋β＝90°，求△ABC的面积。

【课堂练习】

1、如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O。点P、D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E。

（1）求证：△BPO≌△PDE；

（2）若BP平分∠ABO，其余条件不变，求证：AP＝CD；

（3）若点P是一个动点，当点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，已知CD′＝2D′E，请写出CD′与AP′的数量关系并说明理由。

（武珞路期中）2、（1）如图1，在△ABC 和△ECD 是等边三角形，则BE 、AD 之间的数量关系为________；∠

DFE 度数为________；；

（2）如图2，在△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠CED ＝90°，M 是CD 的中点，连AM 、BE 交于F 点，则BE 、AM 之间的数量关系为________；∠MFE 度数是________；

（3）如图3，在△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠CED ＝90°，N 是BD 的中点，连AN 、NB ，则AN 、NE 有何关系并证明你的结论。

【例题精讲二】四边形中的计算与证明

例2. 1、已知矩形ABCD 中点P 为边BC 上一动点，连接AP ，将线段AP 绕点P 顺时针旋转90°，点A 恰好落

在直线CD 上的点E 处。

（1）如图1，点E 在线段CD 上，求证：AD ＋DE ＝2AB ；

（1）证明：

PCE Rt ABP Rt ∆≅∆⇒PC AB =，CE BP = .............2分

DE CP BP DE AD ++=+ ＝DE CE CP ++ ＝CD CP +

＝AB 2 ...................................4分

（2）如图2，点E 在线段CD 的延长线上，且点D 为线段CE 的中点，在线段BD 上取点F ，连接AF 、PF ，若AF ＝AB 。求证：∠APF ＝∠ADB ；

（1）方法一

证明：BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ 证明EDF AFD ∆≅∆ ...................................6分 证明︒=∠=∠=∠90ADE APE AFE ⇒点AFPDE 在AE 为直径的圆上 ⇒ADB APF ∠=∠ ...................................8分

方法二（图2）

证明：BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ ⇒DEA FAE ∠=∠⇒DEP FAP ∠=∠（等角减去45度角） 证明EPD APF ∆≅∆

⇒α=∠=∠NDP MFP ...................................7分

证明︒=∠=∠4521⇒ADB APF ∠=∠=α-︒45.................8分 方法三（图2）

证明：设AP 、EP 交BD 分别于点M 、N 证明︒=∠=∠4521

证明BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ 证明EDN AFM ∆≅∆

证明EPD APF ∆≅∆（或DNP FMP ∆≅∆） 证明α=∠=∠NDP MFP ⇒ADB APF ∠=∠=α-︒45 方法四（图三）

证明：BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ ⇒DEA FAE ∠=∠⇒DEP FAP ∠=∠（等角减去45度角）

利用对称性 证明α=∠=∠NDP MFP ⇒ADB APF ∠=∠=α-︒45

（3）如图3，点E 在线段CD 上，连接BD ，若AB ＝2，BD ∥PE ，求DE 的长度。

【课堂练习】

（武昌12月）如图1，E 为正方形ABCD 的边AD 上一点，EF ⊥BE ，且EF ＝BE ，连DF ，作FH ＝DH ，交AD 的延长线于H 。

（1）求证：AE ＝FH ；

（2）若ED ＝6，∠ABE ＝15°，求△EDF 的外接圆半径； （3）如图2，将△ABE 沿BE 折叠得△GBE ．若∠DGC ＝90°，求

AE

AD

的值。

证明：(1) △ABE ≌△HEF （AAS ） ∴AE ＝FH (2) 由(1)可知，AB ＝EH ＝AD ∴AE ＝DH ＝HF ∴△DHF 为等腰直角三角形 ∴∠EDF ＝135° ∵∠ABE ＝15° ∴∠HEF ＝15° ∴∠DFE ＝30° 如图，作△DEF 的外接圆⊙O ，连接OE 、OD 、OF ∴∠EOD ＝∠DFE ＝60° ∴△ODE 为等边三角形 ∴r ＝6 (3) 延长EG 交CD 于F ，连接BF ∴Rt △BGF ≌Rt △BCF （HL ） ∴GF ＝FC

又FG ＝FD （等角对等边） ∴FD ＝FC 设AB ＝2，AE ＝x 在Rt △DEF 中，(x ＋1)2＝(2－x )2＋1，x ＝32

∴3 AE

AD

【例题精讲三】多边形中的计算与证明

例3. 如图1，正六边形ABCDEF 的边长为a ，P 是BC 边上一动点，过P 作PM ∥AB 交AF 于M ，作PN ∥CD 交

DE 于N 。

（1）①∠MPN ＝________， ②求证：PM ＋PN ＝3a ；

（2）如图2，点O 是AD 的中点，连接OM 、ON ，求证：OM ＝ON ；

（3）如图3，点O 是AD 的中点，OG 平分∠MON ，判断四边形OMGN 是否为特殊四边形？并说明理由。