立体几何轨迹与截面问题
立体几何15种归类
立体几何大题的15种归类可能包括以下几种：
1. 垂直问题：证明两条直线或平面垂直，或求线面角、二面角的大小。
2. 平行问题：证明两条直线或平面平行，或求线面角、二面角的大小。
3. 距离问题：求两条直线或两个平面之间的距离。
4. 面积问题：求一个平面或一个几何体的面积。
5. 体积问题：求一个几何体的体积或表面积。
6. 角度问题：求两个平面或两个几何体之间的角度大小。
7. 截面问题：用一个平面去截一个几何体，求截面的形状和大小。
8. 轨迹问题：求一个动点的轨迹方程。
9. 翻折问题：将一个平面或一个几何体翻折后，求翻折后的形状和大小。
10. 旋转问题：将一个几何体旋转一定角度后，求旋转后的形状和大小。
11. 对称问题：求一个平面或一个几何体的对称图形。
12. 最值问题：求一个平面或一个几何体中的最值问题，如最短距离、最大角度等。
13. 体积求法问题：给定一个几何体，如何计算其体积。
14. 表面积求法问题：给定一个几何体，如何计算其表面积。
15. 空间向量问题：利用空间向量解决立体几何中的角度、距离等问题。
以上分类仅供参考，具体的题目可能涉及多种类型的问题。
在解决立体几何问题时，需要灵活运用相关的定理和公式，并结合实际情况进行分析和计算。
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（ ）分析 考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的接正方体上截得的截面不可能是大圆的接正方形，故选D 。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④ 当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BC BF BE V ⋅⋅=21水是定值，又BC 是定值，所以BE·BF 是定值，即④正确。
高考数学：立体几何截面问题
高考数学：立体几何截面问题一、引言立体几何是高考数学的重要组成部分，其中截面问题是一个重要的考点。
截面问题涉及到三维空间中的几何形状、位置关系以及函数关系等多个方面，需要学生具备较高的空间想象能力和逻辑推理能力。
本文将从多个方面介绍截面问题的相关知识，以帮助考生更好地理解和掌握该知识点。
二、截面的定义与性质1.截面的定义：截面是指通过一个平面与三维空间中的几何体相交，所得到的交线或交面的几何形状。
2.截面的性质：截面具有与原几何体相同的形状和大小，但位置关系可能不同。
截面的形状和大小取决于平面与几何体的相对位置和方向。
三、截面与平面几何的关系1.平面几何的基本图形在三维空间中仍然适用，如线段、三角形、四边形等。
2.截面是平面几何图形在三维空间中的表现形式，可以通过平面的移动和旋转来改变截面的形状和大小。
四、截面与立体几何的关联1.立体几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如平行、垂直、平行四边形等。
2.截面问题是立体几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。
五、截面的形状与大小1.截面的形状取决于平面与几何体的相对位置和方向。
不同的位置关系可以得到不同的截面形状，如圆形、椭圆形、长方形等。
2.截面的大小取决于平面与几何体的交线长度或交面积大小。
不同的平面位置可以得到不同的截面大小。
六、截面与空间几何的关系1.空间几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如距离、角度、面积等。
2.截面问题是空间几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。
3.截面问题可以转化为空间几何问题来解决，也可以通过空间几何问题来推导截面问题的解决方法。
七、截面的对称性1.截面问题中常常涉及到对称性，如轴对称、中心对称等。
2.对称性可以帮助我们简化问题，找到解决问题的关键点。
3.对称性也可以帮助我们判断截面的形状和大小，以及确定平面与几何体的相对位置和方向。
高考数学立体几何截面问题
高考数学立体几何截面问题在高考数学立体几何中，截面问题是一个重要的考点。
本文将从以下几个方面对截面问题进行讲解：截面的形状和性质、截面与几何体的关系、截面与投影的关系以及截面与面积的关系。
一、截面的形状和性质1.截面的形状截面是指通过一个平面与一个几何体相交，所得的交线。
截面的形状可能是一个点、一条直线、一个平面多边形或一个圆。
在解决立体几何问题时，我们需要根据题目所给的条件，判断出截面的形状，并进一步解决问题。
2.截面的性质截面的性质包括以下几点：（1）截面是平面图形，其形状取决于几何体和截面的位置关系。
（2）截面与几何体的边界相交，但不穿过几何体的内部。
（3）截面与几何体的表面平行，因此可以运用平行投影的知识来研究截面的性质。
二、截面与几何体的关系1.截面与正方体的关系正方体的截面有三种情况：三角形、矩形和五边形。
当截面与正方体的中心轴平行时，可以得到一个正方形；当截面与正方体的中心轴垂直时，可以得到一个三角形；当截面与正方体的中心轴斜交时，可以得到一个矩形或五边形。
长方体的截面也有三种情况：三角形、矩形和五边形。
当截面与长方体的中心轴平行时，可以得到一个矩形；当截面与长方体的中心轴垂直时，可以得到一个三角形；当截面与长方体的中心轴斜交时，可以得到一个梯形或不规则四边形。
三、截面与投影的关系1.投影的定义及性质投影是指将一个几何体投射到一个平面上的结果。
投影的性质包括以下几点：（1）投影是直线与平面相交的结果。
（2）投影的长度等于被投影线段的长度。
（3）投影的方向与被投影线段的方向相同或相反。
2.截面与投影的关系截面与投影之间存在一定的关系。
如果一个几何体在一个平面上的投影是一个多边形，那么这个多边形的形状就取决于该几何体的形状以及它与平面的相对位置。
因此，在解决立体几何问题时，我们需要通过判断几何体在某一平面上的投影来推断出它的形状和性质。
四、截面与面积的关系1.面积的定义及计算方法面积是指一个平面图形所占的面积大小。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题⒈引言立体几何是研究空间之中各种几何体的形态、位置、运动和性质的数学学科。
在立体几何中，截面问题是一个重要的研究方向。
本文将介绍截面问题的基本概念、解题方法以及应用领域。
⒉基本概念⑴截面的定义截面是指将一个立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。
⑵截面的种类常见的截面包括平行截面、垂直截面、倾斜截面等。
平行截面是指与立体体积的底面平行的截面，垂直截面是指与立体体积的底面垂直的截面，倾斜截面是指与立体体积的底面既不平行也不垂直的截面。
⒊解题方法⑴平行截面的求解方法平行截面与底面平行，因此可以通过计算底面的面积和位于底面高度上的平行截面与底面的比例关系来求解平行截面的面积。
⑵垂直截面的求解方法垂直截面与底面垂直，因此可以通过计算底面的面积和垂直截面的高度来求解垂直截面的面积。
⑶倾斜截面的求解方法倾斜截面与底面既不平行也不垂直，因此求解倾斜截面的面积需要考虑其与底面的夹角以及截面的形状。
可以通过投影的方法或截面形状的几何关系来求解倾斜截面的面积。
⒋应用领域⑴建筑设计在建筑设计中，截面问题常常用于计算建筑物的横截面积，从而确定建筑物的结构稳定性和负荷承受能力。
⑵工程力学在工程力学中，截面问题常常用于计算结构件的截面形状和尺寸，从而确定结构件的刚度和强度。
⑶生物学在生物学中，截面问题常常用于计算生物体的截面积，从而确定生物体的体积和表面积，进而研究生物体的生理功能和生物学特性。
附件：本文档涉及的附件包括：⒈示例图片：包括平行截面、垂直截面和倾斜截面的示意图。
⒉计算表格：包括计算平行截面、垂直截面和倾斜截面面积的示例表格。
法律名词及注释：⒈立体几何：是数学学科中研究空间中各种几何体的形态、位置、运动和性质的学科。
⒉截面：把立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题本文档旨在介绍立体几何中的截面问题，包括截面的定义、性质、计算方法等方面的内容。
通过对截面问题的介绍和详细解析，读者可以更好地理解和应用相关知识。
1、截面的定义在立体几何中，截面是指一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。
截面可以是二维的曲线，也可以是三维的平面。
截面问题主要研究在不同情况下的截面形状、面积、体积等性质。
2、截面的性质截面的性质取决于所截图形的性质以及截面的位置和方向。
主要包括以下几个方面：2.1 几何形状：截面可以是点、线段、圆、椭圆、抛物线等各种几何形状。
2.2 面积：截面的面积可能是有限的，也可能是无限的。
2.3 体积：截面可以用来计算图形的体积，从而解决与立体几何有关的问题。
2.4 位置和方向：不同位置和方向的截面可以得到不同的结果，需要根据具体问题进行分析和计算。
3、截面的计算方法根据截面的性质和具体问题的要求，有多种不同的计算方法可以用来求解截面问题。
常用的计算方法包括以下几种：3.1 几何分析法：通过几何分析截面的形状和性质，利用几何定理和方法计算截面的面积、体积等。
3.2 数学建模法：将截面问题转化为数学模型，利用数学方法和计算机技术进行计算和求解。
3.3 数值模拟法：通过数值模拟和计算机仿真，模拟和计算截面问题的解答。
3.4 实验测量法：通过实际测量和实验，获取截面的相关数据和性质进行计算和分析。
附件：本文档无附件。
法律名词及注释：1、立体几何：研究三维空间中点、线、面等几何图形的性质和变换的数学学科。
2、截面：一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。
立体几何中的截面问题 教学设计
《立体几何中的截面问题》教学设计一、引言立体几何是数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的图形和体积。
在立体几何中，截面问题是一个非常有趣的话题，它涉及到了平面和立体图形的相互作用，对于学生来说是一个较为抽象的概念，但又是非常重要的。
在本次教学设计中，我们将以立体几何中的截面问题为主题，通过深入浅出的教学方式，帮助学生全面理解这一概念。
二、知识点介绍1.截面的定义在几何学中，截面是指一个几何图形在确定条件下与另一个几何图形交叠的部分。
在立体几何中，我们通常讨论的是平面与立体的交点部分，这些交点形成的图形称为截面。
2.截面与立体图形的关系通过对截面的研究，我们可以更加深入地理解立体图形的形状、体积和特性。
截面不仅可以帮助我们了解一个立体图形的内部结构，还能够将抽象的立体图形转化为平面图形来进行研究。
3.截面问题的应用在工程、建筑、艺术等领域，截面问题都有着广泛的应用。
通过对截面问题的研究，我们可以更好地理解和利用立体图形，从而应用到实际的生活和工作中。
三、教学目标1.了解截面的基本定义和特性。
2.掌握不同立体图形的截面求解方法。
3.能够应用截面问题解决实际生活中的问题。
4.培养学生分析和解决问题的能力。
四、教学内容与逻辑安排1.引入：通过展示一些真实生活中的立体图形，引出截面问题的概念，激发学生的兴趣。
2.理论知识讲解：首先介绍截面的定义和基本特性，然后分别针对不同的立体图形（如长方体、球体、圆柱体等）详细讲解其截面求解方法和特点。
3.实例演练：给出一些具体的例题，让学生通过实际计算和画图来掌握截面问题的求解方法。
4.拓展应用：结合实际生活中的案例，让学生应用截面问题来解决一些实际问题，培养学生的应用能力。
5.总结回顾：总结截面问题的求解方法和应用，强调理论与实际的联系，让学生对本次教学内容有一个全面的回顾和总结。
五、个人观点和理解在我看来，立体几何中的截面问题不仅是一个重要的知识点，更是一个非常有趣和实用的概念。
强基专题--立体几何中的截面问题
强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
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(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最 大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
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强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范 围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC， 所以四边形 EFGH 为矩形．
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强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG， 所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2， 所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1， 所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆 锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的 特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．
立体几何中截面问题重难考点归纳总结
高三二轮专题复习立体几何中截面问题重难考点归纳总结作空间几何体截面的常见方法：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3） 作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.考点一：截面形状的判断1．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（） A ．等腰梯形B ．非矩形的平行四边形C ．正五边形D ．正六边形2．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱B 1B 、B 1C 中点，点G 是棱CC 1的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为（ ）A ．矩形B ．三角形C ．正方形D ．等腰梯形3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．4．（多选题）一个正方体内有一个内切球，用一个平面去截，所得截面图形可能是图中的（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D5．在正方体中，M ，N ，Q 分别为棱AB ，的中点，过点M ，N ，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是（） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形考点二：求截面面积6．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为（） A ． B ． C ． D ． 7．已知球O 的表面积为，则过球Q 一条半径的中点，且与该半径垂直的截面圆的面积为___________. 8．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________. 9．已知正四棱柱中、的交点为，AC 、BD 的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，则正四棱柱的体积为______________.111-ABCD A B CD 111,B B C D 1O 2O 12O O 24π20π8π29π11A C 11B D 1O 2O 12O O O 12O O O 1111ABCD A B C D -10．已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C ，E 的平面截得的截面面积为______. 11．已知圆锥的侧面积为20π，底面圆O 的直径为8，当过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面面积最大时，则点O 到截面的距离为______________.12．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为A ． B． C ． D13．已知棱长为的正四面体，，，分别是棱，，的中点，则正四面体的外接球被三角形所在的平面截得的截面面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 14．已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ） ABC ．D ． 15．已知正方体的长为2，直线平面，下列有关平面截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______．①截面形状一定是等边三角形：②截面形状可能为五边形；③截面面积的最大值为④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．16．已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的1111ABCD A B C D -1124BE BB ==143AB AA =1A 1111ABCD A B C D -,E F 111,B B B C G 1CC AG 1A EF 198894ABCD E F N AB AC AD ABCD EFN 73π83π103π163πA BCD -O αAB AC AD αA BCD -O 1S 2S 12S S =38π364π1111ABCD A B C D -1AC ⊥αα120 2底面半径为（） ABC ．D ．17．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为___________.考点三：求截面周长18．如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.19．已知在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．20．正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）1111ABCD A B C D -122AA AB AD ===E F 1BB 11D C 11A BCD 1C CEF -1111ABCD A B C D -4AB =E BC F 11A D 1D ,,A E FA ．B ．C ．D ．21．在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ）A ．B ．C ．D ．无法确定考点四：截面最值问题22．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 23．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 24．已知球O 是正三棱锥A -BCD （底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC =3，AB =E 在线段BD 上，且BD =3BE ．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ） A ． B． C ． D ．25．如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是___________.26．如图，设正三棱锥的侧棱长为，，分别是上的点，过作三棱锥的截面，则截面周长的最小值为________.+A BCD -AB CD a ==MNPQ AB CD MNPQ 2a 4a a P ABC -O PA PB PC ==ABC ∆P ABC -16Q BC Q O 13,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]46ππ，[]412ππ，[]4ππ，[]6ππ，2π3π4π5πEFGH ABCD EFGH 4AB =6CD =EFGH P ABC -240APB ∠=︒,E F ,BP CP ,,A E F AEF27．正三棱锥，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.考点五：有关截面的综合问题28．如图，在正方体中，点P 为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（ ）A ．B ．三棱锥的体积为定值C ．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D ．DP 与平面所成角的正弦值最大为 29．（多选题）在棱长为2的正方体中，以下结论正确的有（）A ．三棱锥外接球的体积是B ．当点在直线上运动时，的最小值是P ABC -AB ==E PA 3PE EA =P A B C 、、、O E O ααO 1111ABCD A B C D -11A C P 1A 1C BD CP ⊥C BPD -P C 1D 1111D C B A 131111ABCD A B C D -11B A DC -Q 1BC 1A Q QC +8+C ．若棱，，的中点分别是，，，过，，三点作正方体的截面，则所得截面面积为D ．若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线30．（多选题）如图，正方体的棱长为1，P 为的中点，Q 为线段上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面多边形记为S ，则下列命题正确的是（ ）A ．当时，S 为等腰梯形B ．当时，S 与的交点R 满足C ．当时，S 为六边形D ．当时，S31．（多选题）在正方体中，，点E ，F 分别为，中点，点P 满足，，则（ ）A ．当时，平面截正方体的截面面积为B ．三棱锥体积为定值 AB 1AA 11CDEFG E F G M 1111D C B A D 1C M 11A D 1111ABCD A B C D -BC 1CC 12CQ =34CQ =11C D 113C R =314CQ <<1CQ =1111ABCD A B C D -2AB =AB BC 1AP AA λ= [0,1]λ∈1λ=PEF 941P ECC -C ．当时，平面截正方体的截面形状为五边形D ．存在点P ，二面角为45°10,3λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦PEF P EF A --Word 版见：高考高中资料无水印无广告word 群559164877详细解析1．C 【详解】画出截面图形如图：可以画出等腰梯形，故A 正确；在正方体中，作截面（如图所示）交，，，分别于点，，，，根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且，故四边形是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B 正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C 错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D 正确． 故选：C1111ABCD A B C D EFGH 11C D 11A B AB CD E F G H EFGH //EF HG //EH FGEFGH高中数学教研群 QQ 群号929518278 精品资料每天更新2．D 【详解】取的中点，如图连接、、、，由题意得：，， 不在平面内，平面内，∴平面.不在平面内，平面内，∴平面.，平面，平面平面，过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．故选：．3．①⑤【详解】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件； 当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件， 综上可知截面的图形可能是①⑤.故答案为：①⑤4．AB 【详解】由组合体的结构特征可知：当截面过球与正方体切点时可知A 正确、C 错误；当截面过正方体的对角面时可知B 正确；此题是正方体的内切球，可知D 错误.故选：AB5．D 【详解】如图所示：分别为中点，M ，N ，Q 确定平面， 且，故，，故，同理可得，，，故截面为六边形.故选：D. BC H AH GH 1D G 1AD //GH EF 1//AH A F GH 1A EF EF ⊆1A EF ||GH 1A EF AH 1A EF 1A F ⊆1A EF ||AH 1A EF GH AH H = ,GH AH ⊆1AHGD ∴1//AHGD 1A EF AG AEF 1AHGDD ,,EF H 111,,AD DD B C αNH MQ ∥N α∈NH α⊂,Q H αα∈∈QH α⊂FQ α⊂EF α⊂EM α⊂6．B 【详解】根据题意，所得截面是边长为4的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为的圆，且高为4，所以其表面积.故选：B. 7．【详解】 设球的半径为，则，解得.设截面圆的半径为，由题知：， 所以截面圆的面积.故答案为： 8．【详解】 设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线为l ,又圆锥过轴的截面为正三角形，圆锥的侧面积为， ∴， ∴.故答案为：. 9．3【详解】设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，由题知当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大，2()22222424S =⨯+⨯⨯=πππ32ππR 248R ππ=R =r r ==232S ππ==32π2329π22,9l r rl ππ==23l =23ABCD 11A B CD因为过点且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，所以， 于是正四棱柱的体积为.故答案为：3.10．由题意，正四棱柱中，，， 可得，在上取点，使得，连接，则有， 所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得，所以所以， 所以四边形是平行四边形的面积为， 故答案为：O 21a ⎧=⎪⎨=⎪⎩13a h =⎧⎨=⎩1111ABCD A B C D -23a h =1111ABCD A B C D -1124BE BB ==143AB AA =1118,2AA BB CC BE ====1DD F 12D F =1,A F CF 11,//A F CE A F CE =1A ECF 11A E CE A C ====2221111cos 2A E CE A C A EC A E CE +-∠===⨯1sin A EC ∠=1A ECF 11sin A E EC A EC ⨯⨯∠==11设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ,母线长为l ,则，∴，h =3,由于h<r ,所以圆锥的轴截面为钝角三角形，所以过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面为直角三角形时面积最大，如图，△SAB 为截面三角形，SO 为圆锥的高，设点O 到截面的距离为d ，则∴，即， ∴，即点O. 12．B 【详解】取BC 的中点H ，连接，4,20r rl ππ==5l =25,2SAB AB S == 14,2AOB OA OB S ===⨯= 1133SAB AOB S d S h ⋅=⋅ 12513323d ⨯⋅=d =,AH GH因为面AHGD1，面AHGD1，面AHGD1，同理，面AHGD1，又，则平面AHGD1∥平面A1EF，等腰梯形AHGD1，，故选B．13．D【详解】过点作平面的垂线，垂足为，交平面于点，设该四面体外接球球心为，连接，作图如下所示：因为四面体为正四面体，且面，故点为△的外心，则该四面体的球心一定在上，不妨设外接球球心为；因为分别为的中点，则//，//，又，且面，面，故平面//平面，故面，又为中点，故也为中点.因为正四面体的所有棱长为，故1,EF BC GH EF⊄GH⊂EF∴∥1A E∥1A E EF E⋂=98A BCD H EFN'O O,OB BHABCD AH⊥BCDH BCD AH O,,E F N,,AB AC AD EF BC FN CD,EF FN F BC CD C⋂=⋂= ,EF FN⊂EFN,BC CD⊂BCD EFN BCDAO'⊥EFN E AB'O AHABCD4243BH==则设该四面体的外接球半径为，即，则， 在△中，，即， 解得即外接球球心到平面， 设平面截外接球所得圆的半径为，则，解得，故截面圆的面积为.故选：D. 14．B 【详解】设平面截三棱锥所得正三角边长为a ，截面圆的半径为r ，则， 由正弦定理可得， ，故选：B15．④【详解】如图可知，截面形状可以是等边三角形、六边形、正六边形，∴①②明显错误；截面面积的最小值可以趋向于零，故③错误；当截面为正六边形时，截面过正方体的中心，此时正方体的体积被分成相等的两部分．故④正确.故答案为：④AH ===12O H AH ='=R OA OB R ==OH AH R R =-=Rt OHB 222OH BH OB +=222R R ⎫+=⎪⎪⎭R =OO R AO =-==''O EFN EFN r 222r +=2163r =163παA BCD -21S =sin 60a r ==︒22243πa S πr ∴==12S S =∴16．A 【详解】如图，由题可知，，又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，∴，即， 在中，.故选：A. 17．【详解】 以点为原点建立空间直角坐标系如图所示：120APB ∠= 30ABP ∠= 22122l =2l =Rt POB cos302r l === 98πD依题意得：，，，则，，所以，则；设为中点，因为则，所以点为三棱锥外接球的球心，则设球心到平面的距离为，又因为为中点，所以点到平面的距离为，由于，所以故截面圆的半径为，所以截面圆面积为. 故答案为：18如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，()0,2,0C ()1,2,1E ()0,1,2F ()1,0,1EC =-- ()111EF ,,=-- 1010EC EF ⋅=+-= EF EC ⊥O CF EF EC ⊥1EO OC FO C O ===O 1C CEF -12R CF ==O 11A BCD h O CF F 11A BCD 2h 111244h C D ==⨯=h =r ==98π98π11C D H 1CC 1C G连接，易证，则五边形为所求截面.因为，所以， 则， 故该截面的周长是.19．如图，延长EF ，A 1B 1，相交于点M ，连接AM ，交BB 1于点H ，延长FE ，A 1D1，相交于点N ，连接AN，交DD 1于点G ，连接FH，EG，可得截面为五边形AHFEG .因为ABCD-A 1B 1C 1D1是棱长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，由中位线定理易得：EF ＝：AG ＝AH ＝EG ＝FH AH ＋HF ＋EF ＋EG ＋AG ＝故答案为：20．B 【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF 与CC 1的延长线交于M ，连接EM 交B 1C 1于P ，连接FP ，则四边形AEPF 为所求截面.,,,,AE EG GH HF FA //,//AE HF AF EG AEGHF 4AB =111182,3,1,3BE CE C H D H A F D F CG =======143C G =103AE EG ==5,GH HF AF ===AE EG GH HF AF ++++=+111ABC A B C -过E 作EN 平行于BC 交CC 1于N ，则N 为线段CC 1的中点，由相似于可得MC 1=2，由相似于可得：， 在中，，则，在中，，则在中，，则在中，， 由余弦定理：，则故选：B.21．A 【详解】 设，因为平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四边形为平行四边形， 所以，. 因为，所以，， 1MFC MAC △1MPC △MEN 111242,2333PC PC B P =⇒==1Rt AA F 112,1AA A F ==AF ==Rt ABE △2,1AB BE ==AE ==1Rt B EP 1121,3B E B P ==PE ==1C FP 11141,,603C F C P FC P ==∠=︒2224413121cos 60339PF ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭PF ==AM k CM=//AB MNPQ ABC MNPQ MN =AB ÌABC //MN AB //PQ AB //MQ CD //NP CD MNPQ 11MN PQ AB AB k ==+1MQ NP k CD CD k==+AB CD a ==1a MN PQ k ==+1ak MQ NP k==+所以四边形的周长为. 故选：A.22．A 【详解】设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得 在正中，可得.从而直角在中解得. 进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角， 正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则所以过的平面截球所得截面的面积最大为； 又为中点，由正方体结构特征可得 由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时， MNPQ 2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭P ABC M PA PB PC ==M ABC ∆ABC S ∆1136P ABC ABC V PM S -∆=⨯⨯=PM =ABC ∆AM =ABC 1PA =PA PB ⊥PB PC ⊥PC PA ⊥P ABC -P ABC -O R R Q O 2max 34S R ππ==Q BC 1122OQ PA ==OQ Q截面圆半径最小为. 因此，过的平面截球所得截面的面积范围为. 故选：A.23．A 【详解】如图，将正四面体补为边长是ABCD 的外接球为正方体 的外接球，球心O在体对角线的中点，且球的半径；当OE 垂直于截面时，截面面积最小，截面圆的半径为面积为；当截面过球心O 时，截面面积最大，截面圆的半径为，面积为故选:A24．A【详解】解：如图，O 1是A 在底面的射影，由正弦定理得，△BCD 的外接圆半径r ==2min 12S r ππ==Q O 13,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦R =12r ==4π1r R =6π1031sin 602r =⨯=由勾股定理得棱锥的高AO 1；设球O 的半径为R ，则，解得，所以OO 1=1；在△BO 1E 中，由余弦定理得 所以O 1E =1；所以在△OEO 1中，OE；当截面垂直于OE. 故选：A25．【详解】解：四边形为平行四边形，；平面，平面， 平面；又平面，平面平面，，同理可得；设，， ，， ； 又，，， ，且； 四边形的周长为 ，；四边形周长的取值范围是．故答案为：26．将正三棱锥的三个侧面展开如图，由图可知，为使的周长最小，只需让四点共线即可，则当为与交点时，的周长最小，由题意，，∴，得的周长3==()223R R =-2R =2113211,O E =+-⨯==2π(8,12) EFGH //EH FG ∴EH ⊂/ ABD FG ⊂ABD //EH ∴ABD EH ⊂ ABC ABC ABD AB =//EH AB ∴//EF CD EH x =EF y =∴EH CE AB CA =EF AE CD AC =∴1EH EF CE AE AC AB CD CA AC AC+=+==4AB =Q 6CD =∴146x y +=614x y ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭04x <<∴EFGH 2()2[6(1)]4xl x y x =+=+-12x =-81212x ∴<-<∴EFGH (8,12)(8,12)AEF 1,,,A E F A ,E F 1AA ,BP CP AEF 140BPC CPA APB ∠=∠=∠=︒1120APA ∠=︒1AA ===AEF的最小值为故答案为：27．【详解】，，， 同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，则.所以，当平面时，平面截球O 的截面面积最小，，故截面的面积为.故答案为：28．D 【详解】由题可知平面，所以，故A 正确； 由等体积法得为定值，故B 正确； 设的中点为，当时，如下图所示：3π4PA PC PB === AB AC BC ===222PA PC AC ∴+=2CPA π∴∠=2CPB BPA π∠=∠=O 2R =PA F OF OF =OF PA ⊥3OE ==OE ⊥αα=3π3πBD ⊥11ACC A BD CP ⊥113C BPD P BCD BCD V V S AA --==⋅⋅ 11A C M 1P MC ∈此时截面是三角形，当时，如下图所示：此时截面是梯形，故C 正确；选项D ，在正方体中，连接，则为在平面上的射影，则为与平面所成的角，设正方体的棱长为1，，则当取得最小值时，的值最大，即时，， 所以D 不正确. 故选：D.29．ACD 【详解】对于A ：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，因为正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，即所以外接球的体积是，故选项A 正确；1D QC 1PMA ∈1D QRC 1D P 1D P DP 1111D C B A 1D PD ∠DP 1111D C B A 1PD x =DP =1sin D PD ∠x 1sin D PD ∠111D P A C ⊥x 1sin D PD ∠11B A DC -1111ABCD A B C D -2R =R 34π3V =´=对于B ：把沿翻折到与在同一个平面（如图所示），连接，则是的最小值，其中是边长为的等边三角形，是直角边为的等腰直角三角形，所以， 即故选项B 错误；对于C ：分别取棱，，的中点，，，连接，，，，，，则易知过，，三点的截面是正六边形，1BCC 1BC 11A C B △1A C 1A C 1A Q QC +11A C B △1BCC 211A C A Q QC =+==1A Q QC +11A D 1CC BC H M N EF FH HG GM MN NE E F G EFHGMN所以截面面积为故选项C 正确；对于D ：因为是平面上到点和距离相等的点，所以点的轨迹是平面与线段的垂直平分平面的交线，即点的轨迹是平面与平面的交线，所以点的轨迹是直线，即选项D 正确．故选：ACD.30．ABD 【详解】解：过点A ，P ，Q 的平面截正方体，当时，其截面形状为梯形如图1，特别地当时，截面形状为等腰梯形， 当时，其截面形状为五边形如图2． 若，则，所以． 当时，与重合，其截面形状为四边形如图3，此时，因为P 为的中点，且，所以为的中点，所以，同理，所以四边形为平行四边形，所以四边形为菱形，其面积为ABD 正确． 故选：ABD.31．BCD 【详解】A 选项中，当时，与重合，则截面为等腰梯形，其面积为，故A 选项错误； 1(62⨯=M 1111D C B A D 1C M 1111D C B A 1DC 11A BCD M 1111D C B A 11A BCD 11A D M 11A D 102CQ <≤12CQ =112CQ <<34CQ =1113C Q C R QC CM ==113C R =1CQ =Q 1C PQ AP =BC CP AD ∕∕Q MN PC AE ∕∕QE AP ∕∕APQE APQE 112AC PE ⋅==1λ=P 1A 92B 选项中，因为平面，故P 到平面的距离不变，故三棱锥体积为定值．故B 选项正确：C 选项中，当时，其截面刚好为五边形，时，截面为五边形；故C 选项正确；D 选项中，当点P 与重合时，其二面角正切值为，此时二面角大于45°， 所以存在点P ，二面角为45°，D 选项正确；故选：BCD ．1//AA 1ECC 1ECC 1P ECC -13λ=103λ<<1A P EF A --。
空间几何体交线和截面问题
空间几何体交线和截面问题
在探讨空间几何体交线和截面问题时，我们需要掌握一些基本的知识。
首先，交线是指两个几何体相交所产生的一条或者多条线，它是二者所交之处的所有点的集合。
相对地，截面则是通过切割一个空间几何体而得到的二维平面。
当两个几何体相交时，交线通常表现为曲线或者直线。
为了求出交线，首先需要找出两个几何体的方程，然后联立解析来求解。
例如，在体积学中，一个平面和一个圆锥体相交，其交线是一个椭圆。
同样，如果两个圆柱体相交，那么它们的交线可能是一条或者两条直线，或者一个双曲线。
截面是容易理解的，就如同我们把一个水果切开一样，我们看到的剖面就是截面。
在数学中，一个空间几何体的截面就是通过该体的一个平面所得到的二维形状。
例如，一个圆柱体的截面可以是一个矩形（如果截面平行于底面）或一个椭圆（如果截面斜切）。
在实际的解决问题过程中，我们需要灵活应用这些知识，理解空间几何体交线和截面的形状和性质。
例如，如果我们知道一个截面，就可以判断其所属的空间几何体。
同样，如果我们了解了交线，我们也可以推断出两个相交的几何体。
总结来说，空间几何体交线和截面问题是空间几何学习的重要部分。
我们需要通过学习和实践，掌握判断和解决这类问题的基本方法和技巧。
【数学】立体几何中的截面问题(六大题型) 2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第二册
【答案】 3
【解析】设正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 2 ，体积为 ，
则 = 2 × 2 × 2 = 8 3 ，
因为 E 是棱 1 1 的中点，所以 1 = ，
（ 2 ） 过 M ， N ， P 三 点作 正方 体的 截面 为 ， 如图 所示 ：
则 截 面 的 周 长 为： + + + + = + + ，
因 为 正 方 体 棱 长为 1 ， 则
= =
=
故选：ACD．
3
2
3
2
(2 − )2，ℎ2 =
( 2)2 − [
2 = − 3 2 + 2 3 + 2 3
2 ( 2 − ) − 2 2 2
]
2
=
3 2 ，
2
题型二：截面周长
【例 2 】（ 2024·高三 ·四川成都 ·开学考试）如图，正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 4 ， E 是侧棱 1 的中
A．1∶ 2
B．1∶4
C．1∶（ 2+1）
D．1∶（ 2﹣1）
【答案】 D
【解析】设截后棱锥的高为 h ，原棱锥的高为 H ，
由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，
若截得的截面面积与底面面积的比为 1 ∶ 2 ， ℎ =
则此正棱锥的高被分成的两段之比：
故选：D
ℎ
−ℎ
=
1
.
2−1
设 1 = ， 则 0 ≤ ≤ 1，
立体几何中的截面问题
立体几何中的截面问题一．基本原理：过正方体（长方体）上三点做截面.1.三点中有两点共面例1.如图，在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，E，F，G 分别在AB，BC，DD 1上，求作过E，F，G 三点的截面．思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.解析：作法：①.由于F E ,共面，在底面AC 内，过F E ,作直线EF ，与DA 于L ，显然，此时L 即在侧面D A 1内，又在欲求截面内，而该截面与侧面D A 1又交于点G ，根据公理1，截面与侧面D A 1交于L .同理，过F E ,作直线EF 与DC 的延长线交于M ，此时M 即在侧面1DC 内，又在欲求截面内，根据公理1，截面与侧面1DC 交于M .②在侧面D A 1内，连接LG 交1AA 于K .③在侧面1DC 内，连接GM 交1CC 于H .④连接FH KE ,.则五边形EFHGK EFHGK 即为所求的截面．练习1.（三点两两共面）P，Q，R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1，CC 1和DD 1上，试画出过P，Q，R 三点的截面作法．解析：作法：（1）连接QP，QR 并延长，分别交CB，CD 的延长线于E，F.（2）连接EF 交AB 于T，交AD 于S.（3）连接RS，TP.则五边形PQRST 即为所求截面．例2.（三点所在的棱两两异面）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ,,分别为111,,CC AB D A 上三点，求过这三点的截面.分析：此题的难点在于R Q P ,,三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让上面三点RQ P ,,中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题.解：如图，作1//BB QE 交11B A 与E ，则1,RC QE 确定一个平面，转化为例1的情形.连接QR EC ,1,交于点F ；连接PF 交1111,B A D C 延长线于H G ,；连接HQ 交11,BB AA 延长线于J I ,；连接JR 交BC 于K .则KRGPIQK 为所作截面.例3.利用平行关系确定截面在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（）A．2a B．4a C．a D．无法确定解析：设AM k CM=，因为//AB 平面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ MN =，AB Ì平面ABC ，所以//MN AB ，同理可得//PQ AB ，//MQ CD ，//NP CD ，故四边形MNPQ 为平行四边形，所以11MN PQ AB AB k ==+，1MQ NP k CD CD k ==+.因为AB CD a ==，所以1a MN PQ k==+，1ak MQ NP k ==+，所以四边形MNPQ 的周长为2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭.故选：A.二．截面的的画法小结1.确定截面的主要依据有（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．（3）两个平面平行的性质．2.作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
立体几何截面问题专题总结
立体几何截面问题专题总结前言在立体几何截面问题专题的学习中，我深入研究了这一领域的知识，积累了丰富的经验。
在本文中，我将总结我对立体几何截面问题的理解和方法，并分享一些解决这类问题的技巧。
正文什么是立体几何截面问题立体几何截面问题是指在三维空间中，通过一个封闭曲面与另一个几何体相交，求得相交部分的形状、面积、体积等相关问题。
常见的立体几何截面问题包括求圆柱与平面的截面、球与平面的截面等。
解决立体几何截面问题的方法解决立体几何截面问题可以采用以下方法：1.几何推导法：通过几何知识进行推导，得到截面形状和相关参数。
可以使用几何证明、相似三角形等方法来推导。
2.代数方程法：将截面问题转化为几何方程，通过代数方法解方程得到结果。
常用的代数方程包括二元一次方程、二次方程等。
3.平面几何投影法：将立体物体投影到一个平面上，通过对投影图形的分析得出截面形状和相关参数。
4.立体几何体积法：通过计算立体几何体积的方法得到截面的面积或体积。
常见的计算公式包括圆柱的体积公式、球的体积公式等。
解决立体几何截面问题的技巧解决立体几何截面问题时，可以运用以下技巧：•画图辅助：通过画图来理清问题的思路，将立体物体和截面形状清晰地表示出来，有助于理解问题和找出解决方法。
•寻找几何相似：在推导过程中，可以尝试找出几何相似的部分，通过相似三角形或相似比例来得到所需的截面形状或参数。
•利用几何关系：在立体几何中，不同几何形状之间存在着特定的关系，例如平行、垂直关系等。
利用这些关系可以简化问题的求解过程。
•积极总结经验：在解决立体几何截面问题的过程中，积累并总结经验是非常重要的。
经验的积累可以帮助我们更快地解决类似的问题，并提高解题的效率。
结尾通过学习立体几何截面问题专题，我对这一领域有了更深入的了解。
在解决立体几何截面问题时，适当地运用几何推导法、代数方程法、平面几何投影法和立体几何体积法等方法，并结合绘图和几何关系，我们可以更好地解决这类问题。
高考数学立体几何截面问题
高考数学立体几何截面问题
在高考数学中，立体几何截面问题是一个常见的问题。
截面问题考察的是学生的空间想象能力和动手操作能力，需要判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题。
解决立体几何截面问题的一般方法是通过作几何体的截面，将空间问题转化为平面问题。
这个过程需要学生利用已知不共线三点作几何体的截面，通过转化为平面问题来深化理解空间点线面关系。
在具体解题过程中，学生还需要掌握一些基本的定理和公式，如平行线的性质、三角形中位线定理、勾股定理等，以及一些常见的立体几何截面形状，如三角形、四边形、五边形等。
此外，学生还需要通过大量的练习来提高解题的速度和准确性，掌握不同类型题目的解题技巧和方法。
总之，高考数学立体几何截面问题需要学生具备扎实的数学基础和较强的空间想象能力和动手操作能力，通过不断的学习和练习来提高解题的能力。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题一、引言1·1 概述本文档将详细介绍立体几何中的截面问题。
截面问题是立体几何中常见的问题类型之一，涉及到在给定几何体上进行切割，求解切割平面与几何体的交线或截面的形状、性质等问题。
1·2 目的本文档的目的是为读者提供关于立体几何中截面问题的全面了解，包括截面的定义、不同几何体的截面特征、相关定理和推论的证明方法、截面问题的应用等。
1·3 适用范围本文档适用于对立体几何有一定了解的读者，特别是对截面问题感兴趣的学生、教师和研究人员。
二、截面的定义与分类2·1 截面的定义截面是指一个平面与立体几何体相交所得的曲线、线段或点集。
2·2 平行截面与垂直截面根据切割平面与几何体的相对位置，我们可以将截面分为平行截面和垂直截面两种类型。
三、不同几何体的截面特征3·1 球体的截面3·1·1 截面形状球体的截面是一个圆或一个点。
3·1·2 截面性质球体的截面是等面积的，并且与球心的连线垂直于截面。
3·2 圆柱体的截面3·2·1 截面形状圆柱体的截面可以是一个圆、一个椭圆、一条直线或两个平行线段。
3·2·2 截面性质圆柱体的截面与轴线平行或垂直，并且截面上的点到轴线的距离是恒定的。
3·3 圆锥体的截面3·3·1 截面形状圆锥体的截面可以是一个圆、一个三角形、一个直线或两个平行线段。
3·3·2 截面性质圆锥体的截面与轴线平行或垂直，并且截面上的点到轴线的距离是变化的。
3·4 正多面体的截面3·4·1 截面形状正多面体的截面可以是一个正多边形、一个多边形、一个直线或两个平行线段。
3·4·2 截面性质正多面体的截面与对称轴平行或垂直，并且截面上的点到对称轴的距离是恒定的。
高中数学立体几何轴与截面图的构造与性质分析
高中数学立体几何轴与截面图的构造与性质分析在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，而轴与截面图是立体几何中的一个重要概念。
本文将从构造与性质两个方面进行分析，并通过具体的题目来说明这些内容。
一、构造轴与截面图的构造是指如何根据给定的几何体，确定它的轴与截面图。
下面以圆锥为例进行说明。
题目1：已知圆锥的底面半径为r，斜高为h，求圆锥的轴与截面图。
解析：首先，我们可以通过连接圆锥的顶点和底面圆心，得到圆锥的轴线。
然后，我们可以通过在底面上任取一点，连接该点与圆锥顶点，得到一条直线。
这条直线与圆锥的交点即为截面图上的点。
通过不同的截面可以得到不同的截面图。
题目2：已知圆锥的底面半径为r，斜高为h，求圆锥的截面图方程。
解析：我们可以通过截面图上的点坐标来确定截面图的方程。
假设截面图上的点坐标为(x, y)，则根据圆锥的性质，可以得到截面图方程的表达式。
通过不同的截面可以得到不同的截面图方程。
二、性质轴与截面图的性质是指轴与截面图之间的关系以及截面图的特点。
下面以圆柱为例进行说明。
题目3：已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的截面图的性质。
解析：由于圆柱的底面是一个圆，所以圆柱的截面图是一组圆。
这组圆的半径与圆柱的底面半径相等，而圆心位于圆柱的轴线上。
通过不同的截面可以观察到截面图的特点。
题目4：已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的截面图的面积。
解析：我们可以通过计算截面图的面积来求解。
由于圆柱的截面图是一组圆，所以可以通过计算每个圆的面积，并将其相加得到截面图的面积。
通过不同的截面可以得到不同的截面图面积的变化规律。
通过以上的例题，我们可以看出轴与截面图的构造与性质是相互联系的。
在解题过程中，我们需要根据已知条件来构造轴与截面图，并利用轴与截面图的性质来推导出所需的结果。
在实际应用中，轴与截面图的构造与性质也有很多用途。
例如，在工程设计中，可以通过轴与截面图来确定建筑物的结构；在物理实验中，可以通过轴与截面图来观察物体的运动规律。
立体几何截面和交线问题(含答案)
立体几何截面和交线问题一．选择题（共13小题）1．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．B ．C D2．已知圆22:(2)4M x y -+=，过点(1,1)的直线中被圆M 截得的最短弦长为O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为( ) A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )A ．B ．4+C ．D ．4．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C ．4D6．体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A．[4π，12]πB．[8π，16]πC．[8π，12]πD．[12π，16]π7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是()πC．}D．)πA．,2)πB．[]8．如图，已知四面体ABCD为正四面体，1AB=，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为()A．1B C D．149．设四棱锥P ABCD-的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，α)则这样的平面(A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球．设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图象最有可能的是()A ．B ．C ．D ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A ．56π B ．23π C ．π D ．76π12．已知三棱锥P ABC -的棱AP 、AB 、AC P 为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．23π B ．56π C ．π D ．32π13．已知底面为正方形的四棱锥O ABCD -，各侧棱长都为16，以O 为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD -相交部分的体积是( ) A ．29π B ．89π C ．169πD ．43π 二．多选题（共2小题）14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是()A ．点1C ，1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=︒D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列结论成立的有( )A ．存在点G ，使OD 垂直于平面EFGB ．对于任意点G ，//OA 平面EFGC ．直线EF 的被球OD ．过直线EF 的平面截球O 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2π 三．填空题（共17小题）16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为 ．17．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面的周长为．18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为 ．19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 ．20．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为 ．21．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为 ．22．球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，2AB =，E ，F 分别为棱AD ，1CC 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 ．23．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）24．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和()GF EF +等于 ．25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A 表面相交所得到的曲线的长等于 ．26．已知正三棱锥P ABC -侧棱长为1，且PA 、PB 、PC 两两垂直，以顶点A 为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为 ．27．以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <<为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 ．28．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，以其体对角线的交点O 为球心，3为半径的球与正方体表面的交线长为 ．29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以表面所截得的所有弧长的和为 ．30．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R = ④当314CQ <<时，S 为四边形⑤当1CQ =时，S31．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，若102CQ<，则S 的面积取值范围是 ．32．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当1CQ =时，S 的面积为 ．四．解答题（共5小题）33．如图，在正三棱锥A BCD -中，30BAC ∠=︒，AB a =，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H ．（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由．（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明．34．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点G 在棱11D C 上，且11114D G D C =，点E 、F 、M 分别是棱1AA 、AB 、BC 的中点，P 为线段1B D 上一点，4AB =． （Ⅰ）若平面EFP 交平面11DCC D 于直线l ，求证：1//l A B ； （Ⅱ）若直线1B D ⊥平面EFP ． ()i 求三棱锥1B EFP -的表面积；()ii 试作出平面EGM 与正方体1111ABCD A B C D -各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM 与棱11A D 交于点Q ，求三棱锥Q EFP -的体积．35．如图，在棱长都等于1的三棱锥A BCD -中，F 是AC 上的一点，过F 作平行于棱AB 和棱CD 的截面，分别交BC ，AD ，BD 于E ，G ，H ． （1）证明截面EFGH 是矩形；（2）F 在AC 的什么位置时，截面面积最大，说明理由．36．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11AA =，AB 2AC =，E ，F 分别为棱1CC ，BC 的中点．（1）求异面直线EF 与1A B 所成角的大小；（2）若G 为线段1AA 的中点，试在图中作出过E ，F ，G 三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值．37．已知三棱锥A BCD -中，ABC ∆与BCD ∆均为等腰直角三角形，且90BAC ∠=︒，6BC CD ==，E 为AD 上一点，且CE ⊥平面ABD ． （1）求证：AB CD ⊥；（2）过E 作一平面分别交AC ，BC ，BD 于F ，G ，H ，若四边形EFGH 为平行四边形，求多面体ABEFGH 的表面积．立体几何截面和交线问题（答案）一．选择题（共13小题）1．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．B ．CD 【解答】解：如图，延长EF ，FE ，分别交11B C ，11B A 的延长线于点H ，G 连结BG ，BH ， 分别交1AA ，1CC 于点I ，J ，则五边形BIEFJ 为所求截面．平面1//B C 平面1A D ，∴平面BGH 与之交线//IE BJ ，棱长为2的正方体1111ADCB A D C B -中，可得BI GJ ==，EI FJ ∴==，EF ， ∴则过D ，E ，F 三点的平面截该正方体，= 故选：C ．2．已知圆22:(2)4M x y -+=，过点(1,1)的直线中被圆M 截得的最短弦长为O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为( ) A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【解答】解：由题意，正方体的棱的中点与O 的距离为，∴2=， ∴最小截面的面积为224ππ=，故选：B ．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )A ．B ．4+C ．D ．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中BD AC ⊥， BD AM ∴⊥（三垂线定理）， 取1BB 中点N ，11A B 中点E ，连MN ，AN ，BE ， 可知BE AN ⊥，BE AM ∴⊥（三垂线定理），AM ∴⊥平面DBE ，取11A D 中点F ， 则α即为截面BEFD ，易求周长为， 故选：A ．4．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图所示；取正方体1111ABCD A B C D -棱AB 、BC 、1CC 的中点L 、K 、Q ， 连接NL ，LK 、KQ 、QP ，则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为12NQ =其面积为2162⨯⨯=故选：D ．5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C D 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，，α截此正方体所得截面最大值为：26． 故选：A ．6．体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A ．[4π，12]πB ．[8π，16]πC ．[8π，12]πD ．[12π，16]π【解答】解：设3BC a =，则2R a =，体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，∴2193a h =224h a ∴=，222())R h R =-+，2222244(2)3a a a a∴=-+，2a ∴=， 6BC ∴=，4R =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =， ODB ∴∆中，4OD OB ==，6DB =，3cos 4ODB ∠=，OE ∴=，截面垂直于OE =，截面圆面积为8π， 以OE 所在直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为16π，∴所得截面圆面积的取值范围是[8π，16]π．故选：B ．7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是( )A ．,2)πB ．[]πC ．}D ．)π 【解答】解：圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度， 过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2， 设轴截面的中心角为2α，由条件得：42ππα<，2sin 22r r l α==， 解得2r ，2222r l ππθ==，∴2θπ<，θ∴的取值范围是,2)π．故选：A ．8．如图，已知四面体ABCD 为正四面体，1AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．14B C D ．1【解答】解：补成正方体如图：由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，可得1KL KN +=； 又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥； KN KL ∴⊥，(2MNKL NK KL S NK KL +∴=⋅四边形21)4=， 当且仅当NK KL =时取等号． 故选：A ．9．设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面(α )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个【解答】证明：由侧面PAD 与侧面PBC 相交，侧面PAB 与侧面PCD 相交， 设两组相交平面的交线分别为m ，n ， 由m ，n 确定的平面为β， 作α与β平行且与四条侧棱相交， 交点分别为1A ，1B ，1C ，1D 则由面面平行的性质定理得： 1111////A B m D C ，1111////A D n B C ，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下移动，则这样的平面α有无数多个． 故选：D ．10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球．设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图象最有可能的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当1x =；②当12x =；③当x = ①当1x =时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；②当12x =时，以A 为球心，12为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x =．以A 其弧长为：1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；对照选项，B 正确． 故选：B ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A ．56π B ．23π C ．π D ．76π 【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上； 另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为2AE =，1AA =， 则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为：263ππ⨯=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为B ，半径为1，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为：122ππ⨯=．于是，所得的曲线长为：5326πππ+=．故选：A ．12．已知三棱锥P ABC -的棱AP 、AB 、AC P 为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．23π B ．56π C ．π D ．32π【解答】解：如图，AP ，1AN =，6APN π∠=，12NPM π∠=，∴2126MN ππ=⨯=．同理6GH π=，122HN ππ=⨯=，2233GM ππ=⨯=，球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于2366232πππππ+++=． 故选：D ．13．已知底面为正方形的四棱锥O ABCD -，各侧棱长都为16，以O 为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD -相交部分的体积是( )A ．29π B ．89π C ．169πD ．43π 【解答】解：连接正方体的对角线根据交点得出正方体可以分割成6个相同的四棱锥，∴四棱锥O ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，各侧棱长均为以O 为中心，将6个这样的四棱锥放在一起，会得到一个正方体； 而以O 为球心，2为半径的球正好在正方体的内部； 则球与该四棱锥重叠部分的体积为球体积的16； 因此以O 为球心，2为半径的球与该四棱锥重叠部分的体积是314162639V ππ=⨯⨯⨯=，故选：C ．二．多选题（共2小题）14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是()A ．点1C ，1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=︒D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形【解答】解：如图，取BC 中点E ，1CC 中点F ，则有六边形MQNPEF 为正六边形， 对于A ，根据正方体的对称性，可得点1C ，1D 到平面MQNPEF 的距离相等，A ∴正确； 对于B ，PN 与QM 为共面直线，故B 错；对于C ，在正六边形MQNPEF 中，设1PN =，则2PM =，MN =222MN PN PM ∴+=，则MN PN ⊥，故C 正确；对于D ，平面PMN 截该正方体的截面为正六边形，故D 正确． 故选：ACD ．15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列结论成立的有( )A ．存在点G ，使OD 垂直于平面EFGB ．对于任意点G ，//OA 平面EFGC ．直线EF 的被球OD ．过直线EF 的平面截球O 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2π 【解答】解：正方体的内切球的球心即正方体的中心O ，1R =， 对于A ，当G 为BC 的中点时，EG BD ⊥，1BB EG ⊥， 1BB BD B =，EG ∴⊥平面1BB D ，而1B D ⊂平面1BB D ，则1EG B D ⊥，同理，FG ⊥平面1B CD ，可得1FG B D ⊥， EGFG G =，1B D ∴⊥平面EFG ，即OD 垂直于平面EFG ，故A 正确；对于B ，当G 与B 重合时，A ∈平面EFB ，O ∉平面EFB ， OA ∴与平面EFG 相交，此时//OA 平面EFG 不成立，故B 错误；对于C ，EF ==EF 的中点M ，由对称性可知，OE OF =，OM EF ∴⊥，2OE =2OM ∴=O 到EF 的距离为2，∴直线EF 的被球O 截得的弦长为==C 正确； 对于D ，设截面圆的半径为r ，O 到平面的距离为d ，则222r d R +=， 当O 到平面的距离最大时，截面圆的半径r 最小，O 到平面的距离小于等于O 到EF 的距离，∴当d =时，min r ==∴半径最小的圆的面积为22r ππ=，故D 正确．故选：ACD ．三．填空题（共17小题）16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为 1053+ ． 【解答】解：如图所示：过点F 作//FH AE 交11A D 于H ，由题意可得AE === 易知11D H =，可得HF所以点H 为11A D的四等分点，可得5AH ， 所以11114D H A D =， 过点E 作//EP AH 交1CC 于点P ， 则△1AA H PCE ∆∽， 所以11AA CP A H CE =，解得83CP =， 所以截面与11BCC B的交线段长为103PE，PF =，可得截面的周长10105533L AE EP PF FH HA =++++==++故答案为：1053+ 17．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面的周长为【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，∴过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面为梯形1APQD ，12AD PQ ==，1AP D Q ===∴过点A ，P ，Q的平面α截该正方体所得的截面的周长为：11L AP PQ QD AD =+++=故答案为：．18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中BD AC ⊥， BD AM ∴⊥（三垂线定理）， 取1BB 中点N ，11A B 中点E ，连MN ，AN ，BE ， 可知BE AN ⊥，BE AM ∴⊥（三垂线定理），AM ∴⊥平面DBE ，取11A D 中点F ， 则α即为截面BEFD ，易求周长为故答案为19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 12π ． 【解答】解：设圆柱的轴截面的边长为x ，则由28x =，解得x =其表面积为：222212S S S πππ=+=⨯⨯+=侧圆柱表底．故答案为：12π．20．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P三点的平面截正方体所得截面的面积为 【解答】解：如图所示；取正方体1111ABCD A B C D -棱AB 、BC 、1CC 的中点L 、K 、Q ， 连接NL ，LK 、KQ 、QP ，则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为12NQ =其面积为162⨯⨯=．故答案为：．21．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为23π． 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球O 与该正方体的各个面相切， 则球O 的半径为1，如图，设E 、F 、G 分别为球O 与平面ABCD 、平面11BB C C 、11AA B B 的切点， 则等边三角形EFG 为平面1ACB 截此球所得的截面圆的内接三角形，由已知可得EF EG GF ==∴平面1ACB 截此球所得的截面圆的半径r =．∴截面的面积为223ππ⨯=． 故答案为：23π．22．球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，2AB =，E ，F 分别为棱AD ，1CC 的中点，则直线EF 被球O【解答】解：连结OE ，OF ，取EF 的中点M ，连结OM ． O 是正方体的中心，E ，F 是AD ，1CC 的中点，OE OF ∴=OM EF ∴⊥．又EF ==OM ∴==． 球O 的半径为1r =，EF ∴被球O 截得弦长为=23．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）【解答】解：由题意知，MN ⊥平面11BB D D ，则MN 在底面ABCD 上的射影是与对角线AC 平行的直线，故当动点P 在对角线1BD 上从点B 向1D 运动时，x 变大y 变大，直到P 为1BD 的中点时，y 最大为AC ； 然后x 变小y 变小，直到y 变为0，因底面ABCD 为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样． 故答案为：②．24．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和()GF EF +等于56π．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上； 另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为2AE =，1AA =， 则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为：263ππ⨯=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为B ，半径为1，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为：122ππ⨯=．于是，所得的曲线长为5326GF EF πππ+=+=． 故答案为：56π．25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A表面相交所得到的曲线的长等于． 【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为AE =，11AA =，则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为6π，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为2π=．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为33+=．26．已知正三棱锥P ABC -侧棱长为1，且PA 、PB 、PC 两两垂直，以顶点A为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为． 【解答】解：设以顶点A线是EFNM ，如图所示．则AE AF AM AN ====， 在直角三角形APE中，cos PAE ∠=，6PAE π∴∠=，∴()46ME ππ=-=，同理NF =； 在直角三角形PBC 中，2BPC π∠=，PE PF ==∴2EF π==， 在等边三角形ABC中，MN AM ==3MAN π∠=，∴3MN π==．则这条封闭曲线的长度为ME NF EF MN +++=．．27．以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <<为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 [0，12]π ．【解答】解：以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <<为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧），∴根据勾股定理可以算出：O 点到正方体各个面距离为1，O以O 点为球心，以(1r r <<为半径的球，当r 为1时球刚好和棱长为2的正方体六个面相切，∴此时若干个圆（或圆弧）的总长度为0；当r 0； 球与正方体表面相交的圆正好与正方体的十二个棱边相切的时候若干个圆（或圆弧）的总长度才是最大的， 一共是6个圆，而且正方形的棱长为2，∴每个圆的直径是2，则每个周长是2π， ∴圆的总长度最大为6212ππ⨯=，圆（或圆弧）的总长度的取值范围是：[0，12]π． 故答案为：[0，12]π．28．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，以其体对角线的交点O 为半径的球与正方体表面的交线长为． 【解答】解：依题意，球心O 到正方体表面的距离为1， 设正方形ABCD 的中心为1O ，正方形ABCD 所在平面裁球O 所得的圆的半径1r >． 故球O 与每一个面的交线均为四段圆弧，且13EO F π∠=．故四段圆弧的圆心角之和为2()4233πππ-⨯=，故一个面上的交线长23l π==，则66⨯=，29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以表面所截得的所有弧长的和为 6π ．【解答】解：如图，不妨以D 为球心，则正方体的表面被该球面所截得的弧长有相等的三部分， 与上底面截得的弧长，是以1D 为圆心，以4为半径的四分之一圆周， 则弧长：111824AC ππ=⨯=． ∴该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为6π．故答案为：6π．30．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号） ①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R = ④当314CQ <<时，S 为四边形⑤当1CQ =时，S【解答】解：如图当12CQ =时，即Q 为1CC 中点，此时可得1//PQ AD ，1AP QD =，故可得截面1APQD 为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q 向C 移动时，满足102CQ <<，只需在1DD 上取点M 满足//AM PQ ， 即可得截面为四边形APQM ，故①正确； ③当34CQ =时，如图， 延长1DD 至N ，使112D N =，连接AN 交11A D 于S ，连接NQ 交11C D 于R ，连接SR ， 可证//AN PQ ，由11NRD QRC ∆∆∽，可得1111::1:2C R D R C Q D N ==，故可得113C R =，故③正确；④由③可知当314CQ <<时，只需点Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS ，显然为五边形，故④错误；⑤当1CQ =时，Q 与1C 重合，取11A D 的中点F ，连接AF ，可证1//PC AF ，且1PC AF =，可知截面为1APC F 为菱形，故其面积为112AC PF ⋅，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤．31．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，若102CQ<，则S 的面积取值范围是 3(4，9]8．【解答】解：在1CC 上取点M 使得2CM CQ =，在1DD 上取点N ，使得DN CM =，连接BM ，AN ，MN ，CN ，AP ，则PQ 为BCM ∆的中位线，//PQ BM ∴，//DN CM =，CD CM ⊥，∴四边形CDNM 是矩形， ////MN CD AB ∴==，∴四边形ABMN 是平行四边形，//AN BM ∴，//AN PQ ∴，故截面多边形为梯形APQN ， 设CQ x =，则PQ =，2AN BM PQ ===， 取AD 的中点O ，过O 作OE AN ⊥，过D 作DF AN ⊥，则可证PE AN ⊥，则DF =12OE DF ∴=，PE ∴=∴梯形APQN的面积为S =， 102x<，∴3948S <．故答案为：3(4，9]8．32．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当1CQ =时，S 的面积为．【解答】解：当1CQ =时，1C 与Q 重合，取11A D 中点E ，则菱形1APC E 就是过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面，1AC =PE∴过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为：112S AC PE =⨯⨯=．．四．解答题（共5小题）33．如图，在正三棱锥A BCD -中，30BAC ∠=︒，AB a =，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H ．（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由．（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明．【解答】解：（1）//AD 面EFGH ，面ACD ⋂面EFGH HG =，AD ⊂面ACD//HG EF ∴．（2分）同理//EH FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形（3分）三棱锥A BCD -是正三棱锥，A ∴在底面上的射影O 是BCD ∆的中心，DO BC ∴⊥， AD BC ∴⊥，HG EH ∴⊥，四边形EFGH 是矩形（5分）（2）当AP =时，平面PBC ⊥平面EFGH ．（7分） 证明如下：作CP AD ⊥于P 点，连接BP ， AD BC ⊥，AD ∴⊥面BCP （10分）//HG AD ，HG ∴⊥面BCP ，HG ⊂面EFGH ⇒面BCP ⊥面EFGH ，在Rt APC ∆中，30CAP ∠=︒，AC a =，AP ∴（12分） 34．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点G 在棱11D C 上，且11114D G D C =，点E 、F 、M 分别是棱1AA 、AB 、BC 的中点，P 为线段1B D 上一点，4AB =． （Ⅰ）若平面EFP 交平面11DCC D 于直线l ，求证：1//l A B ； （Ⅱ）若直线1B D ⊥平面EFP ．()i 求三棱锥1B EFP -的表面积；()ii 试作出平面EGM 与正方体1111ABCD A B C D -各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM 与棱11A D 交于点Q ，求三棱锥Q EFP -的体积．【解答】解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，平面EFP ⋂平面11ABB A EF =， 所以//EF l ，因为点E 、F 分别是棱1AA 、AB 的中点， 所以1//EF A B ， 所以1//l A B ．（2）()i 因为直线1B D ⊥平面EFP ，EP ⊂平面EFP ， 所以1B D EP ⊥，又因为DAE ∆≅△11B A E ， 所以1DE B E =， 所以1DP B P =，因为2EFP S ∆==11122EPB FPB S S ∆∆+=⨯⨯=1162EFB S ∆=⨯=，所以三棱锥1B EFP -的表面积为6+ ()ii 作图步骤如下：连接GE ，过点G 作GH DC ⊥于点H ，连接HA 并延长交GE 的延长线于点I ，连接IM 并延长交AB 于点J 交DC 的延长线于点K ，再连接GK 交1CC 于点S ，连接MS 并延长交11B C 的延长线于点R ，连接RG 并延长交11A D 于点Q ，再连接EQ ，GS ，EJ ，则图中EQ ，QG ，GS ，SM ，MJ ，JE 即为平面EGM 与正方体各个面的交线．设BJ CK x ==，由题知 23AJ HC CK x =+=+，所以1322x AJ HK +==，所以342xx ++=，解得53x =， 因为11139553C R C S GC MC SC CK ====， 2MC =，∴1185C R =， 所以111635D Q C R ==，如上图，设N 为线段11A D 的中点，可证点N 在平面PEF 内，且三角形PNE 与三角形PEF 面积相等， 所以，三棱锥Q EFP -的体积=三棱锥Q ENP -的体积=三棱锥P ENQ -的体积183215ENQ AB S ∆==，所以三棱锥Q EFP - 的体积为815． 35．如图，在棱长都等于1的三棱锥A BCD -中，F 是AC 上的一点，过F 作平行于棱AB 和棱CD 的截面，分别交BC ，AD ，BD 于E ，G ，H ． （1）证明截面EFGH 是矩形；（2）F 在AC 的什么位置时，截面面积最大，说明理由．【解答】证明：（1）//AB 平面EFGH ，平面ABC ⋂平面EFGH EF = //AB EF ∴同理//AB GH //EF GH ∴同理////EH CD FG。
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轨迹与截面（二）1．如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设与底面所成的角分别为均不为.若，则动点的轨迹为（）A. 直线的一部分B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分2．正方体棱长为4，,分别是棱,的中点，则过三点的平面截正方体所得截面的面积为（）A. B. C. D.3．已知球O的半径为2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面MN=（）积分别为2π和π，则||A．1 B3．2 D54．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，记长方体1111ABCD A B C D -被平行于棱11C B 的平面EFGH 截去右上部分后剩下的几何体为Ω，则下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）11A 1B 1 PD CA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线7．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线8．如图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①⑤9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（ ）A ．56π B ．23π C ．π D ．76π10．（2015秋•河南期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，若∠A 1AB=∠A 1AD=60°，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2015•西城区二模）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=，BC=AA 1=1，点M 为AB 1的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P 、Q 可以重合），则MP+PQ 的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．112．如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ）BDCAEBCD'ADEKA ．23 B ．332 C ．2π D ．3π13．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为m 4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处，则该小虫爬行的最短路程为m 34，则圆锥底面圆的半径等于（ ）A ．m 1B ．m 23C ．m 34D ．m 2参考答案1．B【解析】由线面角的定义及题意可得，即，以线段为轴，其中垂线为轴，如图，建立平面直角坐标系，设，则，所以，即，则动点的轨迹是圆，故应选答案B。
点睛：解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用。
2．D【解析】过三点的平面截正方体所得截面为一个正六边形,其余三个顶点分别为的中点,边长为 ,所以面积为 ,选D.3．D【解析】试题分析：因由球心距与截面圆的半径之间的关系得538212221222221=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d d Rd R d ，故52221=+=d d MN ，应选D 。
考点：球的几何性质及运算。
4．A 【解析】试题分析：根据题意可知PD=DC ，则点D 符合“M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ” 设AB 的中点为N ，根据题目条件可知△PAN ≌△CBN∴PN=CN ，点N 也符合“M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ” 故动点M 的轨迹肯定过点D 和点N而到点P 与到点N 的距离相等的点为线段PC 的垂直平分面 线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线是一直线考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系 5．D 【解析】试题分析：因为EH ∥11A D ，11A D ∥11B C ，所以EH ∥11B C ，又EH ⊄平面11BCC B ，平面EFGH ∩平面11BCC B =FG ，所以EH ∥平面11BCC B ，又EH ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面11BCC B =FG ，所以EH ∥FG ，故EH ∥FG ∥11B C ，所以选项A 、C 正确；因为11A D ⊥平面11ABB A ，EH ∥11A D ，所以EH ⊥平面11ABB A ，又EF ⊂平面11ABB A ，故EH ⊥EF ，所以选项B 也正确 考点：线面垂直的判定；线面平行的判定 6．D.【解析】如下图所示，连结1PC ，过P 作PH BC ⊥于H ，∵11C D ⊥面11BB C C ，1PC ⊂面11BB C C ，∴111PC C D ⊥，∴1PC PH =，故点P 的轨迹为以1C 为焦点，BC 所在直线为准线的抛物线，故选D.【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 7．C【解析】易得//BP 平面11CC D D ，所有满足1PBD PBX ∠=∠的所有点X 在以BP 为轴线，以1BD 所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q 的轨迹为该圆锥面与平面11CC D D 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q 的轨迹是双曲线，故选C.【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 8．D 【解析】试题分析：根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案 解：当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时（1）符合条件； 当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时（5）符合条件； 故截面图形可能是（1）（5）， 故选：D ．考点：平面的基本性质及推论． 9．A 【解析】试题分析：图中弧EF 为过圆心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为16A AE BAF π∠=∠=，所以6EAF π∠=，由弧长公式知弧EF 的长为263ππ⨯=，弧FG为不过圆心的平面与球面相交所得小圆的弧，其圆心为B ，因为球心到平面的距离3d =，球半径2R =，所以小圆半径221r R d =-=，又2GBF π∠=，所以弧FG 的长为122ππ⨯=，两段弧长之和为56π，故选A ． 考点：1、球的截面性质；2、弧长公式． 10．A 【解析】试题分析：点A 1在底面的投影O 在底面正方形对角线AC 上，过A 1作A 1E ⊥AB 于E ，求出AE ，连结OE ，则OE ⊥AB ，∠EAO=45°，在Rt △AEO ，求出OC ，然后求解A 1O ，即可求解A 1C ． 解：由已知可得点A 1在底面的投影O 在底面正方形对角线AC 上， 过A 1作A 1E ⊥AB 于E ，在Rt △AEA 1，AA 1=3，∠A 1AE=60° ∴，连结OE ，则OE ⊥AB ，∠EAO=45°，在Rt △AEO 中，，在，∴，在故选A ．考点：空间两点间的距离公式． 11．C【解析】试题分析：画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ 的最小值．解：由题意，要求MP+PQ 的最小值，就是P 到底面ABCD 的距离的最小值与MP 的最小值之和，Q 是P 在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC 1与三角形AB 1C 1，在同一个平面上，如图，易知∠B 1AC 1=∠C 1AC=30°，AM=，可知MQ ⊥AC 时，MP+PQ 的最小，最小值为：=．故选：C ．考点：点、线、面间的距离计算；多面体和旋转体表面上的最短距离问题． 12．D 【解析】试题分析：由题意得，D K AE '⊥，所以K 的轨迹是以AD '为直径的一段圆弧D K '，设AD '的中点为O ，因为长方形ABCD '中，3,1AB BC ==，所以60D AC '∠=，所以21203D OK π'∠==，所以K 所形成的轨迹的长度为21323ππ⨯=，故选D ．考点：轨迹方程的求解．【方法点晴】本题以平面图形的翻折为载体，考查了立体几何中的轨迹问题的求解，同时考查了弧长公式的运用，解题的关键是根据AED ∆沿AE 翻折，使得D 在平面ABC 上的射影为K 在直线AE 上，利用D K AE '⊥，从而可得K 所形成的轨迹是以AD '为直径的一段圆弧D K '，求出圆心角D OK '∠，利用弧长公式求解弧长．13．C 【解析】试题分析：作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示：该小虫爬行的最短路程为P P '，由余弦定理可得212cos 222-='⋅'-'+='∠P O OP P P P O OP OP P ，∴32π='∠OP P ．设底面圆的半径为r ，则有4322⨯=ππr ，∴34=r ．故C 项正确．考点：圆锥的计算，平面展开——最值问题．【方法点晴】本题主要考查了圆锥的计算及有关圆锥的侧面展开的应用，着重考查了求立体图形中两点之间的曲线段的最短线路长，解答此类问题一般应把几何体的侧面展开，展在一个平面内，构造直角三角形，从而求解两点间的线段的长度，用到的知识为：圆锥的弧长等于底面周长，本题的解答中圆锥的侧面展开图是一个三角形，此扇形的弧长等于圆锥的面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，体现了“化曲面为平面”的思想方法．。