第三讲 抽样分布和估计
抽样分布与参数估计
抽样分布与参数估计首先，我们来了解什么是抽样分布。
在统计学中，抽样分布是指从总体中多次抽样得到的样本统计量的分布。
假设我们的总体是指所有感兴趣的个体的集合，而样本是从总体中选取的一部分个体。
抽样分布的形状和性质取决于总体的分布和样本的大小。
通过分析抽样分布，可以得到有关总体参数的有用信息。
例如，我们想要知道一些城市成年人的平均年收入。
在实际情况下，我们无法调查每个人的收入情况，因此我们需要从总体中随机抽取一部分个体作为样本，并计算他们的平均年收入。
如果我们多次从总体中抽取样本并计算平均年收入，然后绘制这些平均值的分布图，我们就可以得到平均年收入的抽样分布。
这个抽样分布将给我们提供有关总体平均年收入的估计和推断。
接下来，我们将讨论参数估计。
参数估计是指使用样本数据来估计总体参数的过程。
总体参数是用于描述总体特征的数值，如总体平均值、总体标准差等。
通过从总体中抽取样本，并计算样本统计量，我们可以利用样本统计量来估计总体参数。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
点估计是指用单个数值来估计总体参数，例如用样本均值来估计总体均值。
点估计给出了一个单一的值，但不能提供关于估计的精度的信息。
因此，我们常常使用区间估计。
区间估计是指给出一个区间，这个区间内有一定的置信水平使得总体参数落在这个区间内的概率最高。
区间估计能够向我们提供关于估计的精确程度的信息。
区间估计依赖于抽样分布的性质。
中心极限定理是制定抽样分布理论的一个重要原则。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布。
这使得我们可以使用正态分布的性质来计算置信区间。
构建置信区间的一种常用方法是使用样本均值的标准误差。
标准误差是样本均值的标准差，它用来衡量样本均值和总体均值之间的误差。
根据正态分布的性质，当样本容量足够大时，样本均值与总体均值之间的误差可以用标准误差来估计。
通过计算标准误差并结合正态分布的性质，我们可以得到样本均值的置信区间。
抽样分布与参数估计
三、t分布曲线下的面积分布规律
自由度为 的t分布曲线
t 分布曲线下 的整个面积为1, t 分布曲线下从a到b 的面积为t值分布 在此范围内的百分 比，即t值落在此 范围内的概率P。
双侧：由于t分布以0为中心对称，即 P（t≤- t, ）＝ P（t≥ t, ）＝ /2 于是有P（- t, ≤t≤ t, ）＝1-
sx
u X
X
t X ＝n-1
s X
u分布 t分布
二、t分布图形的特点
• 1. t分布是一簇曲线。 t分布有一个参数， 即自由度 ，与标准差的自由度一致。
• 2. t分布曲线以0为中心，左右对称； 越小， t变量值的离散程度越大，曲线越扁平。
• 3. t分布曲线较标准正态曲线要扁平些（高 峰低些，两尾部翘得高些）， 逐渐增大， t分布曲线逐渐的逼近于标准正态曲线，若 ＝，则t分布曲线和标准正态曲线完全吻 合。
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
点值估计
参数估计
假设检验
区间估计
一、基本概念
➢ 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
点值估计：不计抽样误差，直接用样本均数来 估计μ。
区间估计：根据抽样误差的规律，按一定的概 率估计总体均数的所在范围。统计上习惯用95% 或99%可信区间表示总体均数可能所在范围。
第一节 均数的抽样误差 第二节 t分布 第三节 总体均数可信区间的估计
一、抽样研究:从总体中随机抽取部分 观察单位构成样本，用样本信息去 推断总体特征的研究方法。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例
二、抽样误差：在抽样研究中，因抽样造 成的样本统计量与样本统计量、样本统计 量与总体参数的差值。
抽样分布、参数估计和假设检验
抽样分布一、抽样分布的理论及定理 （一） 抽样分布抽样分布是统计推断的基础，它是指从总体中随机抽取容量为n 的若干个样本，对每一样本可计算其k 统计量，而k 个统计量构成的分布即为抽样分布，也称统计量分布或随机变量函数分布。
（二） 中心极限定理中心极限定理是用极限的方法所求的随机变量分布的一系列定理，其内容主要反映在三个方面。
1．如果总体呈正态分布，则从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，其样本均数的分布也呈正态分布；无论总体是否服从正态分布，只要样本容量足够大，样本均数的分布也接近正态分布。
2．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的均数（X μ）等于总体均数（μ）即μμ=X3．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的标准差（X σ）等于总体标准差除以样本容量的算数平方根，即n X σσ=中心极限定理在统计学中是相当重要的。
因为许多问题都使用正态曲线的方法。
这个定理适于无限总体的抽样，同样也适于有限总体的抽样。
中心极限定理不仅给出了样本均数抽样分布的正态性依据，使得大多数数据分布都能运用正态分布的理论进行分析，而且还给出了推断统计中两个重要参数（即样本均数X μ与样本标准差X σ）的计算方法。
（三）抽样分布中的几个重要概念1．随机样本。
统计学是以概率论为其理论和方法的科学，概率又是研究随机现象的，因此进行统计推断所使用的样本必须为随机样本（random sample ）。
所谓随机样本是指按照概率的规律抽取的样本，2．抽样误差。
从总体中抽取容量为n 的k 个样本时，样本统计量与总体参数之间总会存在一定的差距，而这种差距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参数之间的不同，称为抽样误差。
3．标准误。
样本统计量分布的标准差或某统计量在抽样分布上的标准差，符号SE 或Xσ表示。
根据中心极限定理其标准差为n X σσ=正如标准差越小，数据分布越集中，平均数的代表性越好。
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
参数的假设检验抽样分布、参数估计、假设检验(回归分析)
z = -3.162 < 1.64 接受原假设
5% 1.64
假设检验的基本原理
2）相伴概率 P 检验统计量观察值以及所有所有比
它更为极端的可能值出现的概率之和 双侧检验：
P = P(Z < -3.162) + P(Z > 3.162) = 0.002
左侧检验：P = P(Z < -3.162) = 0.001
1
t分布两尾 概率分位点
P(x t / 2sx x t / 2sx ) 1
参数估计 - 区间估计
正态总体方差的区间估计
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
2分布上尾 概率分位点
P(12
2
(n 1)s2
2
2
2)
1
P(
(n 1)s2
12 2
2
(n 1)s
2 2
2
)
1
参数估计 - 区间估计
n
Z x ~ N(0,1) 2 n
中心极限定理
➢ 无论样本所来自的总体是否服从正态分布， 只要样本足够大，样本平均数就近似服从正 态分布，样本越大，近似程度越好。
➢所需的样本含量随原总体的分布而异，但只 要样本含量 30，无论原总体是何分布，都 足以满足近似的要求。
➢设原总体的期望为，方差为 2，则样本平 均数的期望为，方差为 2 /n。
统计推断概述
抽样分布 参数估计简介 假设检验的基本原理
抽样分布的概念
样本统计量的概率分布称为抽样分布（sampling distribution）
样本是通过对总体的随机抽样获得的 样本统计量是随机变量，有一定的概率分布
简单随机样本
概率论参数估计和抽样分布
概率论参数估计和抽样分布
一、极大似然估计MLE
极大似然估计（MLE）是一种用来近似概率分布参数的统计学方法。
它的基本原理是根据样本来估计一组参数，使单独参数的极大似然函数最大化，即最大前提下来达到样本可能性的最大化，这种方法可以让样本观测数据的期望值吻合该参数的假设值。
这种估计方法的优点是简单易行，它不需要指定模型的具体参数，而且参数的估计结果可以很容易地进行验证和分析。
它的缺点是需要多次计算，收敛速度慢，容易受噪声影响，而且模型假设受到限制，可能会有明显的偏离。
二、贝叶斯估计BE
贝叶斯估计（BE）是指在概率论估计中，采用以贝叶斯概率论的原理来估计模型参数的一种方法。
该方法将未知状态作为随机变量，根据贝叶斯公式及赋予先验分布，以最大后验概率的原则估计模型参数。
贝叶斯估计具有优点是可以用来估计模型参数的概率分布，而不仅仅是估计其期望值，可以将主观经验纳入参数估计过程中，也可以迅速得到模型参数的分布。
抽样分布和点估计
2. F—分布的分位点 对于：0<<1，
若存在F(n1, n2)>0，
满足
P{FF(n1, n2)}=， 则
称F(n1, n2)为 F(Байду номын сангаас1, n2)的 上侧分位点；
F (n1 , n2 )
注：
1 F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
1 ~ F ( n2 , n1 ) F
X T ~ t ( n). Y /n
t(n)称为自由度为n的t—分布。
t(n) 的概率密度为 n 1 ( ) n 1 2 t 2 h(t ) (1 ) 2 , t n n n ( ) 2
2.基本性质:
(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
2
样本成数
样本方差 样本标准差
( x x )2
n 1
n 1 ]1 2
NEXT
( x x )2
（三）抽样误差
登记性误差
非抽样误差
调 查 误 差
非随机因素引起的系统性偏差 抽样误差：由于随机性带来的偶然的代表性误差 不能避免，但是可以计算和控制。主要有抽样相对 误差和抽样绝对误差。
一、简单随机抽样和抽样误差 二、统计量和抽样分布 三、参数估计的主要内容
统计推断的起点
样本和总体 • 1.总体(populations)：又称全及总体、母体，指所 要研究对象的全体，由许多客观存在的具有某种 共同性质的单位构成。总体单位数用 N 表示。 • 2.样本(samples)：又称子样，来自总体，是从总 体中按随机原则抽选出来的部分，由抽选的单位 构成。样本单位数用 n 表示。 • 3.总体是唯一的、确定的，而样本是不确定的、 可变的、随机的*。
高中数学备课教案数理统计中的抽样分布与估计
高中数学备课教案数理统计中的抽样分布与估计数理统计是高中数学重要的内容之一。
学习数理统计中的抽样分布与估计对于学生进一步掌握数学知识、提高解决问题的能力有着极大的帮助。
本文将围绕抽样分布和估计两个方面，分别介绍其概念、性质、计算方法以及实际应用。
一、抽样分布抽样分布是指在相同条件下对总体进行多次抽样所得到的样本统计量的分布。
其中，样本统计量包括样本均值、样本方差等。
在应用中，我们通常使用t分布和χ²分布来描述样本均值和样本方差的分布。
t分布是指在总体服从正态分布条件下，对样本进行多次抽样所得到的样本均值的分布。
t分布具有以下性质：1. t分布的形状与样本数量有关，样本数量越多，t分布越趋近于正态分布；2. t分布的均值为0，方差为1；3. t分布在中心对称轴两侧均有概率密度，随着自由度的增加，t分布越趋近于正态分布。
χ²分布是指在总体服从正态分布条件下，对样本进行多次抽样所得到的样本方差的分布。
χ²分布具有以下性质：1. χ²分布的形状与样本数量有关，样本数量越多，χ²分布越趋近于正态分布；2. χ²分布的均值为自由度，方差为2自由度；3. χ²分布是非负且右偏的，随着自由度的增加，χ²分布的形态逐渐趋近于正态分布。
二、估计估计是指利用样本统计量（如样本均值、样本方差等）来推断总体参数。
常用的估计量包括点估计和区间估计。
点估计是指通过样本统计量来估计总体参数的具体值。
点估计常用的统计量包括样本均值、样本方差等。
例如，使用样本均值来估计总体均值，使用样本方差来估计总体方差等。
但是，由于样本随机性，因此点估计附带了一定的不确定性。
区间估计是为了解决点估计所带来的不确定性而提出的一种方法。
区间估计是通过利用样本统计量来计算总体参数的一个置信区间。
这个置信区间能够描述真实总体参数所在的不确定性范围。
三、应用实例抽样分布和估计在实际应用中有着广泛的应用，在以下领域尤其常见。
第3讲 抽样方法与总体分布的估计教学幻灯片
例5.某班有50名学生(其中有30名男生， 20名女生)现调查平均身高，准备抽取 10名，问应如何抽样?如果已知男女生 身高有显著不同，又应如何抽样?
2020/8/14
例6. 已知4，2，5，2，1的方差是 2.16，那么54，52，55，52，51的方 差是( B ) (A)0.16 (B)2.16 (C)3.24 (D)1.02
)B
(A)①用简单随机抽样法，②用系统抽样法
(B)①用分层抽样法，②用简单随机抽样法
(C)①用系统抽样法，②用分层抽样法
(D20)20①/8/14用分层抽样法，②用系统抽样法
例4.某公司生产三种型号的轿车，产 量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为 检验该公司的产品质量，现用分层抽 样的方法抽取46辆舒畅行检验，这三 种型号的轿车依次应抽取 ___6_、__3_0__、_1_0___辆.
2020/8/14
例3.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，
中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调
查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量
为100户的样本，记做①；某学校高一年级有12
名女排运动员，要从中选出3个调查学习负担情
况，记做②.那么完成上述2项调查应采用的抽样
方法是(
第3讲： 抽样方法与总体分布的
估计
2020/8/14
常见抽样方法： 1.简单随机抽样 2.系统抽样 3.分层抽样
2020/8/14
例1.在一次有奖明信片的100 000个有 机 会 中 奖 的 号 码 ( 编 号 00000—99999) 中，邮政部门按照随机抽取的方式确 定后两位是23的作为中奖号码，这是 运用了__系__统____抽样方法.
2011年高考数学第三节 抽样方法、总体分布估计.ppt
3．一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：
组别 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数 2
3
4
5
4Байду номын сангаас
2
则样本在(20,50]上的频率为
A．12%
B．40%
C．60%
D．70%
()
解析：本题考查样本的频率运算．据表知样本分布在(20,50] 的频数3＋4＋5＝12，故其频率为 ＝0.6. 答案：C
(2)系统抽样 ①定义：当总体中个体数较多时，可以将总体分成 均衡 的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每 一部分抽取 1 个个体，得到所需的样本，这种抽样叫 做系统抽样．
②步骤
(3)分层抽样 当已知总体由 差异明显的几部分 组成时，常将总体 分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样， 这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各个部分叫 做层．
4．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在 区间[4,5)上的数据的频数为________．
解析：对于在区间[4,5)的频率的数值为1－(0.4＋0.15＋ 0.1＋0.05)＝0.3，而样本容量为100，因此频数为30. 答案：30
5．北京某中学高一、高二、高三三个年级的学生数分别为 1 500人，1 200人，1 000人，现采用按年级分层抽样的 方法抽取学生参加2019年奥运会的宣传活动，已知在高 一年级抽取了75人，则这次活动共抽取了________人． 解析：设共抽取了x人，则有： ×1500＝75. ∴x＝185. 答案：185
随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间
隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可
3抽样分布与参数估计
分布的图形和特征为： （二）t分布的图形和特征为： 分布的图形和特征为 为中心，左右对称的单峰分布。 1、以0为中心，左右对称的单峰分布。 分布曲线是一簇曲线， 2、t分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自由度的大 小有关。自由度越小， 值越分散 曲线越低平； 值越分散， 小有关。自由度越小，t值越分散，曲线越低平；自由 度逐渐增大时， 分布逐渐逼近正态分布 分布逐渐逼近正态分布（ 度逐渐增大时，则t分布逐渐逼近正态分布（标准正态 分布）。 ）。当 分布即为u分布 分布）。当 ν = ∞ 时，t分布即为 分布。 分布即为 分布。
α
2 ,v
,v
表
表示。 表示。
2、举例 、 例如， 例如，单侧 t0.05,30 =1.697 ，表示 v = 30 时， 的概率或 t
≤ 1.697
的概率为0.05， ， 的概率为
记作： 记作： (t ≤ 1.697) = 0.05 P 其通式： 其通式： 单侧： 单侧： P (t ≤ tα ,v ) = α 或
二、总体均数的估计 统计推断： 统计推断：总体均数估计和假设检验 总体均数的估计： 总体均数的估计：点值估计和区间估计 1、 、
σ
未知， 未知，且n较小 较小
2 2
P(tα ,v < t < tα ,v ) =1α
P(tα
X t = sX
2
,ν
X < < tα ,ν ) = 1α 2 sX
( 总体均数的 1001α)% 可信区间：
第三章 抽样分布与参数估计 资料分析： 资料分析：统计描述
统计推断：参数估计 统计推断： 假设检验 进行统计推断即利用样本信息推断总体特 征（抽样研究） 抽样研究）
第一节 抽样误差
第3章-抽样分布与参数估计PPT优秀课件
N
(XI X )2
2 I 1
N
• 总体比率（总体成数）
P N1 N
6
第三章 抽样分布与参数估计
• 样本平均数 • 样本方差 • 样本标准差
nXix ຫໍສະໝຸດ 1 nn(Xi x)2
s2 i1 n 1
s
• 样本比率（样本成数）
p n1 n
7
第三章 抽样分布与参数估计
• 样本统计量经常被用作估计总体参数。 • 点估计就是运用样本数据值计算出一个样本统计量的
• （3）
P ( 7 . 2 X 7 . 5 ) P ( 7 . 2 7 X 7 7 . 5 7 ) P ( 0 . 5 Z 1 1 . 2 ) 0 8 . 2
0 . 39 0 . 39 0 . 39
28
第三章 抽样分布与参数估计
27
第三章 抽样分布与参数估计
• （1） P ( X 7 .5 ) P (X 7 7 .5 7 ) P (X 7 1 .2 ) 8 0 .1 0 .39 0 .390 .39
•
（2）
P (X 7 .2 ) P (X 7 7 .2 7 ) P (X 7 0 .5 ) 1 0 .6 0 .39 0 .390 .39
值，将其作为总体参数的估计值。
• 如用 x5去0估计
• 问题是不同的样本提供不同的估计值 • 样本越大，估计的性质越好，但成本也越高 • 了解估计的性质有多好
• 解决办法：以样本的抽样分布作为理论基础。
8
第三章 抽样分布与参数估计
抽样分布
• 从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些 样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为 这个统计量的抽样分布。
抽样分布与参数估计
2 x
（5.7）
（5.8）
x
n
（5.9）
【例 5-3】计算例 5-2 中 10 名推销员平均的任职年限 及其标准差， 并与例 5-2 求得的样本平均数的期望值与方差 作比较。 解： (1 2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5
2
正态分布时，所需的样本容量 n 可以较小，反之则需 要较大的样本容量。通常将样本单位数不少于 30 的 称为大样本。
二、样本比例的抽样分布
(一)样本比例的期望值与方差
设随机变量 X 服从二点分布，其总体平均数为 ， 又
称为总体比例，总体方差 2 ( ) ( 1 ) 。现对其进行 n 次独立重复观测，得到下列样本：(X1，X 2，…，X n)，其中， 观测结果为“成功”的次数是 N1。 我们把样本中“成功”的次数所占比例定义作样本比例 P。
一、样本平均数的抽样分布
（一）样本平均数的期望值与方差
在放回抽样的情形下，设从总体中抽出的 样本为 x1 , x 2 , , x n ，其是相互独立的，并且 为 ，则可推导出样本平均数的期望值与方
2
与总体服从同一分布。设总体均值为 ，方差 差、标准差分别为：
X1 + X 2 + + X n E( X ) E( ) n 1 E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) n
0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10
抽样分布与参数估计概述
抽样分布与参数估计概述引言在统计学中，我们经常需要推断整个总体的性质，并据此进行决策或推断。
然而，由于种种原因，我们往往无法直接观察到整个总体的数据。
这时，我们通过对样本的观察和分析来进行总体的推断，这就涉及到了抽样分布和参数估计。
抽样分布抽样分布是指由相同样本大小的一系列独立随机样本所得到的统计量的分布。
在统计学中，我们通常将样本平均值、样本比例或者其他统计量作为总体参数的估计量。
而抽样分布那么将这些统计量的取值范围进行了描述。
中心极限定理中心极限定理是抽样分布的重要定理之一。
它指出，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布。
换言之，即使总体分布未知或不是正态分布，样本均值的抽样分布将会趋近于正态分布。
中心极限定理的意义在于，它允许我们利用正态分布的性质来对总体参数进行估计和推断。
通过对样本数据进行观察和分析，我们可以得到样本的均值和标准差，进而利用正态分布的性质来进行置信区间的构造、假设检验等。
参数估计参数估计是指利用样本数据对总体参数进行估计的过程。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计点估计是通过单个统计量来估计总体参数的方法。
例如，我们可以用样本均值作为总体均值的估计值，用样本比例作为总体比例的估计值。
点估计能够给出一个具体的数值作为总体参数的估计，但是无法给出估计值的准确性。
区间估计区间估计是通过一个区间来估计总体参数的范围。
而这个区间通常使用置信区间来表示。
置信区间是指总体参数估计值在一定置信水平下的上下限范围。
常用的置信水平有95%和99%等。
置信区间的构造通常基于抽样分布的性质。
利用样本数据和抽样分布的知识，我们可以计算出参数估计值的抽样分布，并根据置信水平选择适当的临界值，从而得到置信区间。
总结抽样分布和参数估计是统计学中重要的概念和方法。
通过对样本数据的观察和分析，我们可以利用抽样分布和参数估计方法来推断总体的性质，并进行统计推断和决策。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布，从而允许我们利用正态分布的性质对总体参数进行估计和推断。
【数据分析师Level1】3.抽样分布及参数估计
【数据分析师Level1】3.抽样分布及参数估计【数据分析师 Level 1 】3.抽样分布及参数估计1.随机实验随机实验是概率论的⼀个基本概念。
概括的讲，在概率论中把符合下⾯三个特点的试验叫做随机试验可以在相同的条件下重复的进⾏每次试验的可能结果不⽌⼀个，并且能事先明确试验的所有可能结果进⾏⼀次试验之前不能确定哪⼀个结果会出现随机事件在概率论中，随机事件（或简称事件）指的是⼀个被赋予⼏率的事物的集合，也就是样本空间中的⼀个⼦集。
简单来说，在⼀次随机试验中，某个特定时间可能会出现也可能不会出现；但是当试验次数增多，我们可以观察到某种规律性的结果，就是随机事件。
随机变量设随机试验的样本空间S=e,X=X(e)S = {e},X=X(e)S=e,X=X(e)是定义在样本空间S上的单值实值函数，称X为随机变量2.正态分布的图像形式既然介绍变量的分布情况，就要介绍⼀下正态分布。
⾸先，正态分布是关于均值左右对称的，呈钟形，如下图所⽰。
其次，正态分布的均值和标准差具有代表性，只要知道其均值和标准差，这个变量的分布情况就完全知道了。
在正态分布中，均值=中位数=众数3.中⼼极限定理从均值为 µ\muµ,⽅差为σ2\sigma^2σ2的⼀个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分⼤时，样本均值的抽样分布近似服从均值为 µ\muµ ,⽅差为σ2n\frac{\sigma^2}{n}nσ2的正态分布根据中⼼极限定理，我们知道如果做很多次抽样的话会得到很多个样本均值，⽽这些样本均值排列起来会形成正态分布,他们的平均数是µ\muµ,标准差是σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ换句话说，有约68% 的样本均值会落在 µ±σn\mu \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±nσ之间，有约 95 %的样本均值会落在 µ±2σn\mu \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±2nσ有约 99.7 %的样本均值会落在 µ±3σn\mu \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±3n σ把上述说法稍微转换⼀下就变成：有68 %的 x‾±σn\overline x \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±nσ会包含着 µ\muµ有95 %的 x‾±2σn\overline x \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±2nσ会包含着 µ\muµ有99.7 %的 x‾±3σn\overline x \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±3nσ会包含着µ\muµ⽽这就是抽样和估计最根本的道理我们从全体之中以随机抽样⽅式抽取n个样本，取得样本观察值，计算它们的平均数 x‾\overline xx ,然后加减两倍的σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ得到⼀组上下区间，然后说：我们有95 % 的信⼼，这个上下区间⼀定会包含着全体的平均数 µ\muµ。
抽样分布与参数估计
2. 每次试验是独立的，即其试验的结果与前次、后 次的结果无关。
3. 每次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多 次试验中选中的机会(概率)是相同的。
13/47
不重复抽样
概念
不重复抽样（不重置抽样），即每次从总体抽取 一个单位，登记后不放回原总体，不参加下一轮 抽样。
作用：
不可能采用全面调查时可采用抽样调查。 不必要进行全面调查时可采用抽样调查。 由于时间经费限制或误差要求不高时可采用抽样调查。 满足紧急需要，来不及进行全面调查，可用抽样调查。 在全面调查后，对某些数据进行修正时采用抽样调查。
3/47
（二）抽样调查的原理
1. 必然现象与偶然现象 2. 大数定理 3. 中心极限定理
17/47
2.设定总体框架
总体框架就是一份清单或一个系统，在 它上面列出了总体中的每一个成员。
获得清单
清单的问题
• 解决遗漏的问题
• 处理无被选资格问题 • 处理加倍问题
• 处理聚类问题
给没有清单的问题加上一个框架
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获得清单
尽量使用现有的清单，实在不行才亲自获得.
（1）一般总体的地区级清单
4. 抽样
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1.定义总体
定义总体单元
总体是由哪些单元个体构成的(个人、家庭、 公司、工厂……) 。
设定总体边界
总体边界,是将与调研项目相关的人员和无 关人员区分开的条件。
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定义总体cont.
设定总体边界
应该用操作数语表示清楚 ex.
雅安地区的成年人 啤酒饮用者 VS 年满18周岁,长期居住雅安地区的人 VS 过去三个月至少喝一次啤酒的人
抽样分布和估计培训
抽样分布和估计培训简介抽样分布和估计是统计学中的重要概念，用于推断总体参数的特征。
在实际应用中，我们往往无法对总体进行全面调查，而只能从中抽取一部分样本进行研究。
因此，了解抽样分布和估计方法是进行统计推断的基础。
本文将介绍抽样分布的概念和一些常见的估计方法，帮助读者理解这些概念并能够运用到实际问题中。
抽样分布的概念总体和样本在统计学中，总体指的是我们希望研究的对象的全体，可以是人群、产品、事件等等。
样本则是从总体中抽取的一部分个体，用于对总体进行推断和估计。
抽样分布抽样分布是指在总体中随机抽取多个样本，并记录某个统计量（如均值、比例、方差等）的频数分布。
通过多次重复抽样和记录，我们可以得到样本统计量的分布情况。
这个样本统计量的分布就被称为抽样分布。
中心极限定理中心极限定理是指在样本容量足够大的情况下，样本均值的抽样分布会趋近于正态分布。
这意味着，即使总体并不服从正态分布，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布也会近似于正态分布。
这是基于大数定律和正态分布的性质推导出来的结论。
估计方法点估计点估计是利用样本数据推断总体参数的方法，通过计算样本统计量的值来估计总体参数的值。
常见的点估计方法包括样本均值估计总体均值、样本比例估计总体比例等。
点估计得到的结果通常是一个具体的数值，但由于样本的随机性以及抽样误差的存在，点估计的结果不一定能精确地等于总体参数的真实值。
区间估计区间估计是在点估计的基础上，给出一个总体参数估计值的范围。
这个范围被称为置信区间，用来表示我们对总体参数的估计不确定性。
置信区间通常由一个下限和一个上限组成，表示总体参数存在于这个范围内的概率。
置信水平是指置信区间包含总体参数的概率，常用的置信水平有95%和99%。
抽样分布和估计的应用抽样分布和估计方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在市场调研中，我们可以通过抽样方法获取一部分目标群体的意见和反馈，从而推断整个总体的态度和行为。
在医学研究中，通过对患者的样本数据进行分析，可以估计出一种药物的疗效和副作用。
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x
Proportion p
p
Variance Difference
2
-
12
s2
__ x -x
12
30
联合食品公司的案例
针对“联合食品公司”的案例（P.44 案例2-1）， 我们假设调查的100个客户组成一个简单随机样 本。尝试回答下面的问题： 1）所有客户一次购买金额的平均值是多少?
第三讲
抽样分布和估计
1
概率论与统计学之间的关系
一个概率论的问题：
假定有一个大盒子中有 10,000个球，分布如下： 70%的黑球和 30%的白球
随机抽取100个球，得到60个黑球和40个白球的 概率是多少？
---- 给定一个总体（盒子中的所有小球）的已知 特征（70% 和30%），研究一个试验（抽取小球） 的可能的结果 (例如 60-40) 。
2
一个统计学的问题：
假定一个大盒子中有 10,000个小球（黑和白）。 随机抽取100个小球，发现其中有60个黑球和40个
白球。那么黑球在盒子中所占的比例是多少？
---- 观察到一个试验（抽取小球）的结果 (60-40), 推断出这个总体（盒子中的所有小球）的特征 （比例）
3
总体－样本理论 统计推断采用一个（有代表性的）子总体 （样本）来对总体的某些特征进行科学的 推断。
10 2 55 7.42
x 10.33 s 2 56.78 s 7.54
抽样分布
样本不同， x 值也不同。那么 x 取不同 值的可能性分别是什么？ x 的概率分布称作它的抽样分布。 抽样分布在统计推断中的中心地位。 抽样分布取决于总体的分布（模型）以 及抽样的方式。
抽样方式 总体分布===== 抽样分布
10
统计推断的内容之一
估计参数 点估计和区间估计
管理人员年薪 N ( , 2 )
x
1 n
n i 1
xi
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
2
11
统计推断内容之二
假设检验：是否可以选用这个模型？ 例子：
是否可以使用模型N(53000,16062)来 刻画管理人员的年薪？ 思想：
如果该模型是好的，那么 x 和53000 相差很多的可能性不能太大。
55.33 14.44 69.77 899.29
22
1）所有客户一次购买金额的平均值是多少？ （29.4449)
2）所有使用信用卡的客户一次购买金额的平均值 是多少？（40.8768)
3）使用信用卡的客户占的比例是多少？（0.22)
34
7
几个问题
如何抽样？ 样本和总体有什么样的关系？ 如何由样本估计出平均年薪及完成培训的 比例？估计的误差有多大？ 某人声称该公司管理人员平均年薪为 53000元，你是否同意这个说法？ 该公司管理人员的年薪有什么样的分布？ （是正态分布吗？）
8
统计推断的基本概念
总体：有限总体、无限总体； 样本； 统计推断的任务：通过样本来了解总体。 果 x1,x2, xn 是来自正态总体N ( , 2 ) 的一 个随机样本，定义样本方差为：
s 2
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
则
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
24
认识卡方分布
0.5 0.45
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0 -0.05 0
19
样本均值的抽样分布 （无限总体）
如果总体服从 N ( , 2 ) , 那么简单随机样
本的均值服从正态分布
N( ,
2 )
n
如果样本容量n非常大，而且总体的期望是
，方差是2〈+，那么简单随机样本的
均值 x
近似服从正态分布
N( ,
2 )
（中心
极限定理）
n
20
样本比率的抽样分布 （无限总体）
小样本情况 p x
2）所有使用信用卡的客户一次购买金额的平均值 是多少？
3）使用信用卡的客户占的比例是多少？
31
all data
平均 标准误差 中值 模式 标准偏差 样本方差 峰值 偏斜度 区域 最小值 最大值 求和 计数
29.4449 2.04162
27.63 #N/A 20.4162 416.8213 -1.05328 0.31424
y P(y) 5 .5 10 .3 15 .1 30 .1
15
从中抽一个容量为30的样本：
10
30
30
5
5
15
5
5
10
10
5
15
5
5
10
5
5
5
10
10
15
10
5
15
10
5
5
30
5
10
16
概率
总体分布
0.6 0.4
0.2 0 5
10
15
30
价值
概率
样本分布
0.6 0.4
0.2 0 5
10
15
30
价值
n
x服从二项分布B(n,p).
大样本情况，按照中心极限定理，近似地 p ~ N ( p, p(1- p)) n
21
正态分布的图形
正态分布的密度曲线
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-0.1
f(x)sigma=0.5 f(x)sigma=2
22
一个例子
一种电器元件设计的服务寿命为3000小时， 标准差为800小时。一名顾客买了49个元件。 这49个元件的平均寿命至少为2750小时的概 率为多大？至少为3000小时呢？
1） 总体无法得到； 2） 时间成本不允许； 3） 实验具有破坏性。
9
参数：总体的特征 例：P(正面), P(不合格品) 深圳居民的平均收入
统计量：从样本中计算出的任何量 例：在100次抛掷硬币中得到正面的比例 在随机抽取的1000枚芯片中不合格品的比例 随机抽取的1000个深圳居民的平均收入
估计量：用来估计参数的统计量
样本必须是总体的一个具有真实代表性的 子集。只有依靠这样的样本，我们才能得 出科学的（符合统计学的）结论。
6
例：EAI的抽样问题 （p.185）
人事主管要制定一项公司2500名管理人员 的简报。 内容包括平均年薪、已完成培训项目的管 理人员所占比例。 如果已有全部2500人的信息······ 如果没有······
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
normal t(1) t(3) t(5) t(9) t(19)
27
估计的误差
不能以个别估计值作为评价准则； 估计的误差：
E(x )2 E(x Ex Ex )2 Var(x) (E x )2
估计量的方差 偏差
28
对估计量的评价
4
总体
扑克筹码总体， 中国所有MBA学生的身高总体， 深圳所有居民的收入总体， 金融资产收益总体
可以认为被研究的总体包含了一个非常大的（或 无限的）数量的元素，这些元素以一定的方式分 布。
5
样本
从盒子中随机抽取100个扑克筹码 从中国随机抽取的200个MBA学生的身高 随机抽取的1000个深圳居民的收入 观察到的金融资产的收益
无偏性：偏差是零； 有效性：方差最小； 一致性：样本容量增加会降低估计误差。
样本均值（比率）是对总体均值（比率） 的一个无偏的、有效的、一致的估计量。
29
Population Parameters Estimated
Estimate Population Parameter...
Mean
with Sample
77.07 1.09
78.16 2944.49
100
Credit
平均 标准误差 中值 模式 标准偏差 样本方差 峰值 偏斜度 区域 最小值 最大值 求和 计数
40.8768182 3.17110824
45.33 #N/A 14.873816 221.230404 -1.00003171 -0.11736036
12
简单随机抽样
有限总体的简单随机抽样：等概率抽样； 有放回抽样：独立性 无放回抽样：非独立性
抽样方法： 利用 Excel
13
无限总体的简单随机抽样：独立性； 例子：某快餐店11：30－13：00午饭时间 顾客从点餐到拿到食品的时间。
14
样本和总体分布
例子：筹码 一个箱子中有10000个筹码，其中50%为5 元， 30%为10元， 10%为15元， 10%为 30元。
卡方分布的密度函数
Chisq(1) Chisq(4) Chisq(10)
5
10
15
20
25
30
25
方差未知时样本均值的抽样分布
正态总体，2未知，使用样本方差s2来替 代2，则样本均值满足：
n (x ) ~ t(n 1)
s
n>30时，可以用标准正态分布近似。
26
正态分布和t 分布的比较
正态分布与t分布比较