全等三角形之动点问题

全等三角形之动点问题（一）

1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上

以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点

以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等

,求t的值与相应的点Q的运动速度a

2、如图，在等边ABC

∆的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问

（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？

（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：︒

CQE

=

∠60

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确

3、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E

(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE

(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE

(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证

B

A O D

C E

图8

4. 如下图，已知正方形ABCD 中，边长为10厘米，点E 在AB 边上，BE=6厘米．

（1）如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPE 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPE 与△CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形

ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？

5、如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．

求∠AEB 的大小；

6、ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.

C B O

D

图7

A

E

全等构造角平分线类

1如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．

D

C B A

2如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．

D

C B A

3如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC

4如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A

5已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、 CE 交于

点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

O

E

D C

B

A

6如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．

C

D

B

A

C

B

A

F

B

E

D

C

A

7如图，已知在ABC 内，0

60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，

ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

8在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．

C

D B P

A

9如图，P 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线AD 上的点（不与A 重合）求证：PB PC AB AC +>+

P

E

D

C

B

A

10.如图，在Rt ABC ∆中，AD 是斜边BC 上的高，BE 是ABC ∠的平分线，AD 交BE 于O ，EF AD ⊥于F ，求证：AF OD =．

E

D

F

C B

A

B A Q F E

D

C

O 21

11.已知在ABC ∆中，90A ∠=︒，B ∠的平分线交AC 于E ，交BC 边上的高AH 于D ，过D 作DF BC ∥交AC 于

F ，求证：AE FC =．

H

D C

B

A

12已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE

巧添辅助线——倍长中线

1.△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD

2如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

3.如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+

第 14 题图

D

F C

B

E

A