演示档：正态分布与假设检验

σ =1
σ =2
µ
四、正态总体参数的估计
1、正态总体均值 常用的无偏估计为样本均值 ：X
X

X1
X 2 n
Xn

1 n
n i 1
Xi
、正态总体方差 常用的无偏估计为样本方差 ：
n
(Xi X )2
S 2 n 1 n 1
15 Kenneth.Yang
3、正态总体标准差 常用的无偏估计为样本标准差修偏而得：
31 Kenneth.Yang
例2、在改进工艺前后，各测量了若干钢条的抗剪强度，数 据如下：改进后：525、531、518、533、546、524、521 、533、545、540；改进前：521、525、533、525、517 、514、526、519。可以认为改进工艺后的平均抗剪强度 有提高吗？
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随 机现象。
表示随机现象结果的变量称为随机变量。 随机现象有两个特点：
1、随机现象的结果至少有两个； 2、至于哪一个出现，事先并不知道。
3 Kenneth.Yang
离散型随机变量和连续型随机变量
假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则 称此随机变量为离散型随机变量；
9 Kenneth.Yang
下面我们以某地18岁男大学生100人的身高(cm)资料，来说 明身高变量服从正态分布。
该数值变量资料频数
分布呈现中间频数多，左右
两侧基本对称的分布。所以
30
我们通俗地认为该资料服从
正态分布。
25
20
频数
15 频数
10
5
0 163 165 167 169 171 173 175 177 179 181 183
解：设在改进后钢条的抗剪强度X~N(μ ，σ ²），改进前钢 条的抗剪强度Y~N(μ ，σ ²）。从两组产品中随机抽取 n=10，m=8的样品，测得抗剪强度的均值和方差分别为： x =531.60，（Sx）²=（9.78）² y =522.50，（Sy）²=（6）²
32 Kenneth.Yang
首先在
的显著性水平上检验改进前后的方差是否相
等，若可以认为相等的话，再在
的显著性水平上检
验改进后的均值是否增大。
（ ）检验方差是否相等：
用 检验，设原假设 ：
，备择假设 ：
拒绝域为｛
/2 ， 或
由样本观测值求得 x
或 1‐ /2 ，
y
结论：由于样本观测值未落在拒绝域中，所以接受原假设， 认为改进前后的方差相等。
变，试问生产是否正常？（
）
解：（ ）建立假设。原假设 ： ；
，备择假设 ：
（ ）由于 已知，故选用 检验，检验统计量
（
）
，，拒绝域为｛
1‐ /2｝；
（ ）根据显著性水平
｛
1‐ /2｝ ｛
，查表知拒绝域为： ｝；
29 Kenneth.Yang
（ ）由样本观测值，求得：
（
）（
）
结论：由于样本观测值未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假 设，可以认为该天生产正常。
max
f(x )
0 13 Kenneth.Yang
µ1
µ2
标准差对正态曲线的影响
在μ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大时，曲 线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时，曲 线形状变的越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参 数或变异度参数。
f(x )
0
14 Kenneth.Yang
σ =0.5
21 Kenneth.Yang
质量检验的两类风险—生产方风险
生产方风险：由于抽样的随机性，本来质量合格的批 被判拒收的风险，称为生产方风险。它是对给定的抽 样方案，当批质量水平为某一指定的可接受值p 时， 但不被接收的概率。一般用字母 表示，在使用时， 通常规定为 。这里的p 称为生产方风险质量。
22 Kenneth.Yang
质量检验的两类风险—使用方风险
使用方风险：由于抽样的随机性，本来质量不合格的批 被判接收的风险，称为使用方风险。它是对给定的抽样 方案，当批质量水平为某一指定的不可接受值p 时，但 被接收的概率。一般用字母 表示，在使用时， 通常 规定为 。这里的p 称为使用方风险质量。
正态曲线在横轴上方均数处最高； 正态分布以均数为中心左右对称； 正态分布有2个关键参数 ： 平均值μ：位置参数 标准差 ：形状参数（变异度参数）
12 Kenneth.Yang
平均值对正态曲线的影响
在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲 线位置向右移；若变小时，曲线位置向左移，故称μ 为位置参数。
这里自由度是指样本中可以独立或自由取值的自变量的个 数。
20 Kenneth.Yang
六：统计判断的两类错误
在假设检验中，错误有两类： 第一类错误：拒真错误。原假设H 为真，但是由于抽
样的随机性，样本落在拒绝区域内，从而导致拒绝H ，其发生概率为 ； 第二类错误：取伪错误。原假设H 不真，但是由于抽 样的随机性，样本落在接受区域内，从面导致接受H ，其发生概率为 。
26 Kenneth.Yang
假设检验的判断：
将检验统计量的值与拒绝域的临界值相比较，当 它落在拒绝域中就做出拒绝原假设的结论；反之 则接受原假设。
由检验统计量计算P值，如果P ，则拒绝原假设 。所谓 值就是当原假设成立时，出现目前状况的 概率。当这个概率很小时，这个结果在原假设成 立的条件下本不应该出现。但确实出现了，我们 可以认为原假设不成立。
33 Kenneth.Yang
（2）检验均值是否有提高：
由于两总体方差相等，但未知，改用t检验。设 ：
，
：
拒绝域为：｛ 1‐
由样本观测值知：
x - y )/[Sw
结论：由于统计量的值落在拒绝域中，应拒绝原假设，可以 认为改进后的钢条抗拉强度确有提高。
34 Kenneth.Yang
用
进行计算：
1）等方差检验: 改进后, 改进前 ，95% 标准差Bonferroni 置 信区间
假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上的一个区 间（a，b），则称此随机变量为连续型随机变量。
4 Kenneth.Yang
产 品
定量
质
量
特
定性
性
连续 离散
计量值
计数值
计
数
计件值
值
5 Kenneth.Yang
计量值数据 计量值数据是可以连续取值，或者说可以用测
量工具具体测量出小数点以下数值的这类数据。 如长度、压力、温度等。 计数值数据
S
1 n 1
n i 1
(X i

X
)2
为修偏系数，可通过查系数表得到：
子组大 小n
2
3
5
8
10
12 15 20 25
修偏系 数C₄
0.798 0.886
0.94
0.965 0.973
0.978 0.982 0.987
0.99
当n 时，
， 越大越接近 。
16 Kenneth.Yang
五、正态总体参数的置信区间
根据样本观测值可以得到总体参数的置信区间， 如果原假设的参数值未落入此置信区间，则拒绝 原假设；反之则接受原假设。
27 Kenneth.Yang
案例：
已知某产品正常生产下服从N（ ， ），测得某 天生产的产品数据，平均值稍有变化，如果标准 差不变，试问生产是否正常？
经过试验得到两组测量值数据，试问这两组数据 的均值是否有明显的差异？
正态分布 均匀分布 对数正态分布 指数正态分布
2、常用的连续分布：
7 Kenneth.Yang
三、正态分布
正态分布的概率密度函数
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f (X)
1
e ,

(
X 2 2
)2

2
X
X为连续随机变量，π=3.14159，e为自然对数的底即 2.71828，μ为总体均数，σ为总体标准差，记为X～ N（μ ，σ2）
19 Kenneth.Yang
当用样本标准差 代替总体标准差 ，则 变量改为 变量， 标准正态分布 （ ， ）也随之改为自由度为 的 分布 ，记为 （ ）。自由度为 的 分布的概率密度函数与 标准正态分布 （ ， ）的概率密度函数图形大致类似。 当自由度超过 后，两者的差别已很小，这时可以用 （ ， ）替代 （ ）。
某厂要求出货产品不合格品率不得超过 ，出货 时抽样 个，发现有 个不良，试问能否放行？如 果抽样 个，发现有 个不良，试问能否放行？
28 Kenneth.Yang
例1、某零件，其厚度在正常生产下服从N（0.13，0.015 ）
。某日在生产的产品中抽查了 件，其观测值为：
、、、、、、、、
、 。发现平均厚度稍有变化，如果标准差不
23 Kenneth.Yang
在相同样本量下：要使 小， 就大；要使 小， 就 大。
基本原则：力求在控制 前提下减少 常选 取值0.05，有时也用0.1、0.01等。 为减少损失：如果犯I类错误损失更大， 值取小；如
果犯II类错误损失更大， 值取大。 确定 ，就确定了临界点。
24 Kenneth.Yang
计数值数据是不能连续取值，只能以个数计算 的数据。如不合格品数，缺陷数等。
6 Kenneth.Yang
二、随机变量的分布
分布(distribution)：用来描述随机现象的统计规律，说明两个问题： 变异的幅度有多大；出现这么大幅度的概率。
1、常用的离散分布： 二项分布 泊松分布 超几何分布
8 Kenneth.Yang
正态分布的通俗概念：
如果把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又 称直方图，它用矩形面积表示数值变量资料的频数分 布，每条直条的宽表示组距，直条的面积表示频数（ 或频率）大小，直条与直条之间不留空隙。），若频 数分布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠近 中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成一个中 间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的分布，那 我们一般认为该数值变量服从或近似服从数学上的正 态分布。
25 Kenneth.Yang
用样本指标估计总体指标，其结论有的完全可靠，有 的只有不同程度的可靠性，需要进一步加以检验和证 实。通过检验，对样本指标与假设的总体指标之间是 否存在差别作出判断，是否接受原假设。这里必须明 确，进行检验的目的不是怀疑样本指标本身是否计算 正确，而是为了分析样本指标和总体指标之间是否存 在显著差异。从这个意义上，假设检验又称为显著性 检验。
正态分布与假设检验
SQE：Kenneth.Yang
提纲：
1. 随机变量； 2. 随机变量的分布； 3. 正态分布； 4. 正态总体参数的估计； 5. 正态总体参数的置信区间； 6. 统计判断的两类错误（质量检验的两类风险）； 7. 正态总体参数的假设检验。
2 Kenneth.Yang
一、随机变量
1、区间估计的概念： 设 是总体的一个待估参数，确定两个统计量 L与 U
，若对于任意 落在区间【 L、 U 】里的概率 ，则称随机区间【 L、 U 】是 的置信水平为 的 置信区间。 L与 U 分别称为 的 的置信上限与置 信下限。
17 Kenneth.Yang
2、总体均值 的置信区间的求法： 当总体标准差 已知时：
X [
1‐ /2
X ，
1‐ /2
1‐ /2 是标准正态分布的 是样本容量。
分位数；X 是样本均值；
18 Kenneth.Yang
2、总体均值 的置信区间的求法： 当总体标准差 未知时：
X [
1‐ /2
X ，
1‐ /2
1‐ /2
表示自由度是 的 分布的
分位数；X 是
样本均值； 是样本容量； 是样本标准差。
身高(cm)
10 Kenneth.Yang
表1 某地1998年100名18岁男大学生身高的频数分布图
正态分布的曲线特征
正态分布曲 max 线位于横轴 上方，呈钟 形。
正态分布曲 f(x) 线以均数所 在处最高， 且以均数为 中心左右对 称。
0
µ 11 Kenneth.Yang
正态分布的特征
七、正态总体参数的假设检验
假设检验亦称“显著性检验 （Test of statistical significance）”，是数理统
计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法 。用来判断样本与样本，样本与总体的差异是由抽样 误差引起还是本质差别造成的。目的就在于排除抽样 误差的影响，区分差别在统计上是否成立，并了解事 件发生的概率。
用
进行计算，结果如下：
单样本 Z: X
mu = 0.13 与 ≠ 0.13 的检验，假定标准差 = 0.015
变量 N 平均值 标准差 平均值标准误
X 10 0.13580 0.01511 0.00474
95% 置信区间
Z
P
(0.12650, 0.14510) 1.22 0.221
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