演示档：正态分布与假设检验

计数值数据是不能连续取值，只能以个数计算 的数据。如不合格品数，缺陷数等。
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二、随机变量的分布
分布(distribution)：用来描述随机现象的统计规律，说明两个问题： 变异的幅度有多大；出现这么大幅度的概率。
1、常用的离散分布： 二项分布 泊松分布 超几何分布
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正态分布的通俗概念：
如果把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又 称直方图，它用矩形面积表示数值变量资料的频数分 布，每条直条的宽表示组距，直条的面积表示频数（ 或频率）大小，直条与直条之间不留空隙。），若频 数分布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠近 中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成一个中 间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的分布，那 我们一般认为该数值变量服从或近似服从数学上的正 态分布。
S
1 n 1
n i 1
(X i

X
)2
为修偏系数，可通过查系数表得到：
子组大 小n
2
3
5
8
10
12 15 20 25
修偏系 数C₄
0.798 0.886
0.94
0.965 0.973
0.978 0.982 0.987
0.99
当n 时，
， 越大越接近 。
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五、正态总体参数的置信区间
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质量检验的两类风险—生产方风险
生产方风险：由于抽样的随机性，本来质量合格的批 被判拒收的风险，称为生产方风险。它是对给定的抽 样方案，当批质量水平为某一指定的可接受值p 时， 但不被接收的概率。一般用字母 表示，在使用时， 通常规定为 。这里的p 称为生产方风险质量。
假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上的一个区 间（a，b），则称此随机变量为连续型随机变量。
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产 品
定量
质
量
特
定性
性
连续 离散
计量值
计数值
计
数
计件值
值
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计量值数据 计量值数据是可以连续取值，或者说可以用测
量工具具体测量出小数点以下数值的这类数据。 如长度、压力、温度等。 计数值数据
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（2）检验均值是否有提高：
由于两总体方差相等，但未知，改用t检验。设 ：
，
：
拒绝域为：｛ 1‐
由样本观测值知：
x - y )/[Sw
结论：由于统计量的值落在拒绝域中，应拒绝原假设，可以 认为改进后的钢条抗拉强度确有提高。
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用
进行计算：
1）等方差检验: 改进后, 改进前 ，95% 标准差Bonferroni 置 信区间
用
进行计算，结果如下：
单样本 Z: X
mu = 0.13 与 ≠ 0.13 的检验，假定标准差 = 0.015
变量 N 平均值 标准差 平均值标准误
X 10 0.13580 0.01511 0.00474
95% 置信区间
Z
P
(0.12650, 0.14510) 1.22 0.221
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的显著性水平上检验改进前后的方差是否相
等，若可以认为相等的话，再在
的显著性水平上检
验改进后的均值是否增大。
（ ）检验方差是否相等：
用 检验，设原假设 ：
，备择假设 ：
拒绝域为｛
/2 ， 或
由样本观测值求得 x
或 1‐ /2 ，
y
结论：由于样本观测值未落在拒绝域中，所以接受原假设， 认为改进前后的方差相等。
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下面我们以某地18岁男大学生100人的身高(cm)资料，来说 明身高变量服从正态分布。
该数值变量资料频数
分布呈现中间频数多，左右
两侧基本对称的分布。所以
30
我们通俗地认为该资料服从
正态分布。
25
20
频数
15 频数
10
5
0 163 165 167 169 171 173 175 177 179 181 183
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质量检验的两类风险—使用方风险
使用方风险：由于抽样的随机性，本来质量不合格的批 被判接收的风险，称为使用方风险。它是对给定的抽样 方案，当批质量水平为某一指定的不可接受值p 时，但 被接收的概率。一般用字母 表示，在使用时， 通常 规定为 。这里的p 称为使用方风险质量。
七、正态总体参数的假设检验
假设检验亦称“显著性检验 （Test of statistical significance）”，是数理统
计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法 。用来判断样本与样本，样本与总体的差异是由抽样 误差引起还是本质差别造成的。目的就在于排除抽样 误差的影响，区分差别在统计上是否成立，并了解事 件发生的概率。
正态曲线在横轴上方均数处最高； 正态分布以均数为中心左右对称； 正态分布有2个关键参数 ： 平均值μ：位置参数 标准差 ：形状参数（变异度参数）
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平均值Байду номын сангаас正态曲线的影响
在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲 线位置向右移；若变小时，曲线位置向左移，故称μ 为位置参数。
正态分布与假设检验
SQE：Kenneth.Yang
提纲：
1. 随机变量； 2. 随机变量的分布； 3. 正态分布； 4. 正态总体参数的估计； 5. 正态总体参数的置信区间； 6. 统计判断的两类错误（质量检验的两类风险）； 7. 正态总体参数的假设检验。
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一、随机变量
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当用样本标准差 代替总体标准差 ，则 变量改为 变量， 标准正态分布 （ ， ）也随之改为自由度为 的 分布 ，记为 （ ）。自由度为 的 分布的概率密度函数与 标准正态分布 （ ， ）的概率密度函数图形大致类似。 当自由度超过 后，两者的差别已很小，这时可以用 （ ， ）替代 （ ）。
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例2、在改进工艺前后，各测量了若干钢条的抗剪强度，数 据如下：改进后：525、531、518、533、546、524、521 、533、545、540；改进前：521、525、533、525、517 、514、526、519。可以认为改进工艺后的平均抗剪强度 有提高吗？
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随 机现象。
表示随机现象结果的变量称为随机变量。 随机现象有两个特点：
1、随机现象的结果至少有两个； 2、至于哪一个出现，事先并不知道。
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离散型随机变量和连续型随机变量
假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则 称此随机变量为离散型随机变量；
这里自由度是指样本中可以独立或自由取值的自变量的个 数。
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六：统计判断的两类错误
在假设检验中，错误有两类： 第一类错误：拒真错误。原假设H 为真，但是由于抽
样的随机性，样本落在拒绝区域内，从而导致拒绝H ，其发生概率为 ； 第二类错误：取伪错误。原假设H 不真，但是由于抽 样的随机性，样本落在接受区域内，从面导致接受H ，其发生概率为 。
正态分布 均匀分布 对数正态分布 指数正态分布
2、常用的连续分布：
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三、正态分布
正态分布的概率密度函数
f (X)
1
e ,

(
X 2 2
)2

2
X
X为连续随机变量，π=3.14159，e为自然对数的底即 2.71828，μ为总体均数，σ为总体标准差，记为X～ N（μ ，σ2）
X [
1‐ /2
X ，
1‐ /2
1‐ /2 是标准正态分布的 是样本容量。
分位数；X 是样本均值；
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2、总体均值 的置信区间的求法： 当总体标准差 未知时：
X [
1‐ /2
X ，
1‐ /2
1‐ /2
表示自由度是 的 分布的
分位数；X 是
样本均值； 是样本容量； 是样本标准差。
σ =1
σ =2
µ
四、正态总体参数的估计
1、正态总体均值 常用的无偏估计为样本均值 ：X
X

X1
X 2 n
Xn

1 n
n i 1
Xi
、正态总体方差 常用的无偏估计为样本方差 ：
n
(Xi X )2
S 2 n 1 n 1
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3、正态总体标准差 常用的无偏估计为样本标准差修偏而得：
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用样本指标估计总体指标，其结论有的完全可靠，有 的只有不同程度的可靠性，需要进一步加以检验和证 实。通过检验，对样本指标与假设的总体指标之间是 否存在差别作出判断，是否接受原假设。这里必须明 确，进行检验的目的不是怀疑样本指标本身是否计算 正确，而是为了分析样本指标和总体指标之间是否存 在显著差异。从这个意义上，假设检验又称为显著性 检验。
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在相同样本量下：要使 小， 就大；要使 小， 就 大。
基本原则：力求在控制 前提下减少 常选 取值0.05，有时也用0.1、0.01等。 为减少损失：如果犯I类错误损失更大， 值取小；如
果犯II类错误损失更大， 值取大。 确定 ，就确定了临界点。