(完整版)勾股定理第一课
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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
《勾股定理第一节》课件
《勾股定理第一节》PPT 课件
欢迎来到《勾股定理第一节》的PPT课件！在这里，我们将深入了解勾股定理 的定义、历史、应用以及如何利用它解决几何问题。准备好迎接数学的奇妙 之旅了吗？
勾股定理的定义
1 直角三角形
在直角三角形中，勾股定理描述了三条边之间的关系，即c²= a²+ b²，其中c为斜边，a和b 为两条直角边。
2 广泛应用
勾股定理在现实世界中有广泛的应用，为我们解决实际问题提供了有力工具。
3 数学乐趣
通过深入研究勾股定理，我们不仅能够提升数学技巧，还可以享受数学的乐趣。
2 数学公式
勾股定理可以用数学公式表示为a²+ b²= c²，其中a、b、c分别代表直角三角形的三条边。
3 几何推理
通过勾股定理，我们能够得到直角三角形内角的相互关系，进而应用于解决各种几何问 题。
勾股定理的历史
古代秦国
勾股定理最早可以追溯到古代秦国，文献 中有记载了解决直角三角形的方法。
中国古代
中国古代数学家对勾股定理进行了独特的 研究，发现了更多的特性和应用。
古希腊
勾股定理的现代形式由古希腊数学家一并 提出，并以毕达哥拉斯之名命名。
欧洲文艺复兴
欧洲文艺复兴时期，勾股定理开始在欧洲 广为传播，并成为现代数学的基础。
勾股定理的应用
1
导航与测量
2Байду номын сангаас
勾股定理可以帮助我们在导航和
测量中确定距离和方向。
3
建筑设计
勾股定理在建筑设计中广泛应用， 例如测量直角墙角、设计稳固的 支撑结构等。
物理学
勾股定理在物理学中有广泛应用， 尤其是在力学、光学和电磁学等 领域。
利用勾股定理求解几何问题
欢迎来到《勾股定理第一节》的PPT课件！在这里，我们将深入了解勾股定理 的定义、历史、应用以及如何利用它解决几何问题。准备好迎接数学的奇妙 之旅了吗？
勾股定理的定义
1 直角三角形
在直角三角形中，勾股定理描述了三条边之间的关系，即c²= a²+ b²，其中c为斜边，a和b 为两条直角边。
2 广泛应用
勾股定理在现实世界中有广泛的应用，为我们解决实际问题提供了有力工具。
3 数学乐趣
通过深入研究勾股定理，我们不仅能够提升数学技巧，还可以享受数学的乐趣。
2 数学公式
勾股定理可以用数学公式表示为a²+ b²= c²，其中a、b、c分别代表直角三角形的三条边。
3 几何推理
通过勾股定理，我们能够得到直角三角形内角的相互关系，进而应用于解决各种几何问 题。
勾股定理的历史
古代秦国
勾股定理最早可以追溯到古代秦国，文献 中有记载了解决直角三角形的方法。
中国古代
中国古代数学家对勾股定理进行了独特的 研究，发现了更多的特性和应用。
古希腊
勾股定理的现代形式由古希腊数学家一并 提出，并以毕达哥拉斯之名命名。
欧洲文艺复兴
欧洲文艺复兴时期，勾股定理开始在欧洲 广为传播，并成为现代数学的基础。
勾股定理的应用
1
导航与测量
2Байду номын сангаас
勾股定理可以帮助我们在导航和
测量中确定距离和方向。
3
建筑设计
勾股定理在建筑设计中广泛应用， 例如测量直角墙角、设计稳固的 支撑结构等。
物理学
勾股定理在物理学中有广泛应用， 尤其是在力学、光学和电磁学等 领域。
利用勾股定理求解几何问题
北师大版数学八年级上册：1.1勾股定理第一课时(共24张PPT)
C A
B
SA=9
Ab
SC=18
C c
a B
SB=9
SA+SB=SC
由以上计算A，B ， C三 个图形的面积，我们能 得到什么结论？
a2+b2=c2
以上的三角形具有特殊性，都是等腰直角三角
形，一般直角三角形是否有这个关系，你还能
验证吗？
B
C
A
为什么不用数格子的方法？
活动3：看下图，验证是否满足 a b c . 由以上计算A，B ， C三
A
C
求出下列三角形中未知边的长度A.
答：旗杆折断之前有36 m高.
y2=132－52=144.
B
直角三角形的三边有怎样的关系？
y2=132－52=144. （1） y2=132－52=144.
（2）
B
SB=9
y2=132－52=144.
你用什么办法计算C的面积呢？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
测量、数格子等
你能发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？
活动1：任画一个直角三角形，分别度量三条边，把长度标在图形中，并计算三边的平方，把结果填在表格中.
∴x+4=20（m），16+20=36（m）.
用正方形A，B，C的面积刻画，就是证SA+SB=SC.
观察表格数据，你有什么发现？
S =9 S =18 直你勾角能股三 发 定角现理形图是的中刻三三画边个直有正角怎方三样形角的的形关面三A系积边？之平间方存的在关什系么. 关C系C吗？
整理得x2 + 144 = x2 + 8x + 16.
即：8x=128.解得x=16. ∴x+4=20（m），16+20=36（m）.
勾股定理第一课
命题１：如果直角三角形的两直角边长分
别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
a
c
b
证 a、b、c 之间的关系： a2 +b2 =c2
法
一：
用
拼 图
a
法 证
b
明
ac
b
∵S大正方形 =(a+b)2=a2+b2+2ab
b S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 c a =4·1 ab+c2
2
c b =c2+2ab
法 三：
a
c
b
cb a
勾股定理（gou-gu法则)
在西方又称毕达哥拉 斯定理！
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边
为c，那么 a2 b2 c2 a c
即 直角三角形两直角边的平方和等 b
于斜边的平方。
弦
表示为：Rt△ABC中，∠C=90° 勾a
c
则 a2 b2 c2
股b
合作探究
勾股定理给出了直角三角形三边之间的 A 关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方
。
c2=a2 + b2
b
c a2=c2－b2
a c2 b2
b2 =c2-a2
b= c2-a2
C
B
a
c a2 b2
例、如图，在Rt△ABC中，
C＝ 90°，BC=a，AC=b，AB=c，
(1)已知a=3，b=4，求c (2)已知b=15，c=17，求a
a
c
b
知识应用
1、求下图中字母所代表的正方形的面积。
A
625
81
225 400
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
《勾股定理》PPT精品课件(第1课时)
解：本题斜边不确定，需分类讨论： B 4
当AB为斜边时，如图
BC2 AB2 AC2 16 9 7，
3 C 图
B
4 AA 3 C
图
BC 7.
方法点拨：已知直角三角形的两边求
当BC为斜边时，如图
第三边,关键是先明确所求的边是直
BC2 AB2 AC2 16 9 25， 角边还是斜边,再应用勾股定理. BC 5.
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
c2 4 1 ab b a 2 a2 b2.
2
cb a b-a
赵爽弦图
知识讲解
右图是四个全等的直角三角形拼成的.请你根据此图， 利用它们之间的面积关系推导出: a2 b2 c2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
知识讲解
猜想直角三角形的三边关系
B
C A
图中每个小方格子都是 边长为1的小正方形．
问题1
1、 BC=_3__, AC=_4__, AB=__5_ 2、 S黄 =_9__, S蓝 =1_6__, S红 =2_5__
3、S黄、S蓝与S红的关系是S_黄__+_S_蓝_=__S_红_.
4、能不能用直角三角形ABC的三边表 示S黄、S蓝、S红的等量关系？
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2
2
=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
a b
ac b
b ca
cb a
知识讲解
勾股定理
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理第一课时PPT课件
58厘米
a
5、如图将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,BC长 为2.16米,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB(精确 到0.01米)
分析：先把实际问题转化成数学问题。 求：AB的长。
解：在Rt⊿ABC中，∠ABC = 90º， BC = 2.16 ， CA = 5.41 根据勾股定理得： AB = AC 2 BC 2 5.412 2.162 4.96（米）
两直边的平方和等于斜边的平方
同学们，我们也来 观察图中的地面， 看看你能发现什么？ 是否和大哲学家有 同样的发现呢？
你能发 现图中 的等腰 直角三 角形有 什么性 质吗？
A B C
观察 & 发现
C A
B
（1）观察图形 正方形A中含有 9 ___个小方格即A的 9 面积是位面积-----正方形B中含有 个小方格，即B的 9 面积是__ 个单位 9 面积-----正方形C中含 有 18 个小方格， 18 即C的面积是____ 个单位面积。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2+ a 2 c
2 b
2 =c
b 股 2 - a2 =b2 c 在西方又称毕达哥拉斯定理！
2 =a2 b
勾a
弦
c
想一想：
1、已知：a＝3， b＝4，求c c 2、已知： c ＝10，a＝6，求b b 3、已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积 4 、小明妈妈买了一部29英寸 c （74厘米）的电视机.小明量了电 a 视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定 是售货员搞错了.你同意他的想法 46厘米 吗？你能解释这是为什么吗？
a
5、如图将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,BC长 为2.16米,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB(精确 到0.01米)
分析：先把实际问题转化成数学问题。 求：AB的长。
解：在Rt⊿ABC中，∠ABC = 90º， BC = 2.16 ， CA = 5.41 根据勾股定理得： AB = AC 2 BC 2 5.412 2.162 4.96（米）
两直边的平方和等于斜边的平方
同学们，我们也来 观察图中的地面， 看看你能发现什么？ 是否和大哲学家有 同样的发现呢？
你能发 现图中 的等腰 直角三 角形有 什么性 质吗？
A B C
观察 & 发现
C A
B
（1）观察图形 正方形A中含有 9 ___个小方格即A的 9 面积是位面积-----正方形B中含有 个小方格，即B的 9 面积是__ 个单位 9 面积-----正方形C中含 有 18 个小方格， 18 即C的面积是____ 个单位面积。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2+ a 2 c
2 b
2 =c
b 股 2 - a2 =b2 c 在西方又称毕达哥拉斯定理！
2 =a2 b
勾a
弦
c
想一想：
1、已知：a＝3， b＝4，求c c 2、已知： c ＝10，a＝6，求b b 3、已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积 4 、小明妈妈买了一部29英寸 c （74厘米）的电视机.小明量了电 a 视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定 是售货员搞错了.你同意他的想法 46厘米 吗？你能解释这是为什么吗？
勾股定理(第1课时)课件
SA+SB=SC
a2+b2=c2
3.探究总结，提出猜想a来自cb命题１：如果直角三角形的两直角边 长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
4.证明命题1
证法：赵爽弦图
小组讨 论，通过割 补拼一个正 方形，探究 a、b、c之 间的关系。 小组展示， 并请3位同 学拿着图形 表演：
a2+b2=c2
5.命题正确，总结定理
勾股定理：
在西方国家又称为毕 达哥拉斯定理！
如果直角三角形两直角边分别为 a、b,斜
边为 c，那么 a2 b2 c2 .
即：直角三角形两直角边
的平方和等于斜边的平方。 勾 a
c弦
b
“赵爽弦图”，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地 利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数
1.问题：A、B、C的面积有什么关系？
A
B
C
AB C
SA+SB=SC 对于等腰直角三角形三边有这样的关系：
两条直边的平方和等于斜边的平方
2.问题：观察图甲、图乙，小方格的 边长为1.正方形A、B、C的面积有什么 关系？
C
A ac
B
b
B
A
图乙
a bc
C
图甲
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 49 4 16 8 25
C
B
a
c a2 b2
三、运用公式，巩固新知
1.求出下列直角三角形中未知边的长度：
(1)
x
6
(2)
x
5
8
13
解：由勾股定理得： 解：由勾股定理得：
∵x2=62+82 ∴x2 =36+64
勾股定理第一节ppt课件
40
A
90
B
C
160 40
答：两孔中心A，B的距离为130mm.
作业快餐：
1.完成课本习题１、2、3（必做） 2.课后小实验：如图,分别以直角三角形的三 边为直 径作三个半圆,这三个半圆的面积之间有什么关系?为 什么? （必做） 3.做一棵奇妙的勾股树（选做）
总统证法
美国总统证法：
D c a
C
c b a B
b
A
请同学们动手证明
证明3：
C D
a c c
你能只用这两个 直角三角形说明 a2+b2=c2吗？
b
A
b
梯形ABCD
∵S = 1
=
1 2
E
a
B
a+b 2
2 又∵ S 梯形ABCD = S AED + S EBC + S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 ) 2 2 2 2 比较上面二式得 c 2= a 2+ b 2
2 c 大正方形的面积可以表示为 1 2 ba ) 4 ab 也可以表示为 ( 2 c 1 2 ba ) 4 ab ∵ c2= ( 2 2-2ab+a2+ 2ab =b b =a2+b2
；
a
a
c
a b b
a
b
c
赵爽弦图
∴a2+b2=c2
c
证明2：
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ； ab 4 C2 也可以表示为 2
A
130
?
C
120
B
议一议：
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
A
90
B
C
160 40
答：两孔中心A，B的距离为130mm.
作业快餐：
1.完成课本习题１、2、3（必做） 2.课后小实验：如图,分别以直角三角形的三 边为直 径作三个半圆,这三个半圆的面积之间有什么关系?为 什么? （必做） 3.做一棵奇妙的勾股树（选做）
总统证法
美国总统证法：
D c a
C
c b a B
b
A
请同学们动手证明
证明3：
C D
a c c
你能只用这两个 直角三角形说明 a2+b2=c2吗？
b
A
b
梯形ABCD
∵S = 1
=
1 2
E
a
B
a+b 2
2 又∵ S 梯形ABCD = S AED + S EBC + S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 ) 2 2 2 2 比较上面二式得 c 2= a 2+ b 2
2 c 大正方形的面积可以表示为 1 2 ba ) 4 ab 也可以表示为 ( 2 c 1 2 ba ) 4 ab ∵ c2= ( 2 2-2ab+a2+ 2ab =b b =a2+b2
；
a
a
c
a b b
a
b
c
赵爽弦图
∴a2+b2=c2
c
证明2：
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ； ab 4 C2 也可以表示为 2
A
130
?
C
120
B
议一议：
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
北师大版八年级上册 数学第1讲：勾股定理课件 (共19张PPT)
• • 1. 勾股定理． • 【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则 边BC的长为（ ） • A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对． • 练1. 在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则 △ABC的面积为（ ） • A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 • 练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE， 则AE= • 【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高 BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆 柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（ ） • • A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm • • 练5．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库， 在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处 （宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最 短距离为（ ）m． • • A．4.8 B． C．5 D．17或
• 5．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm， 5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬 到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm．
• 6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所 有的面均分成3×3个小正方形．其边长都 为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它 从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最 少要用 秒钟． •
• 7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知 AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁 爬行的最短路程是 cm．
• 8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在 离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底 部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
• 9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包 装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在 上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为 13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上 盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸 管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小 值大约为 cm．
3.1《勾股定理-第1课时：勾股定理》ppt课件
c2＝a2＋b2，a2＝c2－b2，b2＝c2－a2.
[注意] 只有在直角三角形中才能运用勾股定理，钝角和锐角 三角形中均不适用．
3.1 勾股定理
重难互动探究
探究问题一 利用勾股定理求单个正方形的面积或直角三 角形的边长
例1 [教材练习第1题变式题] 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(2)计算教材图3－1的三个格点正方形的面积，它们之间的 数量关系是_两__个__小__正__方__形__的__面__积__之__和__等__于__大__正__方__形__的__面__积__；
3.1 勾股定理
(3)在教材第79页的网格中任意画一个顶点都在格点上的直角三 角形，并分别以这个直角三角形各边为一边向三角形外部作正方 形，所作的三个正方形面积之间的数量关系是__两__个__小__正__方__形_ 的__面__积__之__和__等__于__大__正__方__形__的__面__积_________； (4)通过上面的操作，写出你发现的直角三角形三边的数量关系 是___直__角__三__角__形__两__条__直__角__边__的__平__方__和__等__于__斜__边__的__平__方_．
3.1 勾股定理
因为 a2＋b2＝c2， 所以(3x)2＋(4x)2＝102， 25x2＝100，x2＝4， 所以 x＝2， 所以 a＝3x＝6，b＝4x＝8.
[归纳总结] 在直角三角形中，已知两边，利用勾股定理可以 求出第三边；若已知一边及另两边的关系，一般利用勾股定 理列方程(思想)来求出其余两边长．
(1)若c＝15，b＝12，求a； (2)若a＝11，b＝60，求c； (3)若a∶b＝3∶4，c＝10，求a，b.
3.1 勾股定理
[注意] 只有在直角三角形中才能运用勾股定理，钝角和锐角 三角形中均不适用．
3.1 勾股定理
重难互动探究
探究问题一 利用勾股定理求单个正方形的面积或直角三 角形的边长
例1 [教材练习第1题变式题] 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(2)计算教材图3－1的三个格点正方形的面积，它们之间的 数量关系是_两__个__小__正__方__形__的__面__积__之__和__等__于__大__正__方__形__的__面__积__；
3.1 勾股定理
(3)在教材第79页的网格中任意画一个顶点都在格点上的直角三 角形，并分别以这个直角三角形各边为一边向三角形外部作正方 形，所作的三个正方形面积之间的数量关系是__两__个__小__正__方__形_ 的__面__积__之__和__等__于__大__正__方__形__的__面__积_________； (4)通过上面的操作，写出你发现的直角三角形三边的数量关系 是___直__角__三__角__形__两__条__直__角__边__的__平__方__和__等__于__斜__边__的__平__方_．
3.1 勾股定理
因为 a2＋b2＝c2， 所以(3x)2＋(4x)2＝102， 25x2＝100，x2＝4， 所以 x＝2， 所以 a＝3x＝6，b＝4x＝8.
[归纳总结] 在直角三角形中，已知两边，利用勾股定理可以 求出第三边；若已知一边及另两边的关系，一般利用勾股定 理列方程(思想)来求出其余两边长．
(1)若c＝15，b＝12，求a； (2)若a＝11，b＝60，求c； (3)若a∶b＝3∶4，c＝10，求a，b.
3.1 勾股定理
人教版勾股定理第一课时
12
பைடு நூலகம்
拼图证明
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为a，b， 斜边c）；
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方
形
吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边长的正 方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
13
拼图证明
如何利用下图证明a2+b2=c2？
赵爽弦图
图1-1
图1-2
古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、
研究它的证明，新证法不断出现。目前世界上共有500
多种证明“勾股定理”的方法。其中包括大画家达·芬奇
18
和美国总统加菲尔德的证法。
勾股定理运用1
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
青 出
青 入
朱朱
朱 出出 方
朱朱入入 青入
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
青出
29
证法欣赏3
④
⑤
b
c
③
a
①②
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
长分别为a、b，斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2
数学方法：1.观察—探索—猜想—验证—归纳—应用
2.“割补、拼接”法
பைடு நூலகம்
拼图证明
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为a，b， 斜边c）；
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方
形
吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边长的正 方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
13
拼图证明
如何利用下图证明a2+b2=c2？
赵爽弦图
图1-1
图1-2
古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、
研究它的证明，新证法不断出现。目前世界上共有500
多种证明“勾股定理”的方法。其中包括大画家达·芬奇
18
和美国总统加菲尔德的证法。
勾股定理运用1
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
青 出
青 入
朱朱
朱 出出 方
朱朱入入 青入
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
青出
29
证法欣赏3
④
⑤
b
c
③
a
①②
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
长分别为a、b，斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2
数学方法：1.观察—探索—猜想—验证—归纳—应用
2.“割补、拼接”法
《勾股定理1》46页PPT
《勾股定理1》
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学Байду номын сангаас多。——洛克
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学Байду номын сангаас多。——洛克
勾股定理(第1课时)ppt课件
∵x>0 ∴ x=10
y=0
学海无涯
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求 S5、S6、S7的值
S3
S4
结论: S1+S2+S3+S4 =S5+S6
S2 S1 S5
S6
S7
=S7
y=0
练一练
1.在△ABC中, ∠C=90°，a=6,b=8, 10 则c=＿＿＿＿ 2.在Rt△ABC中, a=6,b=8,试求第三边c的值 3.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、 4,则第三边的长为________
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
例2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AB=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D B
A
E
C
例3：三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC 方向对折，再将CD折叠到CA边上， 折痕CE，求三角形三角形ACE的面积
在Rt△ABC中,. ∠C=90
(6)已知, ∠A=30 , c=8 , 则 a=_____, b=____ (7)如果c=10，a-b=2，则 b= 。
探究 y=0 1
生活中的数学问题
一个门框的尺寸如图所示，一块长３m， 宽２.２m的薄木板能否从门框内通过？为 什么？
Ｄ Ｃ
2m
Ａ
Ｂ
1m
分析 y=0
A
6
C
AC AD2 DC2 82 62 10
2 2 2 2
A
AB AC BC 10 10 200
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学以致y=用0 ，做一做
例.求出下列直角三角形中未知边的长度
解：
A
x
（1）在Rt△ABC 6
中,由勾股定理得： C 8
B
AB2=AC2+BC2
x2 =100
x2=62+82
∵x>0
X2 =36+64
∴ x=10
学以致y=用0 ，做一做
例.求出下列直角三角形中未知边的长度
解：在Rt△ABC中, A x
图1-1
图1-2
勾股定理（1）
看
发们映友 现，直家
一
什我角作 相 么们三客 传
2500
看
？也角， 来形发
观三现年
察边朋前
下的友，
面某家一
的种用次
图数砖毕
案量铺达
，关成哥
看系的拉
看，地斯
你同面去
能学反朋
（1）观察图2-1
C A
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
9 个单位面积。
B 图2-1
由勾股理: AB2+AC2=BC2
C
13
B
x2+52=132
x2=132-52
x2=144
∵x>0 ∴ x=12
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图2-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结
果的？与同伴交流交流。
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
413318 2
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
北 京 欢 迎 您 ！
十 一 月 的 天， 太寒冷 ，抱着 一杯热 奶茶， 走在无 人的街 道，昏 暗的路 灯都显 得 那 么 的 落 寞；忘 记了有 多久没 有走这 条路， 忘记了 有多久 没有热 奶茶， 也忘记 了 多 久 没 有 再想你 ；人总 说时间 会治愈 所有的 旧伤， 可是却 没有人 告诉过 我，旧 伤 愈 合 过 后 是会留 后遗症 的，一 不小心 还是会 血肉模 糊。 他 们 说 ，是 我自己 把 那 一 切 看 得太重 ，他们 说，我 值得遇 到更好 的，他 们说， 像我这 么好的 人一定 会 幸 福 的 ； 其实， 他们说 的这些 我都知 道，大 道理每 个人都 明白， 可是总 有些小 情 绪 是 无 法 控制的 ；只怪 当初你 的情话 太动听 ，只怪 当初自 己太天 真，信 以为真 ； 我 一 个 人 守着你 编织的 梦，一 守就是 好几年 ，可你 却再也 没有出 现，明 明故事 还 没 结 束 ， 却再也 找不到 当时的 主角， 后来， 我才明 白，有 的故事 结局是 开放式 的 ， 童 话 的 结局未 必都是 美好的 。 这 一 路 走 来， 我看过 很多陌 生的风 景，遇 到 过 很 多 陌 生的人 ，听过 很多别 人的故 事，这 个世界 太大， 每个人 的身上 都在上 演 着 不 同 的 故事， 我们的 故事不 动人， 却总在 说起时 泪流； 我听着 曾经一 起听过 的 歌 ， 一 遍 又一遍 ，仔细 回味， 你所有 的情绪 似乎都 隐藏在 歌词里 ，是我 太笨了 ， 没 有 早 点 明白你 的心事 ；那段 流年你 本就没 打算珍 惜，我 却深陷 其中无 法自拔
C
B
图3-1
C A
B
图3-2
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A a
Sa+Sb=Sc
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
a
Sa+Sb=Sc
bc
a2+b2=c2
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
， 一 个 人 的 努力永 远
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
c b
b22a b a22a b c2
a
结论：
a2b2 c2
思考:大正方形面积怎么求？
动y动=0脑
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
(a+b)2=
ab 4 C2
2
c2 = a2+ b2
a
b
b cc
a
c
a
c
b
b
a
你能剪两刀,把图1拼成图2的样子吗 ?想一想,图1和图2的面积分别怎样 表示,它们有怎样的关系?
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
其它直角三角形是否也有这样的 特点呢?(每个小方格的边长都是 1)
A B
C
一般的直角三角形 三边为边作正方形
S正方形c
A
C
4 1431 2
2 5（面积单位）
B
图3-1
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦c 股b
┏
勾a
a2+b2=c2
结论变形 直角三角形中，两直角边的平方 和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2
c
b
a
动y动=0手
尝试用下面四个全等的直角三角形 围成一个正方形
c
c
c
c
a
a
a
a
b
b
b
b
动y=动0 脑
思考:大正方形面积怎么求？
c
a b
(ba)241abc2 2
拼一拼
b 图1
b
c b
a
a a
a2 + b2 = c2
c
ab
图2
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
做一做：
A 625
P
C
B
400
P的面积
225
=_______
AB=___2_5______
BC=___2_0______
AC=____1_5_____
C A
B
图3-2
分割成若干个直角边为 整数的三角形
S正方形c
A
C
1 （72 1） 2
2 5 （面积单位）
B
图3-1
C A
B
图3-2
思考：面积A，B， 把C“补”成边长为7的
C还有上述关系
正方形面积加1单位面
吗？
积的一半
议一议
（1）你能用三 角形的边长表示 A 正方形的面积吗？
（2）你能发现 直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
B
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
1 62 2
1 8（单位面积）
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么